江苏南京外国语学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一阶段练习

2026-2027学年第一学期南京外国语学校九年级数学第一阶段练习 时间：120分钟；满分：120分 一、选择题（每题2分，共12分） 1．在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（ ） A．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 B．圆的直径互相平分 C．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧 D．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 2．已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数的图象经过点，则它的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 4．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图，设小矩形的长和宽分别为，，剪去部分的面积为20，若，则与的函数图象是（ ） A． B． C． D． 5．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元/件时，平均每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（ ） A． B． C． D． 6．欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，作，使，，，以为圆心，为半径画圆，交射线于点、，则这个方程较小的实根是（ ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 二、填空题（每题2分，共20分） 7．已知点，在反比例函数的图象上．则__________． 8．将一元二次方程用配方法，化为的形式，得：__________． 9．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，则该药品平均每次降价的百分率是__________． 10．如图，函数和的图象交于点，，若，则的取值范围是__________． 11．如图，是的直径，是的中点，若，则的度数为__________． 12．当宽为3 cm的刻度尺的一边与相切于点时，另一边与的两个交点，处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为__________cm． 13．圆锥的母线长为4 cm，底面圆的半径为1 cm，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是__________． 14．如图，，是的切线，切点为，，点，在上，若，则__________． 15．已知直角三角形的两直角边分别长为15，8，则其内切圆的半径为__________． 16．如图所示，，，，所对的圆心角为．分别在，线段和上选取点，，．要使得线段，，之和最短，此时的值为__________． 三、解答题 17．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）； （2）． 18．（8分）如图，的弦，的延长线交于点． （1）若的度数为，的度数为，求． （2）若，求证：． 19．（7分）已知的一条边的长为5，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若是等腰三角形，则的周长为__________． 20．（8分）园林部门准备在一块长25米，宽20米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为440平方米，求小路的宽度． 21．（8分）如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长．（结果保留） 22．（6分）如图1，的边在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，延长线段交的图象于点，连接，，则的面积=__________． 23．（8分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） （1）过外一点作的切线． （2）给定和长度为的线段，过圆外一点作一条直线交于，两点，使得弦长度为． 24．（8分）综合与实践 【提出问题】密度计中蕴含哪些数学知识？ 【分析问题】密度计不管放在哪种液体里，都是漂浮状态，所以它受到的浮力永远等于自身的重力，重力不变，浮力就不变． ，，， ， ． 因为密度计的型号一旦确定，和就是确定的，所以与成反比例函数． 【解决问题】（1）下列说法正确的是_________（填序号） ①增大，增加；②增大，减小； ③密度均匀增加时，深度的变化量相同； ④密度计刻度数值上小下大，刻度间距上疏下密． （2）综合与实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度（假设该密度计上下粗细均匀）．当该密度计竖直漂浮在酒精中时，露出酒精液面高度为；竖直漂浮在水中时，露出水面高度为；竖直漂浮在某盐溶液中时，露出液面的高度为，求①该盐溶液的密度；②该密度计可以测量的液体密度应大于多少？（参考数据：，） 25．（8分）背景材料：舞台旋转光束．在平面直角坐标系中，固定一个圆形道具盘（圆），圆心为，半径．舞台中心处有一束张角固定为且可以绕逆时针方向旋转的探照灯，在探照灯旋转过程中，形成半径大于3的扇形光束，圆盘落在扇形内的部分为照亮区域．设角平分线为，从轴正半轴出发，当旋转的角度为时，照亮区域的面积为，其中． 示意图如下： （1）当时，的取值范围为_________． （2）请从对称性，增减性，最值三个方面描述的性质． 26．（8分）若一元二次方程有两个实数根，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系． （1）不解方程，求一元二次方程的两个根的倒数和． （2）小艺同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，，，，，． 设，，则，即，解得． 所以原方程的解为，． 请利用小艺的方法解方程． （3）小董同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以得．若该方程的三个根分别为，，，则，将其展开后为，于是，，． 若三次方程的三个根分别为，，，则有，，，请直接写出一个一元三次方程且使得该三次方程的三个根分别为，，． 27．（11分）在学习完“圆”这一章内容后，同学们会感受到：一些有关三角形、四边形的几何问题，如果与圆相结合，运用圆的相关知识，就能使问题的解决呈现出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的妙境． （1）【学习心得】例如：如图①，在中，，，是外一点，且，在求的度数时，如图②，若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，则_________． （2）【初步运用】如图③，在四边形中，，，则_________； (3)【问题迁移】如图④，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点，若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (4)【深入研究】在图④的基础上，若点的坐标为，点的坐标为，为线段上的点，若满足的点恰好有两个，请直接写出的取值范围为_________． 学科网（北京）股份有限公司 $