3.4 圆周角定理（定理应用+折纸+截长补短+定角定弦+四点共圆）专项练习 2026--2027学年苏版九年级数学上册

苏科版九年级上圆周角定理（定理应用+折纸+截长补短+定角定弦+四点共圆） 内容简要 1. 圆周角定理基础应用 2. 折纸问题 3. 辅助线的添加截长补短在圆中的应用 4. 定角定弦的最值问题 5. 四点共圆 6. 课后练习 知识梳理 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 一．圆周角定理的基础应用（求角度、证明、求长度）（共20小题） 1．（2026秋•南京期中）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，若的度数为50°，则∠B+∠E＝________ °． 2．（2026秋•玄武区期中）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，C是的中点，若∠C＝110°，∠D＝100°，则∠A的度数为 ________ °． 3．（2026•延庆区模拟）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝_________ ． 4．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，2．若∠DEB＝69°，则的度数为 _______ °． 5．（2026秋•南京期中）已知AB，CD是⊙O的弦，AB＝2，CD＝3，若∠AOB+∠COD＝180°，则⊙O的半径是____________________ ． 6．（2026秋•宿豫区期中）如图，在⊙O中，AB，BC是弦，点D在AB的延长线上，连接OA，OC，若OC∥AB，∠CBD﹣∠OAD＝6°，则∠AOC的度数是（　　） A．62° B．118° C．122° D．124° 7．在△ABC中，∠A＝135°，AB＝3，则其外接圆的半径是 ____________________ ． 8．（2026秋•江宁区月考）如图，若点P在扇形AOB的内部，则∠APB的度数的取值范围是__________________ ． 9．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD＝BE．求证： （1）DE∥AB； （2）DC＝EC． 10．（2026秋•鼓楼区校级月考）已知：四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°（用两种不同方法证明）． 证法1： 证法2： 11．（2025秋•建邺区期中）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC． （1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数； （2）若点E是弦BD上一点，且AE平分∠CAB，求证：DA＝DE． 12．（2026秋•建邺区校级月考）（1）如图1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则△ABC的外接圆的半径为_____ ． （2）如图2，在直线上求作点P，使得∠APB＝30°． 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AF，求证：AB＝AF． 14．（2025秋•红旗区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，E为BC延长线上一点，且CD平分∠ACE． （1）如图①，若∠DCE＝60°，求证：△ABD为等边三角形； （2）如图②，若AB＝10，BD＝13，求⊙O的半径． 15．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4． （1）求⊙O的半径； （2）求AD的长． 16．（2026•蜀山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 17．由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出⊙O的圆心O． （2）图②中，在BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC； （3）图③中，在⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得． 18．如图，是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，A、B、C三点是格点，画出经过这三点的圆的圆心O； （2）如图2，A、B、C、Q四点是格点，在劣弧AB上找一点D，使得弦AD＝BC． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交CB的延长线，于点E，F，AF，BC的延长线交于点G． （1）求证AC＝CG； （2）若EB＝CG，求∠BAC的度数． 20．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点． （1）若AC＝6，则BC的长是________________ ； （2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长； ②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长． 二．折纸问题（共6小题） 21．（2026秋•许昌期中）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（　　） A． B．2π C． D． 22．（2026秋•东台市月考）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在弧AmB上，点D在弧AB上，若∠ACB＝70°，则∠ADB＝（　　） A．70° B．110° C．125° D．140° 23．（2026秋•秦淮区期中）如图，在⊙O中，将沿着弦AB所在直线折叠，交弦BC于点D，连接AC．若，BD＝5，∠B＝30°，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 24．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝4，将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为________________ ． 25．（2026秋•广东校级期末）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿直线BC折叠后刚好经过弦AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝8，则折痕线段BC的长为________________ ． 26．（2026秋•锡山区期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝3，求⊙O的半径； （2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，请求出∠ACD的度数； （3）如图2，如果AD＝6，DB＝4，那么AC的长为 ________________ ．（直接写出答案） 三．截长补短在圆中的应用（共4小题） 27．（2026秋•溧阳市期中）如图，⊙O中，四边形ABDC内接于圆，BC是直径，AB＝AC，若S四边形ABDC＝6cm2，则AD＝________________ cm． 28．（2026秋•南京校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，C为的中点，D在上，连接AD． （1）如图，若AD⊥BC，垂足为E，直线OC分别交AD，AB于点F，G．求证：EF＝DE． （2）如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接DB，写出AE，DE，DB之间的数量关系，并说明理由． 29．【问题背景】 如图1，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图2），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CECD，从而得出结论：AC+BCCD 【简单应用】 （1）在图1中，若AC，BC＝2，则CD＝_____ ． （2）如图3，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，若AB＝13，BC＝12，求CD的长． 【拓展规律】 （3）如图4，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示） 30．（2026秋•江宁区月考）某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图①．AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）．BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图②，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点． ∴MA＝_______ ． 又∵∠A＝∠C，BA＝GC， ∴_________ ≌_________ ． ∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD＝_______ ． ∴AB+BD＝CG+DG． 即CD＝DB+BA． 【变式探究】 如图③，若点M是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图④，BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC＝45°．若AB＝6，⊙O的半径为5．求AD的值． 四．定角定弦的最值问题（共9小题） 31．（2026秋•秦淮区校级期末）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为（　　） A．4 B． C．3 D． 32．（2026•永昌县三模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是__________________ ． 33．（2026秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，D是BC边上一点，CD＝2BD，线段AD的最大值为（　　） A．12 B．6+2 C．6 D． 34．（2026秋•溧水区期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（　　） A．1 B．2 C．1 D．4 35．（2026秋•秦淮区期中）如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为_______________ ． 36．（2026•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 __________________ ． 37．（2026春•重庆期末）如图，∠XOY＝45°，一把直角三角板ABC（点A为直角顶点）的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB＝10，那么点O到AB的距离的最大值为__________________ ． 38．（2026秋•盐城期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．当点P在半圆上从点B运动到点A时，则内心M所经过的路径长为 ________ ． 39．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC的长为4，D是BC的中点，P是直角边AB上一动点（不与A、B重合），过P、A、D三点的圆交PC于Q，当点P运动时，线段AQ长度的最小值为 ____________________ ． 五．四点共圆（共3小题） 40．（2026秋•义乌市校级期末）如图，AB⊥BC，，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接AD，则AD的最小值为 _____ ． 41．（2026秋•鼓楼区月考）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角∠A+∠C＝180°，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点A，B，D画⊙O． 假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE， ∵四边形ABED内接于⊙O， ∴可得 ___________ ＝180°， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BED＝_______ ，与∠BED＞∠C得出矛盾； 同理点C也不会落在⊙O内， ∴A，B，C，D共圆． （3）结论运用：如图∠BAC＝120°，线段，点D，E分别在射线AC和线段AB上运动，以DE为边在∠BAC内部作等边△DEF，则BF的最小值为 ____________________ ． 42．（2026秋•南京月考）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． （1）在图①、②中，取AC的中点O，根据____________________ 得OA＝OB＝OC＝OD，即A，B，C，D共圆； （2）在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得____________ ＝180°，所以∠BED＝_______ ，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F． 求证：AF是△ABC的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） （4）如图⑦，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在△ABC的外接圆上． 六．课后练习（共7小题） 43．（2026•宿迁模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝ _______ °． 44．（2026秋•秦淮区期末）如图，将⊙O沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和劣弧AB上，若∠C＝65°，则∠D＝________ °． 45．（2026秋•信阳期中）如图，将沿弦AB翻折过圆心O，交弦AC于点D，若AD＝1，，则CD为（　　） A． B． C． D．2 46．（2026秋•鼓楼区期中）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为40°，则∠B+∠D的度数为 ________ °． 47．（2026秋•秦淮区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．2 D．2 48．（2026秋•秦淮区期中）如图，AB，CD是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点P，且PB＝PD． （1）用直尺和圆规作出该圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证PA＝PC． 49．（2026•碧江区 校级模拟）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB＝PC． 苏科版九年级上圆周角定理（定理应用+折纸+截长补短+定角定弦+四点共圆） 参考答案与试题解析 一．圆周角定理的基础应用（求角度、证明、求长度）（共20小题） 1．（2026秋•南京期中）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，若的度数为50°，则∠B+∠E＝　155　 °． 【解答】解：如图，连接OC，OD，DE， ∵的度数为50°， ∴∠COD＝50°， ∴， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠AED＝180°，即∠B+∠AEC+∠CED＝180°， ∴∠B+∠AEC＝155°， 故答案为：155． 2．（2026秋•玄武区期中）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，C是的中点，若∠C＝110°，∠D＝100°，则∠A的度数为 　115　 °． 【解答】解：连接BE，CE， ∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝180°﹣∠D＝80°，∠BED＝180°﹣∠BCD＝70°， ∵C是的中点， ∴， ∴∠BEC＝∠CED∠BED＝35°， ∴∠BCE＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC＝65°， ∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°﹣∠BCE＝115°， 故答案为：115． 3．（2026•延庆区模拟）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝　100°　 ． 【解答】解：∵∠ABD＝50°， ∴∠ACD＝50°， ∵∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 故答案为：100°． 4．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，2．若∠DEB＝69°，则的度数为 　46　 °． 【解答】解：连接OB、OD、BC， ∵∠DEB＝69°，∠CEB+∠DEB＝180°， ∴∠CEB＝111°， ∵2， ∴∠ABC＝2∠BCD， ∵∠ABC+∠BCD+∠CEB＝180°， ∴3∠BCD＝69°， ∴∠BCD＝23°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝46°， ∴的度数为46°， 故答案为：46． 5．（2026秋•南京期中）已知AB，CD是⊙O的弦，AB＝2，CD＝3，若∠AOB+∠COD＝180°，则⊙O的半径是　　 ． 【解答】解：如图，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为点E、F， ∵OA＝OB＝OC＝OD，OE⊥AB，OF⊥CD，AB＝2，CD＝3， ∴，，， ∵∠AOB+∠COD＝180°， ∴∠AOE+∠COF＝90°， ∵∠AOE+∠OAE＝90°， ∴∠OAE＝∠COF， 在△AEO和△OFC中， ， ∴△AEO≌△OFC（AAS）， ∴， ∴， 即⊙O的半径是； 故答案为． 6．（2026秋•宿豫区期中）如图，在⊙O中，AB，BC是弦，点D在AB的延长线上，连接OA，OC，若OC∥AB，∠CBD﹣∠OAD＝6°，则∠AOC的度数是（　　） A．62° B．118° C．122° D．124° 【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC， ∵四边形ABCP内接于⊙O， ∴∠CPA＝∠CBD， ∴∠AOC＝2∠CPA＝2∠CBD， ∴∠CBD∠AOC， ∵OC∥AB， ∴∠AOC+∠OAD＝180°， ∵∠CBD﹣∠OAD＝6°， ∴∠AOC﹣∠OAD＝6°， ∴∠AOC＝124°， 故选：D． 7．在△ABC中，∠A＝135°，AB＝3，则其外接圆的半径是 　　 ． 【解答】解：作△ABC的外接圆O，作直径BD，过C作CH⊥BA交BA延长线于H，连接CD， ∵∠BAC＝135°， ∴∠CAH＝180°﹣∠BAC＝45°， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∴AH＝CHAC1， ∴BH＝AB+AH＝3+1＝4， ∴BC， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴∠BAC+∠D＝180°， ∴∠D＝45°， ∵BD是圆的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BDBC， ∴△ABC外接圆的半径是． 故答案为：． 8．（2026秋•江宁区月考）如图，若点P在扇形AOB的内部，则∠APB的度数的取值范围是　60°＜∠APB＜150°　 ． 【解答】解：设D为圆弧上一点， 由题意得：∠AOB＝360°﹣240°＝120°， ∴∠ADB120°＝60°， ①当点P在扇形AOB的内部，连接AP交延长交⊙O于点C，如图2， ∴∠APB＞60°； ③当点P在AO上时，如图3，连接BP，AB， ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴∠OBP＜30°， ∵∠APB＝∠AOB+∠OBP， ∴∠APB＜150°， 综上所述，∠APB的取值范围是60°＜∠APB＜150°． 故答案为：60°＜∠APB＜150°． 9．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD＝BE．求证： （1）DE∥AB； （2）DC＝EC． 【解答】证明：（1）连接BD，AE， ∵AD＝BE， ∴， ∴∠ABD＝∠EAB， ∵∠ABD＝∠AED， ∴∠AED＝∠EAB， ∴DE∥AB． （2）∵四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴∠EDA+∠ABE＝180°， 又∵∠EDA+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠ABE， ∵DE∥AB， ∴∠CED＝∠ABE， ∴∠CED＝∠CDE， ∴DC＝EC． 10．（2026秋•鼓楼区校级月考）已知：四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°（用两种不同方法证明）． 证法1： 证法2： 【解答】证法1：如图1，连接OA、OB， ∵∠A的度数是的度数的一半，∠C的度数是度数的一半， 又∵与的度数和是360°， ∴； 证法2：如图2，连接AO并延长交⊙于点E，连接DE、BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝∠ABE＝90°， ∵∠ADE+∠DEB+∠EBA+∠BAD＝360°， ∴∠DEB+∠BAD＝180°， ∵∠DEB＝∠DCB， ∴∠DAB+∠DCB＝180°． 11．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC． （1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数； （2）若点E是弦BD上一点，且AE平分∠CAB，求证：DA＝DE． 【解答】解：（1）∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝25°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝65°， ∴∠BDC＝∠BAC＝65°． （2）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠DAC＝∠CBD， ∵AE平分∠CAB， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE，∠AED＝∠BAE+∠ABD＝∠CAE+∠DAC， ∴∠DAE＝∠AED， ∴DA＝DE． 12．（2026秋•建邺区校级月考）（1）如图1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则△ABC的外接圆的半径为　2　 ． （2）如图2，在直线上求作点P，使得∠APB＝30°． 【解答】解：（1）如图，连接OB、OC， ∵点A在圆上，点O为圆心， ∴∠BOC＝2∠A＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC＝2， 即△ABC的外接圆的半径为2． 故答案为：2． （2）如图，点P1、P2即为所求． 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AF，求证：AB＝AF． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵DE＝DF， ∴， ∴， ∴， ∴∠A＝∠C， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD； （2）连接AF， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠ADC， ∵四边形AFCD是圆内接四边形， ∴∠AFC+∠ADC＝180°， ∵∠AFC+∠AFB＝180°， ∴∠AFB＝∠ADC＝∠B， ∴AB＝AF． 14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，E为BC延长线上一点，且CD平分∠ACE． （1）如图①，若∠DCE＝60°，求证：△ABD为等边三角形； （2）如图②，若AB＝10，BD＝13，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACD． ∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE＝∠ACD， ∵∠DCE＝60°， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠DCE＝∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣60°×2＝60°＝∠ABD＝∠BAD， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形． （2）解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，连接OB，OA， 由（1）知：∠BAD＝∠DCE＝∠ACD＝∠ABD， ∴DB＝DA， ∵AB＝10，BD＝13， ∴BG＝AG＝5， ∴DG12，DG垂直平分AB， ∵OB＝OA， ∴圆心O在AB的垂直平分线DG上， ∴OG⊥AB， 设⊙O的半径为r， ∴r2＝（12﹣r）2+52， 解得：， ∴⊙O的半径为． 15．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4． （1）求⊙O的半径； （2）求AD的长． 【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC， ∵BD＝6，DC＝4， ∴BC＝10， 由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∴OBBC＝5； （2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F， ∴BF＝FC＝5， ∴DF＝1， ∵∠BOC＝90°，BF＝FC， ∴OFBC＝5， ∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC， ∴四边形OFDE为矩形， ∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5， 在Rt△AOE中，AE7， ∴AD＝AE+DE＝12． 16．（2026•蜀山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵CD＝CB， ∴， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：连接OC，交BD于点G， ∵BC＝CD， ∴OC⊥BD，BD＝2BG， ∵∠ACB＝90°，BC＝CD，AC， ∴AB20， ∴⊙O的半径为10， 设OG＝x，则CG＝10﹣x， 由勾股定理，得BG2＝OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2， 即102﹣x2＝（）2﹣（10﹣x）2， 解得x＝6， ∴BG8， ∴BD＝16． 17．由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出⊙O的圆心O． （2）图②中，在BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC； （3）图③中，在⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得． 【解答】解：（1）圆心O如图①所示； （2）点D如图②所示； （3）点E如图③所示． 18．如图，是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，A、B、C三点是格点，画出经过这三点的圆的圆心O； （2）如图2，A、B、C、Q四点是格点，在劣弧AB上找一点D，使得弦AD＝BC． 【解答】解：（1）连接AC交AB的垂直平分线于O，如图1，则O即位所求； （2）取格点K，连接QK交圆于D，连接AD，如图2，则D即位所求． 理由： 由△QTK≌△CQA（SAS）可得∠TQK＝∠QCA， ∵∠TQK+∠KQC＝90°， ∴∠QCA+∠KQC＝90°，可知QK⊥AC， 而AC为圆的直径，由垂径定理可知， ∴AQ＝AD， ∴AD＝BC． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交CB的延长线，于点E，F，AF，BC的延长线交于点G． （1）求证AC＝CG； （2）若EB＝CG，求∠BAC的度数． 【解答】（1）证明：连接CF， ∵过点O作AC的垂线，垂足为D， ∴， ∴∠FAC＝∠ACF， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠GFC＝∠ABC， ∴∠GFC＝∠ACB， ∵∠G＝180°﹣∠GFC﹣∠GCF，∠ACF＝180°﹣∠ACB﹣∠FCG， ∴∠ACF＝∠G， ∴∠CAF＝∠G， ∴AC＝CG； （2）解：连接AE，过A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC， ∴BH＝CH， ∴， ∴AH过点O， ∵BE＝CG， ∴EH＝GH， ∴AE＝AG，AB＝BE＝AC＝CG， ∴∠AEB＝∠BAE＝∠G＝∠CAG， ∵EF⊥AC，AD＝CD， ∴AE＝EC， ∴∠AED＝∠CED， 设∠AED＝∠CED＝α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠AEB+∠BAE＝4α， ∵∠CDE＝90°， ∴α+4α＝90°， ∴α＝18°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝36°． 20．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点． （1）若AC＝6，则BC的长是　2　 ； （2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长； ②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长． 【解答】解：（1）如图1中，连接AC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC2． 故答案为2． （2）如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4． ∵D是的中点， ∴， ∴CD＝AD＝2，OD垂直平分线段AC， 设DH＝x，则OH＝4﹣x， ∵AC⊥OD， ∴∠CHD＝∠CHO＝90°， ∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2， ∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2， 解得x， ∴CH， ∵OD垂直平分AC， ∴AC＝2CH， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC7． ②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过点C作CI⊥DE交DE的延长线于I． ∵D，E，C是的三等分点， ∴， ∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC， ∴DE∥AC， ∵∠H＝∠I＝90°， ∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形AHIC是矩形， ∴AH＝CI，AC＝HI， ∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°， ∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL）， ∴EI＝DH，设DH＝x，则HE＝x+2， ∵∠H＝90°， ∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2， ∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2， 解得x， ∵EI＝DH， ∴HI＝DH+DE+EI2， ∴AC＝HI， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC． 二．折纸问题（共6小题） 21．（2026秋•许昌期中）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（　　） A． B．2π C． D． 【解答】解：过点O作OD⊥BC，如图所示， 由折叠性质可知， ∴， 在Rt△OBD中， ∵OD， ∴∠OBD＝30°， ∴， ∵OD⊥BC，OD经过圆心， ∴， 故选：A． 22．（2026秋•东台市月考）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在弧AmB上，点D在弧AB上，若∠ACB＝70°，则∠ADB＝（　　） A．70° B．110° C．125° D．140° 【解答】解：作所对的圆周角∠AEB，如图， ∵∠ACB+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝180°﹣70°＝110°， ∵⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上， ∴∠ADB＝∠AEB＝110°． 故选：B． 23．（2026秋•秦淮区期中）如图，在⊙O中，将沿着弦AB所在直线折叠，交弦BC于点D，连接AC．若，BD＝5，∠B＝30°，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DE的延长线交⊙O于点F，连接AF，如图所示： ∴∠DEB＝∠DEA＝90°， 由折叠性质得：点D的对应为点F， ∴∠ADB＝∠AFB， ∴四边形AFBC内接于⊙O， ∴∠C+∠AFB＝180°， 又∵∠ADC+∠ADB＝180°， ∴∠C＝∠ADC， ∴AC＝AD， 在Rt△BDE中，BD＝5，∠DBA＝30°， ∴DEBD， 由勾股定理得：BE， ∵AB， ∴AE＝AB﹣BE 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD， ∴AC＝AD， 即AC的长度是． 故选：A． 24．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝4，将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为　2　 ． 【解答】解：连接BD，作BE⊥AC于点E，则∠AEB＝∠BEC＝90°， ∵将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D， ∴∠BAD＝∠BAC， ∵与所对的圆周角相等， ∴， ∴BD＝BC， ∴DE＝CE， ∵AB＝AC＝4， ∴AD＝CDAC＝2， ∴DE＝CECD＝1， ∴AE＝AD+DE＝3， ∴BE， ∴BC2， 故答案为：2． 25．（2026秋•广东校级期末）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿直线BC折叠后刚好经过弦AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝8，则折痕线段BC的长为　　 ． 【解答】解：取D关于BC的对称点D′，D′在⊙O上，连接CD′，BD′，AC，DC，OC，OB，OD，过点C作CE⊥AB于点E，过点O作OF⊥CE于点F． ∴， ∴， ∵D为弦AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴． ∵∠A+∠D′＝180°，∠D′＝∠CDB，∠CDB+∠ADC＝180°， ∴∠A＝∠ADC， ∴AC＝DC， ∵CE⊥AB，AD＝4， ∴． ∵CE⊥AB，OF⊥CE，OD⊥AB， ∴∠FED＝∠OFE＝∠ODE＝90°， ∴OF＝DE＝2＝OD，OD＝EF＝2， 在Rt△COF与Rt△BOD中， ∵， ∴Rt△COF≌Rt△BOD（HL）， ∴CF＝BD＝4， ∴CE＝BE＝6， ∴． 故答案为：． 26．（2026秋•锡山区期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝3，求⊙O的半径； （2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，请求出∠ACD的度数； （3）如图2，如果AD＝6，DB＝4，那么AC的长为 　4　 ．（直接写出答案） 【解答】解：（1）过点O作OE⊥AC于E，如图： 则AEAC3， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴OEr， 在Rt△AOE中，AO2＝AE2+OE2， 即r2＝（）2+（r）2， 解得r； ∵r＞0， ∴r， ∴⊙O的半径为； （2）连接BC，如图： ∵AB为直径，∠BAC＝26°， ∴∠B＝90°﹣26°＝64°，52°， ∴2∠B＝128°， ∵劣弧沿弦AC翻折交AB于点D， ∴， ∴76°， ∴∠DCA＝38°； （3）连接 BC，设D的对应点为D'，如图： 由翻折得∠AD'C＝∠ADC， ∵∠AD'C+∠B＝180°， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∵∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠B＝∠BDC， ∴CD＝BC， 过C作CG⊥AB于G， ∵AD＝6，DB＝4， ∴AB＝6+4＝10， ∴⊙O的半径为5， ∴DG＝BGBD＝2， ∴OG＝OB﹣BG＝5﹣3＝2，AG＝AB﹣BG＝10﹣2＝8， Rt△OCG中，CG4， Rt△ACG中，AC4， 故答案为：4． 三．截长补短在圆中的应用（共4小题） 27．（2026秋•溧阳市期中）如图，⊙O中，四边形ABDC内接于圆，BC是直径，AB＝AC，若S四边形ABDC＝6cm2，则AD＝　2　 cm． 【解答】解：过点A作AE⊥AD交DB的延长线于E，如图： ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴∠ADE＝∠ACB＝45°， ∵AE⊥AD， ∴∠E＝∠ADE＝45°， ∴AE＝AD， ∵∠BAC＝90°，AE⊥AD， ∴∠EAB+∠BAD＝90°，∠CAD+∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠CAD 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴S△ABE＝S△ACD，AE＝AD， ∴S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ABE＝S△AED＝6（cm2）， ∵S△AEDAE•ADAD2， ∴AD2＝6， ∴AD＝2（cm）． 故答案为：2． 28．（2026秋•南京校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，C为的中点，D在上，连接AD． （1）如图，若AD⊥BC，垂足为E，直线OC分别交AD，AB于点F，G．求证：EF＝DE． （2）如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接DB，写出AE，DE，DB之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：连接OA、OB，CD，如图①， ∵C为优弧AB的中点， ∴， ∴AC＝BC， 又∵OA＝OB， ∴O、C都在AB的垂直平分线上，即CG是AB垂直平分线， ∴CG⊥AB； ∵AD⊥BC， ∴∠CFE+∠BCG＝90°，∠CBG+∠BCG＝90°， ∴∠CBG＝∠CFE， ∵∠CBA＝∠D， ∴∠CFE＝∠D， ∴CF＝CD． 又 AD⊥BC， ∴EF＝DE； （2）解：DE+BD＝AE．理由如下： 在AE上截取EF＝DE，连接CF、CD，如图②， ∵CE⊥DF，EF＝DE， ∴CE为线段DF的垂直平分线， ∴CF＝CD． ∴∠CFD＝∠CDF， ∵AC＝BC． ∴∠CAB＝∠CBA， ∵∠CDA＝∠CBA， ∴∠CAB＝∠CDA． ∵∠CFD+∠CDF+∠FCD＝∠CAB+∠CBA+∠ACB＝180°， ∴∠FCD＝∠ACB． ∴∠FCD﹣∠FCB＝∠ACB﹣∠FCB， 即∠ACF＝∠BCD． 在△CAF和△CBD中， ， ∴△CAF≌△CBD（SAS）， ∴AF＝BD． ∴DE+BD＝EF+AF＝AE． ∴AE，DE，DB之间的数量关系为：DE+BD＝AE． 29．【问题背景】 如图1，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图2），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CECD，从而得出结论：AC+BCCD 【简单应用】 （1）在图1中，若AC，BC＝2，则CD＝　3　 ． （2）如图3，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，若AB＝13，BC＝12，求CD的长． 【拓展规律】 （3）如图4，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示） 【解答】解：（1）由题意知：AC+BCCD， ∴2CD， ∴CD＝3； 故答案为：3； （2）如图3，连接AC、BD、AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵， ∴AD＝BD， ∵AB＝13，BC＝12， ∴由勾股定理得：AC＝5， 由图1得：AC+BCCD， 5+12CD， ∴CD； （3）解法一：以AB为直径作⊙O，连接DO并延长交⊙O于点D1， 连接D1A、D1B、D1C、CD，如图4， 由（2）得：AC+BCD1C， ∴D1C， ∵D1D是⊙O的直径， ∴∠D1CD＝90°， ∵AC＝m，BC＝n， ∴由勾股定理可求得：AB2＝m2+n2， ∴D1D2＝AB2＝m2+n2， ∵D1C2+DC2＝D1D2， ∴CD2＝m2+n2， ∵m＜n， ∴CD； 解法二：如图5，∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴A、B、C、D在以AB为直径的圆上， ∴∠DAC＝∠DBC， 将△BCD绕点D，顺时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处， ∴△BCD≌△AED， ∴CD＝ED，∠BDC＝∠ADE， ∴∠BDC﹣∠ADC＝∠ADE﹣∠ADC， 即∠ADB＝∠CDE＝90°， ∴△CDE是等腰直角三角形，所以CECD， ∵AC＝m，BC＝n＝AE， ∴CE＝n﹣m， ∴CD． 30．（2026秋•江宁区月考）某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图①．AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）．BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图②，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点． ∴MA＝MC ． 又∵∠A＝∠C，BA＝GC， ∴　△MAB ≌　△MCG ． ∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD＝DG ． ∴AB+BD＝CG+DG． 即CD＝DB+BA． 【变式探究】 如图③，若点M是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图④，BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC＝45°．若AB＝6，⊙O的半径为5．求AD的值． 【解答】【问题呈现】证明：如图②，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC． 又∵， 在△MAB和△MCG中， ， ∴△MAB≌△MCG（SAS）， ∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD＝DG， ∴AB+BD＝CG+DG， 即CD＝DB+BA， 故答案为：MC；△MAB；△MCG；DG； 【变式探究】解：DB＝CD+BA； 证明：如图③，在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG， ∵点M是的中点， ∴MA＝MC，∠MBA＝∠MBG， 在△MAB和△MGB中， ， ∴△MAB≌△MGB（SAS）， ∴MA＝MG， ∴MC＝MG， 又∵DM⊥BC， ∴DC＝DG， ∴BA+CD＝BG+DG＝DB，即DB＝CD+BA； 【实践应用】解：如图④，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，连接OD1， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵⊙O的半径为5， ∴BC＝10， 在Rt△ABC中，AB＝6， 由勾股定理得：， ∵∠D1AC＝45°， ∴∠D1OC＝90°， ∴点D1为的中点， ∴AG1＝CG1+AB， ∴CG1+AB＝AG1，即8﹣AG1+6＝AG1， 解得AG1＝7， ∴； 如图⑤，当点D2在BC上方时，过点D2作D2G2⊥AC于点G2， 同理可得，CG2＝AG2+AB，即8﹣AG2＝AG2+6， 解得AG2＝1， ∵∠D2AC＝45°， ∴， 综上所述，AD的值为或． 四．定角定弦的最值问题（共9小题） 31．（2026秋•秦淮区校级期末）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为（　　） A．4 B． C．3 D． 【解答】解：∵∠PCA＝∠PBC， 而∠PCA+∠PCB＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠BPC＝90°， ∴点P在以BC为直径的⊙O上， 连接OA交⊙O于P，此时PA的长最小， ∵OA， ∴PA长的最小值为10﹣6＝4． 故选：A． 32．（2026•永昌县三模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是　2　 ． 【解答】解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC． ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5， ∴BC3， 在Rt△BCO′中，BO′， ∵O′E+BE≥O′B， ∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E2， 故答案为：2． 33．（2026秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，D是BC边上一点，CD＝2BD，线段AD的最大值为（　　） A．12 B．6+2 C．6 D． 【解答】解：作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC， ∵∠A＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠BOE＝60°， ∴∠OBE＝30°， ∴OB＝2OE， ∵，CD＝2BD ∴， ∵OB2＝OE2+BE2， ∴4OE2＝OE2+27， ∵OE＞0， ∴OE＝3， ∴OB＝6， ∵， ∴， ∵AO+OD≥AD， ∴当A，O，D三点共线时，AD最大， 即：； 故选：B． 34．（2026秋•溧水区期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（　　） A．1 B．2 C．1 D．4 【解答】解：如图，连接OD，OC， ∵AD＝DP， ∴OD⊥PA， ∴∠ADO＝90°， ∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC， 当点D在CK上时，CD的值最小， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴∠AOC＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴CK⊥OA， 在Rt△OCK中，∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1， ∴CK， ∵DKOA＝1， ∴CD1， ∴CD的最小值为1， 故选：A． 35．（2026秋•秦淮区期中）如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为　　 ． 【解答】解：∵AQ⊥PD，垂足为Q， ∴∠AQD＝90°， ∴点Q在以AD为直径的圆上， 连接AD，以AD为直径作⊙M，如图， 连接MO并延长交⊙M于Q′， 当Q点运动到Q′时，OQ的值最小， 连接OD， 在Rt△ODE中，∵OD＝5，OE＝5﹣2＝3， ∴DE4， 在Rt△ADE中，AD4， ∴MA＝MQ′＝2， 在Rt△AOM中，OM， ∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2， ∴OQ的最小值为． 故答案为． 36．（2026•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　22　 ． 【解答】解：连接MD，如图， ∵D为EF的中点， ∴MD⊥EF， ∴∠ODM＝90°， ∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆， 当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣2＝22， 即CD的最小值为22． 故答案为：22． 37．（2026春•重庆期末）如图，∠XOY＝45°，一把直角三角板ABC（点A为直角顶点）的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB＝10，那么点O到AB的距离的最大值为　5+5　 ． 【解答】解：∵AB＝10，∠AOB＝45°， ∴点O在△AOB的外接圆⊙T上运动， 作TH⊥AB于H，交⊙T于O′， ∵∠ATB＝2∠AOB＝90°， ∴TA＝TB＝5，THAB＝5， 点O到AB的距离的最大值＝TH+TO′＝5+5， 故答案为：5+5． 38．（2026秋•盐城期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．当点P在半圆上从点B运动到点A时，则内心M所经过的路径长为 　πcm ． 【解答】解：∵△OPE的内心为M， ∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE， ∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°（∠EOP+∠OPE）， ∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°， ∴∠PMO＝180°（∠EOP+∠OPE）＝180°（180°﹣90°）＝135°， 如图，∵OP＝OC，OM＝OM， 而∠MOP＝∠MOC， ∴△OPM≌△OCM（SAS）， ∴∠CMO＝∠PMO＝135°， 所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）； 点M在扇形BOC内时， 过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O， 在优弧CO取点D，连DC，DO， ∵∠CMO＝135°， ∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°， ∴∠CO′O＝90°，而OAcm， ∴O′OOC1， ∴弧OMC的长（cm）， 同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为cm， 所以内心M所经过的路径长为2π（cm）． 故答案为：πcm． 39．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC的长为4，D是BC的中点，P是直角边AB上一动点（不与A、B重合），过P、A、D三点的圆交PC于Q，当点P运动时，线段AQ长度的最小值为 　　 ． 【解答】解：连接AD，DQ， ∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点， ∴∠BAD＝45°，BD＝AD＝CD＝2， ∵∠PQD＝∠PAD＝45°， ∴∠DQC＝135°， ∴点Q在以DC为弦，圆心角为90°的圆弧上运动，设此圆的圆心角为点O，连接OQ， 半径为OC＝OQCD， ∴OD， 过点O作OE⊥AD于点E，连接OA， 则△CDE是等腰直角三角形， ∴OE＝DE＝1， ∴AE＝3， 在Rt△OAE中，由勾股定理可得，AO， 当点O，Q，A三点在一条直线上时，AQ有最小值：． 五．四点共圆（共3小题） 40．（2026秋•义乌市校级期末）如图，AB⊥BC，，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接AD，则AD的最小值为 　5　 ． 【解答】解：如图，连接BD并延长，过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AB于点N． 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝∠DMB＝∠DNE＝90°， ∴四边形DMBN是矩形， ∴∠MDN＝90°， ∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°， ∴DE＝DF， ∴∠MDN＝∠EDF， ∴∠MDF＝∠NDE， 在△DMF和△DNE中， ， ∴△DMF≌△DNE（AAS）， ∴DM＝DN， ∴∠DBF＝∠DBE∠ABC＝45°， ∴点D的轨迹为∠ABC的平分线， ∵垂线段最短， ∴当AD⊥BD时，AD取最小值， ∴AD的最小值为AB55， 故答案为：5． 41．（2026秋•鼓楼区月考）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角∠A+∠C＝180°，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点A，B，D画⊙O． 假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE， ∵四边形ABED内接于⊙O， ∴可得 A+∠AED ＝180°， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BED＝　∠C ，与∠BED＞∠C得出矛盾； 同理点C也不会落在⊙O内， ∴A，B，C，D共圆． （3）结论运用：如图∠BAC＝120°，线段，点D，E分别在射线AC和线段AB上运动，以DE为边在∠BAC内部作等边△DEF，则BF的最小值为 　　 ． 【解答】（1）证明：如图①，连接OB、OD， ∵，，且∠1+∠2＝360°， ， 同理∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°； （2）证明：在图②中，经过点A，B，D画⊙O．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE， ∵四边形ABED内接于⊙O， ∴∠A+∠BED＝180°， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BED＝∠C，与∠BED＞∠C得出矛盾； 同理点C也不会落在⊙O内， ∴A，B，C，D共圆． 故答案为：∠A+∠BED，∠C； （3）解：∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝∠EFD＝60°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAC+∠EFD＝180°， ∴A、D、F、E四点共圆， ∴∠BAF＝∠EDF＝60°（同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ∴作∠BAM＝60°，点F始终在射线AM上运动， 由垂线段最短可知，当BF′⊥AM，即点F′处时，BF′最小， 在Rt△ABF′中，∠1＝30°， ∴， ∴， 故BF的最小值为， 故答案为：． 42．（2026秋•南京月考）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． （1）在图①、②中，取AC的中点O，根据　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　 得OA＝OB＝OC＝OD，即A，B，C，D共圆； （2）在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得　∠A+∠BED ＝180°，所以∠BED＝　∠C ，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F． 求证：AF是△ABC的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） （4）如图⑦，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在△ABC的外接圆上． 【解答】（1）解：如图①，取AC的中点O，连接OB，OD， 在直角三角形ABC中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得：OB＝OA＝OC， 在直角三角形ACD中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得：OD＝OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC＝OD， 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）解：假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE， ∴∠A+∠BED＝180°， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BED＝∠C， ∵∠BED是△DEC的一个外角， ∴∠BED＞∠C，相互矛盾， 故点C在圆上， 故答案为：∠A+∠BED；∠C； （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接ED． ∵A、E、H、D四点共圆， ∴∠BAF＝∠EDH， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴∠EDH＝∠BCE， ∵CE⊥AB， ∴∠EBC+∠BCE＝90°， ∴∠EBC+∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝90°， 即AF是△ABC的高． 故答案为：∠EDH；B、E、D、C；∠EDH＝∠BCE； （4）证明：如图⑦，连接BP，CP， 由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴∠PCD＝∠PFD，∠PFD＝∠PBE， ∴∠PCD＝∠PBE， 由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆， 即点P在△ABC的外接圆上． 六．课后练习（共7小题） 43．（2026•宿迁模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝ 　15　 °． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠DCB＝180°， ∵∠BAD＝105°， ∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣75°＝15°， 故答案为：15． 44．（2026秋•秦淮区期末）如图，将⊙O沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和劣弧AB上，若∠C＝65°，则∠D＝　115　 °． 【解答】解：由题意∠C+∠D＝180°， ∵∠C＝65°， ∴∠D＝115°， 故答案为：115． 45．（2026秋•信阳期中）如图，将沿弦AB翻折过圆心O，交弦AC于点D，若AD＝1，，则CD为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：过点O作半径OG⊥AB于点F，过点B作半径BE⊥AC于点E，连接BC，BD，OA，OB， 由条件可知， ∴， ∴∠OBF＝30°， ∵OB＝OA， ∴∠OAB＝∠OBF＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBF﹣∠OAB＝120°， ∴， ∵和所对的圆周角均为∠BAC， ∴， ∴BC＝BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴CD＝BD，∠BDC＝60°， 设CD＝BD＝x，则， ∴， 在Rt△ABE中，，BE2+AE2＝AB2， ∴， 解得x1＝2，x2＝﹣3， ∵x＞0， ∴x＝2， ∴CD＝2． 故选：D． 46．（2026秋•鼓楼区期中）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为40°，则∠B+∠D的度数为 　160　 °． 【解答】解：连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE， ∵为40°， ∴∠ABE＝∠ADE＝20°， ∵点A、B、C、D在⊙O上， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°， ∴∠B+∠D＝180°﹣∠ABE＝180°﹣20°＝160°． 故答案为：160． 47．（2026秋•秦淮区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．2 D．2 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°， ∵BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， 又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE， ∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC， ∴∠AFE＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2）， 连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝422． 故选：D． 48．（2026秋•秦淮区期中）如图，AB，CD是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点P，且PB＝PD． （1）用直尺和圆规作出该圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证PA＝PC． 【解答】（1）解：如图，分别作线段AC，CD的垂直平分线，相交于点O， 则点O即为所求． （2）证明：由图可得，∠ABC＝∠ADC， ∴∠PBC＝∠PDA． ∵∠APD＝∠CPB，PB＝PD， ∴△ADP≌△CBP（ASA）， ∴PA＝PC． 49．（2026•碧江区 校级模拟）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB＝PC． 【解答】解：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形， 连接OP， ∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，P是的中点， ∴∠AOP＝∠BOP＝60° 又∵OA＝OP＝OB， ∴△OAP和△OBP均为等边三角形， ∴OA＝AP＝OB＝PB， ∴四边形PBOA是菱形； （3）如图2，在PC上截取PD＝AP， 又∵∠APC＝60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°． 又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB， 在△APB和△ADC中， ， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP＝CD， 又∵PD＝AP， ∴CP＝BP+AP． 声明 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $