第三章 图形的相似 单元测试2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026—2027学年北师大版数学九年级上册单元测试卷 第三章　图形的相似 （满分：100分　　考试时间：90分钟） 命题范围：1　成比例线段　2　平行线分线段成比例　3　相似多边形　4　探索三角形相似的条件　5　利用相似三角形测高　6　相似三角形的性质　7　图形的位似 班级：________　　姓名：________　　考号：________　　成绩：________ 注意事项：1．全卷共三大题23小题，满分100分，考试时间90分钟。2．答题前，请将班级、姓名、考号填写在指定位置。3．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，作图题请用黑色签字笔或铅笔规范作图。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组数中，能组成比例的是（　　） A．1，2，3，4　　B．1.5，2.5，4.5，6.5　　C．1，2，3，6　　D．2，3，4，5 2．已知3x＝5y（x≠0，y≠0），则的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．近年来，"黄金分割构图"成为手机摄影中的热门技巧：把画面主体放在黄金分割点处，照片看起来更加和谐美观。已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝20 cm，则AC的长约为（　　） A．12.36 cm　　B．7.64 cm　　C．16.18 cm　　D．20 cm 4．如图1，直线a∥b∥c，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F。若AB＝3，BC＝5，DE＝4，则EF的长为（　　） 图1 A．6　　B．　　C．4　　D． 5．两个相似多边形的一组对应边分别为3和4，则这两个多边形的周长比为（　　） A．3:4　　B．4:3　　C．3:2　　D．2:3 6．下列条件中，能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（　　） A．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′　　B．∠A＝∠A′，＝　　 C．＝，∠B＝∠B′　　D．∠A＝∠A′，＝ 7．在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点A′关于原点O位似，相似比为2，则点A′的坐标为（　　） A．（4，6）　　B．（－4，－6）　　C．（4，6）或（－4，－6）　　D．（－4，6） 8．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2:3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　） A．2:3　　B．4:9　　C．3:2　　D．9:4 9．校园科技节上展出了"神舟"飞船返回舱模型。在同一时刻，测得身高1.6 m的同学的影长为2 m，模型的影长为15 m，则该模型的高度约为（　　） A．10 m　　B．12 m　　C．15 m　　D．18.75 m 10．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD:DB＝1:2。若S△ADE＝2，则四边形DBCE的面积为（　　） A．4　　B．6　　C．8　　D．16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．线段b是线段a、c的比例中项，其中a＝2 cm，c＝8 cm，则线段b＝________。 12．已知a:b＝2:3，则(a＋b):b＝________。 13．两个相似三角形的对应中线的比为3:5，则它们的面积比为________。 14．在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于原点O位似，相似比为，若点A的坐标为（4，－6），则它的对应点A′的坐标为________。 15．在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B。若AC＝2，AB＝4，则AD＝________。 16．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D在边AC上，且AD＝2。若点E在边AB上，且△ADE与△ABC相似，则AE的长为________。 三、解答题（本大题共7小题，共52分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知a:b:c＝2:3:4，且a＋b＋c＝27。 (1)求a，b，c的值； (2)求的值。 18．（6分）如图2，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD＝2，DB＝4，AE＝3。 (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)求AC的长。 图2 19．（7分）如图3，在10×9的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，点O也在格点上。以点O为位似中心，在网格中画出△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为1:2（要求对应点都在格点上）。 图3 20．（7分）学校开展"数学测量"实践活动，小明用平面镜和激光笔（利用光的反射原理）测量旗杆AB的高度：如图4，他将平面镜水平放置在地面上的点E处，自己站在点D处，眼睛C离地面1.5 m，恰好在镜中看到旗杆顶端A。已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得BE＝24 m，DE＝2 m。求旗杆AB的高度。 图4 21．（8分）如图5，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝3，过点D作DE∥AB，交AC于点E。已知AB＝6，BC＝9，S△ABC＝18。 (1)求证：△CDE∽△CBA； (2)求CE:EA的值； 图5 (3)求△CDE的面积。 22．（8分）如图6，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EC，EC与对角线BD相交于点F。 (1)求证：△DEF∽△BCF； (2)若DE＝2，BC＝6，DF＝3，求BF的长； 图6 (3)若S△DEF＝4，求S△BCF。 23．（10分）如图7，在△ABC中，AC＝6，BC＝12，点P从点A出发，沿AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动；同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动。设运动时间为t秒（0＜t＜6），连接PQ。 (1)用含t的代数式表示CP、CQ的长； (2)当t为何值时，△PCQ与△ABC相似？ 图7 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号：1　2　3　4　5　6　7　8　9　10 答案：C　B　A　D　A　D　C　B　B　D 1．C　【解析】判断四个数成比例，只需验证其中两数的比等于另两数的比。A中≠；B中＝0.6，而≈0.69，不成比例；C中＝＝0.5，成比例；D中≠。故选C。 2．B　【解析】由3x＝5y，两边同除以3y，得＝。故选B。（易错：误选A，是把与弄反。） 3．A　【解析】黄金分割点把线段分为较长段与较短段，较长段与全长之比为≈0.618。AC为较长段，AC≈20×0.618＝12.36（cm）。故选A。（B是较短段的长，注意题中AC＞BC。） 4．D　【解析】由a∥b∥c得＝（平行线分线段成比例），即＝，解得EF＝。故选D。（易错：误认为＝而选B。） 5．A　【解析】相似多边形的对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，故周长比为3:4。故选A。 6．D　【解析】D中＝且夹角∠A＝∠A′，符合"两边成比例且夹角相等"，能判定相似；A是"边边角"，不能判定；B、C中成比例的两边所成的角不是相应两边的夹角，均不能判定。故选D。 7．C　【解析】以原点为位似中心、相似比为2时，对应点坐标为原坐标乘2或乘－2，所以点A′的坐标为（4，6）或（－4，－6）。故选C。（易错：只考虑同侧而漏解选A。） 8．B　【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，即()²＝4:9。故选B。 9．B　【解析】同一时刻物高与影长成比例，设模型高h m，则＝，解得h＝12。故选B。 10．D　【解析】DE∥BC，则△ADE∽△ABC。AD:DB＝1:2，所以AD:AB＝1:3，面积比等于相似比的平方，S△ADE:S△ABC＝1:9，故S△ABC＝18，四边形DBCE的面积＝18－2＝16。故选D。（易错：误用面积比等于相似比1:3而选C。） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．4 cm　【解析】线段b是a、c的比例中项，则b²＝ac＝2×8＝16，所以b＝4 cm（线段长为正，舍去负值）。 12．5:3　【解析】设a＝2k，b＝3k，则(a＋b):b＝5k:3k＝5:3。 13．9:25　【解析】对应中线比等于相似比，为3:5，面积比等于相似比的平方，即9:25。 14．（2，－3）或（－2，3）　【解析】关于原点位似、相似比为时，对应点坐标为原坐标乘或乘－，即（2，－3）或（－2，3），两种情况都要考虑到。 15．1　【解析】∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，所以△ACD∽△ABC（两角对应相等的两个三角形相似），则＝，AD＝＝＝1。 16．3或　【解析】∠A是公共角，分两种情况：①当△ADE∽△ACB时，＝，即＝，AE＝；②当△ADE∽△ABC时，＝，即＝，AE＝3。所以AE的长为3或。 三、解答题（共52分） 17．（6分）【解析】(1)由a:b:c＝2:3:4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k（k≠0）。因为a＋b＋c＝27，所以2k＋3k＋4k＝27，解得k＝3。所以a＝6，b＝9，c＝12。(2)＝＝－。 　　【评分标准】(1)设k并列出方程得2分，求出a、b、c各得1分；(2)正确代入求值得2分。 18．（6分）【解析】(1)因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C。又∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 　　(2)因为△ADE∽△ABC，所以＝。因为AD＝2，DB＝4，所以AB＝6。由＝，解得AC＝9。 　　【评分标准】(1)找出对应相等的角得2分，得出相似结论得1分；(2)正确列出比例式得2分，求得AC＝9得1分。 19．（7分）【解析】延长OA、OB、OC到A′、B′、C′，使OA′＝2OA，OB′＝2OB，OC′＝2OC，依次连接A′B′、B′C′、C′A′。在网格中，A′（5，4）、B′（9，4）、C′（5，8）（以O为原点、网格线为坐标轴），即△A′B′C′的三个顶点分别为：点A′在O右4格、上4格处；点B′在O右8格、上4格处；点C′在O右4格、上8格处。画出△A′B′C′即为所求。 　　【评分标准】每正确确定一个对应点得2分，共6分；连接三点的图形规范、标明字母得1分。（画在同侧或异侧位置均可，只要以O为位似中心、相似比为2即可。） 20．（7分）【解析】由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB。因为AB⊥BD，CD⊥BD，所以∠CDE＝∠ABE＝90°。所以△CDE∽△ABE（两角分别相等的两个三角形相似）。所以＝，即＝，解得AB＝18。答：旗杆AB的高度为18 m。 　　【评分标准】说明∠CED＝∠AEB并结合垂直条件得3分；正确列出比例式得2分；求得AB＝18 m得2分。 21．（8分）【解析】(1)因为DE∥AB，所以∠CDE＝∠CBA，∠CED＝∠CAB。又∠C＝∠C，所以△CDE∽△CBA。 　　(2)因为△CDE∽△CBA，所以＝。因为BD＝3，BC＝9，所以CD＝6，＝＝，所以CE:EA＝2:1。 　　(3)因为△CDE∽△CBA，相似比为2:3，所以S△CDE:S△CBA＝4:9。因为S△ABC＝18，所以S△CDE＝×18＝8。 　　【评分标准】(1)找出对应相等的角得2分，得出相似得1分；(2)求出CD＝6并得出CE:EA＝2:1得2分；(3)得出面积比为4:9并求得面积为8得3分。 22．（8分）【解析】(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，即DE∥BC，所以∠EDF＝∠CBF。又∠DFE＝∠BFC（对顶角相等），所以△DEF∽△BCF。 　　(2)因为△DEF∽△BCF，所以＝＝＝。因为DF＝3，所以BF＝9。 　　(3)因为△DEF∽△BCF，相似比为1:3，所以S△DEF:S△BCF＝1:9。因为S△DEF＝4，所以S△BCF＝36。 　　【评分标准】(1)由平行得内错角相等、对顶角相等并得出相似得3分；(2)列出比例式并求得BF＝9得2分；(3)得出面积比为1:9并求得36得3分。 23．（10分）【解析】(1)由题意得AP＝t，所以CP＝AC－AP＝6－t；CQ＝t。 　　(2)在△PCQ与△ABC中，∠PCQ＝∠ACB（公共角），需分两种情况讨论： 　　①当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，解得t＝4； 　　②当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，解得t＝2。 　　因为0＜t＜6，所以t＝4或t＝2均符合题意。综上，当t＝4秒或t＝2秒时，△PCQ与△ABC相似。 　　【评分标准】(1)正确表示CP、CQ得2分；(2)有分类讨论意识得2分，两种情况各列出比例式并求解各得3分；未考虑其中一种情况的，扣4分。 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $