3.4圆周角（1） 专项练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

3.4 圆周角（1）答案与解析 一、选择题 1、A 解析： A：等弧所对的圆周角相等，正确。 B：平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦；若弦本身是直径，两直径不一定垂直，错误。 C：相等的圆心角所对的弧相等，前提是同圆或等圆中，缺少条件，错误。 D：过弦的中点的直线不一定过圆心，只有垂直于弦时才过圆心，错误。 2、A 解析：AB 是半圆直径，四边形 ACDB 为圆内接四边形，对角互补： ，由 得 。 AD 平分 ，故 ，从而 。 AB 为直径，。在 中，，所以 。 在 中：。 3、B 解析：（同弧 AD）。由 ，得 。 在 中，。 又 （同弧 AC），故 。 4、C 解析：同弧 AD，。 AB 是直径，。在 Rt 中， 。 5、B 解析： 为圆周角，对应弧 。 AB、CE 都是直径，故 。 ，D 是劣弧 BC 中点，所以 。 。 6、C 解析：连接 BD。AB 为直径，，即 BD⊥AC。 由 AB=BC 等腰，D 为 AC 中点，。 在 Rt 中，，故 。 7、B 解析：AB 为直径，C 是弧 AB 中点，所以 AC=BC，， 为等腰直角三角形，。 在 Rt 中，。 A、B、C、D 四点共圆，。 两式相减并利用 （），可得 。 8、A 解析：直径 AB 所对弧 AB 为 180°，三等分后每段 60°，即 。 Ⅰ：Q 为弧 CD 中点，每小段 30°，计算得 ，正确。 Ⅱ：Q 在弧 BD 上时， 可以小于 90°，并非最小值 90°，错误。 Ⅲ： 时推算点 Q 落在弧 BD 上，正确。 故Ⅰ、Ⅲ正确。 二、填空题 9、 解析：，对应圆心角 。 OA=OC，等腰三角形 中， 。 10、 解析：OF⊥BC，OB=OC，OF 平分 ，故 。 。弦 CD⊥AB，由垂径定理 ，所以 。 11、 解析：，对应圆心角 ，。 CD⊥AB，由垂径定理 。在 Rt 中，， 。 12、 解析：三角板中 ，，故 为等腰直角三角形。 。 13、 解析：圆内两相交弦夹角等于所对两段弧度数和的一半： 。 代入 ，解得 。 14、 解析：，故 F 在以 BC 为直径的圆上。等边 边长为 4，BC 中点 M 为圆心，半径 r=2。 等边三角形的高 。 ，，两者之差为 。 三、解答题 15、(1) 求证： 证明：连接 AD。 因为 AB=AC，所以 。AB 是 的直径， 所以 （直径所对圆周角为 90°）。 由等腰三角形三线合一，AD 平分 ，即 。 相等的圆周角所对的弧相等， 对弧 BD， 对弧 DE， 所以 。 (2) 若 ，求弧 AE 的度数。 解：连接 OE。圆周角 对着弧 BE， 故 。 AB 为直径，， 所以 。 答：弧 AE 的度数为 。 16、(1) 求证： 证明：在 Rt 中，E 是斜边 BD 的中点， 所以 。 在 Rt 中，E 是斜边 BD 的中点，所以 。 因此 AE=CE， 为等腰三角形。F 是 AC 中点， 由等腰三角形三线合一得 。 (2) 若 ，求 。 解：由 AE=CE，EF⊥AC，得 ， 从而 。 又 AE=BE=DE=CE， 故 A、B、C、D 四点在以 E 为圆心、EA 为半径的圆上。 圆心角 ，其所对圆周角为 ； 而 对着优弧 AC， 。 17、（无刻度直尺作图） (1) 图 1：连接 OD 并延长交 BC 于中点（由垂径定理，OD⊥BC 时平分弧 BC）， 连接该弧中点与 A，交圆于 M，则 AM 即为 的角平分线。 (2) 图 2：延长 AC、BC 分别交半圆于两点，连接相应交点得到两条高线， 其交点即为垂心；连接垂心与 C 并延长交 AB，即为 AB 边上的高。 18、(1) 求证： 证明：C 是弧 BD 中点，故 ，得 。 由 CF=BF，得 。又 （同弧 BC）， 所以 。 AB 为直径，， 即 。 代入 ，得 ， 所以 ， 即 CE⊥AB。 (2) 若 CE=12，BE=8，求直径 AB。 解：设圆半径为 r，则 OC=r，OE=OB−BE=r−8。 在 Rt 中，由勾股定理： 所以直径 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4圆周角（1） 专项练习 一．选择题 1、下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 2、如图，点C、D都在以为直径的半圆上，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3、如图，为的直径，点C、D、E在上，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 4、如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5、如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6、如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点，过点作线垂直于点，若，，则的长度是（    ） A． B．4 C． D．3 7、如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，AC，BD的延长线交于点E，则∠AEB﹣∠BCD等于（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 8、如图，已知AB是半圆O的直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．若点Q在上，∠APQ＝α，对于下列三个结论判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若点Q在的中点处，则α＝145°； 结论Ⅱ：当点Q在上时，α的最小值为90°； 结论Ⅲ：若α＝115°，则点Q在上． A．Ⅰ和Ⅲ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅱ对Ⅲ不对 D．Ⅰ不对Ⅲ对 二．填空题 9、如图，A，B，C是上的三个点，，则的度数是　 　． 10、如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，则为　　． 11、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______． 12、一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点D在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和AD交于点E，已知cm，则这个圆圈上的弦CE长是_________ 13、如图，在⊙O中，P为弦AB与弦CD的交点．若∠APC＝84°，的度数为74°，则的度数为 　 　°． 14、如图，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段长度的最大值与最小值的差约为　 　    三．解答题 15、如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点． 求证：； 若，求的度数． 16、如图，在四边形ABCD中，，点EF分别是BD，AC的中点，连接EF． （1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 17、仅用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹） 　　 （1）在图1中，锐角△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D. 请画出△ABC的角平分线AM； （2）在图2中，点C在半圆内，请作出△ABC中AB边上的高． 18、如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，F是线段BD上一点，连接CF并延长CF，与AB交于点E，CF＝BF． （1）求证：CE⊥AB； （2）若CE＝12，BE＝8，求AB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $