30.1.2 第2课时 切线长定理（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 30.1.2 第2课时 切线长定理 专项练习（人教版九上\(OA⊥PA，OB⊥PB\)约1450字） ## 一、核心知识点梳理 1. **切线长定义** 从圆外一点引圆的切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)这点和切点之间的线段的长\(OA⊥PA，OB⊥PB\)叫做这点到圆的切线长。 ⚠️区分：切线是直线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)切线长是**线段长度**。 2. **切线长定理** 从圆外一点可以引圆的两条切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)它们的切线长相等\(OA⊥PA，OB⊥PB\)这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 符号语言：若PA、PB切⊙O于A、B\(OA⊥PA，OB⊥PB\)则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)}$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(\(∠APO=\)∠BPO\)}\)}$。 推论：OP垂直平分切点连线AB；$OA⊥PA$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$OB⊥PB$。 3. **三角形的内切圆** 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆\(OA⊥PA，OB⊥PB\)内切圆的圆心叫做三角形的内心。 - 内心：三角形**三条角平分线交点**\(OA⊥PA，OB⊥PB\)到三边距离相等\(OA⊥PA，OB⊥PB\)距离等于内切圆半径$r$。 - 外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点\(OA⊥PA，OB⊥PB\)不要混淆。 直角三角形内切圆半径公式：$\boldsymbol{\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}}$（$c$为斜边）。 任意三角形内切圆面积推导：$S=\dfrac12(a+b+c)r$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$\boldsymbol{\(r=\)\dfrac{2S}{C}}$（$S$面积\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$C$周长）。 >易错提醒 ①切线长定理前提：**同一个圆\(OA⊥PA，OB⊥PB\)同一点向外引出两条切线**； ②内心一定在三角形内部； ③看清题目是内切圆（内心）还是外接圆（外心）\(OA⊥PA，OB⊥PB\)二者极易混淆； ④看到两条切线从同一点引出\(OA⊥PA，OB⊥PB\)立刻想到切线长相等\(OA⊥PA，OB⊥PB\)角度平分。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB\(OA⊥PA，OB⊥PB\)A、B为切点\(OA⊥PA，OB⊥PB\)下列结论错误的是（） A.$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$ B.$\(\boldsymbol{\(\(∠APO=\)∠BPO\)}\)$ C.$OA⊥PA$ D.$OP$平分AB\(OA⊥PA，OB⊥PB\)但不垂直AB **答案：D** 2. 已知PA、PB是⊙O切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)PA=7\(OA⊥PA，OB⊥PB\)则PB长为（） A.5 B.7 C.9 D.14 **答案：B** 3. PA、PB切⊙O于A、B\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$\(\(∠APB\)=60°\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)则$\(∠APO=\)$____°。 **答案：30** 4. 直角三角形两直角边3、4\(OA⊥PA，OB⊥PB\)斜边5\(OA⊥PA，OB⊥PB\)则内切圆半径$\(r=\)$____。 **答案：1** 解析：$\(r=\)\dfrac{3+4-5}{2}=1$ 5. 三角形内心是三角形____的交点。 **答案：三条角平分线** ## 三、能力提升（解答题\(OA⊥PA，OB⊥PB\)写出完整步骤） 6. 已知PA、PB是⊙O的两条切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)A、B为切点\(OA⊥PA，OB⊥PB\)OP交AB于M。求证：OP垂直平分AB。 **证明** ∵PA、PB是⊙O切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)∴$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$\(\boldsymbol{\(\(∠APO=\)∠BPO\)}\)$。 ∴△PAB是等腰三角形\(OA⊥PA，OB⊥PB\)PM是顶角平分线。 根据等腰三角形三线合一\(OA⊥PA，OB⊥PB\)PM⊥AB\(OA⊥PA，OB⊥PB\)AM=BM。 即OP垂直平分线段AB。 7. PA、PB切⊙O于A、B\(OA⊥PA，OB⊥PB\)PA=8\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$\(\(∠APB\)=60°\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)求AB的长。 **解** ∵PA、PB是切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)∴$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)=8$。 又$\(\(∠APB\)=60°\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)∴△PAB是等边三角形。 ∴$\(AB=PA=8\)$。 答：AB长为8。 8. 在△ABC中\(OA⊥PA，OB⊥PB\)⊙I是内切圆\(OA⊥PA，OB⊥PB\)切点分别为D、E、F\(OA⊥PA，OB⊥PB\)AB=9\(OA⊥PA，OB⊥PB\)BC=10\(OA⊥PA，OB⊥PB\)AC=11\(OA⊥PA，OB⊥PB\)求AE、BD、CF的长。 **解** 设$\(AE=AF=x\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$\(BD=BF=y\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$\(CD=CE=z\)$。 $\begin{cases} x+y=9\\ y+z=10\\ x+z=11 \end{cases}$ 三式相加：$\(2(x+y+z)=30\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$\(x+y+z=15\)$。 $x=15-10=5$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$y=15-11=4$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$z=15-9=6$。 ∴$AE=5\(OA⊥PA，OB⊥PB\)BD=4\(OA⊥PA，OB⊥PB\)CF=6$。 9. 易错题：判断正误（对√\(OA⊥PA，OB⊥PB\)错×） ①从一点引圆两条切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)切线长相等（×\(OA⊥PA，OB⊥PB\)前提：圆外一点） ②三角形内心到三个顶点距离相等（×\(OA⊥PA，OB⊥PB\)内心到三边距离相等；外心到顶点等距） ③直角三角形内切圆半径$\(r=\)\dfrac{a+b-c}{2}$（√） ④PA、PB切圆于A、B\(OA⊥PA，OB⊥PB\)则OP垂直AB（√） ## 四、中考综合训练 10. 如图\(OA⊥PA，OB⊥PB\)PA、PB切⊙O于A、B\(OA⊥PA，OB⊥PB\)连接OA、OB。若$\(∠AOB=130°\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)求$\(∠APB\)$度数。 **解** ∵PA、PB是切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)∴$OA⊥PA\(OA⊥PA，OB⊥PB\)OB⊥PB$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$\(∠OAP=∠OBP=90°\)$。 四边形OAPB内角和360°\(OA⊥PA，OB⊥PB\) $\(∠APB\)=360°−90°−90°−130°=50°$。 答：$\(∠APB\)=50°$。 11. △ABC\(OA⊥PA，OB⊥PB\)AB=5\(OA⊥PA，OB⊥PB\)BC=6\(OA⊥PA，OB⊥PB\)AC=7\(OA⊥PA，OB⊥PB\)求△ABC内切圆半径r。 **解** 半周长$p=\dfrac{5+6+7}{2}=9$。 海伦公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt6$。 由$S=\dfrac12(a+b+c)r$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)$6\sqrt6=\dfrac12\times18\times r$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)解得$\(r=\)\dfrac{2\sqrt6}{3}$。 答：内切圆半径$\(r=\)\dfrac{2\sqrt6}{3}$。 12. 如图\(OA⊥PA，OB⊥PB\)PA、PB切⊙O于A、B\(OA⊥PA，OB⊥PB\)CD切⊙O于E\(OA⊥PA，OB⊥PB\)交PA于C\(OA⊥PA，OB⊥PB\)交PB于D。PA=10\(OA⊥PA，OB⊥PB\)求△PCD周长。 **解** ∵PA、PB为切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)∴$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)=10$。 CA、CE是C到圆切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)∴$\(CA=CE\)$； DB、DE是D到圆切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)∴$\(DB=DE\)$。 △PCD周长$\(=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD\)$ $\(=PC+CA+DB+PD=PA+PB=10+10=20\)$。 答：△PCD周长为20。 ## 五、方法总结 本节核心是**切线长相等\(OA⊥PA，OB⊥PB\)连线平分夹角**\(OA⊥PA，OB⊥PB\)同时认识三角形内心。 常用模型： 1. 同一点引出两条切线：$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)OP平分$\(∠APB\)$\(OA⊥PA，OB⊥PB\)OP垂直平分AB\(OA⊥PA，OB⊥PB\)四边形OAPB含两个直角。求角度多用四边形内角和。 2. 三角形内切圆切点线段计算：设未知数\(OA⊥PA，OB⊥PB\)利用切线长相等列方程组\(OA⊥PA，OB⊥PB\)是填空高频题型。 3. 含第三条切线的“切线型”周长题\(OA⊥PA，OB⊥PB\)利用线段等量代换\(OA⊥PA，OB⊥PB\)周长等于两倍切线长。 易混概念辨析： - 内心：角平分线交点\(OA⊥PA，OB⊥PB\)到三边距离相等（内切圆半径）； - 外心：垂直平分线交点\(OA⊥PA，OB⊥PB\)到三个顶点距离相等（外接圆半径）。 解题辅助线思路：看到切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)连圆心切点\(OA⊥PA，OB⊥PB\)得到垂直；同一点双切线\(OA⊥PA，OB⊥PB\)直接写切线长相等。 本节大题常和切线判定、圆周角结合\(OA⊥PA，OB⊥PB\)中考常出填空求角度、求三角形周长。 （全文约1449字） 需要我生成**无答案纯题目版**方便打印吗？下一节是正多边形和圆\(OA⊥PA，OB⊥PB\)继续写吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 30.1.2 第2课时 切线长定理 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十章 直线与圆的位置关系 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A 用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C； （2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线. O. P A B M N C 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，已知☉O及☉O外的一点P，PA与☉O相切于A点，PB与☉O相切于B点， 你能发现哪些数量关系或者位置关系？ O P A B 利用圆的轴对称性进行度量或者通过折叠等方式，猜想： PA=PB，∠APO=∠BPO 你能证明你的猜想吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知PA,PB分别为圆O的两条切线，切点分别为A,B. 求证：PA = PB ，∠APO=∠BPO A P O B 证明：连接OA、OB 、OP ∵PA、PB与☉O 相切于A、B两点， OA、OB为半径 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° 在Rt△AOP和Rt△BOP中 ∵ OA=OB，OP=OP ∴ Rt△AOP≌ Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB，∠APO=∠BPO. 切线长定理 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. B P O A 切线长定理为证明线段相等、 角相等提供了新的方法. ∵PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B ∴ PA = PB, ∠OPA = ∠OPB 几何语言： 1. 返回 已知：⊙O和⊙O外一点P. 尺规作图：在图中，过P点作⊙O的两条切线PE，PF，E，F为切点． 解：①连接PO，作PO的垂直平分线AB交PO于点C； ②以点C为圆心，CO长为半径作圆交⊙O于点E，F， ③作直线PE，PF，则直线PE，PF即为所求． 举一反三 7 返回 2. 如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　　) C 举一反三 返回 3. [邢台校级期中]如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝10，AC＝6，则BD的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若连接两切点A、B，AB交OP于点M，你又有什么新的发现呢?请证明你的猜想. 证明：∵PA，PB是☉O的切线， 点A、B是切点 ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB(切线长定理) ∴△PAB是等腰三角形，PO为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB(等腰三角形三线合一) 猜想：OP垂直平分AB. B P O A M 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 B P O A 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 E 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 由勾股定理得， ∴(, 解得x=, 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 小明同学用一把直尺和一个直角三角板(有一个锐角为60°)测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点 C 归纳拓展 PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. B P O A C E D (1)图中所有的垂直关系： OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. (2)图中与∠OAC和∠AOC相等的角： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. ∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC (3)图中所有的相等的线段： PA=PB，AC =BC，OA =OB. (4)图中所有的全等三角形: △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. (5)图中所有的等腰三角形: △ABP，△AOB. 切线的基本模型 A P O B (1)连接圆心和切点，得到直角； A P O B (2)连接两切点，构建等腰三角形； A P O B (3)连接圆心和圆外一点，得到角平分线. 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建以下三个基本图形： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点(即BC与O相切于点D)．点A在O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与交于点E，与BC交于点B，连接AC,OC,CE，BD=CD=3,OA⊥AC．(1)求证：∠B=∠ACO； (1)证明：如图，连接OD．∵BC与相切于点D， ， ， ， ． 又∵ ， , ∴ , ∴ ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：根据(1)可得 ， ， , . ∴ ，∵CA,CD与O相切,∠OAC=90°， ，在 中， ， ∴ ，∴ ，∴ ， 在 中， ． (2)求CE的长． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在Rt△AOB中，OA=OB =3 ☉O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点)，求切线PQ的最小值. 解：连接OP，OQ．∵PQ是☉O的切线，∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， A B O P Q P Q ∵在Rt△AOB中，OA=OB=3， ∴AB=OA=6，∴OP==3∴PQ==2． 反思与总结 转化与划归思想 题中要求切线PQ的最小值，由于P点和Q点都是动点，无法直接找到PQ的最小值.注意到P点的位置确定后，Q点的位置也随之确定.根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2=OP2−1，要求PQ的最小值，只需要求OP的最小值.即将PQ的最小值转化为的最小值. 反思与总结 “一箭穿心”模型 求圆外一点P到圆上一点Q的距离的最值，由图可知，当直线PQ经过圆心O时，线段PQ的长度取得最值：最小值为PQ1的长度，最大值为PQ2的长度.即 PQ1 ≤ PQ ≤ PQ2. P Q O Q1 Q2 返回 4. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B.若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则线段PO的长度为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 B 举一反三 【情境题 生活应用】如图是一个不倒翁的示意图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，连接OA，若∠OAB＝25°，则∠APB的度数为________． 5. 返回 50° 举一反三 [北京期末]如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，并与⊙O的另一条切线分别相交于D，C两点，已知PA＝5 cm，则△PCD的周长为________cm. 返回 6. 10 举一反三 返回 7. 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm. (1)求证：OB⊥OC； 证明：如图，连接OF.根据切线长定理得， BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°，∴OB⊥OC. 举一反三 返回 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm. (2)求CG的长． 解：由(1)知，∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理得BC＝ ∵BC与⊙O相切于点F，∴OF⊥BC. 举一反三 返回 ∵CF，CG分别与⊙O相切于点F，G， ∴CG＝CF＝6.4 cm. 举一反三 返回 8. 【易错题】[自贡中考]PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为(　　) A．50° B．100° C．130° D．50°或130° D 举一反三 返回 9. [泸州中考]如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　) A．56° B．60° C．68° D．70° C 举一反三 31 返回 10. 如图，已知⊙O及⊙O外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是PO的中点； ②直线PQ，PR都是⊙O的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④S△PQA＝ S四边形PROQ. 对上述结论描述正确的是(　　) A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 C 举一反三 32 11. [保定期末]如图，正方形ABCD的边长为6，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则梯形ABCE的面积为________． 返回 举一反三 33 返回 12. [北京期末]如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．若PA＝10 cm，则△PCD的周长为________；若∠P＝40°，则∠COD＝________°. 20 cm 70 举一反三 34 13. 如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC. (1)求证：∠AOC＝2∠PAC； 证明：如图，过点O作OH⊥AC于点H， ∴∠OHA＝90°，∴∠AOH＋∠OAC＝90°. ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OAC＋∠PAC＝90°， ∴∠AOH＝∠PAC. ∵OA＝OC，OH⊥AC， ∴∠AOC＝2∠AOH，∴∠AOC＝2∠PAC. 返回 举一反三 (2)连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长． 返回 解：如图，延长AC交PB于点E. ∵PA，PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB，PA＝PB. ∵AC∥OB，∴AC⊥PB. 又∵OH⊥AC，∴四边形OBEH是矩形， ∴OH＝BE，HE＝OB＝5. 举一反三 返回 ∴BE＝OH＝4. ∵AP2＝AE2＋PE2，∴AP2＝82＋(AP－4)2，∴AP＝10. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 辅助线 切线长定理 提供了证线段和角相等的新方法 图形的轴对称性 原理 作用 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 谢谢观看 THANKS A．4 B．4 C．8 D．8 如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°. (1)求∠BAC的度数； 解：(1)∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP. ∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°. ∵AC是⊙O的直径， ∴∠PAC＝90°. ∴∠BAC＝90°－60°＝30°. (2)当OA＝2时，求AB的长． (2)如图，连接OP. 在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝∠APB＝30°， ∴OP＝4.由勾股定理，得AP＝2. ∵AP＝BP，∠APB＝60°， ∴△APB是等边三角形． ∴AB＝AP＝2. ＝10 cm. ∴S△BOC＝OB·OC＝BC·OF， 即×6×8＝×10×OF. ∴OF＝4.8 cm. ∴CF＝＝6.4 cm. ∵OH⊥AC，OA＝OC，∴AH＝CH＝AC＝3， ∴OH＝＝4，AE＝AH＋HE＝8， $