微专题6 解三角形中的“三线”问题导学案——2027届高三数学一轮复习

微专题6　解三角形中的“三线”问题 视角一　三角形的高线问题 例1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：在△ABC中，有 (1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC； (2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD； (3)a＝c·cos B＋b·cos C． 　跟踪训练　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin 2A－sin B cos C＝sin C cos B，b2＋c2－a2＝20. (1)求A； (2)若AC边上的高为2，求sin B sin C. 视角二　三角形的角平分线问题 例2 (2026·聊城模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(b－a＋c)－3ac＝0. (1)求B； (2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，且AD＝2DC＝，求BD. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线， (1)角平分线定理：； (2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积． 　跟踪训练　(2026·漯河模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A＝a－c. (1)求角B； (2)若BD是△ABC的一条内角平分线，b＝4，BD＝，求△ABC的周长． 视角三　三角形的中线问题 例3 (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)可根据两角互补或面积相等用正弦、余弦定理建立方程求解． (2)采用向量法使问题简化：在△ABC中，若D为边BC上的中点，则，两边平方即可得到三角形边长之间的关系． 　跟踪训练　(2026·保定模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c－b＝a cos C＋c cos A. (1)证明：c＝2b； (2)记AB的中点为D，若CD＝3，且a＝b＋2，求△ABC的周长． 微专题6　解三角形中的“三线”问题 例1　解析：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin ＝sin ， 展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A， 又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0， 所以sin A＝. (2)由正弦定理， 得BC＝×sin A＝. 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 得52＝AC2＋2－2AC·3cos ， 整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2， 由(1)得，tan A＝3>，所以<A<， 又A＋B＝，所以B>， 即C<B，所以AB<AC，所以AC＝2. 设AB边上的高为h，则×AC×BC sin C， 即5h＝2＝30， 解得h＝6， 所以AB边上的高为6. 跟踪训练　解析：(1)由sin 2A－sin B cos C＝sin C cos B得，2sin Acos A＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A， 因为sin A≠0，则cos A＝，0<A<π，故A＝. (2)由(1)知A＝，则sin A＝，由余弦定理得cos A＝， 因为b2＋c2－a2＝20，所以bc＝20，AC边上的高为2， 由等面积法得S△ABC＝bc sin A＝，解得c＝4，所以b＝5， a2＝b2＋c2－20＝21⇒a＝. 由正弦定理得，解得sin B＝，sin C＝，故sin B sin C＝. 例2　解析：(1)因为(a＋b－c)(b－a＋c)－3ac＝0，所以b2－(a－c)2－3ac＝0， 所以－ac＝a2＋c2－b2，所以cos B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为AD＝2DC＝，所以b＝， 因为BD平分∠ABC，所以＝2，即c＝2a， 由(1)知，－ac＝a2＋c2－b2，解得a＝1，c＝2， 因为S△ABC＝S△ABD＋S△DBC，所以ac sin B＝a·BD sin c·BD sin ， 整理得BD＝. 跟踪训练　解析：(1)由已知及正弦定理得sin A cos B－cos A sin B＝sin A－sin C， ∵A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，sin A>0， ∴sin A cos B－cos A sin B＝sin A－sin (A＋B)＝sin A－sin A cos B－cos A sin B， ∴2sin A cos B＝sin A，∴cos B＝，∴B＝. (2)在△ABC中，由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD， 可得ac sin ∠ABC＝BD·c·sin ∠ABD＋BD·a·sin ∠CBD. 又BD平分∠BAC，则∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝， ∴， 整理得3(a＋c)　①. 又由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，即a2＋c2－ac＝16， 则有16＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－(a＋c)　②， 由①②解得a＋c＝2或a＋c＝－(舍)， 所以△ABC的周长为2＋4. 例3　解析：(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2×， 解得DC＝2， 所以BD＝DC＝2，a＝4. 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7， 所以c＝. 在△ADC中，由余弦定理得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝1＋4－2＝3， 所以b＝. 在△ABC中，由余弦定理得cos B＝， 所以sin B＝. 所以tanB＝. (2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC. 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理得， 得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理得cos ∠BAC＝， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝ ＝， 解得bc＝4. 则由解得b＝c＝2. 跟踪训练　解析：(1)证明：在△ABC中利用正弦定理，化简c－b＝a cos C＋c cos A， 得sin C－sin B＝sin A cos C＋cos A sin C，即sin C－sin B＝sin (A＋C)， ∵A＋B＋C＝π，∴sin B＝sin (A＋C)，则sin C－sin B＝sin B，即sin C＝2sin B， 利用正弦定理可得c＝2b. (2)∵c＝2b，则AD＝BD＝b， 在△ACD中由余弦定理的推论，得cos ∠ADC＝， 在△BCD中由余弦定理的推论，得cos ∠BDC＝， ∵cos ∠ADC＋cos ∠BDC＝0，得a2－b2＝18，即(a－b)(a＋b)＝18， 又a＝b＋2，则a＋b＝9，解得a＝，则c＝2b＝7， 则△ABC的周长为a＋b＋c＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $