上海市闵行区鹤北初级中学2026-2027学年第一学期10月学情调研九年级数学试卷

鹤北中学2026学年第一学期10月学情调研九年级数学试卷26.0 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 2. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知点D、E、F分别在的三边上，且，则下列等式不成立的是（） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，垂足分别是E，F．则图中的相似三角形有（ ）对． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7. 若的图像是抛物线，则a的值是________ 8. 抛物线的对称轴是______，顶点坐标是________． 9. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是___________． 10. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为_______ 11. 若抛物线的顶点在y轴上，则k的值是_______ 12. 若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是______． 13. 已知一个二次函数图像的对称轴是直线，在x轴上截得的线段长为4，与y轴交点的坐标为，则这个二次函数的表达式为________． 14. 如图，已知，，则的长为________． 15. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 16. 如图，已知在中，点、在边上，点、在边上，分别平行于的直线和将分成面积相等的三部分，，则的长为________；与的相似比为________ 17. 如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是_______． 18. 如图，在矩形中，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接、，若，则_______． 三、解答题（本大题共7题，19－22每题10分，23－24每题12分，25题14分，满分78分） 19. 如图，直线分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且，与交于点O，已知． （1）求的长； （2）当时，求的长． 20. 已知等边三角形的边长为4，点A的坐标为，点B在x轴负半轴上，点C在第三象限，边与y轴交于点D． （1）求B、C、D三点的坐标． （2）求图像经过B、C、D三点的二次函数的解析式． 21. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 22. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 23. 某校园超市销售甲、乙两款笔记本，下表是两次采购这两款笔记本的记录． 采购批次 甲款（本） 乙款（本） 总进价（元） 第一次 20 30 340 第二次 30 20 360 该超市每天销售的甲、乙两款笔记本共300本，且当天都能售完．已知甲款的售价为x（）元/本，乙款的售价为10元/本，甲款每天的销量y（本）与售价x（元/本）满足关系式，用w表示该超市每天销售这两款笔记本的总利润（单位：元）． （1）求甲、乙两款笔记本的进价分别为多少元/本； （2）求w关于x的函数表达式，并求当甲款的售价x为多少时总利润w最大，最大利润是多少元． 24. 如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． （1）求证： （2）联结，与相交于点O，若，求证：． 25. 如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） （1）求该抛物线的解析式 （2）求D，E两点的坐标 （3）“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 鹤北中学2026学年第一学期10月学情调研九年级数学试卷26.0 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 ①. 直线 ②. 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】且 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共7题，19－22每题10分，23－24每题12分，25题14分，满分78分） 【19题答案】 【答案】（1）9 （2）4 【20题答案】 【答案】（1），， （2） 【21题答案】 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴． 【22题答案】 【答案】（1） （2）隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【23题答案】 【答案】（1） 甲款笔记本的进价为8元/本，乙款笔记本的进价为6元/本 （2） （）； 当甲款的售价x为20时总利润w最大，最大利润是2000元． 【24题答案】 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【25题答案】 【答案】（1） （2）， （3）①；② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $