期中讲义 01 三角形、全等三角形、等腰三角 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

期中讲义01三角形、全等三角形、等腰三角形 （10大考点专练） 【考点一】三边关系 【考点六】 线段垂直平分线与角平分线 【考点二】内角与外角计算 【考点七】 等腰三角形的角度计算（分类讨论） 【考点三】高、中线、角平分线（面积法） 【考点八】 等腰三角形“三线合一”的应用 【考点四】全等三角形的判定选择 【考点九】 等边三角形 【考点五】全等三角形的性质应用 【考点十】 全等三角形与等腰三角形综合 知识点1.三角形中的线段和角 （一）三角形的定义与分类 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形用符号“△”表示，记作△ABC，其中 A、B、C 是三个顶点。 分类：可从“按边分”和“按角分”两个角度对三角形进行分类，二者并不冲突。 分类标准 类别 说明 按边分 不等边三角形 三条边互不相等 按边分 等腰三角形 有两条边相等（这两条边叫腰） 按边分 等边三角形 三条边都相等（是特殊的等腰三角形） 按角分 锐角三角形 三个角都小于 90° 按角分 直角三角形 有一个角等于 90°（两锐角互余） 按角分 钝角三角形 有一个角大于 90° （二）三角形三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 推论：已知三角形两边为 a、b（a≥b），则第三边 c 的取值范围为 a−b＜c＜a＋b。 用途：判断三条线段能否构成三角形，只需比较较短两边之和与最长边的大小（较短两边之和大于最长边即可）。 （三）三角形的内角与外角 内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 推论：直角三角形两个锐角互余，即两锐角之和等于 90°。 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；且大于任何一个与它不相邻的内角。 （四）三角形的高、中线、角平分线 高、中线、角平分线是三角形中最基本的三条重要线段，它们提供了线段或角的关系，是后续推理的依据。 名称 定义 符号语言 / 要点 主要特征与用途 高 从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在直线）作垂线，顶点与垂足之间的线段 AD⊥BC；∠ADB＝∠ADC＝90° 三条高（或其延长线）交于一点（垂心）；用于证明垂直、角度相等 中线 连接三角形一个顶点与它对边中点的线段 点D为BC中点，BD＝DC＝BC 三条中线交于一点（重心）；中线把三角形分成面积相等的两部分（面积法的依据） 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 AD平分∠BAC，∠1＝∠2＝∠BAC 三条角平分线交于一点（内心）；用于证明角相等 （五）三角形的稳定性 三角形具有稳定性：当三角形的三边长度确定后，它的形状和大小就唯一确定。生活与工程中常用三角形的稳定性来加固结构。 知识点2.全等三角形 （一）全等三角形及其表示 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。 记法：书写两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应的位置上。如△ABC≌△DEF，其中 A 与 D、B 与 E、C 与 F 分别是对应顶点，对应顶点所对的边是对应边，对应顶点处的角是对应角。 （二）全等三角形的性质 对应边相等、对应角相等（最基本的性质，是证明线段相等和角相等的理论依据）。 对应边上的高、对应边上的中线以及对应角的平分线分别相等。 周长相等，面积相等。 （三）全等三角形的判定 判定两个三角形全等，需要一组边对应相等，并依据下列定理选择合适的方法： 判定方法 简称 条件要点 说明 三边分别相等 SSS（边边边） 三条边对应相等 基本事实 两边及其夹角分别相等 SAS（边角边） 两边及它们的夹角对应相等 基本事实；角必须是两边的夹角 两角及其夹边分别相等 ASA（角边角） 两角及它们的夹边对应相等 基本事实 两角及其中一角的对边分别相等 AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等 由 ASA 可推出 斜边和一条直角边分别相等（直角三角形） HL（斜边直角边） 斜边和一条直角边对应相等 仅适用于直角三角形 注意事项： “SSA”（两边一对角）和“AAA”（三角相等）不能判定两个三角形全等。 判定两个三角形全等，必须至少有一组边对应相等。 在非直角三角形中，若给出“两边一角”，该角必须是这两边的夹角（即用 SAS）。 （四）证明三角形全等的思路 证明三角形全等的一般步骤： 先确定要判定全等的两个三角形。 列出已知条件（已知边、已知角）。 寻找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、垂直（得直角）、中点（得线段相等）、平行（得角相等）。 根据已找条件选择判定定理：三边 → SSS；两边加夹角 → SAS；两角加夹边 → ASA；两角加一边 → AAS；直角三角形斜边加一直角边 → HL。 知识点3.等腰三角形 （一）定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形），它是特殊的等腰三角形。 （二）等腰三角形的性质 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 性质2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（都落在同一条直线上）。 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（亦即底边中线、底边高）所在直线是对称轴；等边三角形有三条对称轴。 （三）等腰三角形的判定 判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。在证明中，往往先证出两个底角相等，再由“等角对等边”得到对应边相等。 （四）等边三角形的性质与判定 性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60°。 判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形。 【考点一】三边关系 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．1，4，7 B．3，5，9 C．5，6，11 D．7，7，13 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如果一个三角形的两边长为3和6，那么第三边的长有可能是（   ） A．3 B．7 C．9 D．10 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）现有两根木棒，它们的长分别是和．若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则、间的距离不可能是（   ） A．5米 B．11米 C．17米 D．25米 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）三角形的三边长分别为2，7，a，则奇数a的值是___________． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若长度分别为3，7，a的三条线段能组成一个三角形，则偶数a的值可以是______．（写出一个即可） 7．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）若中三边长是a，b，c，若，且三角形的周长是偶数，则c的值为________． 【考点二】内角与外角计算 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（ ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，在边上取点，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接；以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，的度数为___________． 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的度数为______°． 12．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是上的一点，，，，求的度数． 【考点三】高、中线、角平分线（面积法） 13．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）三角形的角平分线、中线、高都是（   ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 14．（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，平分，点是的中点，连接，若的面积为4，则的面积等于__________． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为_____； （2）的面积为_____； （3）的面积为______． 17．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 18．（25-26八年级上·江苏溧阳·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 19．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），与交于点O． (1)若，是角平分线，求的度数； (2)若，是高，求的度数． 20．（25-26八年级上·江苏南京·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【考点四】全等三角形的判定选择 21．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点，在上，且，，，则，其依据是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，由，，可得，使用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，平分，下列一定结论正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，平分，那么与全等的理由是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，，，则线段和的关系为__________． 26．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，点D、E分别在边上，，，若，，则______． 27．（25-26八年级上·江苏南通·期中）某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（    ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 28．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（    ）    A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．边上的高 【考点五】全等三角形的性质应用 29．（25-26八年级上·江苏溧阳·期中）小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴B到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到A处时，于点C，此时测得A处到地面的距离为；当海盗船中心从A处摇摆到处时，于点B．求此时点到的距离． 30．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图1，小聪和小明玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，是支点（即、、三点共线，、、三点共线），横板绕点转动，当小聪从水平位置下降至点处时，下降的竖直高度（于点），此时小明升高至点处，小明距离地面的高度（于点，交于点），已知，，，求支点到地面的距离的长． 31．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 32．（25-26八年级上·江苏·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 33．（25-26八年级上·江苏南京·期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，使得在同一条直线上，且，当在同一条直线上时，只需测量的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】求湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 34．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）探究解题 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明； (2)图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．（提示：可延长交延长线于） 【考点六】线段垂直平分线与角平分线 35．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的长等于，则的长是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是_________． 37．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是_______． 38．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在、处参加植树活动，要在道路、的交叉区域内设一个茶水供应点，使到、两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出点（不写画法，但保留作图痕迹) 39．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知，请按要求用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图1中，求作线段，点D在边上，使得将分成面积相等的两部分； (2)在图2中，在边上确定一点P，使得点P到边、的距离相等． 40．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 41．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知．用直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图1中边上作出点，使得点到、的距离相等； (2)在图2中边上作出点，使得． 42．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 43．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上作点、，使点到与的距离相等，点到点与的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接、，若，，则________． 44．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，等腰中，，． (1)请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． (2)点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于 ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 【考点七】等腰三角形的角度计算（分类讨论） 45．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为______． 46．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______． 47．（25-26八年级上·江苏南京·期中）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”． (1)请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并在图中标注出必要的角度或相等的线段． ①；②，；③， (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是_______． (3)如图2，中，，其中是最小的内角，画出所有可能的“三等腰线”，并作适当的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） (4)已知，如图3，已知线段m、n，求作，使得，，且（保留作图痕迹，并作简要说明）． 48．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． (1)依题意补全图形；当， ； (2)当时，求的度数； (3)当时，探究之间的数量关系，并说明理由； (4)若为等腰三角形，直接写出的度数 ． 【考点八】等腰三角形“三线合一”的应用 49．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（    ） A．等腰三角形的三线合一 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等边对等角 50．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形顶角的角平分线长，则这个等腰三角形底边上的中线长是_____cm． 51．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，以A为圆心，为半径画弧，交于点D．若M、N分别是、的中点，则的长为________． 52．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，分别是高，M为的中点，N为的中点，求证：． 53．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，交于点，为的中点，连接． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，求的长． 54．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，D为的中点，过点D作的平行线交于点E， (1)求证：； (2)已知，求的长． 【考点九】等边三角形 55．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 56．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 57．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，， (1)若， ①如果，那么是______三角形； ②猜想和的数量关系并证明； (2)如果，判断与的位置关系，并说明理由． 58．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】折纸，常常能为证明提供思路和方法．我们曾用正方形纸片折叠过等边三角形，用直角三角形纸片能折出等边三角形吗？ 【复习回顾】课本第57页，第22题： (1)如图1中的（1），把正方形纸片对折后再展开．折痕为；如（2）．将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B；如（3），沿折叠，得[如图1（4）]． 阅读上述材料，是等边三角形的判定依据是 ； (2)【小慧的思考】小慧做完了这题后进行了思考：尝试用直角三角形折出等边三角形，她先从特殊的直角三角形进行研究（见图2）：如图2中的①是一张直角三角形纸片（，）．如②，将此三角形纸片折叠，使得点B与点A重合，再展开，折痕为，连接；如③，将点C翻折到上的点处，连接，得到．请你帮小慧证明是等边三角形． (3)【你的思考】请你以此图3的直角三角形纸片（，），再设计一个不同于上述的折纸方法（要求：折纸次数不得超过四次，并且画出示意图），使得折出的等边三角形与此直角三角形有一个顶点重合，并说明你折法的正确性． (4)【再思考】一般的直角三角形纸片可以折出等边三角形吗？如果能，请说明你的折纸思路：若不能，请说明理由． 59．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 60．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图所示，是边长为1的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作，点M、N分别在、上． (1)如图1，若，则的周长为 ； (2)如图2，若点M、N位置如图所示，的周长与（1）比较改变了吗？如果改变了，请求出数值，若没改变，请说明理由． 61．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【课本再现】（）苏科版数学八年级上册课本第页思考：如图，中，，，那么与有怎样的数量关系？试证明你的结论． 【尝试探究】（2）点是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②求证：； 【探究应用】（3）若点是直线上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若，直接写出点到点的最小距离． 【考点十】全等三角形与等腰三角形综合 62．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 63．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，D为边上一点，，连接，上有一点F，满足． (1)求证：； (2)，点E为的中点，，求的长． 64．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，证明：是直角三角形； (2)若，，则______； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 65．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【模型感知】 （1）如图①，和都是等边三角形，求证：； 【模型应用】 （2）已知，点在直线上，以为边在直线上方作等边三角形，过点作于点．如图②，若点在点右侧，试猜想的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图③，已知中，，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，当最小时，求线段的值． 66．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接BE (1)①求证：；②求的度数； (2)拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接． ①则的度数为___________°； ②判断线段之间的数量关系，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义01三角形、全等三角形、等腰三角形 （10大考点专练） 【考点一】三边关系 【考点六】 线段垂直平分线与角平分线 【考点二】内角与外角计算 【考点七】 等腰三角形的角度计算（分类讨论） 【考点三】高、中线、角平分线（面积法） 【考点八】 等腰三角形“三线合一”的应用 【考点四】全等三角形的判定选择 【考点九】 等边三角形 【考点五】全等三角形的性质应用 【考点十】 全等三角形与等腰三角形综合 知识点1.三角形中的线段和角 （一）三角形的定义与分类 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形用符号“△”表示，记作△ABC，其中 A、B、C 是三个顶点。 分类：可从“按边分”和“按角分”两个角度对三角形进行分类，二者并不冲突。 分类标准 类别 说明 按边分 不等边三角形 三条边互不相等 按边分 等腰三角形 有两条边相等（这两条边叫腰） 按边分 等边三角形 三条边都相等（是特殊的等腰三角形） 按角分 锐角三角形 三个角都小于 90° 按角分 直角三角形 有一个角等于 90°（两锐角互余） 按角分 钝角三角形 有一个角大于 90° （二）三角形三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 推论：已知三角形两边为 a、b（a≥b），则第三边 c 的取值范围为 a−b＜c＜a＋b。 用途：判断三条线段能否构成三角形，只需比较较短两边之和与最长边的大小（较短两边之和大于最长边即可）。 （三）三角形的内角与外角 内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 推论：直角三角形两个锐角互余，即两锐角之和等于 90°。 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；且大于任何一个与它不相邻的内角。 （四）三角形的高、中线、角平分线 高、中线、角平分线是三角形中最基本的三条重要线段，它们提供了线段或角的关系，是后续推理的依据。 名称 定义 符号语言 / 要点 主要特征与用途 高 从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在直线）作垂线，顶点与垂足之间的线段 AD⊥BC；∠ADB＝∠ADC＝90° 三条高（或其延长线）交于一点（垂心）；用于证明垂直、角度相等 中线 连接三角形一个顶点与它对边中点的线段 点D为BC中点，BD＝DC＝BC 三条中线交于一点（重心）；中线把三角形分成面积相等的两部分（面积法的依据） 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 AD平分∠BAC，∠1＝∠2＝∠BAC 三条角平分线交于一点（内心）；用于证明角相等 （五）三角形的稳定性 三角形具有稳定性：当三角形的三边长度确定后，它的形状和大小就唯一确定。生活与工程中常用三角形的稳定性来加固结构。 知识点2.全等三角形 （一）全等三角形及其表示 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。 记法：书写两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应的位置上。如△ABC≌△DEF，其中 A 与 D、B 与 E、C 与 F 分别是对应顶点，对应顶点所对的边是对应边，对应顶点处的角是对应角。 （二）全等三角形的性质 对应边相等、对应角相等（最基本的性质，是证明线段相等和角相等的理论依据）。 对应边上的高、对应边上的中线以及对应角的平分线分别相等。 周长相等，面积相等。 （三）全等三角形的判定 判定两个三角形全等，需要一组边对应相等，并依据下列定理选择合适的方法： 判定方法 简称 条件要点 说明 三边分别相等 SSS（边边边） 三条边对应相等 基本事实 两边及其夹角分别相等 SAS（边角边） 两边及它们的夹角对应相等 基本事实；角必须是两边的夹角 两角及其夹边分别相等 ASA（角边角） 两角及它们的夹边对应相等 基本事实 两角及其中一角的对边分别相等 AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等 由 ASA 可推出 斜边和一条直角边分别相等（直角三角形） HL（斜边直角边） 斜边和一条直角边对应相等 仅适用于直角三角形 注意事项： “SSA”（两边一对角）和“AAA”（三角相等）不能判定两个三角形全等。 判定两个三角形全等，必须至少有一组边对应相等。 在非直角三角形中，若给出“两边一角”，该角必须是这两边的夹角（即用 SAS）。 （四）证明三角形全等的思路 证明三角形全等的一般步骤： 先确定要判定全等的两个三角形。 列出已知条件（已知边、已知角）。 寻找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、垂直（得直角）、中点（得线段相等）、平行（得角相等）。 根据已找条件选择判定定理：三边 → SSS；两边加夹角 → SAS；两角加夹边 → ASA；两角加一边 → AAS；直角三角形斜边加一直角边 → HL。 知识点3.等腰三角形 （一）定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形），它是特殊的等腰三角形。 （二）等腰三角形的性质 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 性质2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（都落在同一条直线上）。 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（亦即底边中线、底边高）所在直线是对称轴；等边三角形有三条对称轴。 （三）等腰三角形的判定 判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。在证明中，往往先证出两个底角相等，再由“等角对等边”得到对应边相等。 （四）等边三角形的性质与判定 性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60°。 判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形。 【考点一】三边关系 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．1，4，7 B．3，5，9 C．5，6，11 D．7，7，13 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系, 解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”进行判断． 【详解】解：A.，不能组成三角形； B. ，不能组成三角形； C. ，不能组成三角形； D. ，能组成三角形； 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如果一个三角形的两边长为3和6，那么第三边的长有可能是（   ） A．3 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，熟练掌握三边关系是解题关键． 根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边确定第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴，即， ∵选项中只有7在这个范围内， ∴故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）现有两根木棒，它们的长分别是和．若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围、构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系，第三边长度应大于两边之差且小于两边之和． 【详解】解：∵ 两根木棒长分别为和， ∴ 第三根木棒长度x需满足：，即， 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则、间的距离不可能是（   ） A．5米 B．11米 C．17米 D．25米 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， 观察四个选项，A选项的5米不在此范围内， 故选：A 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）三角形的三边长分别为2，7，a，则奇数a的值是___________． 