3.4 课时1 圆周角的概念与圆周角定理 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．4 圆周角 课时1 圆周角的概念与圆周角定理 ▌课时目标 1. 理解圆周角的定义及其与圆心角的区别与联系。 2. 掌握圆周角定理（圆周角等于所对圆心角的一半）及半圆所对圆周角为直角。 3. 能运用圆周角定理进行角度计算，并理解定理的分类证明思路。 ▌课时目录 知识点01：圆周角的定义 知识点02：圆周角与圆心角的区别与联系 知识点03：圆周角定理 知识点04：圆周角定理的证明 知识点05：同弧或等弧所对圆周角相等的初步认识 知识点06：半圆所对的圆周角是直角 ▌知识点01：圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的顶点在圆上，两边是与圆相交的两条弦。 例如：∠ACB顶点C在⊙Ｏ上，CA、CB都与圆相交，则∠ACB是圆周角。 注意：只有一边与圆相交或两边都不相交的角不是圆周角。 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论． 【详解】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意； （2）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故不符合题意； （3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意； （4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了与圆有关的定理和推论，包括圆周角、圆心角、弦和弧的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：由圆周角定义要求顶点在圆上且两边都与圆相交，命题中“顶点在圆周的角”未指定两边都与圆相交，故错误； 由相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，命题未指定条件，故错误； 由两条弦相等所对的弧相等需在同圆中且考虑弧的类型（优弧或劣弧），命题未指定，故错误； 由在等圆中，圆心角相等则所对的弦也相等，命题正确； ∴正确的结论有个． 故选：． 3．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 4．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． ▌知识点02：圆周角与圆心角的区别与联系 圆心角顶点在圆心，两边是半径；圆周角顶点在圆上，两边是弦。 同一条弧所对的圆周角只有一个度数，但可有无数个位置不同的圆周角。 例如：所对的圆心角∠AOB唯一，而圆周角可在所对的优弧上任取顶点。 注意：二者顶点位置不同。 5．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 8．（2025·江西南昌·中考真题）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，即为所求， 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌知识点03：圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即若∠ACB与∠AOB同对弧，则∠ACB＝∠AOB。 例如：所对圆心角为80°，则其所对圆周角为40°。 注意：必须是“同一条弧”所对的圆周角与圆心角才有此关系。 9．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 ，利用半径相等可得等腰三角形，结合角的和差关系及圆周角定理求解． 【详解】解：连接 ，如图， ， ，， ， 由图可知， 又， . ， ． 10．（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 12．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）证明：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 【答案】已知：如图，弧所对的圆周角是，圆心角是． 求证：． 证明：如图， 在图①中， ∵， ∴， 又∵， ∴； 在图②中，作直径， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则； 在图③中，作直径， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】分“圆周角的一边过圆心”、“圆心在圆周角的内部”、“圆心在圆周角的外部”3种情况，分别结合图①、②、③证明上述结论． 【详解】略． ▌知识点04：圆周角定理的证明 证明圆周角定理需分类讨论： ①圆心在圆周角一边上，由等腰三角形外角可得； ②圆心在角内部，作直径化为情形①； ③圆心在角外部，同理转化。 例如：圆心在边OA上时，利用OA＝OC推得∠C＝∠A。 注意：三种情形结论一致，都得到圆周角等于圆心角一半。 13．（2026·江苏镇江·二模）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧所对圆周角和圆心角的关系即可求出的度数，再根据为等腰三角形即可求出的度数． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵对应优弧， ∴． ∵为等腰三角形，， ∴． 故选：A． 14．（2026·江苏连云港·二模）如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，作于，于，利用圆周角定理和角平分线性质证明，进而证得，求出和的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，作于，于， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，． 15．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°． 【答案】 【分析】如图：连接，利用等腰三角形性质求出，再利用平角定义求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 16．（2026·江苏盐城·三模）如图，在半径为5的中，弦，点C在优弧上，弦于点G．连接，过点A作弦于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若点C在优弧上运动，判断线段的长是否为定值？若是，求出其长度． 【答案】(1)证明：连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． (2)是，6 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质以及圆周角定理等知识． （1）连接，先证明，再根据，推出，结合等腰三角形的性质可证明； （2）过O作、的垂线段，垂足分别为M、N，连接，在中，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，即有，结合（1）的结论，设，分别表示出，，问题得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过O作、的垂线段，垂足分别为M、N，连接， 则，， 在中，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 结合（1）的结论，设， ∴， ∴， ∴， ∴的长为定值． ▌知识点05：同弧或等弧所对圆周角相等的初步认识 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 这是圆周角定理的直接推论，因为同弧所对圆心角固定，其一半也固定。 例如：⊙Ｏ中弧所对的各个圆周角都等于∠AOB。 注意：强调“同弧或等弧”，不同弧所对圆周角一般不等。 17．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴， ∴. 18．（2026·江苏常州·中考真题）如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 【答案】/40度 【分析】首先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理确定的角度，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A、B、C、D在上，，求、的度数． 【答案】， 【分析】根据同弧所对的圆周角相等和圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）求解． 【详解】解：∵，， ∴，． 20．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，是的直径，、在上，，求证：． 【答案】证明： 连接， ， ，． ， ． ． ． 【分析】作辅助线半径，先用平行线性质得到两组角相等，再利用半径相等得到等腰三角形底角相等，等量代换证明两个圆心角，最后用圆心角、弦的关系证弦相等． 【详解】略 ▌知识点06：半圆所对的圆周角是直角 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即90°。 因为半圆所对圆心角是180°，其一半为90°。 例如：AB是⊙Ｏ直径，C在圆上，则∠ACB＝90°。 注意：反之，90°圆周角所对弦是直径，这在后续课时进一步学习。 21．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用为的直径，，求出，根据得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得到，最后，由两直线平行，内错角相等得出． 【详解】解：是的直径， ， 又， ， ， ， ， ， ． 22．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 23．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 24．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (3)存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． ▌课时训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 4．（2026·江苏盐城·二模）如图，是的直径，，是上两点，连接，，．若，则的度数为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，推导出，，得到，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 二、填空题 5．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·江苏常州·二模）如图，是的直径，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角为直角可得的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再由直角三角形两锐角互余即可得解． 【详解】是的直径， ， ， ， ． 8．（2026·江苏常州·一模）如图，是的直径，，，则的值为_______． 【答案】 2 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得，根据直径所对的圆周角是直角，可得，在中，利用含角的直角三角形的性质求出的长，再根据半径与直径的关系求出的长． 【详解】解：与都是弧所对的圆周角， ， 是的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ． 三、解答题 9．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)的长为． 【分析】（1）利用直径和垂线证明，利用“等弧所对圆周角相等”证明，进而推出，利用“等角对等边”即可得结论； （2）利用“相等的弧所对的弦也相等”得到，再利用勾股定理计算的长，利用直角三角形的等面积法可计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴，即 ∵点D是弦延长线上一点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）如图：连接，根据为的直径，得出，根据，利用垂直平分线的性质可得，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明CE=CD； （2）先求得，如图，连接，，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论可得，再利用直角三角形的性质以及勾股定理可得，然后再求半径即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 如图，连接，， ∵所对圆心角的度数为， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：（已舍去负值）， ∵为的直径， ∴的半径为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.4圆周角 课时1圆周角的概念与圆周角定理 课时目标 理解圆周角的定义及其与圆心角的区别与联系。 2. 掌握圆周角定理（圆周角等于所对圆心角的一半）及半圆所对圆周角为直角。 3 能运用圆周角定理进行角度计算，并理解定理的分类证明思路。 课时目逯 知识点01：圆周角的定义 知识点02：圆周角与圆心角的区别与联系 知识点03：圆周角定理 知识点04：圆周角定理的证明 知识点05：同弧或等弧所对圆周角相等的初步认识 知识点06：半圆所对的圆周角是直角 知识点01：圆周鱼的定义 项点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 1/12 圆周角的顶点在圆上，两边是与圆相交的两条弦。 例如：∠ACB顶点C在⊙O上，CA、CB都与圆相交，则∠ACB是圆周角。 注意：只有一边与圆相交或两边都不相交的角不是圆周角。 B C 1.(2425九年级上江苏无锡期中)有下列结论：(1)三点确定一个圆；(2)平分弦的直径垂直于弦； (3)三角形的外心到三角形各项点的距离相等；(4)弧长相等的弧是等弧.其中正确结论的个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.(25-26九年级上山东济宁阶段检测)下列命题中，正确的结论有() ① ② 顶点在圆周的角是圆周角：相等的圆心角，所对的弧也相等： ③ ④ 两条弦相等，它们所对的弧也相等：在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2526九年级上天津萄州阶段检测)如图所示，已知1B是半圆的直径，0为圆心，点C在 B 上 CD⊥AB AD=2,CD=4 于点D.若 4,则1B的长为0 B A.8 B.10 C.4 D.5 4.(25-26九年级上·福建厦门阶段检测)如图，△ABC内接于圆，点D在AC上，连接BD,AD.下列 角中， AB 所对圆周角的是() 2/12 A.∠APB B.∠DAC C.ZACB D.∠DBA 知识点02：圆周角与圆心角的区别与联系 圆心角顶点在圆心，两边是半径；圆周角顶点在圆上，两边是弦。 同一条弧所对的圆周角只有一个度数，但可有无数个位置不同的圆周角。 例如：AB所对的圆心角∠AOB唯一，而圆周角可在AB所对的优弧上任取顶点。 注意：二者顶点位置不同。 B 5.(24-25九年级上河南商丘期中)下列圆中既有圆心角又有圆周角的是() B C D 6.(24-25九年级上福建厦门期中)如图，点A,B,C在⊙0上，点D在⊙0外，CD与⊙0交于点E, AC,BE于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是() B A.∠ADE B.∠ABE C.∠AFE D.∠AOE 3/12 7.(25-26九年级上河北廊坊期中)图中∠ACB是圆周角的是() B 8.(2025·江西南昌·中考真题)如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下 作图（保留作图痕迹)· 图1 图2 (1)在图1中作弦AB的圆心角. (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上. 知识点03：圆周鱼定理 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 1 即若∠ACB与∠AOB同对弧AB,则∠ACB=2∠AOB。 例如：AB所对圆心角为80°，则其所对圆周角为40°。 注意：必须是“同一条弧”所对的圆周角与圆心角才有此关系。 9.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，已知点A、B、C在⊙0上，∠A0B=80°，则 4/12 ∠OBC-∠OAC的度数为() A.10° B.20° C.30° D.40° 10,(2026山东东若中考真题)如图，4,8，C,D是O0上的四个点.C=DC,∠1=25°，则D 的度数是() A.25° B.40° C.60° D.65 11.(2026四川宜宾中考真题)如图，⊙0是△ABC的外接圆，连接OA、OC.若△AOC为等边三角形， 则∠ABC的度数是() A.20° B.30° C.50° D.60° 12.(26-27九年级上江苏南京·阶段检测)证明：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 知识点04：圆周鱼定理的证盟 证明圆周角定理需分类讨论： ①圆心在圆周角一边上，由等腰三角形外角可得： ②圆心在角内部，作直径化为情形①： 5/12 ③圆心在角外部，同理转化。 例如：圆心在边OA上时，利用OA=OC推得∠C=∠A。 注意：三种情形结论一致，都得到圆周角等于圆心角一半。 13.(2026江苏镇江二模)如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC=115°，则 ∠BAC的度数是() D B A.25° B.35° C.45° D.55 14.(2026江苏连云港二模)如图，半圆O的直径AB=10,弦AC=6,AD平分∠BAC,则AD的长为 () D A.9 B.310 C.72 D.4V5 15.(2026江苏宿迁·二模)如图，在半圆0中，AB是直径，C、D是半圆上两点，∠B0C=40°， ∠0CD=50°，则∠ABD=. D B 16(2026江苏达城三德)如图，在半径为5的00中，弦松=8，点C在优历上，弦01 ”于点 G.连接BC,过点A作弦AE⊥BC于点H,AE交CD于点F. E Q G B D 6/12 (I)求证：DG=FG; 2)若点C在优弧AB CF 上运动，判断线段的长是否为定值？若是，求出其长度. 知识点05：同弧或等弧所对圆固鱼相等的初步认识 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 这是圆周角定理的直接推论，因为同弧所对圆心角固定，其一半也固定。 例如：⊙0中弧AB所对的各个圆周角都等于2∠AOB。 注意：强调“同弧或等弧”，不同弧所对圆周角一般不等。 17.(2026江苏镇江·中考真题)如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C,D在半圆上.己知 ∠BCD=40°，则∠BOD的度数为 】 18.(2026江苏常州中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接AC,BD.若AB=AC, ∠ACB=70°，则∠BDC的度数为 09 19.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，点A、B、C、D在O0上，∠BAC=35°，求∠BDC、 ∠BOC的度数. 7/12 B 20.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图所示，AB是⊙0的直径，C、D在⊙0上，OC∥BD, 求证：AC=CD 知识点06：半圆所对的圆周角是直鱼 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即90°。 因为半圆所对圆心角是180°，其一半为90°。 例如：AB是⊙O直径，C在圆上，则∠ACB=90°。 注意：反之，90°圆周角所对弦是直径，这在后续课时进一步学习。 21.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙0上，CD与AB交于 点E,连接OD,BC,AC,ODIIBC,∠A=24°，则∠D的度数为() B A.660 B.38° C.33 D.24° 8/12 22.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，在⊙0中，AB为直径，C为⊙0上一点，将劣弧沿弦 AC翻折交AB于点D,连接CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC=27°，则∠DCA的度数为 B 0 23.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，△ABC内接于⊙0，AB=BC,∠ABC=120°，AD为 ⊙0 ∠DAC= 的直径， D 0. B 24.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=6,D为 边BC上的一个动点，连接AD,以CD为直径的⊙O交AD于点E,过点C作CF‖AB,交⊙0于点 F,连接CE,EF, F 备用图 (1)当∠CFE=45时，求CD的长； 2)求证：∠BAC=∠CEF; (③)是否存在点D,使△CFE是以EF为腰的等腰三角形？若存在，求出此时CD的长；若不存在，请说 明理由. 9/12 课时训练 一、选择题 1.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)如图，AB为⊙0的直径，点C,D在⊙0上，CD与AB交于 点E,连接OD,BC,AC,OD∥BC,∠A=30°，则∠D的度数为() A.45° B.60° C.30 D.35 2.(2026江苏准安中考真题)如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=60°， ∠ADC=50°，则∠CEB的度数为() B D A.100° B.110° C.120° D.130° 3.(2026山东青岛中考真题)如图，AD是⊙0的直径，B,C,E是⊙0上的三点，∠B=112°，则 ∠E的度数为() A.20° B.22° C.30° D.32° 4.(2026江苏盐城二模)如图，BD是O0的直径，A,C是⊙0上两点，连接AC,AD,CD.若 10112 ∠C=26°，则∠ADB的度数为() A.44° B.46° C.54 D.64° 二、填空题 5。（26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，△1BC内： 心内接于， C是0的直径，点P是B的中 ⊙0BCa⊙0， 点，连接AP,若∠BAP=30°，BC=8,则AC的长为 0 B P 6.(2026江苏徐州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，弦CDI‖AB,若∠CAB=65°，则∠BCD= O 0 7.(2026江苏常州二模)如图，AB是⊙0的直径，∠BCD=38°，则∠ABD的度数为一 D B 11/12 8.(2026江苏常州一模)如图，AB是⊙0的直径，∠D=60°，AC=2,则OB的值为 B 0 三、解答题 9.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙0，点B在⊙0上，点D为 O0上一点，连接BD,且B为CD的中点，BE14C于点E,连接CD交BE于点F. D E I)求证：BF=CF: (2)若AB=4,BD=2,求BE的长 10.(26-27九年级上·江苏宿迁阶段检测)如图，AB为⊙0的直径，点D是弦AC延长线上一点， AC=CD DB ⊙0 CE ,连接并延长，交于点E,连接 0 (I)求证：CE=CD: ②考正所对圆心角的度数为120”，D=6,求O0的半径 12112