微专题5　三角函数中ω的范围问题导学案-2027届高三数学一轮复习

微专题5　三角函数中ω的范围问题 视角一　单调性与ω的取值范围 ［听课笔记］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围： (1)根据题意可知区间［x1，x2］的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即x2－x1，求得0＜ω≤ (2)以单调递增为例，利用［ωx1＋φ，ωx2＋φ］⊆(k∈Z)，解得ω的范围； (3)结合第二步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围． 　跟踪训练　(2026·武汉模拟)若函数f(x)＝在区间上单调，则ω的取值范围为________． 视角二　最值(值域)与ω的取值范围 例2已知函数f(x)＝2 cos⁡(ωx＋φ) （ω>0，0<的图象经过点(0，1)，若f(x)在上有且只有两个最值点，则ω的取值范围是(　　) A．(10，16] B．(10，12] C．(8，16] D．(8，12] 学霸笔记：三角函数的最值(值域)与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． 　跟踪训练　已知函数f(x)＝cos 在x∈［0，2π］上的值域为，则ω的取值范围是________． 视角三　零点与ω的取值范围 例3 (链接·2023年新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值． 　跟踪训练　(2026·邯郸模拟)若函数f(x)＝2cos －(ω>0)在区间[0，2]上恰有两个零点，则ω的最小值为(　　) A． B． C． D． 视角四　对称性与ω的取值范围 例4 已知ω>0，f(x)＝sin 在上有且仅有一条对称轴，则ω的取值范围为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：若已知三角函数的对称性(奇偶性)，则根据三角函数的对称性(奇偶性)研究其周期性，进而运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而求出ω的取值范围． 　跟踪训练　已知函数f(x)＝2sin ·，若f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是________． 微专题5　三角函数中ω的范围问题 例1　解析：∵x∈，∴t＝ωx＋，又函数y＝sin t在上单调递增，∴解得0<ω≤ 答案： 跟踪训练　解析：当x∈，依题意，，ω>0，解得0<ω，所以ω的取值范围为 答案： 例2　解析：由函数f(x)＝2 cos⁡(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，所以f(0)＝2 cos⁡φ＝1，由于0<φ<，则f(x)＝2，可得ωx 因为f(x)在上有且只有两个最值点，则≤3π，所以10<ω≤16.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：因为x∈，f(0)＝又函数f(x)＝∈[0，2π]上的值域为，若ω>0，由余弦函数图象可知，存在x∈［0，2π］，使f(x)，不符合题意，所以ω<0，由x∈［0，2π］，得到ωx－， 由余弦函数图象可知，≤－π，解得－ 答案： 例3　解析：函数f(x)＝cos⁡ωx－1在区间［0，2π］上有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间［0，2π］有且仅有3个根，因为ω>0，x∈［0，2π］，所以ωx∈［0，2ωπ］，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π，解得2≤ω<3，即ω的取值范围是［2，3）． 答案：［2，3） 跟踪训练　解析：因为 ω>0，所以当 x∈［0，2］ 时，ωx∈［0，2ω］，则ωx．令f(x)＝0，可得 cos ＝，要使得f(x)在区间[0，2]上恰有两个零点，则＋2ω<，解得≤ω<，故ω的最小值为.故选B. 答案：B 例4　解析：∵函数f(x)的图象在区间上有且仅有一条对称轴，ω>0，∴函数f(x)的周期T≥π－，∴ω＝≤4，令ωx－＋kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，∴(k∈Z)，整理得(k∈Z)，∴0≤k≤3且k∈Z， 当k＝0时，原不等式可化为解得<ω<； 当k＝1时，原不等式可化为解得<ω≤； 当k＝2时，原不等式可化为解得； 当k＝3时，原不等式可化为无解． 综上所述，实数ω的取值范围是∪∪. 答案：∪∪ 跟踪训练　解析：因为f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，所以≥4π－3π，又ω＞，所以＜ω≤1.又kπ＋≤3ωπ－，且kπ＋π＋≥4ωπ－，k∈Z，解得，k∈Z.当k＝0时，，不满足＜ω≤1；当k＝1时，，符合题意；当k＝2时，，符合题意；当k＝3时，，不满足＜ω≤1.综上，ω的取值范围是． 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $