30.2 三角形的内切圆 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 30.2 三角形的内切圆 专项练习（人教版九上\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)约1450字） ## 一、核心知识点梳理 1. **内切圆、内心定义** 与三角形**三边都相切**的圆\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)叫做三角形的内切圆\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内切圆的圆心叫做**内心**；这个三角形叫做圆的外切三角形。 内心是三角形**三条角平分线的交点**。 >核心性质：①内心一定在三角形内部；②内心到三角形**三边距离相等**\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)距离就是内切圆半径$r$；③内心与各顶点连线平分对应的内角。 2. **内切圆半径公式** ①通用公式：三角形面积$\boldsymbol{\(S=\)\dfrac12(a+b+c)r}$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)变形得$\boldsymbol{\(r=\)\dfrac{2S}{a+b+c}}$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(\(a,b\),c\)$为三边长。 ②直角三角形专用公式：两直角边$\(a,b\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)斜边$c$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内切圆半径$\boldsymbol{\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}}$。 3. **切点线段关系（切线长定理）** ⊙I是△ABC内切圆\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)切点D、E、F。设$\(AE=AF=x\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(BD=BF=y\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(CD=CE=z\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\) 则$\begin{cases}x+y=AB\\y+z=BC\\x+z=AC\end{cases}$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)用于求切点分割的线段长。 4. **内心角度公式** I为△ABC内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)则$\boldsymbol{\(\(∠BIC\)=\)90^\circ+\dfrac12∠A}$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)填空选择直接使用。 5. **内心与外心对比（高频易混）** - 内心（内切圆圆心）：三条角平分线交点\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)到**三边距离相等**； - 外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)到**三个顶点距离相等**。 >易错提醒 ①任意三角形有且只有1个内切圆；一个圆可以有无数个外切三角形； ②内心到三边距离相等\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)**不是到顶点距离相等**； ③看到内切圆切点\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)优先使用切线长相等列方程。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 三角形内心是（） A.三条高线交点 B.三条中线交点 C.三条角平分线交点 D.三边垂直平分线交点 **答案：C** 2. Rt△ABC\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)直角边6、8\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)斜边10\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内切圆半径$\(r=\)$（） A.1 B.2 C.3 D.4 **答案：B** 解析：$\(r=\)\dfrac{6+8-10}{2}=2$ 3. △ABC内心为I\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$∠A=70^\circ$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)则$\(\(∠BIC\)=\)$____°。 **答案：125** 解析：$\(\(∠BIC\)=\)90^\circ+\dfrac12×70^\circ=125^\circ$ 4. 三角形内切圆半径$\(r=\)2$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)周长为20\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)则三角形面积$\(S=\)$____。 **答案：20** 解析：$\(S=\)\dfrac12×20×2=20$ 5. △ABC内切圆与AB切于F\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BC切于D\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)AC切于E\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)AF=4\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)则AE=____。 **答案：4** ## 三、能力提升（解答题\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)写出完整步骤） 6. 已知△ABC三边长$AB=7\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BC=8\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)AC=9$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内切圆分别切三边于D、E、F\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求AF、BD、CD。 **解** 设$\(AF=AE=x\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(BF=BD=y\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(CD=CE=z\)$ $\begin{cases}x+y=7\\y+z=8\\x+z=9\end{cases}$ 三式相加：$\(2(x+y+z)=24\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(x+y+z=12\)$ $x=12-8=4$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$y=12-9=3$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$z=12-7=5$ 答：$AF=4\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BD=3\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)CD=5$。 7. 在Rt△ABC中\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$∠C=90^\circ$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$AC=5\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BC=12$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求内切圆半径。 **解** 斜边$AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$ 直角三角形内切圆半径：$\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{5+12-13}{2}=2$ 答：内切圆半径$\(r=\)2$。 8. I是△ABC内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(∠ABC\)=50^\circ\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)\(∠ACB\)=60^\circ$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求$\(∠BIC\)$度数。 **解** ∵I是内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)IB平分$\(∠ABC\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)IC平分$\(∠ACB\)$ $∠IBC=\dfrac12\(∠ABC\)=25^\circ$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$∠ICB=\dfrac12\(∠ACB\)=30^\circ$ $\(\(∠BIC\)=\)180^\circ-(25^\circ+30^\circ)=125^\circ$ 答：$\(\(∠BIC\)=\)125^\circ$。 9. 易错题：判断正误（对√\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)错×） ①三角形内心到三个顶点距离相等（×\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)内心到三边距离相等） ②直角三角形内切圆半径$\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}$（√） ③内心一定在三角形内部（√） ④三角形外接圆圆心是角平分线交点（×\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)外心是垂直平分线交点） ## 四、中考综合训练 10. △ABC周长24\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)面积24\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求内切圆半径$r$。 **解** 由内切圆面积公式$\(S=\)\dfrac12(a+b+c)r$ 代入$\(S=\)24$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)周长$\(a+b+c=24\)$ $24=\dfrac12\times24\times r$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)解得$\(r=\)2$。 答：内切圆半径为2。 11. 如图\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)△ABC的内切圆⊙I与BC、AC、AB相切于D、E、F\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$AB=10\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BC=11\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)AC=9$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)求BF的长。 **解** 设$\(BF=BD=x\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$CD=CE=11-x$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$AE=AF=10-x$。 $\(AE+CE=AC\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$(10-x)+(11-x)=9$ $21-2x=9$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(2x=12\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(x=6\)$。 答：$\(BF=6\)$。 12. 已知I是△ABC内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)连接AI并延长交△ABC外接圆于M。求证：$\(MB=MI\)$。 **证明** ∵I是内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)∴AI平分$\(∠BAC\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)BI平分$\(∠ABC\)$。 $\(∠BIM=∠BAI+∠ABI\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(∠IBM=∠CBM+∠CBI\)$。 同弧BM\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(∠CBM=∠BAI\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)$\(∠ABI=∠CBI\)$。 ∴$\(∠BIM=∠IBM\)$\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)∴$\(MB=MI\)$。 ## 五、方法总结 本节核心两个板块：**内心性质、内切圆半径计算**。 解题思路： 1. 看到内心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)立刻想到：角平分线\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)到三边距离相等；求$\(∠BIC\)$直接套公式$90^\circ+\dfrac12∠A$。 2. 切点线段计算题：用切线长设未知数\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)列三元方程组\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)是填空高频题型。 3. 求内切圆半径：普通三角形用$\(r=\)\dfrac{2S}{C}$；直角三角形优先用$\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}$简化计算。 高频陷阱： 1. 混淆内心、外心\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)记错两者定义； 2. 求切点线段时\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)边长代错； 3. 直角三角形公式中\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)忘记$c$是斜边。 本节和上节课切线长定理紧密关联\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)中考常和切线、圆周角综合出题\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)常放在圆大题第一问求线段或者角度。 （全文约1448字） 需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？下一课是正多边形和圆\(AC=5\(\(∠ABC\)=50^\circ，\(∠ACB\)=60^\circ\)BC=12\)继续写吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 30.2 三角形的内切圆 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十章 直线与圆的位置关系 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 情境导入 问题1: 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 情境导入 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知：△ABC. 求作：和△ABC 的各边都相切的圆 O. M N D 作法： 1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线 BM 和 CN，交点为 O. ☉O 就是所求的圆. A B C O 3. 以O为圆心，OD为半径作圆O. 2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D. 三角形的内切圆 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 3. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 4. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I 是△ABC 的内切圆， 点 I 是△ABC 的内心， △ABC 是☉I 的外切三角形. 2. 三角形内切圆的圆心是这个三角形三条角平分线的交点. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，那么 AI、BI、CI 有什么特点？ B A C I 根据“尖角三兄弟”模型可知：∠AIC=90°+ ∠BAC. AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA. B A C I 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，过点I 分别作 AB、AC、BC 的垂线，垂足分别为 E、F、G，那么线段 IE、IF、IG 之间有什么数量关系？ E F G 根据角的平分线的性质可得. 且IE = IF = IG=内切圆的半径r. IE = IF = IG. 三角形内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG. B A C I 三角形的外接圆和内切圆 名称 外心(三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点). 内心(三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点). 图形 性质 位置 角度关系 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. ∠BOC=90°＋∠A. ∠BOC=2∠A. 1. 返回 已知⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点 B 举一反三 10 返回 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝46°，∠ACB＝84°.⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则∠BOC的度数为(　　) A．105° B．110° C．115° D．125° C 举一反三 返回 3. 如图，点P是△ABC的内心，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1________S2＋S3.(填“<”“＝”或“>”) ＜ 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 求AB,BC,AC AB=9,BC=14,AC=13 求BF,CD,AE 4 5 9 切线长定理 4 9 5 切线长 边长 如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F， (1)若AF=4，BD=5，CE=9，求AB，BC和AC的长． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 y z z 边长 切线长 9 13 14 x x y AF=4，BD=5，CE=9 如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F， (2)若AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD和CE的长． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 面积 r r r 周长、内切圆半径 如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F， (3)若△ABC的周长为33，OE=4，求△ABC的面积. 三角形内切圆的半径 b-r r r b-r a-r a-r r r r 特别地，在直角三角形中，有 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 新学期，同学们布置教室．如图所示，教室前门ABCD宽度AB=1 m，门轴A到墙角E的距离AE=0.5 m，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙EB’阻挡，EB’⊥EA，门边BC靠在墙B‘C’的位置． (1)门打开的最大角度∠BAB’=______； 120° 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB’E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为35 cm的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由． （参考数据： ， ， ） (2)解：能放进直径为35 cm的圆柱形桶，理由如下： 如图，设圆心为O，△AB’E内切圆半径为r m，连接切点X,Y,Z，则四边形EYQX为正方形，∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 解得： ，∴ ， ∴能放进直径为35 cm的圆柱形桶． (2)同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB’E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为35 cm的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由． （参考数据： ， ， ） 返回 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长． 解：连接OE，OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x. ∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F， ∴OE⊥AC，OF⊥BC，BD＝BF. 又∵∠C＝90°，OE＝OF，∴四边形OECF为正方形． 举一反三 ∵⊙O的半径为2，∴CE＝CF＝2. 又∵BC＝5，∴BD＝BF＝BC－CF＝3. 在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(x＋2)2＋52＝(x＋3)2，解得x＝10， ∴AD＝AE＝10，∴AB＝13，AC＝12， ∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝12＋5＋13＝30. 返回 举一反三 [邯郸丛台区期中]如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝________. 5. 返回 1 举一反三 如图，已知P为平面上一点，若O是△ABC的内心，也是△BCP的外心，∠BAC＝70°，则∠BPC的度数为________． 返回 6. 62.5° 举一反三 返回 7. [攀枝花中考]如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°. (1)求△ABC的三个内角的大小； 解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC， CA分别相切于点D，E，F， ∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF， ∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°.　 举一反三 ∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°， ∴∠B＝360°－∠ODB－∠OEB－∠DOE＝60°， ∠C＝360°－∠OEC－∠OFC－∠EOF＝30°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝90°， ∴∠A，∠B，∠C的度数分别为90°，60°，30°. 返回 举一反三 返回 (2)设⊙O的直径为d，证明：d＝AB＋AC－BC.　 证明：由切线长定理得AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD＋CF＝BE＋CE＝BC. ∵AB＋AC＝AD＋BD＋CF＋AF＝2AF＋BC， ∴2AF＝AB＋AC－BC. ∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°， ∴四边形ADOF是矩形，∴OD＝AF， ∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径， ∴d＝2OD＝2AF，∴d＝AB＋AC－BC. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 公式 三角形的内切圆 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 概念 性质 谢谢观看 THANKS 在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，如图，若∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数． 解：如图，连接FI、EI. ∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝50°. ∵内切圆I和边CA、AB分别相切于点E、F， ∴∠AFI＝∠AEI＝90°. ∴∠FIE＝360°－90°－90°－50°＝130°. 由圆周角定理，得∠EDF＝ ∠FIE＝65°. 在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F， 如图，若BC＝3，CA＝4，AB＝5，求△ABC内切圆的半径． 解：如图，连接ID，IE. ∵BC2＋AC2＝32＋42＝25，AB2＝25， ∴BC2＋AC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形． ∵∠IDC＝∠C＝∠IEC＝90°，ID＝IE， ∴四边形DCEI为正方形． ∴ID＝CD＝CE＝IE.∴CD＋CE＝BC＋AC－AB＝2. ∴△ABC内切圆的半径为1. $