30.1.2 圆的切线 第2课时 切线长定理-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“切线长定理”及应用，课堂导入通过复习过圆上一点作切线，提出过圆外一点作切线的问题，引导学生用直尺圆规作图，自然引出切线长定义，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于通过作图操作培养几何直观（数学眼光），证明过程强化推理能力（数学思维），规范几何语言表述（数学语言）。如例1结合直角三角形计算与等边三角形性质，随堂演练证明四边形对边和相等，小结归纳基本图形结论。帮助学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供清晰教学流程和丰富例题。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 圆的切线 第2课时 切线长定理 学习目标 1.了解圆的切线长，能叙述并证明切线长定理. 2.理解三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. 3.运用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 学习重难点 掌握切线长的定义及切线长定理. 运用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 难点 重点 导入新知 复习引入 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 知识点1 切线长定理 ① 如图，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线.因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与 ⊙O相切，所以需在⊙O上确定一点A，满足OA⊥AP， 即∠OAP=90°由此可知，点O，P，A可以确定一个圆，OP是这个圆的直径，因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点即所要确定的点。 O. P 5 根据上面的想法，可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线. 如图: (1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C; (2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点; (3)作直线PA，PB，即所求作的切线。 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长. 6 如图，PA，PB是⊙O 的两条切线， 切点分别为A，B，过点O，P作直线OP.线段 PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 思考 O. P B A 证明：如图，连接OA，OB ∵PA和PB是⊙O 的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△POA≌ Rt△POB. ∴PA=PB, ∠APO=∠BPO. O. P B A ∟ ∟ 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理 可用来证明线段相等、角相等 几何语言 ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB 9 例1 如图，PA，PB是OO的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 解：如图，连接 OA. ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又∠APO=30°，∴ ∠APB=60°， ∴ △PAB是等边三角形.∴ AB=PA=PB. 又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2, ∴ OA=1，PA==。 ∴ △PAB的周长为3. 10 归纳 1.切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量. 2.经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等. 11 归纳 3.如图 是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论： (1)PO ⊥ AB； (2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP； (3)AP=BP； (4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4； (5)AD=BD； (6)弧AC =弧 BC. 12 随堂演练 1.如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，D，C 为⊙ O 上一点，且∠ BCD=130°，则∠ A的度数是( ) A.70° B.85° C.80° D.100° C 13 2.如图，AB，BC，CD 分别与⊙ O 相切于点E，F，G， 若∠ BOC=90°，求证：AB ∥ CD． 证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°. 又BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线． ∴∠OBE＝∠OBC.同理可得∠OCB＝∠OCG. ∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°. ∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°， 即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD. 14 3.已知：如图，四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA与⊙O 分 别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H， ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. · A B C D H G F E 15 课堂小结 切线长定理 切线长的定义 切线长定理 16 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 17 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $