精品解析：江苏省南通市通州区育才中学2025-2026学年上学期九年级数学第二次月考试题

2025~2026学年（上）初三阶段性学业水平质量监测数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ） A. 18cm2 B. C. 27cm2 D. 8. 如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且，已知，．种花的面积可能为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，对角线，垂足为点，过点作于点，与相交于点．已知，则当时，下列三角形中，面积一定能求出的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第11~12小题每小题3分，第13~16小题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设__________． 12. 一个不透明的袋子中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有______个． 13. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．如图所示，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是__________． 14. 如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为___________． 15. 正方形和正方形如图放置，连接、和，若，，．则的长为__________． 16. 在平面直角坐标系中，已知三点，其中，双曲线分别与线段交于点． （1）当时，则点的坐标为__________． （2）若，则的值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）求中锐角的值． 18. 如图，在中，点分别在的边上，且，，求的长． 19. 如图，顶点均在方格的格点上，请按下列要求完成作图． （1）作绕原点按顺时针方向旋转的图形，则点经过的路径长为_____； （2）以原点为位似中心，在第一象限内，作出，使与的相似比为． 20. 在一个不透明的纸箱里，有分别标有汉字“育”“才”“锦”“绣”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是_____； （2）小红从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率． 21. 一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 22. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集： （3）若是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 23. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点． 求作：的一条切线，使这条切线经过点． 作法： ①连接并延长交于点； ②以点为圆心，长为半径在上方画弧； ③以点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点； ④连接，交于点： ⑤作直线．则直线即为所求． （1）根据小芸设计的尺规作图过程完成证明； （2）连接，若，且为中点，求的长． 24. 已知二次函数．该二次函数图象与轴有且只有个交点， （1）求的值． （2）若点在抛物线上，且到轴的距离小于，求的取值范围． （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方．当线段的长度随的增大而减少时，求的取值范围． 25. 将矩形纸片按如图1上下对折，折痕为；点是边上的点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图2，当点刚好落在上时，则_____； （2）若． ①如图3，当点刚好落在对角线上时，求的长度； ②当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年（上）初三阶段性学业水平质量监测数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，据此判断即可． 【详解】解：∵天气情况的变化是随机的，明天可能晴也可能不晴， ∴“杭州市区明天天晴”这一事件可能发生也可能不发生， ∴它是随机事件． 故选：B． 2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆内时，点到圆心的距离与半径的大小关系是解题关键． 【详解】解：∵的半径为3，点P在内， ∴， ∵选项中只有， ∴的长可能是2， 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查顶点式二次函数的性质，根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接读出给定抛物线的顶点坐标． 【详解】∵， ∴ 顶点坐标为 故选 D． 4. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴； 故选C． 5. 若在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，得出，即可求解． 【详解】解：∵根据在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大， ∴， A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C，D选项中的点在坐标轴上不在反比例函数图象上，不合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了根据反比例函数的增减性求参数，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 6. 若，且，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，且，，， ，即， ， 故选：D． 7. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ） A. 18cm2 B. C. 27cm2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：底面周长是2×3π=6π， 则圆锥的侧面积是：×6π×6=18π（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 8. 如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且，已知，．种花的面积可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，根据矩形的性质结合图形列出关于x的函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为450， 故种花的面积小于等于， 故只有选项C符合题意； 故选C． 9. 已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的图象和性质；根据一次函数过点得到一次函数解析式，分别讨论当时，当时的函数图象，再结合题意列出不等式，计算求解即可． 【详解】解：将点代入，得， 解得，故一次函数为． 当时，代入，， 反比例函数过第一、三象限， 当时， 一次函数，过第二、三、四象限， 不满足当时，恒成立， 当时，如图， 当时，， ∵当时，恒成立， ∴， 解得：， 故选：B． 10. 如图，在四边形中，对角线，垂足为点，过点作于点，与相交于点．已知，则当时，下列三角形中，面积一定能求出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，先设，再说明，可得，然后根据，即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 所以面积一定能求出的是． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12小题每小题3分，第13~16小题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反证法，反证法的第一步是假设结论不成立，据此进行作答即可． 【详解】解：由题意，首先应假设； 故答案为： 12. 一个不透明的袋子中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】首先求出摸到的红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球的个数． 【详解】解：∵摸了100次后，发现有30次摸到红球， ∴摸到红球的频率是． ∵袋子中有红球、白球共20个， ∴这个袋子中红球约有（个）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值此即概率，同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：根据=所求情况数与总情况数之比． 13. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．如图所示，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可得到答案； 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到：， 解得， 即蜡烛火焰的高度是. 故答案为：6． 14. 如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据已知条件推出是解题的关键．连接、、，根据题意可得，，利用角的和差得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接、、， ∵为的内接正三角形的一边， ∴， ∵为的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵是圆内接正边形的一边， ∴， 故答案为：12． 15. 正方形和正方形如图放置，连接、和，若，，．则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键.连接，证明，进而推出，在中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3 16. 在平面直角坐标系中，已知三点，其中，双曲线分别与线段交于点． （1）当时，则点的坐标为__________． （2）若，则的值为__________． 【答案】 ①. ## ②. 2 【解析】 【分析】本题主要一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，求出点D和点E的坐标是解题的关键． （1）求出反比例函数解析式和直线的解析式，再联立两解析式求出点D的坐标即可； （2）根据点A和点C的坐标可得点E的横坐标为t，则可求出点E的坐标，同（1）求出点D的坐标，根据建立方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，反比例函数解析式为，， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去） ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）∵，， ∴轴， ∴点E的横坐标为t， 在中，当时，， ∴； 直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去） ∴点的坐标为， ∴ ， ， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）求中锐角的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的余弦值是解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 由， 可得， ， ． 18. 如图，在中，点分别在的边上，且，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 19. 如图，顶点均在方格的格点上，请按下列要求完成作图． （1）作绕原点按顺时针方向旋转的图形，则点经过的路径长为_____； （2）以原点为位似中心，在第一象限内，作出，使与的相似比为． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转和位似，熟练掌握旋转的性质，位似的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出，弧长公式求出的长即可； （2）根据位似的性质，画出即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理，得， ∴点经过的路径长为； 【小问2详解】 略 20. 在一个不透明的纸箱里，有分别标有汉字“育”“才”“锦”“绣”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是_____； （2）小红从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率． 【答案】（1） （2） 画树状图如下， 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法、树状图法及概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：若从中任取一个球，则摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是； 【小问2详解】 画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”有2种结果， ∴取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率为． 21. 一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 22. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集： （3）若是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）知道反比例函数的图象在直线上方时的的范围即可； （3）设，根据的面积等于面积的2倍，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：， 由图象，的解集为：或； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴． 23. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点． 求作：的一条切线，使这条切线经过点． 作法： ①连接并延长交于点； ②以点为圆心，长为半径在上方画弧； ③以点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点； ④连接，交于点： ⑤作直线．则直线即为所求． （1）根据小芸设计的尺规作图过程完成证明； （2）连接，若，且为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 由作图可知：，，为的直径， ∵连接，交于点， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，尺规作图—复杂作图，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，由作图可知：，，为的直径，进而得到，三线合一，得到，即可得证； （2）连接，证明为等边三角形，得到，分别解直角三角形和直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ∵，点为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 24. 已知二次函数．该二次函数图象与轴有且只有个交点， （1）求的值． （2）若点在抛物线上，且到轴的距离小于，求的取值范围． （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方．当线段的长度随的增大而减少时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数的顶点坐标、二次函数的最值与单调性以及函数交点与方程求解． （1）由二次函数与轴有且只有一个交点，判别式为零，即可求解的值； （2）由得抛物线方程，根据点到轴距离小于确定范围，即可求出的取值范围； （3）由垂线与抛物线和直线的交点得、坐标，由在下方得范围，长度函数为二次函数，根据其单调性即可确定范围． 【小问1详解】 解：二次函数与轴有且只有一个交点， 其判别式， 可得， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，故抛物线， 点到y轴距离小于2， ，即， 对于，开口向上， 当时，有最小值，此时， 当时，有最大值，此时， 取值范围为； 【小问3详解】 解：垂线与抛物线交于点， 与直线交于点， 点在点下方， ， 即， ， ， 长度， 为二次函数，开口向下，对称轴， 当时，随增大而减少， 又， 取值范围为． 25. 将矩形纸片按如图1上下对折，折痕为；点是边上的点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图2，当点刚好落在上时，则_____； （2）若． ①如图3，当点刚好落在对角线上时，求的长度； ②当时，求的值． 【答案】（1）30 （2）①3；②或 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）连接，根据折叠的性质，得到，推出为等边三角形，进而得到，即可得出结果； （2）①勾股定理求出的长，折叠得到，进而得到，，根据，求出的长即可；②分点在矩形内部和点在矩形的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：30； 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②当点在矩形内部时，过点作，交分别于点，则 ∵矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在矩形的外部时，设交于点，作，作，则四边形为矩形，， ∴，， 同上可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $