30.1 第3课时切线长定理-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

1.∴.BF=√OB2-OF=√32-1下=2√2.CD⊥OB, OC为⊙O的半径，'.∠OCD=90°=∠OFD,OC=OF.又 OD=OD,∴.Rt△OCD≌Rt△OFD..CD=FD. ∴.BD=BF一DF-BF一CD.由勾股定理，得CD十 CB=BD,.CD+2=(22-CD),解得CD二号. DEB=vD+CE=√)+2-3.△MD 2 周长的最小值为号+-2反 (第8题) 9.(1)连接B0.:∠ACB=60°，∴.∠AOB=120°.OA 0B,∠0AB=∠0BA=号×(180-∠A0B)=30 AB=BD,.∠D=∠OAB=30°.∴.∠ABD=180° ∠OAB-∠D=120°.∴.∠DBO=∠ABD-∠ABO= 90°..OB⊥BD.:OB为⊙O的半径，∴.DB是⊙O的 切线.（2)连接BE.:AE是直径，∴.∠ABE=90°， AE=2A0=4.:∠0AB=30,BE=2AE=2∴AB= √AE-BE=√/4？-2=2W5.:∠DBE=∠ABD ∠ABE=30°，∴.∠DBE=∠D.∴.DE=BE=2.BD= DF=AB=23,.EF=DF-DE=23-2.OE=AO= 2,∴.OF=OE-EF=2-(23-2)=4-23. 10.(1)连接OC,BC.:AC=BC,.AC=BC.OA= OB,.OC⊥AB.OA=OB,AC=CD,∴.OC是△ABD 的中位线.∴.OC∥BD.∴BD⊥AB,即OB⊥BD.又 OB是⊙O的半径，∴.BD是⊙O的切线.(2)OA= 2,∴.OC=OB=OA=2,AB=2OA=4.OC⊥AB, BD⊥AB,.∠COE=∠FBE=90°.E是OB的中点， ∠COE=∠FBE, ∴.OE=BE.在△COE和△FBE中，OE=BE, ∠OEC=∠BEF, .△COE≌△FBE.∴.OC=BF=2..在Rt△ABF中， 由勾股定理，得AF=√AB2+BF=√4+2=25. AB是⊙O的直径，∴.∠AHB=90°，即BH⊥AF Sae-AF·B肝=AB·B即，BH=ABF AF 6 4×24W5 2w55· 第3课时切线长定理 1.D连接OA,OB.由切线的性质以及切线长定理，得 ∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE,DB=DE,PA=PB, ∴.△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+CA+ DB+PD=PA+PB=2PA=10.:'∠P=40°，∴.∠AOB= 360°-∠P-∠OAP-∠OBP=140°..∠AFB= 3∠A0B=70 2.C连接AD.四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠BAD+∠BCD=180°..·∠BAE+∠BCD=236°， ∴.∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°. ∴.∠EAD=56°.·EA,ED是⊙O的切线，.EA=ED ∴.∠EDA=∠EAD=56°.∴.∠E=180°-∠EDA- ∠EAD=68° 3.3·AD∥BC,∴.∠ABC+∠DAB=180°.，∴.∠DAB= 180°-∠ABC=90°=∠ABC.∴.AB⊥AD,AB⊥BC. :AB是⊙O的直径，∴.AD与BC是⊙O的切线.CD 是⊙O的切线，∴.DE=AD=1,EC=BC=2.∴.CD= DE+CE=1+2=3. 4.设AF=x,则DF=1一x.四边形ABCD是正方形， ∴.∠DAB=∠CBA=90°..DA⊥AB,CB⊥AB.∴.AD 是⊙O的切线，CB是⊙O的切线.：CF是⊙O的切线，E 为切点，.EF=AF=x,CB=CE=1..CF=CE+ EF=1十..在Rt△CDF中，由勾股定理，得CF=CD十 DF,即1+x)P=1+(1-x,解得x=子DF=1- 5.B连接OD.CD与⊙O相切，∴.OD⊥CD. :∠0DE=90.:0D=号AB=号ED=2由勾股 定理，得0E=VOD+BD-号：OB=OD-号， ∴.BE=OE十OB=4.CB,CD是⊙O的切线，.CD= BC,OB⊥BC.,.∠ABC=90°.设CD=BC=x,则CE= x十2.在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE2=BC2+BE, ∴.(x十2)2=x2+4,解得x=3.∴.BC的长为3. 6.D如图，连接BE,过点D作DH⊥BC于点H,则 ∠BHD=∠CHD=90°.'AD,CD分别与扇形BAF相 切于点A,E,AB=15,BC=17,.AB=EB=15,AD⊥ AB,CD LEB,AD=ED..∠BAD=∠BEC=90° .CE=√BC-EB=√172-15=8.AD∥BC, ∴.∠ADH=∠CHD=90°..'∠BAD=∠ADH= ∠BHD=90°，∴.四边形ABHD是矩形.∴.BH=AD, DH=AB=15...CH=BC-BH=17-AD.DH2+ CH2=CD2,且CD=CE+ED=8+AD,∴.15+(17- AD)=(8+AD)2,解得AD=9. H F C B (第6题) (第7题) 7.65°如图，连接OA,OB,OD.:PA,PB为⊙O的切 线，∴.∠PAO=∠PBO=90°.∴.∠AOB=360°-∠PAO ∠PBO-∠P=130°.PA,EF为⊙O的切线，∴.EO平 分∠AED,OA⊥EA,OD⊥ED.∴.∠AEO=∠DEO, ∠OAE=∠ODE=90°.∴.∠AOE+∠AEO=90°，∠DOE+ ∠DEO=90°.∴.∠AOE=∠DOE.同理，可得∠BOF= ∠DOR.∴∠DOE+∠DOF=3∠AOD+2∠BOD 号（∠A0D+∠B0D)-7∠A0B=-65,即∠BOF=65 8.2√14PD,PE,MN是⊙C的切线，∴.PD=PE, MD=MQ,NQ=NE.∴.△PMN的周长为PM+MN+ PN=PM+MQ+NQ+PN=PM+MD+PN+NE- PD+PE=2PE.如图，连接PC,CE,则∠CEP=90° PE=√PC-CE.:⊙C的半径不变，即CE不变， ∴.当PC的长最小时，PE的长最小，即△PMN的周长最 小.P是AB上的动点，∴.当PC⊥AB时，PC的长最 小.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,∴.由勾股 定理，得AB=√AC+BC=√6+6=6√2.：AC BC,PCLAB..P是AB的中点PC=2AB=3E. 在Rt△PCE中，由勾股定理，得PE=√PC-CE √(3√2)2-2=√14，∴.△PMN周长的最小值为 2√14. D (第8题) 9.(1)AD∥OE.理由：：'CE,BE是⊙O的切线， ∴.∠ODE=∠OBE=90°.在Rt△DOE和Rt△BOE中， OD=OB, ∴.Rt△DOE≌Rt△BOE.∴.∠DOE= OE=OE, ∠BOE.OA=OD,∴.∠ODA=∠OAD.:'∠DOB= ∠DOE+∠BOE=∠ODA+∠OAD,.∴.∠DOE= ∠ODA.∴.AD∥OE.(2)CE,BE是⊙O的切线， ∴.DE=BE=6..CE=DE+CD=6+4=10.∴.BC= √CE2-BE=8.设OB=OD=r,则OC=8-r.:在 Rt△OCD中，CD+OD2=OC2,∴.42+r2=(8-r)2,解 得r=3,即⊙0的半径为3. 10.(1)连接OP.:PA,PC分别与⊙O相切于点A,C, .PA PC,OA L PA.OA OC,OPOP, ∴.Rt△OPA≌Rt△OPC.∴∠AOP=∠COP.PQ⊥ PA,.QP∥BA.∴.∠QPO=∠AOP.∴.∠QOP= ∠QPO.∴.OQ=PQ.(2)设OA=r,则OQ=PQ=6+ r,PC=PA=AB=2r.:PC是⊙O的切线，∴.OC⊥PC ∴.∠OCP=∠PCQ=90°.在Rt△PCQ中，PQ=PC+ QC,∴.(6十r)2=6+(2r)2,解得r1=4,r2=0(不合题 意，舍去).∴OC=4,PC=8..OP=√OC+PC √4+8=45.：OB=OC,.∠B=∠OCB. :∠AOC=∠AOP+∠COP=∠B+∠OCB,∠AOP= ∠COP,∴.∠AOP=∠B.∴.OP∥BD.OB∥PD,∴.四 边形OBDP是平行四边形.∴.BD=OP=45. 专题特训十三证明圆的切线的三种方法 1.如图，连接OM,过点O作ON⊥CD于点N.:'⊙O与 BC相切于点M,∴.OM⊥BC,OM是⊙O的半径..AC 是菱形ABCD的对角线，∴.CA平分∠BCD.:ON⊥ CD,OM⊥BC,∴.ON=OM,即ON是⊙O的半径..CD 与⊙0相切. (第1题) 2.(1)过点O作OF⊥AC于点F.:∠ABC=90°，∴.OB⊥ AB.:OF⊥AC,AO平分∠BAC,∴.OF=OB..OB是 ⊙O的半径，..OF是⊙O的半径..AC是⊙O的切线 (2)OF⊥AC,∴.∠OFC=90°=∠OBD.在Rt△BOD第三十章直线与圆的位置关系 第3课时切线长定理 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，PA,PB为⊙O的两条切线，CD与⊙O相切于点E,分别交PA,PB于点C,D,F为优弧 AB上的点，连接AF,BF.若PA=5,∠P=40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为() A.10,40° B.10,80° C.15,70° D.10,70° (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，EA,ED是⊙O的切线，切点为A,D,点B,C在⊙O上.若∠BAE+∠BCD=236°，则 ∠E的度数为 () A.56 B.60° C.68 D.70 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E.若 AD=1,BC=2,则CD的长为 4.如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在 AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积. D 0 (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B,CD与⊙O相切于点D,CD的延长线与BA的 延长线相交于点E.若AB=3,ED=2,则BC的长为 () A.2 B.3 C.3.5 D.4 (第5题) (第6题) 6.[2024南京中考]如图，在四边形ABCD中，ADBC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E 若AB=15,BC=17,则AD的长为 () A.8 B.8.5 C.53 D.9 105 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 7.如图，PA,PB,EF分别与⊙O相切于点A,B,D,连接OE,OF.若∠P=50°，则∠EOF的度数 为 B (第7题) (第8题) 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6,以点C为圆心，2为半径作⊙C,过AB上的动点 P作⊙C的切线PD,PE,过劣弧DE上一点Q作⊙C的另一条切线，分别交PD,PE于点M, N,则△PMN周长的最小值为 9.如图，AB为⊙O的直径，过圆外一点E作⊙O的两条切线EC,EB,切点分别为D,B,EC交 BA的延长线于点C,连接OE,OD,AD (1)AD与OE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若EB=6,CD=4,求⊙O的半径 (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 10.如图，AB为⊙O的直径，PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于 点Q. (1)求证：OQ=PQ. (2)连接BC并延长，交PQ于点D.若PA=AB,CQ=6,求BD的长. 0 (第10题) 106 “答案与解析”见P67