【答案】7 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求出a的取值范围，再结合a是奇数的条件进行判断． 【详解】由三角形的三边关系，得： ，即； ，即； ，恒成立． 所以． 又因为a是奇数， 所以， 故答案为：7． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若长度分别为3，7，a的三条线段能组成一个三角形，则偶数a的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】6（或8） 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围，再选择偶数即可． 【详解】解：因为长度分别为3，7，a的三条线段能组成一个三角形， 所以根据三角形三边关系， 得， 即． 因为a是偶数， 所以a可以是6或8． 故答案为：6（或8）． 7．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）若中三边长是a，b，c，若，且三角形的周长是偶数，则c的值为________． 【答案】4 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系．根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合周长为偶数的条件，求出c的值． 【详解】解：∵的三边长为a，b，c，， ∴根据三角形三边关系，有，即． ∵三角形的周长为偶数，且周长，6为偶数， ∴c为偶数． 在范围内，c为整数，且为偶数， ∴． 故答案为：4． 【考点二】内角与外角计算 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分的外角，， ∴, ∵是的外角, ∴, ∴． 故选：． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】折叠问题、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是直角三角形的性质及与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角．解题的关键是理清角度之间的等量关系． 分、、三种情况，根据折叠的性质及等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时，， ， ， ∵， ， ， 当时，， ∵， 则， ， 当时，， 则， ∴， ∴， ∴，即点F与C重合，不符合题意； 综上所述，或， 故选：． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，在边上取点，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接；以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，的度数为___________． 【答案】/60度 【知识点】作线段(尺规作图)、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，由作图得出，是解题的关键．由作图可知，，，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知，，． ，， ，， ． ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的度数为______°． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】利用等边对等角，以及外角的性质，得到，即可得解． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判断和性质，外角的性质，以及三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 12．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是上的一点，，，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，掌握相关性质定理是解题的关键．先根据内角和定理求出和的度数，再利用外角性质求解的度数，进而得解． 【详解】解：，， ， 又，， ， ， ． 【考点三】高、中线、角平分线（面积法） 13．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）三角形的角平分线、中线、高都是（   ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【答案】A 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查三角形的角平分线、中线及高线，熟练掌握三角形的角平分线、中线及高线的定义是解题的关键；根据三角形的角平分线、中线和高的定义，它们都是线段，然后问题可求解． 【详解】解：由三角形的角平分线是顶点到对边的线段，平分内角；三角形的中线是顶点到对边中点的线段；三角形的高是顶点到对边（或对边延长线）的垂足之间的线段；可知三角形的角平分线、中线、高都是线段； 故选：A． 14．（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项A；利用角平分线的定义判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：A、∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论A正确，故该选项不符合题意； B、∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴结论B正确，故该选项不符合题意； C、∵是的中线， ∴， ∴， 即， ∴结论C正确，故该选项不符合题意； D、∵，但不一定小于， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 15．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，平分，点是的中点，连接，若的面积为4，则的面积等于__________． 【答案】 【知识点】三线合一、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线有关的面积问题，先根据三角形面积公式，由点E是的中点得到，再根据等腰三角形的性质得到，则利用，所以． 【详解】解：∵点是的中点，的面积为4， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为_____； （2）的面积为_____； （3）的面积为______． 【答案】 2 3 1.5 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线性质，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义，得到，再根据三角形周长的公式，代入化简，即可求得答案； （2）根据三角形的中线的性质，中线将的面积平分，可得到，据此即可求解； （3）根据三角形中线的性质，得到中线将的面积平分，进而得到，据此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为2． 故答案为：2； （2）∵为边上的中线， ∴． ∴， 故答案为：3； （3）∵为边上的中线， ∴． ∴． 故答案为：1.5． 17．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】40 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， 是的中线， ． 【点睛】 18．（25-26八年级上·江苏溧阳·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2)或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（）由三角形角平分线的定义得，进而由三角形外角性质得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）由三角形中线的定义得，即得到的周长的周长，进而得到或，据此即可求解； 本题考查了三角形的角平分线、高和中线，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， 又∵与的周长差为， ∴或， ∵， ∴或． 19．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），与交于点O． (1)若，是角平分线，求的度数； (2)若，是高，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的角平分线、高线及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的角平分线、高线及三角形内角和定理是解题的关键； （1）由题意易得，，，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据三角形内角和定理可进行求解． 【详解】（1）解：如图，∵， ∴， ∵是的角平分线，是角平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是高， ∴， ∵°， ∴， ∵是的角平分线， ∴； 在中，． 20．（25-26八年级上·江苏南京·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； (3)10 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【考点四】全等三角形的判定选择 21．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点，在上，且，，，则，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【详解】证明：∵ ∴ 在中， ∴． 故选：A. 22．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，由，，可得，使用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 直接根据证明即可． 【详解】在和中， ， ． 故选：C． 23．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，平分，下列一定结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取，连接，证明，得，则，再由三角形的三边关系得，则，即可得出结论． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 24．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，平分，那么与全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选B． 25．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，，，则线段和的关系为__________． 【答案】平行且相等 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，根据斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)证明 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． ∴线段和的关系为平行且相等， 故答案为：平行且相等． 26．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，点D、E分别在边上，，，若，，则______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：在与中， ， ≌， ， ， ， 故答案为： 27．（25-26八年级上·江苏南通·期中）某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（    ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、全等三角形综合问题 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定，尺规作图．根据作图痕迹，运用相关知识逐一进行判断即可． 【详解】解：图1为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 图2中，由作图可知， ∴，， ∴， ∴， ∴为的平分线； 图3为过点O作，则射线不一定是的平分线； 图4中，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线． 故选：C． 28．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（    ）    A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．边上的高 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，作，交的延长线于点，证明，进而得到，得到，进行判断即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，    则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故只需知道的长度即可得到的面积； 故选C． 【考点五】全等三角形的性质应用 29．（25-26八年级上·江苏溧阳·期中）小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴B到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到A处时，于点C，此时测得A处到地面的距离为；当海盗船中心从A处摇摆到处时，于点B．求此时点到的距离． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先过点作于点F，再证明，可得，证明，从而可得答案，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点F，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 30．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图1，小聪和小明玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，是支点（即、、三点共线，、、三点共线），横板绕点转动，当小聪从水平位置下降至点处时，下降的竖直高度（于点），此时小明升高至点处，小明距离地面的高度（于点，交于点），已知，，，求支点到地面的距离的长． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的实际应用，根据已知可先证明，从而得到，再结合进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 答：支点到地面的距离的长为． 31．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【知识点】垂线的定义理解、与三角形的高有关的计算问题、全等三角形综合问题 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴． 32．（25-26八年级上·江苏·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲：可行；乙：可行 (2) 甲可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 乙可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）根据全等三角形的判定方法，即可判断是否可行； （2）根据全等三角形的判定及性质即可求得答案． 【详解】（1）解：甲：可行； 乙：可行； （2）略 33．（25-26八年级上·江苏南京·期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，使得在同一条直线上，且，当在同一条直线上时，只需测量的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】求湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是掌握证明三角形全等． 先利用证明，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵当D，B，P在同一条直线上时，A，B，C在同一条直线上， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 答：湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 34．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）探究解题 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明； (2)图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．（提示：可延长交延长线于） 【答案】(1)证明：∵平分， ， ， ， 又， (2) (3)， 证明：如图3，延长交延长线于， ∵， ∴． 平分， ， 在和中， ， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【知识点】角平分线的有关计算、根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，然后根据可证明；； （2）如图所示，延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为30得到，进而求解即可； （3）如图3，延长交延长线于F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】（1）略； （2）解：如图2所示，延长交于点， 同（1）可得， ，， ， ， ， ∵与同高， ， 的面积为30， ， ， ， 的面积； 【考点六】线段垂直平分线与角平分线 35．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的长等于，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质进行计算即可． 【详解】垂直平分，， ， ， ． 故选． 36．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是_________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】考查角平分线的性质以及三角形的面积公式，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过D作于F，根据角平分线性质得到，由， ，，代入即可求解． 【详解】解：过D作于F， ∵是中的角平分线，， ∴， ∵ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 37．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是_______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出是解此题的关键； 过作于，由，，即可求得的长，然后由角平分线的性质，求得的长，继而求得答案． 【详解】解：过作于， 平分，， ， ，， ， ∵在中，，的平分线交于， ， ， 的面积是：． 故答案为： 38．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在、处参加植树活动，要在道路、的交叉区域内设一个茶水供应点，使到、两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出点（不写画法，但保留作图痕迹) 【答案】如图所示： 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题考查了线段垂直平分线以及角平分线，要使点到点，的距离相等，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知点应该在线段的垂直平分线上； 要使点到两条道路的距离相等，根据角平分线性质定理的逆定理可得点在的角平分线上，据此分别作出的垂直平分线以及的角平分线，两线的交点即为满足条件的点． 【详解】解：（1）作出的平分线； （2）连接，作的垂直平分线交于点，点就是所求的点． 39．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知，请按要求用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图1中，求作线段，点D在边上，使得将分成面积相等的两部分； (2)在图2中，在边上确定一点P，使得点P到边、的距离相等． 【答案】(1) 如图所示，线段即为所求： (2) 如图所示，点P即为所求： 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的性质，熟练掌握尺规作垂直平分线和角平分线的方法是解题的关键． （1）作的垂直平分线交边于点D，连接，则线段即为所求； （2）作的角平分线交边于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 40．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，P点即为所求，为加油站位置． 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质与作图步骤是解题关键． 分别作出线段的中垂线，作角平分线，进而得出其交点P即为所求，为加油站位置． 【详解】略 41．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知．用直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图1中边上作出点，使得点到、的距离相等； (2)在图2中边上作出点，使得． 【答案】(1) 解：如图，点即为所求． (2) 解：如图，点即为所求． 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】该题考查了尺规作图以及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质． （1）尺规作的角平分线交边于点即可； （2）尺规作线段的垂直平分线交边于点，则，结合等量代换即可得出，故点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 42．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：连接， ，如图所示： ∵是的平分线，，, ∴， ∴, ∴,,,都是直角三角形， ∵是边的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴, ∴. (2)． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL）、全等三角形综合问题 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）连接， ，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得，，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设，则，依据“”判定和全等得，则，据此即可得出的周长． 【详解】（1）证明：略； （2）解：设， ∵,, ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴, ∴的周长为：． 43．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上作点、，使点到与的距离相等，点到点与的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接、，若，，则________． 【答案】(1) 如图所示， (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，线段垂直平分线，三角形内角和定理计算角度，等边对等角，掌握尺规作图的方法，三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等得到点D，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到点E，由此即可求解； （2）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，由垂直平分线得到，根据即可求解． 【详解】（1）解：作的角平分线交线段于点，则点到与的距离相等， 作线段的垂直平分线交线段于点，则点到点与的距离相等， ∴点D，E即为所求点； （2）解：在中，，设线段的垂直平分线交于点F， ∴， 根据作图得到线段是角平分线，线段是垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，等腰中，，． (1)请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． (2)点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于 ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) ①如图，直线即为所求； ②如图，点P即为所求； (2)，如上图，点Q即为所求作的点． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）①利用尺规作出线段的垂直平分线即可；②利用尺规作出的角平分线，交于点P，点P即为所求； （2）直线与的交点即为点Q，最小值为的长． 【详解】（1）略 （2）解：直线与的交点即为点Q， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴ ∴最小值， ∴点Q即为所求作的点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线和角平分线，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点七】等腰三角形的角度计算（分类讨论） 45．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为______． 【答案】或或 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】①当和是两个底角时， ， 解得， 则底角为， 顶角为：； ②当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为； ③当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为． 综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或， 故答案为：或或 46．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或 【知识点】折叠问题、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质．设，由折叠的性质可求，，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：设， ∵沿直线翻折得到， ∴，，， ∴， 当，则， ∴， ∴， 当，则， ∴， ∴； 如图， 由折叠可知，， 此时，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 综上，的度数或或． 故答案为：或或． 47．（25-26八年级上·江苏南京·期中）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”． (1)请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并在图中标注出必要的角度或相等的线段． ①；②，；③， (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是_______． (3)如图2，中，，其中是最小的内角，画出所有可能的“三等腰线”，并作适当的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） (4)已知，如图3，已知线段m、n，求作，使得，，且（保留作图痕迹，并作简要说明）． 【答案】(1) 解：①如图1-1，1-2，1-3所示 (2)或或 (3) 第一种画法：如图2-1，当、时，即和是等腰三角形， 第二种画法：如图2-2，当、时，即和是等腰三角形， (4) 解：如图3 ①作线段， ②在线段上取一点，使， ③作线段的垂直平分线， ④以为半径，以为圆心，画弧交线段的垂直平分线于点， 则为所求． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、作已知线段的垂直平分线、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形综合题和作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）设底角度数为，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （4）模仿图1-2构造等腰三角形和即可作图. 【详解】（1）解：①如图1-1，取的中点，则， ∴和是等腰三角形； ②如图1-2，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； ③如图1-3，作的垂直平分线，交于，交于，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； （2）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图5， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图6， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图7， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或； （3）解：设，则，， ∵是最小的内角， ∴， ∴， ∴ 第一种画法：如图2-1，当、时，即和是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、是三角形的“三等腰线”， 第二种画法：如图2-2，当、时，即和是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、是三角形的“三等腰线”， 综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对取值范围内的任意值都成立． （4）证明：由作法可知，，， ∴，， ∵ ∴ 48．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． (1)依题意补全图形；当， ； (2)当时，求的度数； (3)当时，探究之间的数量关系，并说明理由； (4)若为等腰三角形，直接写出的度数 ． 【答案】(1) 如图所示； (2) (3) 解：，证明如下： 在上截取，如图： 是等边三角形， ， 由对称可知：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 由对称可知：，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (4)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）依题意补全图形；根据轴对称可知：，得出，则可得出答案； （2）由等腰三角形的性质可求的度数，由外角性质可求解； （3）在上截取，由对称可知：，得出，则，证明，得出，则可得出结论； （4）分三种情况，由等腰三角形的性质及轴对称的性质可得出答案． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 根据轴对称可知：， ，， ； （2）解：由对称可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 （4）解：分以下三种情况： ①当时，延长交于点，如图所示： ，， 垂直平分，即垂直平分， 为等边三角形， ， ， 根据轴对称可知：； ②当时，如图： 根据轴对称可知：， ， 是等边三角形， ， ； ③当时，如图： ，， 垂直平分， 根据轴对称可知，垂直平分， 三点在同一条直线上， （不合题意，舍去）， 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【考点八】等腰三角形“三线合一”的应用 49．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（    ） A．等腰三角形的三线合一 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等边对等角 【答案】A 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，为的中点， ∴， 故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一， 故选：A． 50．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形顶角的角平分线长，则这个等腰三角形底边上的中线长是_____cm． 【答案】 6 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形性质，理解三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，因此它们长度相等． 【详解】∵等腰三角形顶角的角平分线长6cm，且根据等腰三角形的性质，顶角的角平分线与底边上的中线重合， ∴这个等腰三角形底边上的中线长是6cm． 故答案为6． 51．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，以A为圆心，为半径画弧，交于点D．若M、N分别是、的中点，则的长为________． 【答案】2 【知识点】作线段(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三线合一、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练运用以上知识点是解决本题的关键．连接，根据作图可得，再根据等腰三角形的判定和性质可得，进而根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：连接，如图： 以为圆心，为半径画弧，交于点． ， ∴是等腰三角形， 是的中点， ， 是的中点，， ． 故答案为：． 52．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，分别是高，M为的中点，N为的中点，求证：． 【答案】 证明：如图，连接，， 由分别是高可得，， ∵M为的中点， ∴，即为等腰三角形， ∵N为的中点， ∴． 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质，正确作出辅助线． 连接，，根据直角三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】略 53．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，交于点，为的中点，连接． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1) ， 理由：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴； (2)的长为 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1），由，得，，由得，可得，进而得，由为的中点，三线合一即可得； （2）由“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得，得，同理得，由即可得出． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 54．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，D为的中点，过点D作的平行线交于点E， (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三线合一、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键； （1）根据等腰三角形的性质可得，结合平行线的性质和等量代换可得，进而可得结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，推出，得到，结合（1）的结论可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，D为的中点， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【考点九】等边三角形 55．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (2) ∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 56．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1) 证明：，， ， ， 平分， ， ， 即， ． (2)8 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）依据，，即可得到，再根据平分，可得，进而得出，根据等腰三角形的性质即可得到结论． （2）根据含的直角三角形的性质可求得长，根据已知条件可证明为等边三角形，则可求长，则可求． 【详解】（1）略 （2）解：，， ，， 中，， 中，， ，， ∴为等边三角形， ∴ ． 57．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，， (1)若， ①如果，那么是______三角形； ②猜想和的数量关系并证明； (2)如果，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①等边， ②解：结论：，理由如下， ， ， 又， ， ， ， ； (2) 解：结论：， 理由如下：，， ， 又， ， ∴ ∴ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，熟记平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）①由于，利用平行线性质可得，又，可得，易求，又，即可得出是等边三角形；②同理①，根据平行线的性质及等腰三角形的性质求解即可； （2）由于，可得，而，那么有，从而有，那么易证 【详解】（1）①解：， ， 又， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 故答案为：等边； 58．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】折纸，常常能为证明提供思路和方法．我们曾用正方形纸片折叠过等边三角形，用直角三角形纸片能折出等边三角形吗？ 【复习回顾】课本第57页，第22题： (1)如图1中的（1），把正方形纸片对折后再展开．折痕为；如（2）．将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B；如（3），沿折叠，得[如图1（4）]． 阅读上述材料，是等边三角形的判定依据是 ； (2)【小慧的思考】小慧做完了这题后进行了思考：尝试用直角三角形折出等边三角形，她先从特殊的直角三角形进行研究（见图2）：如图2中的①是一张直角三角形纸片（，）．如②，将此三角形纸片折叠，使得点B与点A重合，再展开，折痕为，连接；如③，将点C翻折到上的点处，连接，得到．请你帮小慧证明是等边三角形． (3)【你的思考】请你以此图3的直角三角形纸片（，），再设计一个不同于上述的折纸方法（要求：折纸次数不得超过四次，并且画出示意图），使得折出的等边三角形与此直角三角形有一个顶点重合，并说明你折法的正确性． (4)【再思考】一般的直角三角形纸片可以折出等边三角形吗？如果能，请说明你的折纸思路：若不能，请说明理由． 【答案】(1)三边相等的三角形是等边三角形； (2) 证明：由折叠可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵由折叠可知：， ∴是等边三角形， (3) 解：方法1，如图，将点A翻折到上的点处，再展开，将点A翻折到上的点处，连接，得到．即是等边三角形． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 方法2， 将点翻折到上的点处，再展开．折痕为；如（2）．将点翻折到上的点处，连接，得到．即是等边三角形． ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． (4)能．理由如下： 如图，在较短边上取一点（，为保证以后折叠时在内部）， 将点翻折到上的点处，再展开．折痕为；如（2）．将点翻折到上的点处，连接，得到．即是等边三角形． ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定和性质、折叠问题、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线性质、等腰三角形的判定和性质，掌握折叠可以构造相等的线段、中点、垂直平分线、相等的角是解题关键． （1）由折叠可知，是的垂直平分线，可得进而可得，由此得出结论； （2）由折叠可知：，，进而求出，由，根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形即可得出结论； （3）利用折叠，构造出、和，进而利用折叠构造含的等腰三角形,或利用折叠构造线段的垂直平分线，再在垂直平分线上利用折叠得出相等的相等，即可构造等边三角形， （4）根据等边三角形的三个顶点到彼此的距离相等，通过垂直平分线确保对称性，并通过折叠保持长度相等，从而构造出等边三角形．对于一般的直角三角形，总可以选择合适的边（如较短的直角边）来确保等边三角形完全位于纸内． 【详解】（1）解：是等边三角形的判定依据是三边相等的三角形是等边三角形， 理由：由折叠可知：，是的垂直平分线， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 59．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； (2) 证明：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 60．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图所示，是边长为1的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作，点M、N分别在、上． (1)如图1，若，则的周长为 ； (2)如图2，若点M、N位置如图所示，的周长与（1）比较改变了吗？如果改变了，请求出数值，若没改变，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)不变，2 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． （1）首先证明，进而得出是等边三角形，，则，即可解决问题； （2）首先证明出，延长至F，使，连接，证明，得到，，证明，从而得出，进而得到的周长等于的长． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ， ∴是等边三角形， ，则， ∵是顶角的等腰三角形， ， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴是等边三角形，， ，， ∴的周长． （2）解：不变，还是2，理由如下： ∵是等腰三角形，且， ∴， ∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，    在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，为公共边， ∴， ∴， ∴的周长是：． 61．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【课本再现】（）苏科版数学八年级上册课本第页思考：如图，中，，，那么与有怎样的数量关系？试证明你的结论． 【尝试探究】（2）点是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②求证：； 【探究应用】（3）若点是直线上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若，直接写出点到点的最小距离． 【答案】 （1），证明如下∶ 设的中点，连接，如图所示， 在中，∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （2）①是等腰三角形，理由如下： 设的中点，连接，，如图2所示， 由(1)知∶是等边三角形 ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ 在和中 ∴， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是线段的垂直平分线 ∴ ∴ ∴是等腰三角形 ②证明∶设， ∵ ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， 由①知∶是等腰三角形， ∴， ∴， 即； （3）． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）设的中点，连接，根据，得是等边三角形，则，由此可得出与的数量关系； （2）①设的中点，连接，证明和全等得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此可判定的形状∶②设，则，根据，得，进而根据是等腰三角形，，由此即可得出结论； （3）作的垂直平分线，垂足为，过点作于，由知点在直线上运动时，点在上运动，根据“垂线段最短"得点到上所有点的距离中，为最短，因此点和点重合时，为最小，最小距离是线段比的长，然后求出的长即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②略 （3）作的垂直平分线，垂足为，连接，过 点作于，如图所示， 由①知∶点在直线上运动时，点在上运动， 根据“垂线段最短”∶点到上所有点的距离中为最短， ∴点和点重合时，为最小，最小距离是线段的长， 由知∶是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴点到点的最小距离． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识点，理解直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等角形，并得出点在线段的垂直平分线上运动是解决问题的难点． 【考点十】全等三角形与等腰三角形综合 62．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ，即． 在和中， ， ． ． ． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，先证明得出，再由等角对等边即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 63．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，D为边上一点，，连接，上有一点F，满足． (1)求证：； (2)，点E为的中点，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， 在与中， ， ， ； (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）由，得到，，求得，根据全等三角形的性质得到； （2）根据，，得到，求得，得到，得到是等边三角形，求得． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ∵， ∴， ∴， 点E为的中点， ， 是等边三角形， ． 64．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，证明：是直角三角形； (2)若，，则______； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)4 (3)线段的长不会发生变化，且 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、等边对等角、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，结合， 证明，根据，可证即可证明是直角三角形； （2）根据，结合，证明是直角三角形；再利用直角三角形的性质解答即可； （3）设，则，过点P作交于点F，证明 是等边三角形，得，证明， 得到，结合，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； （3）解：线段的长不会发生变化，且，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 过点P作交于点F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故线段的长不会发生变化，且为． 65．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【模型感知】 （1）如图①，和都是等边三角形，求证：； 【模型应用】 （2）已知，点在直线上，以为边在直线上方作等边三角形，过点作于点．如图②，若点在点右侧，试猜想的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图③，已知中，，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，当最小时，求线段的值． 【答案】 （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2），证明如下： 如图，在射线上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ， ， ， ，即， ； （3） 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明即可得出结论； （2）在射线上截取，连接，得出是等边三角形，证明，得出对应角相等，再根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． （3）以为边作等边，连接，可证，可得，则时，的长最小，即的长最小，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，以为边作等边，连接，过点作交的延长线于点，   ，，， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ，且，， ， ， 时，的长最小，即的长最小， ，， ， 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．添加恰当辅助线构造全等三角形． 66．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接BE (1)①求证：；②求的度数； (2)拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接． ①则的度数为___________°； ②判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①证明：和均为等边三角形， ，，， ， ． 在和中， ， ， ； ② (2)①；②，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）①由条件和均为等边三角形，易证，从而得到对应边相等，即； ②根据，可得，由点，，在同一直线上，可求出，从而可以求出的度数即可； （2）①首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为； ②根据，，，可得，所以，据此判断出． 【详解】（1）①略 ②解：， ， 为等边三角形， ， 点、、在同一直线上， ， ； （2）解：①和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ， 故答案为：； ②． 理由：如图2，，，， ∴，，， ， ， （已证）， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $