微专题八 圆锥曲线中的极点极线快速解题 导学案-2027届高三数学一轮复习

微专题八 圆锥曲线中的极点极线快速解题 基础知识 一 调和线束与调和点列: 1. 若交比为,则称为调和比.交比为 的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地, 若 且,则四点构成“调和点列”; ①叫做“基点”叫做“（内、外）分点”. 根据定义可得：如果点内分线段，点外分线段, 且, 那么称点调和分割 线段.亦称为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列. 即：调和点列内分比外分比. ② 也可以以为基点, 则四点仍构成调和点列, 故称与调和共轭. ③ 如图, 若构成调和点列,为直线外任意一点, 则四直线为调和线束; 若另一直线截此调和线束, 则截得的四点 仍构成调和点列（由定理1可知）. 2 调和点列的性质：若为调和点列, 即,则: (1) 调和性: 证明: （2）共轭性: 若构成调和点列, 则也构成调和点列. 即：若成立, 则也成立; (3) 等比性: ① ②记线段的中点为, 则有. ③记线段的中点为, 则有(同2可证） 证明: 由等比性质可知: 同理可得. 二 线束和点列的交比: 如图, 过点的四条直线被任意直线所截的有向线段之比 称为线束或点列 的交比. 1.交比与所截直线无关. 【证明】令线束分别交于, 则, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关. 【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线交线束于, 可视为对作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性. 2. 斜率分别为的三条直线交于轴外的点, 过作轴的垂线, 则成等差数列的充要条件为成调和线束. 分析：不妨设均为正数, 其它情况同理可证. 【证明】如图, 设与轴分别交于四点, 则 成调和点列成调和线束. 3  调和线束平行中点定理 如图所示，若，，，，均为点的调和线束，过延长线上任意一点作分别交和于点和，则． 4.利用调和梯形角度解读 证明：根据交比不变性，若，则，故． 完全四边形中，，边与交于，与延长线交于，与和交于和两点，则：①、、、是调和点列；②、分别为、中点； 证明：因为，所以，所以，同理，而，所以、、、是调和点列． 5.  调和线束斜率公式 调和线束的斜率关系：若，；，是调和线束，则它们的斜率满足，或者 若直线，，，为调和线束，，且斜率均存在，则． 证明：（交比不变性）如图，过作轴的垂线与轴交于，另外交，，于，，点．由交比不变性可知，，分母同除以： ． 去分母得： 特殊的，当时，，即； 同理，当时，则有．这就是的斜率等差或者斜率倒数等差模型． 本章内容结合这两个定理展开，打开极点极线背景的新世界． 6.平行于坐标系的中点斜率 如图，为的中线，设直线，，的斜率分别为，，， ①若与轴平行，则：；②若与轴平行，则：． 证明：①设，，，所以； ②设，，，所以； 三 极点极线的几何定义 如图，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次P E F G H M A N B 图1 交圆锥曲线于四点，连接 交于，连接交于，则直线为点对应の极线. 若为圆锥曲线上点，则过点的切线即为极线. 由图1可知，同理为点对应的极线，为点 所对应的极线.称为自极三点形.若连接交圆锥曲线于 点，则恰为圆锥曲线的两条切线. 事实上，图1也给出了两切线交点对应的极线的一种作法. 四 极点极线的代数定义 1.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线の一对极点和极线. 事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)即可得到点极线方程. 2.常见圆锥曲线极线公式 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代，常数项不变， 可得方程：． 常见的二次曲线的极点极线的方程如下： （1）圆： ①极点关于圆的极线方程是； ②极点关于圆的极线方程是； ③极点关于圆的极线方程是：． （2）椭圆：极点关于椭圆的极线方程是：． （3）双曲线： 极点关于双曲线的极线方程是：． （4）抛物线极点关于抛物线的极线方程是：． 注：①极点极线是成对出现的； ②焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线； ③已知定比分点，则其调和分点一定位于其对应极线上！ （5）若极点在二次曲线外部，分成两种情况： ①极线在二次曲线内的部分是点对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】 ②极线在二次曲线外的部分是过点的弦两端端点的切线交点的轨迹． 证明：假设同以上代数定义，对の方程，两边求导得，解得，于是曲线在点处の切线斜率为，故切线の方程为，化简得，又点在曲线上，故有，从中解出，然后代和可得曲线在点处の切线为. (2)设过点所作の两条切线の切点分别为，则由(1)知，在点处的切线方程分别为和，又点P M N 图2 在切线上，所以有 和 ， 观察这两个式子，可发现点 都在直线 上， 又两点确定一条直线，故切点弦所在的直线方程为. (3)设曲线过的弦的两端点分别为，则由(1)知，曲线在这两点处的切线方程分别为和，Q(m,n) T S 图3 P(x0,y0) . 设两切线の交点为，则有 ， ， 观察两式可发现 在直线 上， 又两点确定一条直线，所以直线的方程为，又直线过点，所以，因而点在直线上. 所以两切线的交点的轨迹方程是. 4. 若圆锥曲线中有一些极线共点于点，则这些极线相应的极点共线于点相应的极线，反之亦然. P A B P 点P的极线 点P的极线 图4(1) 图4(2) 即极点与极线具有对偶性.如图4(1)(2)所示. 5.与极线在教材中的体现 极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现， 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线 如果圆锥曲线是椭圆，当为其焦点时，极线变为，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线，当为其焦点时，极线变为，恰是双曲线の准线；如果圆锥曲线是抛物线，当为其焦点时，极线变为，恰是抛物线的准线. 6. 配极原则 若点关于圆锥曲线的极线通过另一点, 则点的极线也通过, 称关于调和共轭. 证明：设点,则相应的极线为,点,相应的极线为: 因为过点坐标满足方程, 即 则点坐标满足方程, 这也说明, 也就是过点 配极原则说明:过点过点, 由此可得下面结论: 7.共线点的极线必然共点（四点共线, 它们的极线共交点）;共点线的极点必然共线（直线共交点, 它们的极点四点共线）. 8.如下图, 过极点作两条直线, 与椭圆分别交于点和, 则直线的交点必在极线上. 9、射影到与坐标轴平行线的中点 如图所示，在椭圆中，、为椭圆上的两点，设轴上一点，存在直线和轴上一点，连接并延长交直线于，，当直线轴，则：． 极点极线背景分析：延长交于，作交于，由以为极点对应的极线为，则、、、为调和点列，梯形为调和梯形，则为中点．或者利用交比不变性，以作为射影中心，，所以． 四 易错点总结 1.结论不能直接写在高考答题卡 极点极线、自极三角形、调和点列属于高等几何背景知识，只能用来猜定点、定直线、分析背景；正式作答必须用联立、齐次化、定比点差、韦达定理，不能直接写"由自极三角形得……"会扣分。 2.分清极点位置对应的极线状态 极点在曲线内部：极线和曲线相离； 极点在曲线外部：极线和曲线相交，内部线段是切点弦； 3.定比点差适用条件 极点落在坐标轴上，定比点差计算最简单；极点不在坐标轴，定比点差计算繁琐，优先齐次化。 4.调和线束斜率公式前提 四条直线斜率全部存在；如果有直线垂直坐标轴（斜率不存在），不能直接套公式，改用坐标处理。 5.交比是有向线段 调和点列交比为，不是；做题不要忘记符号，直接用长度算会出错。 6.焦点与准线是极点极线特例 焦点，对应极线为准线，可以套极线公式验证，不要记混。 7.工具选择误区 看到斜率关系多：优先齐次化； 看到坐标轴上定点、分点：优先定比点差； 8. 自极三角形互逆关系 自极三角形：极线，极线，极线，三者全部成对，只记一个容易搞错。 必考题型全归纳： 题型一 点、极线的定义与几何意义 1．已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． (1)求的方程； (2)证明：直线过定点． 2．已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上． 题型二 完全四边形、自极三角形 3．如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点．直线与直线交于点．当点异于，两点时，求证：为定值． 4.已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与粗圆有两个不同的交点、． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的最大值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求． 题型三 单比、交比，射影不变性 5．已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，（，分别异于，）． (1)求实数的取值范围； (2)若，用含的式子表示四边形的面积； (3)当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，、为椭圆上的两个动点，当，关于原点对称时，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)若存在实数使得，过点作直线的垂线，垂足为，直线是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由． 题型四 调和点列、调和线束，平行—中点定理 7．已知椭圆，其离心率，长轴长为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的上、下顶点分别为、，右顶点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，点与点关于轴对称，直线交于，直线交于点，点，求证：． 8．已知椭圆过点，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求的值． 题型五 调和线束斜率公式 9．已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 10．已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程 (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值． 巩固提升： 1．已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上． 2．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：轴． 3．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，两点． (1)求的方程； (2)设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点． 4已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 5. 已知直线 与圆 , 点 , 则下列说法正确的 是 ( ) A. 若点 在圆 上,则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内, 则直线 与圆 相离 C. 若点 在圆 外,则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上, 则直线 与圆 相切 6.已知椭圆的两焦点为，点满足，则的取值范围为________，直线与椭圆的公共点个数________. 7.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为.设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中. （1）设动点满足，求点的轨迹； （2）设，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）. 8.设椭圆过点，且左焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）当过点的动直线与椭圆交于两个不同的点时，在线段上取点，满足，证明点总在某定直线上. 9.已知椭圆过点，其长半轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线与椭圆相交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，记与的面积分别为，求的最大值. 10.已知椭圆过点，其长半轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线与椭圆相交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围. 11.已知椭圆的离心率，分别为左、 右焦点，点在椭圆上，的面积最大为. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为.过定点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线和直线相交于椭圆外一点，求证：点的轨迹为定直线. 12.已知椭圆的离心率，上、下顶点分别为 ，直线经过点，且与椭圆交于两点，当时，四边形 的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交于点，试判断点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 13.已知双曲线实轴端点分别为 ，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线交于两点，试探究是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 14.已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与相交于点，证明：点在定直线上. 15.已知分别是双曲线的左、右顶点，直线（不与 坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于两点. （1）若，求直线的方程； （2）若直线与相交于点，证明：点在定直线上. 16.已知椭圆与轴的交点为（点位于 点的上方），为左焦点，原点到直线的距离为. （1）求椭圆的离心率； （2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上. 17.已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由. 18.椭圆有两顶点，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点.直线与直线交于点. （1）当时，求直线的方程； （2）当点异于两点时，求证：为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题八 圆锥曲线中的极点极线快速解题 基础知识 一 调和线束与调和点列: 1. 若交比为,则称为调和比.交比为 的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地, 若 且,则四点构成“调和点列”; ①叫做“基点”叫做“（内、外）分点”. 根据定义可得：如果点内分线段，点外分线段, 且, 那么称点调和分割 线段.亦称为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列. 即：调和点列内分比外分比. ② 也可以以为基点, 则四点仍构成调和点列, 故称与调和共轭. ③ 如图, 若构成调和点列,为直线外任意一点, 则四直线为调和线束; 若另一直线截此调和线束, 则截得的四点 仍构成调和点列（由定理1可知）. 2 调和点列的性质：若为调和点列, 即,则: (1) 调和性: 证明: （2）共轭性: 若构成调和点列, 则也构成调和点列. 即：若成立, 则也成立; (3) 等比性: ① ②记线段的中点为, 则有. ③记线段的中点为, 则有(同2可证） 证明: 由等比性质可知: 同理可得. 二 线束和点列的交比: 如图, 过点的四条直线被任意直线所截的有向线段之比 称为线束或点列 的交比. 1.交比与所截直线无关. 【证明】令线束分别交于, 则, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关. 【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线交线束于, 可视为对作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性. 2. 斜率分别为的三条直线交于轴外的点, 过作轴的垂线, 则成等差数列的充要条件为成调和线束. 分析：不妨设均为正数, 其它情况同理可证. 【证明】如图, 设与轴分别交于四点, 则 成调和点列成调和线束. 3  调和线束平行中点定理 如图所示，若，，，，均为点的调和线束，过延长线上任意一点作分别交和于点和，则． 4.利用调和梯形角度解读 证明：根据交比不变性，若，则，故． 完全四边形中，，边与交于，与延长线交于，与和交于和两点，则：①、、、是调和点列；②、分别为、中点； 证明：因为，所以，所以，同理，而，所以、、、是调和点列． 5.  调和线束斜率公式 调和线束的斜率关系：若，；，是调和线束，则它们的斜率满足，或者 若直线，，，为调和线束，，且斜率均存在，则． 证明：（交比不变性）如图，过作轴的垂线与轴交于，另外交，，于，，点．由交比不变性可知，，分母同除以： ． 去分母得： 特殊的，当时，，即； 同理，当时，则有．这就是的斜率等差或者斜率倒数等差模型． 本章内容结合这两个定理展开，打开极点极线背景的新世界． 6.平行于坐标系的中点斜率 如图，为的中线，设直线，，的斜率分别为，，， ①若与轴平行，则：；②若与轴平行，则：． 证明：①设，，，所以； ②设，，，所以； 三 极点极线的几何定义 如图，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次P E F G H M A N B 图1 交圆锥曲线于四点，连接 交于，连接交于，则直线为点对应の极线. 若为圆锥曲线上点，则过点的切线即为极线. 由图1可知，同理为点对应的极线，为点 所对应的极线.称为自极三点形.若连接交圆锥曲线于 点，则恰为圆锥曲线的两条切线. 事实上，图1也给出了两切线交点对应的极线的一种作法. 四 极点极线的代数定义 1.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线の一对极点和极线. 事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)即可得到点极线方程. 2.常见圆锥曲线极线公式 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代，常数项不变， 可得方程：． 常见的二次曲线的极点极线的方程如下： （1）圆： ①极点关于圆的极线方程是； ②极点关于圆的极线方程是； ③极点关于圆的极线方程是：． （2）椭圆：极点关于椭圆的极线方程是：． （3）双曲线： 极点关于双曲线的极线方程是：． （4）抛物线极点关于抛物线的极线方程是：． 注：①极点极线是成对出现的； ②焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线； ③已知定比分点，则其调和分点一定位于其对应极线上！ （5）若极点在二次曲线外部，分成两种情况： ①极线在二次曲线内的部分是点对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】 ②极线在二次曲线外的部分是过点的弦两端端点的切线交点的轨迹． 证明：假设同以上代数定义，对の方程，两边求导得，解得，于是曲线在点处の切线斜率为，故切线の方程为，化简得，又点在曲线上，故有，从中解出，然后代和可得曲线在点处の切线为. (2)设过点所作の两条切线の切点分别为，则由(1)知，在点处的切线方程分别为和，又点P M N 图2 在切线上，所以有 和 ， 观察这两个式子，可发现点 都在直线 上， 又两点确定一条直线，故切点弦所在的直线方程为. (3)设曲线过的弦的两端点分别为，则由(1)知，曲线在这两点处的切线方程分别为和，Q(m,n) T S 图3 P(x0,y0) . 设两切线の交点为，则有 ， ， 观察两式可发现 在直线 上， 又两点确定一条直线，所以直线的方程为，又直线过点，所以，因而点在直线上. 所以两切线的交点的轨迹方程是. 4. 若圆锥曲线中有一些极线共点于点，则这些极线相应的极点共线于点相应的极线，反之亦然. P A B P 点P的极线 点P的极线 图4(1) 图4(2) 即极点与极线具有对偶性.如图4(1)(2)所示. 5.与极线在教材中的体现 极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现， 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线 如果圆锥曲线是椭圆，当为其焦点时，极线变为，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线，当为其焦点时，极线变为，恰是双曲线の准线；如果圆锥曲线是抛物线，当为其焦点时，极线变为，恰是抛物线的准线. 6. 配极原则 若点关于圆锥曲线的极线通过另一点, 则点的极线也通过, 称关于调和共轭. 证明：设点,则相应的极线为,点,相应的极线为: 因为过点坐标满足方程, 即 则点坐标满足方程, 这也说明, 也就是过点 配极原则说明:过点过点, 由此可得下面结论: 7.共线点的极线必然共点（四点共线, 它们的极线共交点）;共点线的极点必然共线（直线共交点, 它们的极点四点共线）. 8.如下图, 过极点作两条直线, 与椭圆分别交于点和, 则直线的交点必在极线上. 9、射影到与坐标轴平行线的中点 如图所示，在椭圆中，、为椭圆上的两点，设轴上一点，存在直线和轴上一点，连接并延长交直线于，，当直线轴，则：． 极点极线背景分析：延长交于，作交于，由以为极点对应的极线为，则、、、为调和点列，梯形为调和梯形，则为中点．或者利用交比不变性，以作为射影中心，，所以． 四 易错点总结 1.结论不能直接写在高考答题卡 极点极线、自极三角形、调和点列属于高等几何背景知识，只能用来猜定点、定直线、分析背景；正式作答必须用联立、齐次化、定比点差、韦达定理，不能直接写"由自极三角形得……"会扣分。 2.分清极点位置对应的极线状态 极点在曲线内部：极线和曲线相离； 极点在曲线外部：极线和曲线相交，内部线段是切点弦； 3.定比点差适用条件 极点落在坐标轴上，定比点差计算最简单；极点不在坐标轴，定比点差计算繁琐，优先齐次化。 4.调和线束斜率公式前提 四条直线斜率全部存在；如果有直线垂直坐标轴（斜率不存在），不能直接套公式，改用坐标处理。 5.交比是有向线段 调和点列交比为，不是；做题不要忘记符号，直接用长度算会出错。 6.焦点与准线是极点极线特例 焦点，对应极线为准线，可以套极线公式验证，不要记混。 7.工具选择误区 看到斜率关系多：优先齐次化； 看到坐标轴上定点、分点：优先定比点差； 8. 自极三角形互逆关系 自极三角形：极线，极线，极线，三者全部成对，只记一个容易搞错。 四 易错点总结 1.结论不能直接写在高考答题卡 极点极线、自极三角形、调和点列属于高等几何背景知识，只能用来猜定点、定直线、分析背景；正式作答必须用联立、齐次化、定比点差、韦达定理，不能直接写"由自极三角形得……"会扣分。 2.分清极点位置对应的极线状态 极点在曲线内部：极线和曲线相离； 极点在曲线外部：极线和曲线相交，内部线段是切点弦； 3.定比点差适用条件 极点落在坐标轴上，定比点差计算最简单；极点不在坐标轴，定比点差计算繁琐，优先齐次化。 4.调和线束斜率公式前提 四条直线斜率全部存在；如果有直线垂直坐标轴（斜率不存在），不能直接套公式，改用坐标处理。 5.交比是有向线段 调和点列交比为，不是；做题不要忘记符号，直接用长度算会出错。 6.焦点与准线是极点极线特例 焦点，对应极线为准线，可以套极线公式验证，不要记混。 7.工具选择误区 看到斜率关系多：优先齐次化； 看到坐标轴上定点、分点：优先定比点差； 8.自极三角形互逆关系 自极三角形：极线，极线，极线，三者全部成对，只记一个容易搞错。 必考题型全归纳： 题型一 点、极线的定义与几何意义 1. 二次曲线替换法则（写极线方程通用口诀） 对二次曲线一般方程，做替换：，常数项不变，得到的就是极点对应的极线方程。 3. 几何意义（极点位置分三类） 1.极点在曲线上：极线=过该点的切线； 2.极点在曲线内部：极线是过该点所有弦两端切线交点的轨迹，极线与曲线相离； 3.极点在曲线外部：极线落在曲线内部的部分是切点弦，极线和曲线相交；外部部分是割线端点切线交点轨迹。 1．已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． (1)求的方程； (2)证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 解析:（1） （2）极点极线背景分析：与交点，与交点，与交点构成自极三角形，根据对称性可知，在直线上，为其极点，所以，即． 2．已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上． 【答案】(1)(2)证明见解析 解析  （1）双曲线中心为原点，左焦点为，离心率为，则，解得， 故双曲线的方程； （2）由于是和的交点，是和的交点，是和的交点，、、形成自极三角形，为极点，为其对应极线，根据极点极线知识可得两点符合调和共轭，即，所以． 题型二 完全四边形、自极三角形 1. 完全四边形 四条无三线共点的直线相交，得到6个交点；三组对顶点连线叫三条对角线，构成完全四边形。 2. 自极三角形核心性质 三角形任意一个顶点作为极点，它的对边就是该极点对应的极线。 构造方式：过点作两条圆锥曲线割线，交曲线于；，，则就是自极三角形： 的极线是；的极线是；的极线是。 高考作用：题目背景经常隐藏自极三角形，用来快速看出定点、定直线；考场不能直接写自极三角形结论当过程，只能做背景分析、猜答案，正式解答要用定比点差、齐次化、联立。 3．如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点．直线与直线交于点．当点异于，两点时，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【详解】解析  【背景分析】易求得椭圆的方程为，由于是和的交点，是和的交点，是和的交点，、、形成自极三角形，为极点，为其对应极线，即，所以．法一（齐次化）：因为（第三定义），令，，且，，所以，将椭圆向右平移1个单位，得，，联立即，同除以，即由于，所以． 法二：定比点差令，且，，、、三点共线，故，、、三点共线，故，两式相除消掉得：，所以，所以． 法三：两点对合式方程 令，，，，，，，（自证），，所以． 4.已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与粗圆有两个不同的交点、． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的最大值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求． 【答案】(1) (2) (3) 解析  （1）． （2）设直线的方程为，，，由 消去可得：，则，即，，，则，易得当时，，故的最大值为． （3）极点极线背景分析：如图所示，以点为极点，其所对应的极线方程为，我们作其极线交于，交延长线于点，与交于，于交于，则构成自极三角形，则，由于点恰好为，的中点，也即有，要构造的斜率，其必须在调和线束上，故以作为射影中心，一定有，所以直线在直线上的射影在无穷远点，即．由此知． 如果用调和线束的斜率公式来解读，则会有，；，为调和线束，由于，则一定有，，由于不在曲线上，加上的横坐标来自自极三角形，考场中证明相对比较复杂，故本题选择解读翻译调和点列，由于极点在轴上，故选择定比点差是最优解． 书写过程：设，，，，设，，根据定比点差（略）得： ①，②，故③，由于CD过定点，故④，结合③④可得，即． 题型三 单比、交比，射影不变性 1. 单比（有向线段） 共线三点单比，带符号。角元形式用直线有向角计算。 2. 点列交比 共线四点，交比：基点偶；分点偶。 角元形式：外点连接四点，交比等于线束四条直线的有向角正弦之比，只看角度，与线段长短无关。 3. 交比射影不变性 从一点出发四条直线，被两条不同截线截取得到两组四点列，交比相等。 这是调和点列、调和线束全部推导的理论根基。 5．已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，（，分别异于，）． (1)求实数的取值范围； (2)若，用含的式子表示四边形的面积； (3)当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 解析  （1）因为圆的方程为：，所以其圆心为，半径为2，又直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离，所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）当时，设，，则，，联立，可得，所以，，所以， 所以，因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积为； （3） （梯形中点证明）：如图，过作轴，由于，所以，， 又因为梯形，故，所以，所以，，由于，故，所以点在定直线上运动． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，、为椭圆上的两个动点，当，关于原点对称时，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)若存在实数使得，过点作直线的垂线，垂足为，直线是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 解析  （1）椭圆的方程为； （2）与调和点列相关的题型，只要极点在坐标轴上，一般选择定比点差作为最佳方法． 因为，所以、、三点共线，令，，，由定比分点公式得，，则在直线上必存在一点，满足，所以，因为、均在椭圆上，则，得，所以有：，，所以可得：，故．令交轴于，由于，所以，所以，故存在点，满足题意． 题型四 调和点列、调和线束，平行—中点定理 当交比，称为调和点列；从一点引出四条直线截出调和点列，则四条直线叫调和线束。 1. 完全四边形推论 完全四边形对角线自动生成调和点列；调和梯形模型：若一条线束调和，存在一条截线与其中一条直线平行，则平行直线截得线段中点。 调和线束平行中点定理： 为调和线束；若截线，则截出来的两个交点以截线与交点为中点。 通俗：调和线束出现一组平行线，就会出现中点。 2. 坐标轴上的特例（高频考题） 1.极点在轴上：优先定比点差法； 2.出现平行于坐标轴直线，利用调和梯形直接读出中点，简化计算。 7．已知椭圆，其离心率，长轴长为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的上、下顶点分别为、，右顶点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，点与点关于轴对称，直线交于，直线交于点，点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 解析  （1）； （2）极点极线背景分析：、关于轴对称，符合角平分线构造调和点列模型，设、分别交轴于点、，为椭圆左顶点，则，利用交比不变性，所以，又，所以通过平行四边形得：． 8．已知椭圆过点，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求的值． 【答案】(1) (2)1 解析  （1）； （2）极点极线背景分析： 方案一：可以理解为半梯形调和平行弦，我们也可以将其还原成调和梯形，以为极点，其对应极线为直线，即直线，如右图所示，连接并延长交于，由于，，，这四点是调和点列，则、、三点共线，且，．也可以将作为射影中心，，由于，利用调和线束平行中点定理，故，所以． 解答过程（定比点差）：略（参考第七节） 方案二：，则、、、为调和线束，分别记它们斜率为、、、，由于，所以根据调和线束的斜率公式可得：，再分析与轴平行的，且，故为中点． 解:（齐次化）：要证只需证，将椭圆按照向量平移，则，即，，，令，代入得：，联立得：，同除以得：，，故． 题型五 调和线束斜率公式 核心公式 设四条直线构成调和线束，斜率全部存在，则： 两个重要特殊情形 1.若（两条直线斜率互为相反数，关于x轴对称），得到斜率倒数等差； 2.若某条直线平行坐标轴，直接得到中点结论： 中线平行轴： 中线平行轴： 9．已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 解析（1）椭圆的方程为； （2）极点极线背景分析：本题给到定点作为极点，我们求出它的极线方程，如图，即是过椭圆左顶点和上顶点的连线，设与交于点，则，，，是调和点列，因为轴，我们分别用坐标和斜率两个角度来分析． 方案一：如左图，由调和点列的平行中点定理，按照交比不变性分析，以作为射影中心，，所以． 方案二：如右图，由于，，，是调和点列，则、、、为调和线束，分别记它们斜率为、、、，由于，所以，再分析与轴平行的，且，根据中点斜率公式可知．综合方案一和二，方案一在解读调和点列时，由于极点不在坐标轴上，利用定比点差解读需要更大的计算量，而按照斜率角度来解读，直接将移到原点构造齐次化（斜率对合）方程，本题就可以轻松拿到结果，故本题最佳解答方法为齐次化． 解答过程（齐次化）：略（参考第六节） 解答过程（两点对合）：令，，令，， 由于，， 故，均在同构方程上， 即的对合方程是，同除以，即；由于过定点，所以； 根据题意：，，所以，所以，所以线段的中点为定点． 10．已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程 (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值． 【答案】(1) (2) 解析：（1） （2）极点极线背景分析：本题给到极点，我们求出它的极线方程，如左图，即是过椭圆左顶点和上顶点的连线，设与交于点，则，，，是调和点列，因为轴，方案一：由调和点列的平行中点定理知，所以，又因为由此知点的坐标为，故，联立，易解得，，． 方案二：如右图，由于，，，是调和点列，则、、、为调和线束，分别记它们斜率为、、、，由于，所以，再分析与轴平行的，且，根据中点斜率公式可知，求出或者的坐标后联立，也可以直接利用斜率齐次化方程直接构造，，从而算出，从而得到，本题最优解答就是齐次化，计算量小． 巩固提升： 1．已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 解析（1）双曲线中心为原点，左焦点为，离心率为，则，解得， 故双曲线的方程； （2）由于是和的交点，是和的交点，是和的交点，、、形成自极三角形，为极点，为其对应极线，根据极点极线知识可得两点符合调和共轭，即，所以． 2．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 解析  （1）椭圆的方程为； （2）极点极线背景：显然直线是点所对应的极线，设，则有，，，是调和点列，进而有，，，是调和线束，用轴来截取调和线束，因为为的中点，由调和线束平行中点定理知轴，必然有轴；涉及调和点列坐标翻译的最佳方法是定比点差． 3．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，两点． (1)求的方程； (2)设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】解析  （1） （2）极点极线背景分析： 如下左图，连接，设与交点为，的方程为，而以为极点的极线方程为：，即，恰好是，则有，，，是调和点列， 方案一：由于，且，根据交比不变性，一定有，故、、三点共线，直线必过定点． 方案二：如右图，由于，，，是调和点列，则、、、为调和线束，分别记它们斜率为、、、，由于，根据调和线束斜率公式得：，再分析与轴平行的．，则一定有，故、、三点共线． 本题由于极点不在坐标轴上，解答的最佳方法为齐次化，参考第七节． 4已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程；答案： (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．答案： 【高观点简析】记，点B的极线过点A，设极线与PQ交于点D，则B，P，D，Q为调和点列，AB，AP，AD，AQ为调和线束，而AB平行y轴，故MN的中点为y轴于极线的交点 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得，则 ，所以线段的中点是定点. 5. 已知直线 与圆 , 点 , 则下列说法正确的 是 ( ) A. 若点 在圆 上,则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内, 则直线 与圆 相离 C. 若点 在圆 外,则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上, 则直线 与圆 相切 解：，若此点为极点，则对应极线刚好是 如果极点在圆内，则极线在圆外，与圆相离，如果极点在圆外，则极线在圆内，与圆相交，如果极点在圆上，则极线与圆相切，因此正确 6.已知椭圆的两焦点为，点满足，则的取值范围为________，直线与椭圆的公共点个数________. 解：依题意知，点在椭圆内部且与原点不重合.画出图形，由椭圆方程得，由数形结合可得，当点在线段上除原点时，，当在椭圆上时，，故的取值范围为.因为在椭圆的内部，则直线为对应的极线，在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个. 答案：. 7.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为.设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中. （1）设动点满足，求点的轨迹； （2）设，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）. 解：（1）设点，则：. 由，得，化简得. 故所求点得轨迹为直线. （2）将分别代入椭圆方程，以及，得 直线方程为：，即， 直线方程为：，即. 联立方程组，解得：，所以点的坐标为. （3）点的坐标为 直线方程为：，即， 直线方程为：，即. 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到， 解得：. 方法1：当时，直线方程为：， 令，可得，即为， 令，解得：.此时必过点； 当时，直线方程为：，与轴交点为. 所以直线必过轴上的一定点. 方法2：若，则由及，得， 此时直线的方程为，过点. 若，则，直线的斜率， 直线的斜率，得，所以直线过点. 因此，直线必过轴上的点. 方法3：由极点极线定义可知，弦与交点为极点，点所在的直线为极线，所以与为同一直线.， 所以，即恒过 8.设椭圆过点，且左焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）当过点的动直线与椭圆交于两个不同的点时，在线段上取点，满足，证明点总在某定直线上. 解：方法1：解：（1）由题意得， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设点的坐标分别为. 由题设知均不为零，记，则且 又四点共线，从而 于是， 从而，， 又点在椭圆上，即，， +×2并结合、得，即点总在定直线上. 方法2：（1）易求得答案. （2）由条件可有，说明点关于圆锥曲线调和共轭. 根据定理2，点的轨迹就是点对应的极线，即，化简得. 故点总在定直线上. 9.已知椭圆过点，其长半轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线与椭圆相交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，记与的面积分别为，求的最大值. 方法1：（1）由已知可得，且， 解得，所以椭圆的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0， 则设直线的方程为：，联立方程，消去整理可得：所以，因为为点关于轴对称点，所以，所以直线的方程为：，即，令， 则 ， 所以点的坐标为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为. 方法2：点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为. 由极点极线可知，为极点，直线与交点轨迹为极线，点为极线与轴交点.极点为，曲线方程为，所以极线为，即，所以点的坐标为，剩下的同方法一. 10.已知椭圆过点，其长半轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线与椭圆相交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围. 解：（1）由已知可得，所以椭圆的方程为， 因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为：. （2） 由题意，知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为：， 由，得，因为所以，因为为点关于轴对称点，所以， 所以直线的方程为：，即，令， 则， 所以，所以的面积 ， 令，则，所以， 因为，所以，所以的面积的取值范围为. 11.已知椭圆的离心率，分别为左、 右焦点，点在椭圆上，的面积最大为. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为.过定点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线和直线相交于椭圆外一点，求证：点的轨迹为定直线. 解：（1）由题意，椭圆的离心率为，的面积的最大值为， 所以，解得，所以椭圆的方程为； （2）证明：方法1：由题意，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为：， 由，消去整理可得：， 则，所以， 由三点共线可得：， 由三点共线可得：，两式相除可得： ， 解得，综上，点在定直线上. 方法2：由极点极线可知，定点为极点，直线和直线交点的轨迹为极线.极点为，曲线方程为，所以极线为，即 12.已知椭圆的离心率，上、下顶点分别为 ，直线经过点，且与椭圆交于两点，当时，四边形 的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交于点，试判断点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 解：方法1：（1）当，可得为的中点，则直线， 由可得，解得，则， 由四边形的面积为，可得，则， 又，解得，所以椭圆的方程为； （2）由题意可得直线的斜率存在，设为，其方程设为， 与椭圆方程联立，可得， 设，则，两式相除可得， 由，可得直线的方程为，即， 的方程为，即， 联立，可得， 所以点在定直线上. （2）由极点极线可知，为极点，对应的点轨迹为极线. ，极线为 13.已知双曲线实轴端点分别为 ，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线交于两点，试探究是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 解：方法1：（1）设直线的方程为，联立，得， 又，代入上式得，所以，即， 所以，解得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立得 所以， 所以直线的方程为，直线的方程为， 所以，两边平方得，又因为， 所以 所以，所以，或（舍去），所以定直线方程为. 方法2：（1）同方法1 （2）由极点极线可知，为极点，直线与直线的交点的轨迹为极线. ，极线为 14.已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与相交于点，证明：点在定直线上. 解：（1）因为椭圆的离心率，∴，∴，又，∴. 因为，所以，所以椭圆的方程为. （2）方法1：设直线， 得，所以， 直线的方程为，直线的方程为， 由对称性可知：点在垂直于轴的直线上，联立可得. 因为，所以， 所以点在定直线上. 方法2：设两两不等，因为三点共线， 所以， 整理得： 又三点共线，有，又三点共线，有， 将与两式相除得： ， 即， 将即，代入得 解得，或（舍去），（因为直线与椭圆相交故） 所以在定直线上. 方法3：由极点极线可知，为极点，直线与直线的交点的轨迹为极线. ，极线为 15.已知分别是双曲线的左、右顶点，直线（不与 坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于两点. （1）若，求直线的方程； （2）若直线与相交于点，证明：点在定直线上. 解：（1）设直线的方程为，设 由得，则， ，可得， 即有，，将代入可得， 解得，即， 可得直线的方程为或； （2）方法1：证明：由， 可得直线的方程为，直线的方程为， 设直线与的交点为， 故，即， 进而得到，又， 故，解得，故点在定直线上. 方法2：由极点极线可知，为极点，直线与直线的交点的轨迹为极线. ，极线为 16.已知椭圆与轴的交点为（点位于 点的上方），为左焦点，原点到直线的距离为. （1）求椭圆的离心率； （2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上. 解：（1）设的坐标为，依题意有，∴椭圆的离心率. （2）方法1：若，由（1）得，∴椭圆方程为. 联立方程组，化简得： 由，解得：，由韦达定理得：设， 的方程为：，直线的方程为， 由解得： 即，∴直线与直线的交点在定直线上. 方法2：由第一问可知椭圆方程为，设与轴的交点为，为和的交点，连接相交于点，则点的极线为直线，其方程为，即，说明与的交点在定直线上. 17.已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由. 解：（1）设椭圆的方程为， ∵，∴，∴椭圆的方程为. （2）方法1：取，得， 直线的方程为，直线的方程为，交点为. 若，由对称性可知， 若点在同一条直线上，由直线只能为. 以下证明对于任意的，直线与的交点均在直线上， 事实上，由，得，即， 记，则， 记与交于点，由，得， 记与交于点，由，得，∵ ∴，即与重合， 这说明，当变化时，点恒在定直线上. 方法2：直线过定点，易知点在椭圆内.可知极点关于椭圆得极线方程为，由题意可知，点在极点关于椭圆的极线上，则点恒在定直线上. 18.椭圆有两顶点，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点.直线与直线交于点. （1）当时，求直线的方程； （2）当点异于两点时，求证：为定值. 解：（1）∵椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由已知得，所以，椭圆的方程为， 当直线与轴垂直时与题意不符， 设直线的方程为， 将直线的方程代入椭圆的方程化简得， 则， ∴， 解得.∴直线的方程为； （2）方法1：证明：当直线与轴垂直时与题意不符， 设直线的方程为，∴点的坐标为， 由（1）知， 且直线的方程为，直线的方程为， 将两直线联立，消去得， ∵，∴与异号， ， ， ∴与异号，与同号， ∴，解得，故点坐标为， ，故为定值. 方法2：点对应的极线方程为：，由题意知点在极线上，所以，所以为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $