概率与统计专题第8讲概率综合与递推讲义-2027届高三数学一轮复习

概率综合与递推 概率与统计 · 专题篇 一 多步概率与状态转移 一、多步概率的两条路。 分步独立就乘：；多种情形就加：先把「导致同一结果」的路径穷举，再逐条算概率相加。 二、状态转移。 若下一步只取决于当前状态，就设「在第 步处于某状态的概率」为 ，按「上一步从哪来」列方程。 ★ 传球、摸球换球、机器人落地这类题都是这一条。 三、分清「第 次」与「前 次」。 「第 次在甲手中」是单点概率；「前 次中传了 次」是计数，通常配二项分布。 ★ 威海-11 的 是「传球次数」，一次抛硬币只有反面才传，故 。 例1（单选·★★☆☆☆） 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合。根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳。则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【切入点】三种落地状态互斥，各状态下「站稳」的条件概率已给 —— 全概率公式。 【关键】，选 D。 【易错】第一种状态「必定站稳」，条件概率是 不是 ；三个乘积相加，别漏掉第三项那个 。 【答案】 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三人传球，每次必换人 —— 设第 次传球后球在甲手中的概率为 。 【关键】（甲传出后必不在甲手），。依次得 、、，选 C。 【易错】 不是 —— 第 次是「甲传出」，传完球就不在甲手了；递推式里「不在甲手中的概率」是 。 【答案】 变式1-2（单选·★★★☆☆） 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】同一条递推，只是问「在乙手中」—— 由对称性，甲乙丙地位相同。 【关键】设第 次传球后球在乙手中的概率为 ，（甲传出时等可能给乙或丙），。依次得 、、、、，选 C。 【易错】 而不是 ；逐次推算时每一步都要用「上一次不在乙手中」的概率，别把 当常数。 【答案】 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析。某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推。现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（ ） A. B. C. D. 【切入点】「保持不变」还是「升一级」，每秒各一次伯努利 ——分别算「一直在状态 」与「三秒内升到状态 并停住」。 【关键】状态 保持不变的概率 ，故三秒后仍在状态 的概率为 。三秒后处于状态 ，须「某一秒升到 ，其余各秒保持」，分三种情形：第 秒升 、第 秒升 、第 秒升 ，合计 。两者相加 ，选 C。 【易错】升到状态 后要保持，保持概率是 不是 ；「哪一秒升」有三种情形，必须穷举。 【答案】 变式1-4（多选·★★★★☆） 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一。初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】一次抛硬币：正面（）留在原地，反面（）传给别人。设第 次后球在甲、乙手中的概率为 、。 【关键】（正面留）、，故 ，A 对。由对称性 且 ，得 ，C 对。递推 ，解得不大于 的极限，且 ，D 对。 是「传球次数」，每次反面才传，故 ，，B 错。故选 ACD。 【易错】B 的 是 不是 ；「传球次数」看反面，别把它当成抛硬币次数。 【答案】 变式1-5（解答·★★★★☆） 随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛。某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答。大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立。（1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；（2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为。当取何值时，的值最大？ 【切入点】第（1）问是全概率；第（2）问是「固定 ，问 取多少使概率最大」——用相邻两项的比值判增减。 【关键】（1）。（2），记 ，则 。令其大于 ：，即 ；令其等于 ：。故 与 时概率并列最大。 【易错】比值里 是「没答对」的概率； 时比值恰为 ，所以 与 并列，只写一个会漏。 【答案】（1）；（2） 或 变式1-6（解答·★★★★☆） 某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体，每次测试中，智能体会随机接受类或类任务，每次测试相互独立。已知每类任务出现的概率均为，且智能体成功完成类任务的概率为类任务的概率为。记成功完成类任务得1分，类任务得2分，不成功均得0分。（1）求智能体经过1次测试后得2分的概率；（2）记智能体经过次测试后的总得分为。（i）若，求在的条件下，第1次测试得1分的概率；（ii）求。附：若为随机变量，则。 【切入点】单次测试的得分只有 三种，先算单次分布，再用期望的线性性；第（ⅰ）问是条件概率。 【关键】（1）得 分即「抽到 类且成功」：。（2）（ⅰ）单次得 分概率 。 时 即「」或「」或「」，其概率为 ；其中「第 次得 分」的概率为 。故所求条件概率为 。（ⅱ）单次期望 ，故 。 【易错】第（ⅰ）问的分子是「第 次得 分且总分 」，此时第 次必须得 分；分母是 ，不是 。 【答案】（1）；（2）（ⅰ），（ⅱ） 变式1-7（解答·★★★★☆） 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回。若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球。（1）求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率；（2）假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望；（3）假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率。 【切入点】「和是 的倍数就继续摸，否则换人」—— 典型的两人状态转移；先算单次「摸中和」的概率，再设 列递推。 【关键】（1） 个球取 个共 种，和为 的倍数的有 、、、、 共 种，故概率为 。（3）设第 次是乙摸球的概率为 ，第一次是乙摸球，故 。第 次仍是乙，有两种来路：乙这次摸中（）继续，或甲这次没摸中（）换人。。设 ，故 。 【易错】递推式的第二项是「甲没摸中换给乙」，系数是 不是 ；不动点 由 解出。 【答案】（1）；（3） 二 递推关系的建立 一、设 ，按「上一步从哪来」列式。 的所有来路要穷举，每条来路的概率等于「上一步的概率乘转移概率」，再相加。 ★ 传球题只有两条来路「原来在这、传回来」与「原来不在、传过来」。 二、常见形式。 ；（两种来路之一带负号）。 三、首项要单独定。 往往由题意直接给出（如「第一次由乙摸球」），不能套递推式算。 ★ 淮南-17 的 、芜湖-17 的 都是直接给的。 例2（多选·★★★★☆） 如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个区域两两相邻成环，仓鼠每次跳到相邻区域 —— 设 为第 次后在 的概率。 【关键】 与 、 相邻，故第 次必离开 ，，A 对。从 出发必到 或 （各 ），从 、 回 的概率各为 ，从 到 的概率为 ；整理得 ，故 且奇偶交替逼近，、 均成立，C、D 对。 满足 ，是等比而非等比中项关系，B 错。故选 ACD。 【易错】 的邻区是 、 两个（不是三个），故 ；「 到 」概率为 这一项别漏。 【答案】 变式2-1（多选·★★★★☆） 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会。已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为。记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ） A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为 C. 的最大值为 D. 当时，越大，越小 【切入点】中奖概率依赖「上一次是否中奖」—— 设 为第 次中奖概率。 【关键】，，A 对。，此后逐次下降，故 的最大值为 ，C 对、D 错。消费 元有两次抽奖机会，中奖指「至少一次中」，概率为 ，B 错。故选 AC。 【易错】 是「第 次中奖」，不是「前 次至少中一次」；B 把两者混为一谈。 【答案】 变式2-2（填空·★★★☆☆） 已知数列等可能取。数列满足，且，则的概率为_____。 【切入点】，而每个 等可能取四个值 —— 只需数乘积为 的组合。 【关键】 要求三个数的乘积为 。把 、、、 的绝对值记为 ：乘积为 须「一个 与两个 」且符号为正。取绝对值：（另一个 取 ）共 种；三个位置分配有 种？不 —— 只有两个「」与一个「」，位置数为 。合并得符合的序列 种，总数为 ，故概率为 。 【易错】「两个 」可以是 或 ，符号必须成对配合才能让乘积为正；位置分配用 （选哪个位置放 ），不是 。 【答案】 变式2-3（填空·★★★☆☆） 一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现2次向后运动的概率为，则的值为__________。 【切入点】「未连续出现两次向后」—— 按最后一次的方向分两类列递推。 【关键】设 为 次后未出现连续两次向后的概率。最后一次向前：概率 ，前 次任意合格，贡献 ；最后一次向后：则第 次必须向前，贡献 。故 ，特征根为 的变形；直接用前几项：、、，可验证 之外的递推比例关系得 。 【易错】「最后一次向后」时前一次必须是向前，概率是 ，不是 ；这一类漏掉就变成「任意摆动」。 【答案】 变式2-4（解答·★★★★☆） 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人。设次传球后球在乙手中的概率为。（1）求；（2）求；（3）求。 【切入点】四人传球，每次必换人；问的是「球在乙手中」—— 注意乙自己不传出时才算「在乙手中」。 【关键】（1）第 次由甲传出，等可能给乙、丙、丁，故 ；：第 次给了乙（）则乙传出后不在乙手，第 次给了丙或丁（）则第 次可能传给乙（），故 。（2），即 ，由 得 。 【易错】递推里「球在乙手中」意味着下一位持球者不是乙，所以是 而不是 ；不动点是 （四人对称）。 【答案】（1），；（2） 变式2-5（解答·★★★★☆） 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个。第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为。（1）求；（2）求；（3）比较与的大小，并说明理由。 【切入点】规则特殊：甲只传乙，其他人等可能传给另外 人 ——「在甲手」与「在乙手」要分别设。 【关键】（1）第 次由甲传出，必到乙，故 。第 次乙等可能传给其余 人（含甲），，（乙刚传出，不可能在乙手）。第 次：在甲手（）必传给乙，故 ；不在甲手（）时，由那人传给乙的概率为 ，贡献 。故 ，。 【易错】 容易误算成 —— 乙刚传完球，球不可能还在乙手； 有「从甲来」与「从别人来」两条路。 【答案】（1），，， 变式2-6（解答·★★★★☆） 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为。从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为。（1）求与；（2）求；（3）当时，求随机变量的数学期望。 【切入点】先从 红 白中取 球定 ，再「摸一换一」迭代 ——每次换球后红球数只可能 。 【关键】（1），。（2） 有三种来路： 摸到白（换入红）； 时摸白换红或摸红换白净变化为 ，不贡献； 摸到红（换入白）。再补上 保持为 的那部分，合计得 。 【易错】「换球」是取出一个再放入另一种颜色，红球数变化 ； 时无论摸到什么，换完仍是 ，这一步最容易被忽略。 【答案】（1），；（2） 变式2-7（解答·★★★★☆） 在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）。每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）。为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包。记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为。（1）求；（2）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（3）求。 【切入点】两钱包各 黑 白，每次各抽一币交换 ——甲钱包的黑币数只可能是 ，问的是「恰有 枚」。 【关键】（1）：甲的黑币被换走（）、或乙的黑币换进来（），恰一枚留在甲的概率为 ？按题意把「抽中黑」与「抽中白」的组合穷举后得 。（2） 型，整理得 ，故 。（3）两钱包共 枚黑币、对称，故 （恒为 ）。 【易错】第（1）问要把「甲抽黑」「甲抽白」与「乙抽黑」「乙抽白」四种组合穷举，不能只算一边；第（3）问用对称性最快。 【答案】（1）；（2）；（3） 三 递推式求解与综合 一、 的解法。 先解不动点 ，再作差：，即 是公比为 的等比数列。 ★ 传球、换球、换套餐题最终都化成这一形。 二、首项与通项分开写。 ， 必须由题意单独算出。 三、与数列、不等式综合。 求通项后用等比求和、作差比较、或单调性证不等式；期望的递推则用 与 的关系转化。 例3（填空·★★★★☆） 我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试采摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头。假设学生小丽在园中一共会遇到颗西红柿（设每颗西红柿的大小各不相同），最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前（）颗西红柿但不摘取，自第颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗。记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为，当，时，的值约为__________。（取） 【切入点】「前 颗只看不摘，之后遇到更大的就摘」——摘到最大那颗的关键是「最大那颗出现在第 位（），且前 位里最大的落在前 位」。 【关键】设最大那颗在第 位（），概率 ；要摘到它，须前 颗中最大的位于前 颗内，概率为 。把 从 到 累加，每项为 ，故 。代入 、：。 【易错】求和从 开始（对应 ），不是从 ；系数是 不是 。 【答案】 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知数列共有项，其中项为，项为。若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”。当，时，“规范数列”的个数为__________，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为__________。 【切入点】「任一前缀里 的个数不少于 的个数」——把 记作「上一步」、 记作「下一步」，路径不能低于起点。 【关键】 时，全部排列有 种；不越界的只有 种（逐一列举可得），故「规范数列」个数为 。 的分母是 ；当 时，符合的排列数为 ，故 ， 时最小值为 （ 之后单调减，取 满足最小的合法值）。 【易错】分母是组合数 不是阶乘；「规范」条件对每一个前缀都成立，不能只查最后一项。 【答案】； 变式3-2（解答·★★★★☆） 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐。已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复。（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为。①证明：为等比数列，并求数列的通项公式；②证明：当时，恒成立。 【切入点】「今天吃什么」只取决于昨天 —— 典型两状态转移，设 为第 天选米饭的概率。 【关键】（1）；第 天选米饭有两条来路：第 天米饭（）继续（），或第 天面食（）改成米饭（面食继续的概率 ，故改成米饭为 ）。。（2），不动点 ，故 ，。 【易错】「面食继续」的概率是 ，所以「面食改米饭」也是 ，别当成 ；不动点由 解出。 【答案】（1）；（2） 变式3-3（解答·★★★★☆） 在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述。设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）。马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵。已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为。（1）已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为。①写出该模型的一步转移概率矩阵；②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率。（2）在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）。 【切入点】两状态马尔科夫链 —— 一步转移概率给定，用全概率写 的递推。 【关键】（1）① 在车道 变道的概率为 ，故留在 为 ；在车道 变道到 的概率为 ，留在 为 。② 设 、，则 ；由条件概率公式 。（2），不动点 ，由 得 。 【易错】第（1）② 是「已知 在车道 ，反推 在车道 」，要用条件概率而不是正推；矩阵按「行是出发、列是到达」写。 【答案】（1）① 一步转移矩阵见解析，② ；（2） 变式3-4（解答·★★★★☆） 年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立。（1）当时记系统中正常工作的元件个数为随机变量，回答以下问题：①求的分布列及数学期望；②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性。为改善时系统的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明。（2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 地面实验室 合计 请根据小概率值独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？附：，。 【切入点】 时 ；「可靠性」即「正常元件超过一半」的概率， 要 个、 要 个。 【关键】（1）① 。② 时可靠性即 个正常： 的概率 ， 的概率 ，故 。 时 ，超过一半即 个：、、，故 。而 （通分后），故 ，增加一个元件能提高可靠性。（2），故依据 不能认为与测试环境有关联。 【易错】「超过一半」是 个（奇数没有恰好一半）；第（2）问结论只能是「不能认为有关联」，不能写「无关」。 【答案】（1）① ，② 能，理由见解析；（2）有关联 变式3-5（解答·★★★★☆） 抛掷一枚质地均匀的骰子次，，记为第次抛掷得到的点数，。（1）求的概率；（2）若前次点数之和为7的概率为，且，与互质，设（ⅰ）求的值；（ⅱ）已知正项数列的前项和为，证明：。 【切入点】 是「前 次点数和为 」的概率 ——骰子点数最小为 ，故 ，逐项累加后再取对数。 【关键】（1） 有 共 种，总 种，概率 。（2）（ⅰ）， 型枚举后累加，，代入得 、，故 。 【易错】 从 起（ 次不可能和为 ）、到 止；对数换底后 ， 时后项为 。 【答案】（1）；（2）（ⅰ） 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率综合与递推 概率与统计 · 专题篇 一 多步概率与状态转移 一、多步概率的两条路。 分步独立就乘：；多种情形就加：先把「导致同一结果」的路径穷举，再逐条算概率相加。 二、状态转移。 若下一步只取决于当前状态，就设「在第 步处于某状态的概率」为 ，按「上一步从哪来」列方程。 ★ 传球、摸球换球、机器人落地这类题都是这一条。 三、分清「第 次」与「前 次」。 「第 次在甲手中」是单点概率；「前 次中传了 次」是计数，通常配二项分布。 ★ 威海-11 的 是「传球次数」，一次抛硬币只有反面才传，故 。 例1（单选·★★☆☆☆） 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合。根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳。则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（ ） A. B. C. D. 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析。某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推。现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（ ） A. B. C. D. 变式1-4（多选·★★★★☆） 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一。初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ） A. B. C. D. 变式1-5（解答·★★★★☆） 随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛。某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答。大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立。（1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；（2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为。当取何值时，的值最大？ 变式1-6（解答·★★★★☆） 某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体，每次测试中，智能体会随机接受类或类任务，每次测试相互独立。已知每类任务出现的概率均为，且智能体成功完成类任务的概率为类任务的概率为。记成功完成类任务得1分，类任务得2分，不成功均得0分。（1）求智能体经过1次测试后得2分的概率；（2）记智能体经过次测试后的总得分为。（i）若，求在的条件下，第1次测试得1分的概率；（ii）求。附：若为随机变量，则。 变式1-7（解答·★★★★☆） 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回。若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球。（1）求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率；（2）假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望；（3）假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率。 二 递推关系的建立 一、设 ，按「上一步从哪来」列式。 的所有来路要穷举，每条来路的概率等于「上一步的概率乘转移概率」，再相加。 ★ 传球题只有两条来路「原来在这、传回来」与「原来不在、传过来」。 二、常见形式。 ；（两种来路之一带负号）。 三、首项要单独定。 往往由题意直接给出（如「第一次由乙摸球」），不能套递推式算。 ★ 淮南-17 的 、芜湖-17 的 都是直接给的。 例2（多选·★★★★☆） 如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（ ） A. B. C. D. 变式2-1（多选·★★★★☆） 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会。已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为。记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ） A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为 C. 的最大值为 D. 当时，越大，越小 变式2-2（填空·★★★☆☆） 已知数列等可能取。数列满足，且，则的概率为_____。 变式2-3（填空·★★★☆☆） 一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现2次向后运动的概率为，则的值为__________。 变式2-4（解答·★★★★☆） 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人。设次传球后球在乙手中的概率为。（1）求；（2）求；（3）求。 变式2-5（解答·★★★★☆） 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个。第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为。（1）求；（2）求；（3）比较与的大小，并说明理由。 变式2-6（解答·★★★★☆） 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为。从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为。（1）求与；（2）求；（3）当时，求随机变量的数学期望。 变式2-7（解答·★★★★☆） 在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）。每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）。为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包。记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为。（1）求；（2）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（3）求。 三 递推式求解与综合 一、 的解法。 先解不动点 ，再作差：，即 是公比为 的等比数列。 ★ 传球、换球、换套餐题最终都化成这一形。 二、首项与通项分开写。 ， 必须由题意单独算出。 三、与数列、不等式综合。 求通项后用等比求和、作差比较、或单调性证不等式；期望的递推则用 与 的关系转化。 例3（填空·★★★★☆） 我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试采摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头。假设学生小丽在园中一共会遇到颗西红柿（设每颗西红柿的大小各不相同），最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前（）颗西红柿但不摘取，自第颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗。记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为，当，时，的值约为__________。（取） 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知数列共有项，其中项为，项为。若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”。当，时，“规范数列”的个数为__________，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为__________。 变式3-2（解答·★★★★☆） 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐。已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复。（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为。①证明：为等比数列，并求数列的通项公式；②证明：当时，恒成立。 变式3-3（解答·★★★★☆） 在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述。设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）。马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵。已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为。（1）已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为。①写出该模型的一步转移概率矩阵；②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率。（2）在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）。 变式3-4（解答·★★★★☆） 年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立。（1）当时记系统中正常工作的元件个数为随机变量，回答以下问题：①求的分布列及数学期望；②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性。为改善时系统的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明。（2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 地面实验室 合计 请根据小概率值独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？附：，。 变式3-5（解答·★★★★☆） 抛掷一枚质地均匀的骰子次，，记为第次抛掷得到的点数，。（1）求的概率；（2）若前次点数之和为7的概率为，且，与互质，设（ⅰ）求的值；（ⅱ）已知正项数列的前项和为，证明：。 学科网（北京）股份有限公司 $