精品解析：江苏扬州市竹西中学等校2026-2027学年九年级上学期10月阶段素养调研活动数学试卷

2026.10月度素养调研活动 初三年级 数学学科 （时间：120分钟；分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题：①直径是弦：②垂直于半径的直线是这个圆的切线；③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点；④三点确定一个圆，其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5和5 B. 3和5 C. 3和7 D. 3和10 4. 若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 5. 如图，已知是的直径，C是上一点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数，点三点都在该反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9. 一圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为________． 10. 设是一元二次方程的两个根，则___________． 11. 小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 12. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____． 13. 如图，三点在上，若，则的度数是__________． 14. 如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 15. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当它的最快移动速度时，其载重后总质量_________． 16. 在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为_______． 17. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，点在轴负半轴上，连接，若，且的面积为6，则___________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2） 20. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若关于的方程的一个根比另一个根大1，求的值． 21. 如图，点在上，，．求证． 22. 如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点A、B、C． （1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为______； （2）根据（1）中的条件填空： ①圆D的半径______（结果保留根号）； ②点在圆D______（填“上”、“内”或“外”）； ③求的长． 23. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元．平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为_______顶； （2）在（1）的条件下，该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 25. 如图，中，，与相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连接，已知． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积(结果保留)． 26. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”， （1）①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程是“3倍根方程”，则_________； （2）若是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是“3倍根方程”吗？并说明理由． 27. 【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … （1）___________，___________； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图像； ②当时，的解集为___________ 28. [学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决． 例如：如图1，在中，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，则________． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，则________； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_________． ②如图4②，在，，，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026.10月度素养调研活动 初三年级 数学学科 （时间：120分钟；分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，其中分别为：二次项系数、一次项系数、常数项，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：C． 2. 下列命题：①直径是弦：②垂直于半径的直线是这个圆的切线；③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点；④三点确定一个圆，其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的相关概念逐项判断即可． 【详解】解：①直径是弦，是真命题； ②原命题缺少经过半径外端的条件，是假命题； ③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，是真命题； ④原命题缺少三点不在同一直线上的条件，是假命题； 故真命题共有2个． 3. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5和5 B. 3和5 C. 3和7 D. 3和10 【答案】A 【解析】 【详解】解：在数据7，5，3，5，10中，出现次，出现次数最多， ∴众数为； 将数据从小到大排列为3，5，5，7，10， ∵共有个数据，中位数为排序后第个数， ∴中位数为． 4. 若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式的方法是解题的关键．先代入求出的值，再根据反比例函数的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：代入得，， 反比例函数为， A、，故此选项说法不正确，不符合题意； B、因为，所以函数图象经过点，故此选项说法正确，符合题意； C、当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，不符合题意； D、当时，，故此选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知是的直径，C是上一点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．根据圆周角定理可得出，再根据等腰三角形性质和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ，， ∴ ， 故选：A． 6. 反比例函数，点三点都在该反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，且第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负， ∵点、的横坐标均小于0，在第二象限，且， ∴， ∵点的横坐标大于0，在第四象限， ∴， ∴． 7. 若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过换元利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为， ∴. 整理方程， 移项得， 提取公因式得， 令，则方程变为，与原方程结构完全相同， ∴该方程的一个解为， 即.解得． 8. 在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由得点，，…，，都在同一个反比例函数的图象上，再结合反比例函数图象的性质，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解：由得点，，…，，都在同一个反比例函数的图象上， 当反比例函数图象位于第一、三象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点； 当反比例函数图象位于第二、四象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点； ∵， ∴的最大值为． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9. 一圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形．利用计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案是：． 10. 设是一元二次方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两个根，求两根之和，直接利用根与系数的关系计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ∴． 11. 小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 【答案】92 【解析】 【详解】解：根据权重计算总评成绩，列式得 ， 因此小丽本学期的总评成绩为92分． 12. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得k-3＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得k-3＜0， 解得k＜3． 故答案是：k＜3． 【点睛】考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 13. 如图，三点在上，若，则的度数是__________． 【答案】##73度 【解析】 【分析】连接，由圆的半径相等得，由平行线性质得，由等腰三角形性质即得． 【详解】解：连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 15. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当它的最快移动速度时，其载重后总质量_________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，得． ∴ 故答案为：80． 16. 在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为_______． 【答案】1cm或7cm 【解析】 【详解】两条平行的弦可能在圆心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论 圆心到两条弦的距离分别为d1== 4cm，d2==3cm． 故两条弦之间的距离d=d1-d2=1cm或d=d1+d2=7cm 17. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“和谐”方程和“美好”方程的定义列出关于、的方程组，求解后代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， 根据定义可得， 解得， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，点在轴负半轴上，连接，若，且的面积为6，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，连接，根据等腰直角三角形的性质及得出为中点，从而得到，设点，利用中点性质表示出点和点的坐标，进而表示出和，最后根据面积和差关系列方程求解 ． 【详解】解：过点作，交轴于点，连接， 等腰直角，， ， 则点是的中点 ，  ， 设点， ， ， 点是的中点，， 点 ， 轴，点在轴负半轴上 ， 点 ， ， ， ， 点在上，且在反比例函数图象上， 点的横坐标为，纵坐标为 ， ， ，  ，  ， 解得． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】略 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若关于的方程的一个根比另一个根大1，求的值． 【答案】（1） 证明：对于二次方程， 判别式 ， 整理： 由于对于所有实数 m 成立， 即对于所有实数 m 成立， 因此方程总有实数根． （2）1或3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式； （1）求出一元二次方程的判别式，得到判别式，即可证出结论； （2）设方程的两个根为和 ，且 ，结合韦达定理得到，解出 或 ．代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个根为和 ，且 ． 由韦达定理： 根之和：， 根之积：． ∵： ∴， ． 由  解得： 代入根之积方程： 整理得： 解得： 或 ． 当  时，，则 ． 当  时，，则 ． 21. 如图，点在上，，．求证． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系，先由得，由得，则，求出，即可得出结论． 【详解】略 22. 如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点A、B、C． （1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为______； （2）根据（1）中的条件填空： ①圆D的半径______（结果保留根号）； ②点在圆D______（填“上”、“内”或“外”）； ③求的长． 【答案】（1）； （2）①；②外；③． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质、勾股定理、垂径定理及点与圆的位置关系，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． （1）根据圆中任意一条弦的垂直平分线经过圆心，可找出圆心D的位置，进而求出点D坐标． （2）①利用勾股定理即可解决问题． ②求出点与圆心D之间的距离即可解决问题． ③连接，，求出，利用弧长公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为圆中任意一条弦的垂直平分线经过圆心，如图所示， 点D的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①由题知，点A的坐标为，圆心D的坐标为，则，， 所以． 故答案为：． ②由题知，点到圆心D的距离为：， 因为，所以点在圆D外． 故答案为：外． ③连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：． 23. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元．平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为_______顶； （2）在（1）的条件下，该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每顶头盔应降价5元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程解决实际问题，分析题意，找出数量关系是解题的关键． （1）根据“平均每周可售出100顶，每降价1元，平均每周可多售出20顶”即可列出代数式； （2）根据“该商店若希望每周获利3000元”列出方程，求解后根据“每顶售价要高于50元”进行取舍，即可解答． 【小问1详解】 解：设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为顶． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设每顶头盔应降价x元，根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每顶售价要高于50元，即， ∴， ∴不合题意，舍去， 答：每顶头盔应降价5元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 25. 如图，中，，与相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连接，已知． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积(结果保留)． 【答案】（1） 是的切线，理由如下： 如图所示，连接， 与相切于点， ， 在和中， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和判定，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据全等的性质可得， 结合等腰三角形和直角三角形的性质可求出，， 利用勾股定理和含直角三角形的性质可求得的长，最后根据进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 26. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”， （1）①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程是“3倍根方程”，则_________； （2）若是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是“3倍根方程”吗？并说明理由． 【答案】（1）①是；②3 （2）或 （3）关于x的方程是“3倍根方程”，理由如下： ∵点在反比例函数的图像上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴此方程是3倍根方程． 【解析】 【分析】（1）根据“3倍根方程”定义进行判断即可； （2）先解出方程的两个根，再根据“3倍根方程”定义，得出或，分类讨论得出与的关系，代入式子进而得出答案； （3）根据点在反比例函数图像上，求出，再解一元二次方程，得出两个根满足“3倍根方程”定义． 【小问1详解】 解：①是；②3 故答案为：①是；②3 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵方程是3倍根方程 ∴或 当时，即 ∴ 当时，即 ∴ 综上，的值为或. 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了新定义题目，解题关键是要读懂题目中的新定义，根据新定义即可解题． 27. 【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … （1）___________，___________； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图像； ②当时，的解集为___________ 【答案】（1）；； （2）①如图： ②减小； （3）①如图： ②或． 【解析】 【分析】（1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象；②找出当时，结合函数图象，找出满足函数的图象在函数的图象上方（包括相交）部分对应的的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得． 【小问2详解】 ①作图：略； ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． 【小问3详解】 ①作图：略 ②由函数图象知，当或时，函数的图象在函数的图象的上方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为或． 28. [学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决． 例如：如图1，在中，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，则________． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，则________； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_________． ②如图4②，在，，，且，求． 【答案】（1）； （2）； （3）上所有的点，如图所示： （4）①；② 【解析】 【分析】（1）根据在同一个圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解，即可解题； （2）取的中点为，连接、，根据直角三角形性质得到，以为圆心长为半径作，利用在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等求解，即可解题； （3）分别以为圆心，长为半径作弧，弧交上方于点，以点为圆心，为半径作交直线于点，结合等边三角形性质和判定，以及圆周角定理即可得到； （4）①取的中点为，以为圆心长为半径作，过点作交于点，连接，由垂径定理可知，以为圆心，长为半径作，交边长于点，由圆周角定理可知，再根据题意找出临界情况，当与边长只有一个交点时，当与边长有个交点，且交点分别与重合时，结合全等三角形性质，正方形判定与性质求解，即可解题． ②作的外接圆，连接，过点作于点，作于点，证明四边形为矩形，结合矩形性质，直角三角形性质，垂径定理，求出，再结合矩形性质，以及勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：（1），， ； 故答案为：； （2）取的中点为，连接、， ， ， 以为圆心长为半径作， 则均在上， ，， ； 故答案为：； （3）略 （4）①取的中点为，以为圆心长为半径作，过点作交于点，连接，由垂径定理可知，以为圆心，长为半径作，交边长于点，由圆周角定理可知， 当与边长只有一个交点时， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 三点共线， ， 四边形为矩形， ，即，解得； 当与边长有个交点，且交点与重合时， ， 四边形为正方形， ，即，解得； 若满足的点恰好有两个，则的取值范围为； 故答案为：； ②作的外接圆，连接，过点作于点，作于点， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形性质和判定，全等三角形性质和判定，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $