精品解析：上海市浦东新区进才中学东校2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测试卷

浦东新区进才东校九上数学月考测试卷 九年级数学 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意； B. ，不是二次函数，故选项不符合题意； C. ，不是二次函数，故选项不符合题意； D. ，是二次函数，故选项符合题意； 故选：． 2. 下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个顶角相等的等腰三角形 C. 有两个内角对应相等的两个三角形 D. 有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】直角三角形中两条边对应成比例但未明确对应关系时，不一定相似. 【详解】解：A. 两个等腰直角三角形的内角均为，，，对应角相等，一定相似； B. 两个顶角相等的等腰三角形, 底角也对应相等, 三个内角对应相等, 一定相似； C. 有两个内角对应相等的两个三角形, 第三个内角也相等, 即三个内角对应相等，一定相似； D. 有两条边对应成比例的两个直角三角形, 若成比例的边对应类型不同(如一个是两条直角边, 另一个是一条直角边与斜边), 则不满足相似判定条件, 不一定相似. 3. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到，由此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图像有最低点， 函数图象开口向上， 则， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键． 4. 如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线等分三角形为面积．、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断． 【详解】解：∵、是的中线，即D、E是和的中点， ∴是的中位线， ∴，，即，①正确； ∵ ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴，③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴，④错误， 故①③正确； 故选：B． 5. 如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A. -1或-3 B. 1或 C. 1或3 D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点，当直线与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行求解即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴翻折部分的解析式为：； 当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点， 把代入，得：； 当直线与只有一个交点时，满足题意， 令， 整理，得：， 则：， 解得：； 综上：或； 故选：B． 6. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②；③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断① ，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断② ，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③ ；根据时的函数值，结合，代入即可判断④ ，根据顶点坐标即可判断⑤ ，根据函数图象即可判断⑥ ． 【详解】解：① 由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ② ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③ ∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④ 当时，， ∴，故④正确； ⑤ 当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥ 当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是① ② ④ ⑤ ⑥ 共5个， 故选：C． 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分） 7. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 8. 已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可得出答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 9. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题实际是考查比例性质．熟练掌握比例的合比性质，是解题的关键． 可以逆用分式的加法性质，将拆分为，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 11. 如果 a，b，c，d是成比例线段，并且，，那么______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键．根据成比例线段的定义得到，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：12． 12. 若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴无交点，对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式小于0列不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴根的判别式， 解不等式得． 13. 如图，已知：，如果，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】抛物线形状相同意味着二次项系数的绝对值相等，结合已知顶点坐标，代入顶点式即可求出参数，得到抛物线表达式． 【详解】解：∵ 抛物线的形状和抛物线相同， ∴ ，即或， ∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴ ，， 解得，， 将、、代入原式，可得抛物线表达式为或． 15. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（请用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向上的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，通过比较各点到对称轴的距离得到函数值大小关系． 【详解】解：二次函数的二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点的距离： 点的距离： 点的距离： ∵ ∴ ． 16. 一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形______相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 【答案】一定 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，注意熟记定理是解此题的关键． 由一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，可得对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4， ， 这两个直角三角形一定相似． 故答案为：一定． 17. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，先整理，得，再根据抛物线与直线交于，两点以及运用数形结合思想，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴结合函数，得的解集是， 故答案为： 18. 如图，已知：正方形的边长是，，，线段的两端在，边上滑动，当______时，与以点，，，为顶点的三角形相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到（1）与是对应边时，（2）当与是对应边时这两种情况．根据中，，所以在中，分与和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例求出与的关系，然后利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵正方形边长是， ， ， （1）与是对应边时，， ， ， ． （2）与是对应边时，， ， ， ， 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共7小题，共78分） 19. 已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由可设， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 20. 已知二次函数．求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个交点． 【答案】 证明：令，可得方程， ∵ 该方程的判别式 ， 又∵ ， ∴ ，即， ∴ 不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即该函数图像与轴总有两个交点. 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，然后根据一元二次方程根的判别式即可证明． 【详解】略 21. 如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3． （1）求的值； （2）求BC的长． 【答案】（1）；（2）9. 【解析】 【详解】试题分析：（1）已知DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，从而得，由AB=AD+DB，把AD、DB的值代入即可得； （2）已知DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，可得出，把DE，AD，AB的值代入，即可求得BC的值． 试题解析：（1）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴； （2）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即 ， ∴BC=9． 22. 如图，梯形中，，交的延长线于点E． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明，，得出，，即可得证． 【详解】略 23. 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．据调查，该商品在网上的销售价为60元/件时，网上平均每天的销售量是200件，而当网上的销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．设网上的销售价降低元，网上每天销售该商品的利润为元． （1）求与的函数表达式． （2）若该公司网上每天销售该商品的利润为4500元，则网上销售的价格应定为每件多少元？ （3）该商品在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其每天的销售量为件．当该商品在网上的销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大？最大总利润是多少？（总利润网上利润实体店利润） 【答案】（1） （2）网上销售的价格应定为每件55元 （3）当该商品在网上的销售价是每件57元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大，最大总利润是8180元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意找到题目中的等量关系列出函数解析式是解题的关键． （1）根据总利润（实际售价进价）销售量，即可得函数解析式； （2）根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）设总利润为元，根据总利润网上利润实体店利润，列出与x间的函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得； 【小问2详解】 解：由题意，得， 整理，得， 解得， ， 答：网上销售的价格应定为每件55元； 【小问3详解】 解：设总利润为元， ， 当，即时，（元）． 答：当该商品在网上的销售价是每件57元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大，最大总利润是8180元． 24. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 25. 如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点． （1）求、的值； （2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标； （3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可； （2）先求F的对称点，代入直线BE，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值. 【详解】解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线 点的坐标为 解得或（舍去）， （2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为. 直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为. 因为点在上，即点的坐标为 （3）存在点满足题意.设点坐标为，则 作垂足为 ①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为 ②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为 综上所述：满足题意得点的坐标为和 考点：二次函数的综合运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东新区进才东校九上数学月考测试卷 九年级数学 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个顶角相等的等腰三角形 C. 有两个内角对应相等的两个三角形 D. 有两条边对应成比例的两个直角三角形 3. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A. -1或-3 B. 1或 C. 1或3 D. 3或 6. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②；③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分） 7. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 8. 已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为________． 9. 如果，那么________． 10. 二次函数与轴交于，则的值为______． 11. 如果 a，b，c，d是成比例线段，并且，，那么______． 12. 若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_____． 13. 如图，已知：，如果，那么______． 14. 若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 15. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（请用“”连接） 16. 一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形______相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 17. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 18. 如图，已知：正方形的边长是，，，线段的两端在，边上滑动，当______时，与以点，，，为顶点的三角形相似． 三、解答题（本题共7小题，共78分） 19. 已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 20. 已知二次函数．求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个交点． 21. 如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3． （1）求的值； （2）求BC的长． 22. 如图，梯形中，，交的延长线于点E． 求证：． 23. 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．据调查，该商品在网上的销售价为60元/件时，网上平均每天的销售量是200件，而当网上的销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．设网上的销售价降低元，网上每天销售该商品的利润为元． （1）求与的函数表达式． （2）若该公司网上每天销售该商品的利润为4500元，则网上销售的价格应定为每件多少元？ （3）该商品在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其每天的销售量为件．当该商品在网上的销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大？最大总利润是多少？（总利润网上利润实体店利润） 24. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 25. 如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点． （1）求、的值； （2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标； （3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $