精品解析：黑龙江海林市朝鲜族中学2026-2027学年高二上学期第一次考试数学试卷

2026-2027学年度 第一学期 高二年级数学第一次考试（人教A版选择性必修1第1~2章） 命题人：韩福淑 审核人：姜磊 一、单项选择题（每小题5分 共60分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角即可． 【详解】由，得， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，则， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则或 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A, 由，得或或，故A错误； 对于B，由，得或，故B正确； 对于C，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故C错误； 对于D，由，得，则或或，故D错误. 3. 若直线与平行，则m的值为（ ） A. －2 B. －1或－2 C. 1或－2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的判定有，即可求参数值. 【详解】由题设，，可得或.经验证不重合，满足题意， 故选：C. 4. 若向量，，则平面的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案. 【详解】解：设平面的法向量为，因为向量，， 所以，取，得， 故选：C. 5. 已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ） A. ，共线 B. ，共线 C. ，，共面 D. ，，不共面 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面向量定理可作出判断 【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，， 由共线向量定理知，A，B，C三点共线， 由共面向量定理知，，，共面. 故选：C 6. 设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系，，计算即可. 【详解】因为，则其方向向量， ，解得. 故选:B. 7. 已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（ ） A. B. C. 1,2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， . 为平面的法向量，且，在平面内， ，即，解得. 8. 已知直线与直线垂直，垂足为，则过点H,且斜率为的直线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直斜率的关系，得到，再由点在直线l1和直线l2上，将点H代入直线l1和直线l2的方程求出和，即可得到所求直线的斜率，利用点斜式方程写出直线方程即可. 【详解】∵∴解得，∴直线l1的方程为. 又∵点在直线l1上，∴，即H(1，-2).又∵点H(1，-2)在直线l2上，.解得，∴所求直线的斜率为，其方程为，即，故选A. 【点睛】本题主要考查了两直线斜率存在时，斜率之间的联系以及点与直线的位置关系， 属于基础题. 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 D. A、B、M、N是空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念，结合向量的共面定理，空间点共面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一个基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C项，若共面，则，则共面， 这与为空间的一个基底相矛盾，故可以构成空间向量的一个基底，故C正确； 对于D项，若不能构成空间的一个基底，则共面， 又过相同的点B，则A、B、M、N四点共面，故D正确． 故选：BCD. 10. 在四面体中，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若Q为的重心，则 C. 若，，则 D. 若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量运算逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由Q为的重心，得， 则， 于是，即，B正确； 对于C，若，，则 ，C正确； 对于D，由四面体的各棱长都为2，得， ， 则，D错误． 故选：ABC 11. 在空间直角坐标系中，，，，则（     ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据选项分别求向量的坐标，再代入数量积，模长和向量夹角公式，以及点到直线的距离公式，即可判断选项. 【详解】，，，故A错误； ，所以，故B正确； ，设异面直线与所成角为， 则，故C错误； 到直线的距离为，故D正确． 故选：BD 三、填空题（每小题5分，共20分） 12. 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①;②;③;④. 其中正确的是_____. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】在平行六面体中，根据向量的加法减法法则，向量的相等，逐一验证各选项即可. 【详解】由题意得,①正确;,②正确;③显然正确;因为,所以④不正确. 故答案为①②③ 【点睛】本题主要考查了向量加法、减法运算法则，向量平行及向量的相等，属于中档题. 13. 已知平面的一个法向量为，点在内，则到的距离______. 【答案】 【解析】 【分析】应用点到平面距离公式计算即可. 【详解】，且平面的一个法向量为， 则到平面的距离. 14. 如图，在正方体中，点为的重心，若，，，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】点为的重心，利用结论，即可使用表示，从而得出结果. 【详解】由题意知为正三角形，如图，连接交于点，为对角线中点， 连接，显然点在线段上，且满足，即， 整理得，所以有， 所以，则. 四、解答题（17题10分，其他每小题12分，共70分） 15. 解决下列问题 （1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直列出方程即可求解； （2）设，结合对称性质列方程组求解即可； 【小问1详解】 由，，， 得，解得或； 【小问2详解】 设，斜率为. 则，解得，即. 16. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的大小． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值． 【小问1详解】 向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以， 所以向量与夹角的大小为． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，又由于为棱的中点，则在正方体中可得： 则四边形是平行四边形，所以； 又由于为棱的中点，又可得 则四边形是平行四边形，所以； 由平行的传递性可知：， 又因为平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过取的中点为，再利用线线平行即可证明线面平行； （2）利用空间向量法可直接求出二面角的余弦值； （3）利用空间向量法可先求出线面角的正弦值，再利用同角关系求出余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，在棱长为2的正方体中，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即 令，则，所以， 由于平面与轴垂直，则平面的法向量可取， 所以， 由图可看出二面角一定是锐角，所以可设它为， 则， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）得，平面的法向量可取， 则， 设直线与平面所成角为，则， 所以 即直线与平面所成角的余弦值为． 18. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 【答案】（1） 直三棱柱中，所有棱长均为4， 上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形， 连接与交于点，则为，的中点，连接DE， 在中，分别为边的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用直三棱柱的性质结合线面平行判定定理证明结论； （2）结合直三棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，中点，连接，则，平面ABC， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， ， 为上的点，平面， 到平面的距离d即为直线与平面的距离， ， 直线与平面的距离为：． 19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一点． （1）求证：平面EAC⊥平面PBC； （2）若E是PB的中点，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图所示： 因为PC⊥底面ABCD，AC底面ABCD， 所以，又，在中，， 设AB的中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形， 所以，且， 则，所以，又， 所以平面PBC，又平面EAC， 所以平面EAC⊥平面PBC； （2） 【解析】 【分析】（1）设AB的中点为G，连接CG，易得四边形ADCG为边长为1的正方形，得到，再由，从而证得平面PBC，再利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标，设 ，易知 为 平面 PAC的一个法向量，再求得平面EAC的一个法向量 ，由，求得 ，从而得到 求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 则， 设 ，则 ， 所以 ， 因为 ， 所以 平面PAC，则 为 平面 PAC的一个法向量， 设平面EAC的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ， 所以 ， 解得 ，则 ， 设直线PA与平面EAC所成的角为 ， 则 ， 所以 直线PA与平面EAC所成的角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度 第一学期 高二年级数学第一次考试（人教A版选择性必修1第1~2章） 命题人：韩福淑 审核人：姜磊 一、单项选择题（每小题5分 共60分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则或 C. 若，则或 D. 若，则 3. 若直线与平行，则m的值为（ ） A. －2 B. －1或－2 C. 1或－2 D. 1 4. 若向量，，则平面的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ） A. ，共线 B. ，共线 C. ，，共面 D. ，，不共面 6. 设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（ ） A. B. C. 1,2 D. 8. 已知直线与直线垂直，垂足为，则过点H,且斜率为的直线方程为 A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 D. A、B、M、N是空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面 10. 在四面体中，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若Q为的重心，则 C. 若，，则 D. 若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则． 11. 在空间直角坐标系中，，，，则（     ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 三、填空题（每小题5分，共20分） 12. 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①;②;③;④. 其中正确的是_____. 13. 已知平面的一个法向量为，点在内，则到的距离______. 14. 如图，在正方体中，点为的重心，若，，，，则____. 四、解答题（17题10分，其他每小题12分，共70分） 15. 解决下列问题 （1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； 16. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的大小． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一点． （1）求证：平面EAC⊥平面PBC； （2）若E是PB的中点，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $