统计与概率：递推法求概率、概率分布中的最值问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习讲义 统计与概率：递推法求概率、概率分布中的最值问题复习讲义 考点目录 递推法求概率 概率分布中的最值问题 考点一 递推法求概率 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方法本质 对于具有马尔可夫性的多步随机试验（下一步的状态概率仅由当前一步的状态决定，与更早的历史无关），设 为第 次试验后目标事件发生的概率，通过全概率公式建立 与 （或 ）的递推方程，通过数列知识求解通项，即可得到任意次试验的概率。 1. 核心递推类型 （1）一阶线性递推（最高频） · 递推形式：（ 为常数，） · 求解方法：构造等比数列（不动点法） 设 ，展开对比系数得 ，则 是首项为 、公比为 的等比数列，通项为： （2）二阶线性递推（拓展） · 递推形式：，常见于带吸收壁的随机游走、双状态转移问题。 · 求解方法：特征方程法，或构造两个等比数列降阶求解。 1. 经典常考模型 · 传球模型： 人相互传球，初始球在某人手中，每次等概率传给其他人，求第 次传球后回到初始者手中的概率。 · 状态切换模型：开关灯、机器运行/故障，每次按固定概率在两种状态间切换，求第 次处于某状态的概率。 · 有放回摸球模型：罐中两种颜色的球，每次摸出一个后按规则放回，求第 次摸到某色球的概率。 · 吸收型模型：到达某一状态后试验停止（如掷出 6 点则停止），求第 次恰好停止的概率，或停止时的步数期望。 二、解题思路 1. 设状态：设 为第 次试验后目标事件发生的概率，明确初始状态 （或 ）的取值； 1. 建递推：利用全概率公式拆分第 次的所有可能情况： 第 次目标发生 = 第 次已发生后维持 + 第 次未发生后转入； 分别计算两种路径的概率，相加得到 关于 的递推式； 1. 解通项：判断递推类型，一阶线性用构造法转化为等比数列，求出 的通项公式； 1. 代值求解：代入指定的 值，或求 时的稳态概率。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·重庆·开学考试）在某公司的团建活动中，组织了摸小球中奖品的游戏，游戏规则如下： ①将10名参加游戏的队员依次编号为1，2，3，…，10，游戏主持人和每名队员手中的小盒里有1个黑球和1个白球，这些球除颜色不同外其余均相同； ②1号队员先从主持人的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ③2号队员从1号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，接着，3号队员从2号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，重复上述操作，一直到10号队员从9号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ④游戏主持人从10号的盒子里随机摸出一球后，该轮游戏结束． (1)该轮游戏结束后，记1号队员盒子里的黑球个数为，求的分布列与数学期望； (2)在取球过程中，记事件“号队员摸取小球后他的盒子中是2黑1白球”（，），求证：； (3)该轮游戏结束后，盒子中小球的颜色相同（视为中奖）的队员恰有人（，），将剩下未中奖的队员重新编号并按游戏规则再进行一轮摸球游戏，记两轮游戏结束后有且仅有一名队员未中奖的概率为，问为何值时取得最大值． 【答案】(1)X的分布列如下： X 0 1 2 P (2)证明：当时，显然，根据游戏抽取规则， 当时，， 即，则， ，于是． 综上，． (3)或6 【分析】（1）写出X的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，求出期望即可； （2）根据全概率公式建立的递推关系进行证明； （3）写出的解析式，由求出的值． 【详解】（1）由题意，X的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以黑球个数X的分布列如下： X 0 1 2 P 故数学期望为． （2）略 （3）由（2）知，一轮游戏结束后，每名队员盒子中小球的颜色相同的概率 ， 即每名队员中奖的概率为， 则． 由，解得． 又，从而或6． 例2．（26-27高三上·福建福州·开学考试）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. (1)双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.若， （i）求乙获胜的概率； （ii）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率. (2)设为“双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局”的概率；为“双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜”的概率.比较与的大小. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)记 ，．当 或 时，；当 或 时，；当 时，. 【分析】（1）（i）若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局，再利用独立事件和独立重复试验的概率公式可求出所求事件的概率； （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，分析出甲获胜的情况，求出的值，以及事件所包含的情形，求出的值，再利用条件概率公式可求出的值； （2）记 ，以前 局中甲的获胜局数为 分类．先分别表示 与 ，再作差并因式分解，根据各因子的符号比较二者大小． 【详解】（1）（i）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为， 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局. 所以乙获胜的概率为； （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局， 若甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜， 若甲以获胜，则前局全是甲赢； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局. 所以. 事件（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以或获胜”， ， 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为. （2）记 ，设 表示前 局中甲获胜的局数． 先求 ． 若 ，则到前 局结束时甲已经满足“至少赢 局且至少多赢2局”； 若 ，则乙已经满足获胜条件； 只有 时，双方战成 ，比赛继续． 设从平局状态开始最终甲获胜的概率为 ． 观察接下来的两局：甲连胜两局时获胜，两人各胜一局时又回到平局状态，因此，解得． 所以． 再求 ． 在前 局之后还剩3局，因此 ． 两式相减得． 当 时，直接化简可得， 所以 时 ， 时 ， 时 ． 这与下面的统一结论一致． 当 时，． 代入并整理，得． 令． 由可得 或 ． 由于其余因子均为正，结合 的符号可得： 当 或 时，； 当 或 时，； 当 时，． 例3．（25-26高二下·广东梅州·期末）现有两箱零件，第一箱共12件，含2件次品；第二箱共24件，含3件次品． (1)若从第一箱中取出3件零件，记取出的次品件数为，求的分布列和数学期望． (2)规定游戏规则：每次从箱子中有放回地抽取1件零件； 初始时，等可能选择第一箱、第二箱； 抽取过程中，若本次抽到次品，下一次就更换箱子进行抽取；若本次抽到正品，下一次继续在当前箱子中抽取． ①求第一次抽取时，抽到次品的概率； ②设表示第次抽取时抽到次品的概率，求． 【答案】(1)分布列为： (2)①；② 【分析】（1）表示出的所有可能取值及其对应概率可得其分布列，利用分布列计算即可得其期望； （2）①借助全概率公式计算即可得；②设表示第次抽取时在第一箱中抽取的概率，借助全概率公式可得，即可求出数列的通项公式，再利用全概率公式可得，即可得解. 【详解】（1）的可能取值为，，， ， ， ， 故其分布列为： ； （2）①设事件表示“第次抽取在第一箱中抽取”， 事件表示“第次抽取在第二箱中抽取”，事件表示“第次抽取时抽到次品”， 则； ②设表示第次抽取时在第一箱中抽取的概率， 则有， 又，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即， 又， 故. 【变式训练】 变式1．（2026·福建厦门·模拟预测）现有n枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这n枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷，记第一次抛掷中正面朝上的硬币数与第二次抛掷中正面朝上的硬币数之和为X． (1)当时，求X的分布列； (2)求； (3)对确定的n，，，使得成立，请直接写出m，不用推导． 【答案】(1) X 0 1 2 3 4 P (2) (3)m为不超过的最大整数． 【分析】（1）当时，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，列出分布列即可； （2）设第一次正面朝上的次数为i，，第二次正面朝上的次数为j，，则，求解期望，再由组合数的性质即可求解； （3）设每一枚硬币对X的贡献为Y，则，，，因此X可以看成n个独立同分布随机变量之和，得到递推式，由递推式逐步比较相邻项即可求解. 【详解】（1）当时，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ， ． X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）设第一次正面朝上的次数为i，，第二次正面朝上的次数为j，，则． ． 从而，． 由组合数的性质，，所以． 所以 ． （3）设每一枚硬币对X的贡献为Y，则，，． 因此X可以看成n个独立同分布随机变量之和． 为判断何时最大，考虑多项式． 其中的系数就是． 记，则，所以只要比较的大小即可． 由，可得递推关系， 其中下标小于0或大于时，对应的记为0． 从开始，由该递推式逐步比较相邻项，可得到最大项位置如下： n的形式 可取的m 1 0 2 2 （），， ， （），， ， （）， ， （）， ， 上述四种的情形可统一表述为：m为不超过的最大整数． 例如时，，取符合题意． 因此，可得：当时，可取；当时，可取； 当时，可取m为不超过的最大整数． 变式2．（25-26高三上·浙江温州·期中）某人清明节去烈士陵园扫墓，需要爬一个有级台阶的山坡，此人走这台阶时，每步跨级台阶，或跨级台阶. (1)当时，他只用步跨上了第级台阶，问共有多少种不同的走法； (2)已知此人从地面（即第级台阶）开始，每步跨级台阶的概率为，跨级台阶的概率为； ①求此人跨上第级台阶的概率； ②求此人跨上第级台阶的概率. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据组合数进行计算即可； （2）①根据题干条件，枚举所有可能的走法，分别计算所有情况的概率再相加； ②根据题干条件建立递推关系，再解递推数列，最后得出跨上第级台阶的概率. 【详解】（1）解：当时，他只用步跨上了第级台阶，则说明此人有步跨级，步跨级， 所以共有种； （2）解：①此人跨到第级台阶，只能是从地面（第级台阶）跨级上来， 所以，跨上第级台阶可能从第级跨级上来，或从第级台阶跨级上来， 所以由全概率公式得，此处. 同理，跨到第级台阶只能从第级台阶跨级上来，或是从第级台阶跨级上来， 所以，同理. ②设跨到第级台阶的概率为，同上理由全概率公式得，其中. 方法一：由是常数列， 从而； 方法二：由，构造特征方程， 所以设，代入， 从而. 变式3．（2026·福建厦门·二模）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． (1)求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； (2)求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； (3)在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题意，在1号手中放入红卡，取出黑卡满足题意，再求解对于概率即可； （2）先根据全概率公式，建立递推关系，求得对任意号学生抽取卡片后手中有两张红卡和一张黑卡的概率为，，再求号手中红卡个数的取值及对应概率，并求解期望即可. （3）由题可知，一轮游戏后至少还有个学生未被淘汰”，其中，进而结合（2）得一轮后单个学生不淘汰的概率为，根据未被淘汰的人数二项分布求得，二轮结束后人中剩1人未被淘汰的概率为：，最后结合组合恒等式，全概率公式求得即可. 【详解】（1）解：记“一轮游戏结束后1号手中有两张红卡”， 若要1号手中是两张红卡，则应从在1号手中放入红卡，取出黑卡 所以， 所以一轮游戏结束后，1号学生恰有两张红卡的概率为； （2）解：记“抽取卡片后号学生手中有两张红卡和一张黑卡”， “从号手中取出的卡为红卡”， 所以，， ，， 则由全概率公式可得： 则，故， 又，所以，， 假设一轮游戏结束后，号手中红卡个数为，可能取值为， ， ， ， 所以. （3）解：由题可知，一轮游戏后至少还有两位学生未被淘汰， 记“一轮游戏后剩个学生未被淘汰”，其中， 记“两轮游戏后恰好剩一个学生未被淘汰”， 则， 由（2）知，每个学生，一轮后最终卡片的状态概率为： 两红的概率；两黑的概率， 所以，单个学生被淘汰的概率均为，不淘汰的概率为 故一轮结束后，未被淘汰的人数服从二项分布， 所以，， 第二轮结束后，人中剩1人未被淘汰的概率为：， 所以， 由全概率公式得： 因为， 因为， 所以 所以比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率 考点二 概率分布中的最值问题 【知识点解析】 一、核心知识点 概率分布的最值分为四类：分布列的概率最值（最可能值）、数学期望最值、方差最值、决策型最值，核心是将目标量表示为参数的函数，转化为函数最值问题。 1. 分布列的概率最值（最可能值） · 问题描述：离散型随机变量 的分布列为 ，求 取何值时，概率 最大。 · 通用解法：相邻项比较法 概率最大的项满足：不小于前一项，也不小于后一项，即 代入分布列的概率表达式，解不等式组得到 的取值范围，即为最可能的取值。 - 经典结论：二项分布的最可能值 若 ，令 ： - 若 为整数，则 和 时概率同时最大； - 若 不为整数，则 （向下取整）时概率最大。 2. 期望的最值问题 · 问题描述：随机变量的分布中含有参数（如概率 、样本量 ），或实际决策变量影响分布，求期望的最大值/最小值。 · 解法： ① 根据分布的期望公式，写出 关于参数的函数表达式； ② 根据函数类型选择方法：一次函数看单调性，二次函数看顶点，对勾型用基本不等式，复杂函数用导数； ③ 结合参数的实际取值范围，求出最值。 3. 方差的最值问题 · 问题描述：求随机变量方差的最大值/最小值，分析波动性的极端情况。 · 解法： ① 利用方差公式或性质，写出 关于参数的函数； ② 常见为二次函数（如二项分布 是关于 的二次函数），结合开口方向与定义域求最值； ③ 注意性质：，线性变换不改变最值的相对位置。 4. 决策型最值问题 · 问题描述：以期望收益最大、期望损失最小为目标，选择最优方案。 · 解法：分别计算不同方案的期望收益/损失，比较大小，选择最优。 二、解题思路 1. 判类型：明确是概率最值、期望最值还是方差最值； 1. 列表达式：写出目标量（概率、期望、方差）关于参数的函数； 1. 选方法：概率最值用相邻比较法，期望方差用函数最值法； 1. 求结果：求解不等式或函数最值，结合参数范围验证； 1. 答问题：回归题目，给出最优值或对应参数。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果他的学生两手空空走出麦田，因为他不知道前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗．设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为．（取） (1)若，，求； (2)若，，则在摘到最大麦穗的条件下，最大麦穗出现在第颗的概率； (3)若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用4颗麦穗的全排列情况，以及满足条件的排列情况，结合古典概型求概率. （2）设事件：成功摘到最大麦穗；事件：最大麦穗出现在第个位置，得，.当时，；当时，.再利用全概率公式和条件概率公式即可. （3）由已知，令，利用求出的最大值及最大值时的值即可. 【详解】（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，全排列有种情况. 要摘到那颗最大的麦穗，分为以下两种情况： ①最大的麦穗是第3颗，其余麦穗任意排列，有种情况； ②最大的麦穗是最后1颗，且前3颗里第二大的麦穗出现在第1颗或第2颗，其余麦穗任意排列，有种情况. 所以. （2）设事件：成功摘到最大麦穗；事件：最大麦穗出现在第个位置. 最大麦穗出现在每个位置的概率均等，故. 由全概率公式得. 当时，最大的麦穗落在前颗麦穗之中，不会被摘到，； 当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大值的一颗在前颗麦穗中，此时. 所以当，时， 又因为， 所以，即所求概率为. （3）由全概率公式得. 因为，所以. 令. 所以，令，即，则. 当时，，函数在区间是单调递增； 当时，，函数在区间是单调递减； 所以. 所以的最大值为且取最大值时的值为. 例2．（26-27高三上·重庆·开学考试）围棋擂台赛“天王守擂”是赛事中最紧张的高强度对决环节，通常有一擂主与多位挑战者进行多轮棋艺较量．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙． (1)擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．求该擂主连胜三局的概率． (2)若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明： 【答案】(1) (2)（i）的分布列为： 2 4 5 期望的最大值为． （ii）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”． 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”， 事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”， 当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 因此，得， 而，所以． 【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率公式计算即可． （2）（i）求出所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值； （ii）设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解． 【详解】（1）设该擂主连胜三局为事件，该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件B，C，D， 则 由题知，事件B，C，D相互独立， 所以， 所以该擂主连胜三局的概率为． （2）（i）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则， 由题意得的所有可能取值为：2，4，5， ， 所以的分布列为： 2 4 5 所以的期望为： ， 由，得，当且仅当时取等号，则， 因此， 所以的最大值为． （ii）略 例3．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； (2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； (3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 【答案】(1)处取得最大值，. (2) (3)证明如下： 已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为. 那么第次是甲投篮有两种情况： 第次是甲投篮且没投进，概率为. 第次是乙投篮且投进，概率为. 所以. 则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 当为奇数时，，，单调递增，，且. 当为偶数时，，，单调递减,，且. 综上，. 【分析】（1）先分析第三次乙投的两种情况，算出对应概率相加得.是二次函数，根据开口方向和对称轴求最大值. （2）分别确定取时的对应情况算概率，用期望公式计算. （3）根据第次甲投的条件得递推式，变形后结合求出表达式，分析奇偶性时的单调性，得出取值范围. 【详解】（1）已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况A：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为. 情况B：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为.   所以. 对于二次函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值，. （2）已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，. 当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则 ； 当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为， 第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为， 第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则， 所以. （3）略 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题： (1)求该小组学生甲参加考试次数的分布列及数学期望； (2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为，求使得取最大值时的整数. 【答案】(1)的分布列如下： 1 2 3 0.5 0.3 0.2 (2)3 【分析】（1）确定的可能值，利用独立事件的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望； （2）确定所有可能取的值为，得出，利用二项公布的概率公式计算出各概率后可得，也可以解不等式得出结论． 【详解】（1）由题意知，所有可能取的值为， ， 的分布列如下： 1 2 3 0.5 0.3 0.2 ； （2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率， 方法一： 所有可能取的值为，且， ， ， ， ， ， 所以使得取得最大值时，整数的值为3． 方法二： 由得， 所以， 所以， 所以使得取得最大值时，整数的值为3． 变式2．（25-26高三上·山西运城·阶段检测）产品质量是开拓市场，提升销量的制胜法宝．某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关．现有一批产品，共计件，由于生产设备发生严重故障，导致次品率达到．现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场． (1)若，质检员从中任选两件，求这两件产品都是正品的概率． (2)记“质检件产品，正品数高于次品数”的概率为．若，求的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出随机试验“质检员从8件产品中任选两件产品”的样本空间中的样本点的个数， 再求事件两件产品都是正品所包含的样本点个数，利用古典概型概率公式求概率； （2）利用古典概型概率公式求，比较确定的最大值． 【详解】（1）若，记“这两件产品都是正品”为事件A， 随机试验“质检员从8件产品中任选两件产品”的样本空间中共含有个样本点， 事件包含个样本点， 由古典概型概率公式可得． （2）若，则8件产品中有4件正品、4件次品． 若质检2件，则． 若质检4件，则． 若质检6件，则． 所以当时，的最大值为． 变式3．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）某校开展“学习新中国史”的主题学习活动.为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下：每位参与测试的学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试；第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分；若两次均答错，答题测试不过关，得0分.某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m，0.5，两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为P. (1)若，求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望； (2)设该班恰有9人答题测试过关的概率为，当取最大值时，求，m. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设每一位参与答题测试的学生所得分数为，求出对应概率，进而得出数学期望； （2）该班恰有9人答题测试过关的概率为，再由导数得出其单调性，进而得出取得最大值时，m的值. 【详解】（1）设每一位参与答题测试的学生所得分数为，则可取 即每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望为 （2） 根据题意，该班恰有9人答题测试过关的概率为 ， 故在上单调递增，在上单调递减 故当时，取最大值，此时 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 统计与概率：递推法求概率、概率分布中的最值问题复习讲义 考点目录 递推法求概率 概率分布中的最值问题 考点一 递推法求概率 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方法本质 对于具有马尔可夫性的多步随机试验（下一步的状态概率仅由当前一步的状态决定，与更早的历史无关），设 为第 次试验后目标事件发生的概率，通过全概率公式建立 与 （或 ）的递推方程，通过数列知识求解通项，即可得到任意次试验的概率。 1. 核心递推类型 （1）一阶线性递推（最高频） · 递推形式：（ 为常数，） · 求解方法：构造等比数列（不动点法） 设 ，展开对比系数得 ，则 是首项为 、公比为 的等比数列，通项为： （2）二阶线性递推（拓展） · 递推形式：，常见于带吸收壁的随机游走、双状态转移问题。 · 求解方法：特征方程法，或构造两个等比数列降阶求解。 1. 经典常考模型 · 传球模型： 人相互传球，初始球在某人手中，每次等概率传给其他人，求第 次传球后回到初始者手中的概率。 · 状态切换模型：开关灯、机器运行/故障，每次按固定概率在两种状态间切换，求第 次处于某状态的概率。 · 有放回摸球模型：罐中两种颜色的球，每次摸出一个后按规则放回，求第 次摸到某色球的概率。 · 吸收型模型：到达某一状态后试验停止（如掷出 6 点则停止），求第 次恰好停止的概率，或停止时的步数期望。 二、解题思路 1. 设状态：设 为第 次试验后目标事件发生的概率，明确初始状态 （或 ）的取值； 1. 建递推：利用全概率公式拆分第 次的所有可能情况： 第 次目标发生 = 第 次已发生后维持 + 第 次未发生后转入； 分别计算两种路径的概率，相加得到 关于 的递推式； 1. 解通项：判断递推类型，一阶线性用构造法转化为等比数列，求出 的通项公式； 1. 代值求解：代入指定的 值，或求 时的稳态概率。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·重庆·开学考试）在某公司的团建活动中，组织了摸小球中奖品的游戏，游戏规则如下： ①将10名参加游戏的队员依次编号为1，2，3，…，10，游戏主持人和每名队员手中的小盒里有1个黑球和1个白球，这些球除颜色不同外其余均相同； ②1号队员先从主持人的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ③2号队员从1号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，接着，3号队员从2号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，重复上述操作，一直到10号队员从9号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ④游戏主持人从10号的盒子里随机摸出一球后，该轮游戏结束． (1)该轮游戏结束后，记1号队员盒子里的黑球个数为，求的分布列与数学期望； (2)在取球过程中，记事件“号队员摸取小球后他的盒子中是2黑1白球”（，），求证：； (3)该轮游戏结束后，盒子中小球的颜色相同（视为中奖）的队员恰有人（，），将剩下未中奖的队员重新编号并按游戏规则再进行一轮摸球游戏，记两轮游戏结束后有且仅有一名队员未中奖的概率为，问为何值时取得最大值． 例2．（26-27高三上·福建福州·开学考试）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. (1)双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.若， （i）求乙获胜的概率； （ii）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率. (2)设为“双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局”的概率；为“双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜”的概率.比较与的大小. 例3．（25-26高二下·广东梅州·期末）现有两箱零件，第一箱共12件，含2件次品；第二箱共24件，含3件次品． (1)若从第一箱中取出3件零件，记取出的次品件数为，求的分布列和数学期望． (2)规定游戏规则：每次从箱子中有放回地抽取1件零件； 初始时，等可能选择第一箱、第二箱； 抽取过程中，若本次抽到次品，下一次就更换箱子进行抽取；若本次抽到正品，下一次继续在当前箱子中抽取． ①求第一次抽取时，抽到次品的概率； ②设表示第次抽取时抽到次品的概率，求． 【变式训练】 变式1．（2026·福建厦门·模拟预测）现有n枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这n枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷，记第一次抛掷中正面朝上的硬币数与第二次抛掷中正面朝上的硬币数之和为X． (1)当时，求X的分布列； (2)求； (3)对确定的n，，，使得成立，请直接写出m，不用推导． 变式2．（25-26高三上·浙江温州·期中）某人清明节去烈士陵园扫墓，需要爬一个有级台阶的山坡，此人走这台阶时，每步跨级台阶，或跨级台阶. (1)当时，他只用步跨上了第级台阶，问共有多少种不同的走法； (2)已知此人从地面（即第级台阶）开始，每步跨级台阶的概率为，跨级台阶的概率为； ①求此人跨上第级台阶的概率； ②求此人跨上第级台阶的概率. 变式3．（2026·福建厦门·二模）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． (1)求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； (2)求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； (3)在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 考点二 概率分布中的最值问题 【知识点解析】 一、核心知识点 概率分布的最值分为四类：分布列的概率最值（最可能值）、数学期望最值、方差最值、决策型最值，核心是将目标量表示为参数的函数，转化为函数最值问题。 1. 分布列的概率最值（最可能值） · 问题描述：离散型随机变量 的分布列为 ，求 取何值时，概率 最大。 · 通用解法：相邻项比较法 概率最大的项满足：不小于前一项，也不小于后一项，即 代入分布列的概率表达式，解不等式组得到 的取值范围，即为最可能的取值。 - 经典结论：二项分布的最可能值 若 ，令 ： - 若 为整数，则 和 时概率同时最大； - 若 不为整数，则 （向下取整）时概率最大。 2. 期望的最值问题 · 问题描述：随机变量的分布中含有参数（如概率 、样本量 ），或实际决策变量影响分布，求期望的最大值/最小值。 · 解法： ① 根据分布的期望公式，写出 关于参数的函数表达式； ② 根据函数类型选择方法：一次函数看单调性，二次函数看顶点，对勾型用基本不等式，复杂函数用导数； ③ 结合参数的实际取值范围，求出最值。 3. 方差的最值问题 · 问题描述：求随机变量方差的最大值/最小值，分析波动性的极端情况。 · 解法： ① 利用方差公式或性质，写出 关于参数的函数； ② 常见为二次函数（如二项分布 是关于 的二次函数），结合开口方向与定义域求最值； ③ 注意性质：，线性变换不改变最值的相对位置。 4. 决策型最值问题 · 问题描述：以期望收益最大、期望损失最小为目标，选择最优方案。 · 解法：分别计算不同方案的期望收益/损失，比较大小，选择最优。 二、解题思路 1. 判类型：明确是概率最值、期望最值还是方差最值； 1. 列表达式：写出目标量（概率、期望、方差）关于参数的函数； 1. 选方法：概率最值用相邻比较法，期望方差用函数最值法； 1. 求结果：求解不等式或函数最值，结合参数范围验证； 1. 答问题：回归题目，给出最优值或对应参数。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果他的学生两手空空走出麦田，因为他不知道前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗．设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为．（取） (1)若，，求； (2)若，，则在摘到最大麦穗的条件下，最大麦穗出现在第颗的概率； (3)若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值． 例2．（26-27高三上·重庆·开学考试）围棋擂台赛“天王守擂”是赛事中最紧张的高强度对决环节，通常有一擂主与多位挑战者进行多轮棋艺较量．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙． (1)擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．求该擂主连胜三局的概率． (2)若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明： 例3．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； (2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； (3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题： (1)求该小组学生甲参加考试次数的分布列及数学期望； (2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为，求使得取最大值时的整数. 变式2．（25-26高三上·山西运城·阶段检测）产品质量是开拓市场，提升销量的制胜法宝．某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关．现有一批产品，共计件，由于生产设备发生严重故障，导致次品率达到．现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场． (1)若，质检员从中任选两件，求这两件产品都是正品的概率． (2)记“质检件产品，正品数高于次品数”的概率为．若，求的最大值． 变式3．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）某校开展“学习新中国史”的主题学习活动.为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下：每位参与测试的学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试；第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分；若两次均答错，答题测试不过关，得0分.某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m，0.5，两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为P. (1)若，求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望； (2)设该班恰有9人答题测试过关的概率为，当取最大值时，求，m. 2 学科网（北京）股份有限公司 $