陕西省西安中学2026-2027学年高二上学期第一次综合评价数学试题

陕西省西安中学高2028届高二第一次综合评价 数学试题 （时间：120分钟满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A． B． C． D． 2．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 4．已知平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为，则与夹角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线l的斜率为k，，直线l在两坐标轴上的截距相等，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，若过点的直线l与线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 8．已知平行六面体的所有棱长均为2，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则点M是边的中点 B．若，则点M在边的延长线上 C．若，则点M是的重心 D．若，且，则的面积是面积的 10．已知直线，则下列说法正确的是（ ） A．直线l恒过定点 B．若直线l与直线垂直，则 C．若直线l在x轴上的截距为3，则 D．若，则直线l的倾斜角的取值范围为 11．在棱长为4的正方体中，点M满足，点N在底面内，且，则（ ） A．当时， B．当时， C．直线BN和平面所成角的余弦值为 D．线段MN长度的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数z的虚部为，，在复平面内z对应的点位于第二象限，则                  ． 13．某工厂的A，B，C三个车间生产同一种产品，产量占比分别为20%，50%，30%．现在用分层随机抽样方法按比例分配从这三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则A车间应抽取                  件；若A，B，C三个车间产品的平均使用寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则该样本的方差为                  ． 附：，其中为每层占比，为每层平均数，为每层标准差，为总体平均数． 14．如图，一个三棱锥，已知底面ABC是一个等腰直角三角形，，，侧面是一个等边三角形，二面角为，则                  ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分） 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的斜截式方程． 16．（本小题15分） 如图，已知点P在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的． （1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积； （2）求点A到平面的距离． 17．（本小题15分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 18．（本小题17分） 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示． 某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商对未摘下的芒果提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购． （1）求抽取的100个芒果质量的平均数； （2）若按分层随机抽样从质量为，的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率； （3）种植园选择哪种方案获利更多． 19．（本小题17分） 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若点M在线段，（M与E，F都不重合）上运动，设平面与平面所成的角为，试求的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $