精品解析：黑龙江大庆铁人中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

大庆铁人中学2025级高二年级上学期月考 数 学 注意事项： 1、答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0．5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3、请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4、保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， ∵，∴，． 故选：D． 2. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般式方程判断两条直线平行的方法即可求解. 【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得. 因此实数. 3. 如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量运算法则计算即可判断结果. 【详解】由题可知, 由得, 因为点C，D分别是母线的中点， 所以， 则 . 故选：D 4. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离d，再根据等体积法计算d 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 5. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， ， 因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 6. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】线段的中点为，即，， 所以图纸折痕所在直线方程为：， 令，得， 因为轴与直线正好重合， 所以点在直线上，所以有， 直线与直线以及轴相交于点， 得，即，代入，得， ， 故选：C 7. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由点到面的距离公式计算可得. 【详解】在直三棱柱中，， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得； 由，得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 故选：A 8. 已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设，根据向量数量积的运算得到点的轨迹为圆，再根据直线与圆有公共点时圆心到直线的距离不大于半径，及点到直线的距离公式即可求出的取值范围． 【详解】设，由，， 则，， 则，即， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又直线上存在点，即该直线与圆有公共点， 即圆心到该直线的距离，即，即，解得， 所以的取值范围为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，错误的有（     ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 一条直线的斜率为，则这条直线的倾斜角为 D. 直线在轴上的截距为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用倾斜角与斜率的关系可判定选项A，B，C，利用截距的概念可判定D． 【详解】对于A，坐标平面内的任意直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线不存在斜率，故A错误； 对于B，由直线的斜率为，则，且，所以的取值范围是，故B正确； 对于C，由直线的倾斜角的取值范围为，若一条直线的斜率为，但其倾斜角为，而不是，故C错误； 对于D，由时，，所以直线在轴上的截距为，故D错误． 10. 已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为3 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线截圆所得弦长为6 D. 存在，使得直线与圆相离 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，变形为， 即圆心坐标为，半径为3，故A正确； 对于B，当时，，所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，圆心在直线上， 故直线截圆所得弦长为直径6，故C正确； 对于D，因为直线恒过定点，此点与圆心的距离为， ，所以定点在圆内，过圆内一点的任意直线一定和圆相交， 所以直线不可能与圆相离，故D错误. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为点和点关于轴对称，所以. 13. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 【答案】. 【解析】 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【详解】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或， 设，，则， 由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线均过点． （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，由，得到，进而求得直线的方程； （2）根据题意，分直线过坐标原点和线不过坐标原点，两种情况讨论，即可求解； （3）设直线的方程为，则满足，结合基本不等式，求得面积最小值，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 解：由点和，可得，即 因为，可得，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：由直线在轴和轴上的截距互为相反数， 当直线过坐标原点时，可得，此时直线的方程为，即； 当直线不过坐标原点时，可设直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. 【小问3详解】 解：设直线的方程为，则满足， 由，即，解得， 当且仅当时，即时，取等号， 则，即围成三角形的面积的最小值为，此时直线的方程为. 16. 已知圆：和直线：． （1）若直线与圆相离，求的取值范围； （2）若，点是圆上一个动点，求点到直线距离的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）直线与圆相离，通过圆心到直线的距离大于半径求解； （2）过圆心向直线做垂线，通过垂线与圆的两个交点求解. 【小问1详解】 圆心，半径：， 若直线与圆相离，则，解得，的取值范围为：. 【小问2详解】 若，直线：，圆心到直线的距离为：， 则点到直线距离的最大值为：， 点到直线距离的最小值为：. 17. 如图，四棱锥中，侧面底面，底面为平行四边形，，，，，． （1）求证：． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）取中点，连接，，由于，故， 由余弦定理可得，所以， 所以，又由于，所以平面，且平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）设为的中点，连接，，证明平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求平面和平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为侧面底面，，侧面底面， 所以底面.如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，  则，，，. 设平面的法向量为， 由得 取，得平面的一个法向量为．         设平面的法向量为， 由得 取，得平面的一个法向量为．     所以平面与平面夹角的余弦值为 ． 18. 如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. （2）存在点Q为PB的中点， 【解析】 【分析】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 19. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）设是圆上的动点，为线段的中点． ①求点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分直线的斜率存在和不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求直线斜率，进而可得切线方程. （2）①设点，，利用表示，再根据点在圆上可得的关系，即为点的轨迹方程. ②先根据的面积取得最大值确定圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式列式，可求直线斜率的值. 【小问1详解】 由圆，可得圆心，半径为， 若直线的斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为半径，符合题意； 若直线的斜率存在，设切线方程为，则， 故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或． 【小问2详解】 ①设点，， 由点是的中点和点， 得，所以， 因为在圆上运动，所以， 联立得， 化简得点的轨迹方程是； ②由题可知为的轨迹的圆心，设圆心到直线距离为， ，则， 当即时，的面积最大， 若直线的斜率不存在，则其方程为，此时点到直线的距离，因，故不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆铁人中学2025级高二年级上学期月考 数 学 注意事项： 1、答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0．5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3、请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4、保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，错误的有（     ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 一条直线的斜率为，则这条直线的倾斜角为 D. 直线在轴上的截距为 10. 已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为3 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线截圆所得弦长为6 D. 存在，使得直线与圆相离 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 13. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 14. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线均过点． （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 16. 已知圆：和直线：． （1）若直线与圆相离，求的取值范围； （2）若，点是圆上一个动点，求点到直线距离的最大值和最小值． 17. 如图，四棱锥中，侧面底面，底面为平行四边形，，，，，． （1）求证：． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）设是圆上的动点，为线段的中点． ①求点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $