专题01三角形中的线段和角期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题01三角形中的线段和角期中复习讲义 ✵复习目标 1.掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否组成三角形，确定第三边的取值范围。 2.识别三角形的高、中线、角平分线，理解三种线段的定义，掌握相关基本性质。 3.掌握三角形内角和定理，能进行简单角度推理与计算。 4.掌握同一个三角形中大边对大角、大角对大边的边角关系，用于边角大小比较。 ✵高频题型梳理 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.构成三角形的条件 题型4.确定第三边的取值范围 题型5.三角形三边关系的应用 题型6.大（小）边对大（小）角定理 题型7.根据三角形中线求长度 题型8.根据三角形中线求面积 题型9.重心的概念 题型10.三角形角平分线的定义 题型11.画三角形的高 题型12.与三角形的高有关的计算问题 题型13.利用网格求三角形面积 题型14.垂心 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、三角形的三边关系 1.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 依据：两点之间，线段最短. 在△ABC中，a+b>c, a+c>b, b+c>a ； |a-b|<c, |a-c|<b, |b-c|<a 快速判断：只需验证：较短两边之和>最长边，即可构成三角形。 2.边长取值范围：已知两边为a、b(a>b)，第三边x满足：a-b < x < a+b 应用：判断三条线段能否组成三角形 方法：选两条较短的线段之和，若和大于第三条线段的长度，则能构成三角形。 知识点二、三角形边角关系 1.大边对大角：在同一个三角形中，较长的边所对的角也较大。 符号语言：在△ABC中，∵AB>AC,∴∠C>∠B. 2.大角对大边：在同一个三角形中，较大的角所对的边也较长。 符号语言：在△ABC中，∵∠C>∠B,∴AB>AC 注意：边角对应关系只适用于同一个三角形，不可跨三角形直接使用。 知识点三、三角形的三条重要线段 知识点四、三角形内角核心知识点 1.内角和定理：三角形三个内角和为180°。 符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 2.三大基础应用 （1）已知两个内角，直接求第三个角； （2）已知三角比例、倍数关系，列方程求角度； （3）通过内角大小判断三角形形状。 ✵易错提醒 1.三边关系是两边之和大于第三边，不能取等号；两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形。 2.三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线。 3.钝角三角形有两条高在图形外部，画图和解题时容易遗漏。 4.“大边对大角、大角对大边” 的前提是在同一个三角形中，跨三角形不能使用。 ✵典例精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形不一定具有稳定性 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 2．如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E，D，F三点，，，，垂足为F．以AD为中线的三角形是_______；以AE为角平分线的三角形是_______；以AF为高线的钝角三角形有_______个． 3．如图，在和中，与交于点E． (1)以为角的三角形是______． (2)在中，顶点D所对的边是______． (3)在中，边所对的角是______． 题型2.三角形的个数问题 1．图中三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下图中有_________个三角形． 3．如图，在和中，与交于点． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)以为角的三角形是________． (3)以为边的三角形是________． (4)在中，顶点所对的边是________． (5)在中，边所对的角是________． 题型3.构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，5 B．6，7，12 C．6，8，15 D．4，4，9 2．三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 3．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 题型4.确定第三边的取值范围 1．已知的三边长分别为．若的长为大于6的偶数，的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 2．已知三角形的三边长分别是3、7、x，且x是偶数，则x的值为_______． 3．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 题型5.三角形三边关系的应用 1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．3，12，8 B．6，8，15 C．3，4，5 D．6，6，12 2．若△ABC三条边长为a，b，c，化简_______． 3．已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)已知、、为三角形三边，化简：． 题型6.大（小）边对大（小）角定理 1．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A．B． C． D．无法判断 2．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 3．如图，已知：与相交于点，，，求证：． 题型7.根据三角形中线求长度 1．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．若是的中线，，则的长为______________． 3．如图，是的边上的中线，已知，，． (1)的取值范围是_______． (2)若的周长为27，求的周长． 题型8.根据三角形中线求面积 1．如图，在中，是边的中线，是边的中线，点F为的中点，连接．若的面积为2，则的面积为（     ） A．16 B．12 C．14 D．8 2．如图，的面积为，是边上的中线，为的中点，连接，则的面积为______． 3．综合实践：定义三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图③，点是的重心，则与的面积关系为：________（填、或）； (2)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (3)如图④点是的重心，且，若，，请直接写出四边形的面积． 题型9.重心的概念 1．把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 2．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 3．用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 题型10.三角形角平分线的定义 1．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 2．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是_______．    3．如图，在中，D是上的一点，交于点E．若．求证：是的角平分线． 题型11.画三角形的高 1．下列选项中，线段是的边上的高线的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段________． 3．如图，在中，画出的平分线、边上的中线及边上的高． 题型12.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，是边上的中线，于点，，，则的面积为（     ） A．7.5 B．8 C．15 D．30 2．如图，在中，，，，分别是边和边上的高，，则______． 3．如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 题型13.利用网格求三角形面积 1．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 2．如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，在小方格的顶点上确定一点C，使的面积为2，这样的点C有________个． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 （即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点； (3)求的面积． 题型14.垂心 1．以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是_________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 3．我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 2．如图，小明和亮亮分别站在池塘岸边点A，B处，为了估计他们之间的距离，笑笑在池塘一侧选取一点O，测得，小明和亮亮之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 3．已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________． 6．如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是______． 7．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 三、解答题 8．已知的三边长分别为、、．若、满足． (1)__________，__________； (2)若为整数，求周长的最大值． 9．如图，在中，于点，为边上的中线．为中边上的高线．已知，，的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 10．如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形中的线段和角期中复习讲义 ✵复习目标 1.掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否组成三角形，确定第三边的取值范围。 2.识别三角形的高、中线、角平分线，理解三种线段的定义，掌握相关基本性质。 3.掌握三角形内角和定理，能进行简单角度推理与计算。 4.掌握同一个三角形中大边对大角、大角对大边的边角关系，用于边角大小比较。 ✵高频题型梳理 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.构成三角形的条件 题型4.确定第三边的取值范围 题型5.三角形三边关系的应用 题型6.大（小）边对大（小）角定理 题型7.根据三角形中线求长度 题型8.根据三角形中线求面积 题型9.重心的概念 题型10.三角形角平分线的定义 题型11.画三角形的高 题型12.与三角形的高有关的计算问题 题型13.利用网格求三角形面积 题型14.垂心 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、三角形的三边关系 1.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 依据：两点之间，线段最短. 在△ABC中，a+b>c, a+c>b, b+c>a ； |a-b|<c, |a-c|<b, |b-c|<a 快速判断：只需验证：较短两边之和>最长边，即可构成三角形。 2.边长取值范围：已知两边为a、b(a>b)，第三边x满足：a-b < x < a+b 应用：判断三条线段能否组成三角形 方法：选两条较短的线段之和，若和大于第三条线段的长度，则能构成三角形。 知识点二、三角形边角关系 1.大边对大角：在同一个三角形中，较长的边所对的角也较大。 符号语言：在△ABC中，∵AB>AC,∴∠C>∠B. 2.大角对大边：在同一个三角形中，较大的角所对的边也较长。 符号语言：在△ABC中，∵∠C>∠B,∴AB>AC 注意：边角对应关系只适用于同一个三角形，不可跨三角形直接使用。 知识点三、三角形的三条重要线段 知识点四、三角形内角核心知识点 1.内角和定理：三角形三个内角和为180°。 符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 2.三大基础应用 （1）已知两个内角，直接求第三个角； （2）已知三角比例、倍数关系，列方程求角度； （3）通过内角大小判断三角形形状。 ✵易错提醒 1.三边关系是两边之和大于第三边，不能取等号；两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形。 2.三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线。 3.钝角三角形有两条高在图形外部，画图和解题时容易遗漏。 4.“大边对大角、大角对大边” 的前提是在同一个三角形中，跨三角形不能使用。 ✵典例精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形不一定具有稳定性 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的基本性质． 结合三角形的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．三角形具有稳定性，原说法错误； B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原说法错误； C．重心是三角形三条中线的交点，中线始终在三角形内部，因此重心必在内部，原说法正确； D．直角三角形有三条高，两条直角边分别作为对方的高，以及斜边上的高，原说法错误； 故选C． 2．如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E，D，F三点，，，，垂足为F．以AD为中线的三角形是_______；以AE为角平分线的三角形是_______；以AF为高线的钝角三角形有_______个． 【答案】 3 【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及直角三角形的性质，正确认识三角形的中线、高、角平分线是解题的关键． 根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可． 【详解】解：以为中线的三角形是；以为角平分线的三角形是；以为高线的钝角三角形有、、共3个， 故答案为：；；． 3．如图，在和中，与交于点E． (1)以为角的三角形是______． (2)在中，顶点D所对的边是______． (3)在中，边所对的角是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型2.三角形的个数问题 1．图中三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个． 2．下图中有_________个三角形． 【答案】 【分析】先确定公共顶点三角形的个数，然后再确定线段交叉的三角形个数，二者相加即可求出． 【详解】解：以最上方顶点为公共顶点的三角形，分为两层，如下： 上层：， 下层：． 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 图中三角形的个数为：． 3．如图，在和中，与交于点． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)以为角的三角形是________． (3)以为边的三角形是________． (4)在中，顶点所对的边是________． (5)在中，边所对的角是________． 【答案】(1)有5个三角形，分别是，，，，． (2)， (3)，， (4) (5) 【分析】（1）根据三角形的概念，即可求解； （2）根据三角形的概念，由图数出以为角的三角形即可； （3）根据三角形的概念，由图数出以为边的三角形即可； （4）根据三角形顶点所对的边的定义，即可求解； （5）根据三角形边所对的角的定义，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 题型3.构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，5 B．6，7，12 C．6，8，15 D．4，4，9 【答案】B 【分析】选取各选项中较短的两条线段求和，与最长线段比较大小，逐一判断． 【详解】解：A. ，C. ，D. ，均不能组成三角形，不符合题意； B. ，能组成三角形，符合题意． 2．三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分两种情况：第三边的长为和第三边的长为，根据三角形中，任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形，再结合三角形周长公式求解即可． 【详解】解：当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为； 故答案为：20． 3．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 【答案】（1）（3）（4）能构成三角形，（2）不能构成三角形 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系： （1）可以构成三角形； （2）不能构成三角形； （3），可以构成三角形； （4），可以构成三角形； 故（1）（3）（4）可以构成三角形，（2）不能构成三角形． 题型4.确定第三边的取值范围 1．已知的三边长分别为．若的长为大于6的偶数，的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系，得 ，即． ∵ 是大于的偶数， ∴ ． ∴ 的周长为． 2．已知三角形的三边长分别是3、7、x，且x是偶数，则x的值为_______． 【答案】6或8 【分析】先利用三角形三边关系确定的取值范围，再根据是偶数的条件确定的值． 【详解】解：三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边， ，化简得， 是偶数 的值为6或8． 3．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 题型5.三角形三边关系的应用 1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．3，12，8 B．6，8，15 C．3，4，5 D．6，6，12 【答案】C 【分析】验证较短两边之和与最长边的大小关系，判断能否构成三角形． 【详解】解：∵A选项中， ∴不能构成三角形． ∵B选项中， ∴不能构成三角形． ∵C选项中， ∴能构成三角形． ∵D选项中， ∴不能构成三角形． 2．若△ABC三条边长为a，b，c，化简_______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 3．已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)已知、、为三角形三边，化简：． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）解：由题意得：． 即：． 为奇数， ． 的周长为． （2）解：根据三角形的三边关系得： ． 题型6.大（小）边对大（小）角定理 1．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A．B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】 证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】略 题型7.根据三角形中线求长度 1．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线定义得到，再根据周长关系得到，进而可求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ∴ ∵， ∴． 2．若是的中线，，则的长为______________． 【答案】 【分析】是的中线，说明是的中点，代入的长度即可计算得到的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 3．如图，是的边上的中线，已知，，． (1)的取值范围是_______． (2)若的周长为27，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴． 题型8.根据三角形中线求面积 1．如图，在中，是边的中线，是边的中线，点F为的中点，连接．若的面积为2，则的面积为（     ） A．16 B．12 C．14 D．8 【答案】A 【分析】利用三角形的中线性质以及等底同高的三角形的面积相等，逐个求出三角形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是边的中线， ∴； ∵点F为的中点， ∴； ∵是边的中线， ∴； ∵是边的中线， ∴． 2．如图，的面积为，是边上的中线，为的中点，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是边上的中线求出的面积，再由是的中点求出的面积． 【详解】解：是边上的中线， ， 为的中点， 是的中线， ． 3．综合实践：定义三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图③，点是的重心，则与的面积关系为：________（填、或）； (2)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (3)如图④点是的重心，且，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】（1）由为的中线，可得，再由为的中线，为的中线，可得，，进而得出； （2）由（1）得：，，同理可得：，，进而得出，由为的中线，为的中线，得出，进而得出，进而得出，即可得出； （3）连接并延长交于点，由（2）可得：，，进而求出，，由，从而求出，再由即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点是的重心， ∴为的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴． （2）解：由（1）得：，， 同理可得：，， ∵， ∴， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，连接并延长交于点， ∵点是的重心， 由（2）可得：，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型9.重心的概念 1．把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上． 【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上， 薄板状物体的重心位置在直线上． 故选：C． 2．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 3．用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义，及三角形面积的计算． （1）延长，，分别交，，于点F，E，D，根据重心的定义可得分别为的中点，设，，，根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出结论； （2）根据（1）的结论，根据，即可求解； （3）根据（1）的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，延长，，分别交，，于点F，E，D， ∵点P是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得，，且 ∴ （3）解：依题意，是的重心， 由（2）可得，， ∵，， ， ∵， ， ，， ∴． 题型10.三角形角平分线的定义 1．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线和中线，根据角平分线和中线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，是角平分线，点E是的中点， ∴，，，是的中线， 故错误的是选项C； 故选C． 2．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是_______．    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查三角形中的角度计算，邻补角的相关计算，平行线判定与性质，角平分线的定义，根据内错角相等两直线平行可对①进行判断；根据邻补角的相关计算可对②④进行判断；根据平行线的判定与性质对③进行判断 【详解】解：依题意，， ，故①对； 依题意，， ，故②对； 依题意，， 如图，过点G作，    ， ， ，， ， ， ， ，故③对； ， ， ，故④错， 故答案为：①②③． 3．如图，在中，D是上的一点，交于点E．若．求证：是的角平分线． 【答案】证明：如图，， ． 又， ， 是的角平分线． 【详解】略 题型11.画三角形的高 1．下列选项中，线段是的边上的高线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.该选项图形中，线段不是的边上的高线； B. 该选项图形中，线段不是的边上的高线； C. 该选项图形中，线段不是的边上的高线； D. 该选项图形中，线段是的边上的高线. 2．如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段________． 【答案】/ 【分析】过三角形的一个顶点向对边作垂线，这个垂线段就叫做该顶点对边上的高，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴中边上的高是线段． 3．如图，在中，画出的平分线、边上的中线及边上的高． 【答案】如图，即为所求的平分线，即为所求边上的中线，即为所求边上的高． 【分析】根据角平分线的定义、中线的定义、三角形的高的定义作图即可． 【详解】略． 题型12.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，是边上的中线，于点，，，则的面积为（     ） A．7.5 B．8 C．15 D．30 【答案】C 【分析】先利用三角形面积公式求出的面积，再根据中线性质，，求出面积． 【详解】解：，， ． 是边上的中线， ，与等底同高，面积相等． ． 2．如图，在中，，，，分别是边和边上的高，，则______． 【答案】 【分析】利用三角形面积公式，根据同一三角形面积相等建立等式，代入已知数据求解即可． 【详解】解：，分别是边和边上的高， ， ，，， ， ． 3．如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）的面积可表示为，也可表示为，由面积相等列等式，进行求解即可； （2）是边上的中线，故．的周长为，的周长为，进行相减计算即可； （3）分两种三等分情况．利用同加公共部分差不变的原理可得，，进而可得．分和两种情况，进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，，为边上的高， ， ； （2）解：为边上的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 的周长的周长， ∴和的周长之差为； （3）解：①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ， ∴， ． 综上所述：的值为． 题型13.利用网格求三角形面积 1．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 2．如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，在小方格的顶点上确定一点C，使的面积为2，这样的点C有________个． 【答案】5 【分析】的面积底高，所以确定的点，只要满足的面积为即可，这样的点有个． 【详解】解：满足条件的点有个，如图平行于的直线上，与网格的所有交点就是． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 （即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)如图，点Q即为所求： (3)的面积为5 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）找到点C关于y轴的对称点，连接交y轴于Q点，根据两点之间线段最短可判断Q点满足条件． （3）直接利用梯形的面积减去周围两个三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积． 题型14.垂心 1．以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确． 所以说法正确的有4个． 2．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是_________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】根据三角形的高的概念，结合已知条件，即可得出答案． 【详解】解：∵锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． ∴若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】本题主要考查三角形的高的概念，属于基础题型．熟练掌握三角形的高是解决本题的关键． 3．我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】此题考查三角形的高、垂心的定义、余角的性质等知识， （1）由高的定义得到，则，得到，同理可得，，，即可得到答案； （2）根据三角形垂心的定义进行解答即可； （3）根据三角形垂心的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵于点E，于点F， ∴ ∴， ∴， 同理可得，，， 故答案为：或或； （2）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点G是三角形的垂心； 故答案为：； （3）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点A是三角形的垂心， 故答案为：． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】C 【分析】数出以为其中一个内角的三角形的个数即可得出结果. 【详解】解：由图可知，以为其中一个内角的三角形有， 故以为公共角的“共角三角形”有和，和，和，和，和，和共6对. 2．如图，小明和亮亮分别站在池塘岸边点A，B处，为了估计他们之间的距离，笑笑在池塘一侧选取一点O，测得，小明和亮亮之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，，即，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，即， ∴， ∴小明和亮亮之间的距离不可能是． 3．已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值化简． 【详解】解：∵是的三边长， ∴,， ∴，， ∴原式 ． 4．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线、角平分线、高线性质，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：是的中线， ， 故A正确，不符合题意； 是的角平分线， 故B正确，不符合题意； 是的高线， ， 故C正确，不符合题意； 由现有条件，推不出，故D错误，符合题意； 二、填空题 5．如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________． 【答案】4 【分析】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由，解得，，由解得，据此解答． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 6．如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是______． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：6． 7．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和必须大于第三边是解题的关键． 先列举出所有可能性，然后运用三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：四根木棒的所有可能三根组合有：①；②；③；④． 组合①，由，不能构成三角形； 组合②，，不能构成三角形； 组合③，，不能构成三角形； 组合④，，所有两边之和均大于第三边，满足三角形三边关系． ∴能组成三角形的三根小木棒长度为． 故答案为． 三、解答题 8．已知的三边长分别为、、．若、满足． (1)__________，__________； (2)若为整数，求周长的最大值． 【答案】(1)3；2 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，． （2）解：， ，即， 又为整数， 的最大值为4， 周长的最大值为． 9．如图，在中，于点，为边上的中线．为中边上的高线．已知，，的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形的中线的性质求出的面积，再根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：为边上的中线， ， 则与的周长之差为：； （2）解：的面积为，为边上的中线， 的面积为， 为中边上的高线， ， ， ． 答：长度为． 10．如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：平分， ． ， ， ； (2)证明：由（1）得， ， ， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合角度的关系可得，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）由平行的性质可得，进而得到，根据同位角相等，两直线平行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $