第10章 第8讲 培优课——统计与概率中的综合问题 (教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦统计与概率综合问题，涵盖统计图表分析、概率计算（超几何分布、二项分布）、统计分析（相关系数、独立性检验）等核心考点，按考点分块整合真题案例，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识体系，突破高频难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以新课标核心素养为导向，通过“用数学眼光观察”（从图表提取信息）、“用数学思维思考”（概率模型构建）、“用数学语言表达”（分布列与期望表示）设计教学活动，如频率分布直方图中a值计算培养数据观念，相关系数求解提升运算能力。设置分层练习与即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰指导，助力学生提升应考能力。

第8讲　培优课——统计与概率中的综合问题　 考点一　统计图表与概率 　(2025·豫西北教研联盟质检)某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间(单位：小时)，从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得的数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示． (1)求a的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； (3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设X为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求X的分布列及数学期望． 【解】　(1)由题意可得，(0.01＋0.06＋0.07＋a＋0.02)×5＝1，解得a＝0.04. (2)由题意可得，续航时间不少于35小时的频率为5×0.04＋5×0.02＝0.3，所以续航时间不少于35小时的电池组的数量为0.3×50＝15，则续航时间少于35小时的电池组的数量为50－15＝35. 设事件A＝“从抽取的50组电池中任取2组，恰有1组电池续航时间不少于35小时”，则P(A)＝＝. (3)根据用样本估计总体的思想，任取1组电池，其续航时间不少于35小时的概率为0.3， 则任取1组电池，其续航时间少于35小时的概率为0.7，则X～B(2，0.3). P(X＝0)＝C×0.72＝0.49， P(X＝1)＝C×0.3×0.7＝0.42， P(X＝2)＝C×0.32＝0.09， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 E(X)＝2×0.3＝0.6. 【感悟进阶】　统计图表与概率综合问题的求解策略 (1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据； (2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等)； (3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断． 　(2025·北京模拟)已知近10年某市12月和1月历史气温分别如图所示． (1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； (2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为a(单位：℃)，次年1月平均高温与平均低温的差值为b(单位：℃).从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中a＝b的概率． 解：(1)由题图可知从2016年至2024年12月平均高温和平均低温都低于前一年的有2017年，2018年，2020年，2022年，所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率为. (2)由已知可得从2015年至2024年这10个冬季周期中12月平均高温与平均低温的差值和1月平均高温与平均低温的差值分别为(8，8)，(10，9)，(10，9)，(9，10)，(9，10)，(9，9)，(11，9)，(10，11)，(9，9)，(10，10)，满足a＝b的有4个，从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中a＝b的概率为＝. 考点二　统计分析与概率 　(2026·重庆开学考)电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额(单位：万元)与游客满意度评分(满分：100分)之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入 金额x/万元 20 30 40 50 60 70 游客满意度 评分y/分 60 65 70 78 80 85 (1)根据表中所给数据，用样本相关系数r判断y与x两个变量线性相关性的强弱(精确到小数点后两位)； (2)《哪吒2》中蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”(无平局)，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p(0<p<1)； ①当p＝时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为ξ，求ξ的分布列和期望； ②甲以3∶2获胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值． 参考数据及公式：样本相关系数r＝ ，≈17.9. 【解】　(1)由题意得 ＝＝45， ＝＝73， (xi－)(yi－)＝(－25)×(－13)＋(－15)×(－8)＋(－5)×(－3)＋5×5＋15×7＋25×12＝890， (xi－)2＝(－25)2＋(－15)2＋(－5)2＋52＋152＋252＝1 750，(yi－)2＝(－13)2＋(－8)2＋(－3)2＋52＋72＋122＝460， 则r＝＝＝≈≈0.99.因为|r|≈0.99，接近1，所以y与x两个变量线性相关性很强． (2)①由题意ξ的取值可能为3，4，5，且每局比赛甲获胜的概率为p＝，当ξ＝3时，甲连胜3局或乙连胜3局： P(ξ＝3)＝C()3＋C(1－)3 ＝＋＝. 当ξ＝4时，前3局甲2胜1负，第4局甲胜；或前3局乙2胜1负，第4局乙胜：P(ξ＝4)＝C()2(1－)×＋C(1－)2××(1－)＝＋＝. 当ξ＝5时，前4局甲2胜2负，第5局甲胜；或前4局乙2胜2负，第5局乙胜： P(ξ＝5)＝C()2(1－)2×＋C(1－)2×()2×(1－)＝＋＝. 所以ξ的分布列为 ξ 3 4 5 P E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝. ②甲以3∶2获胜，即前4局甲2胜2负，第5局甲胜， 所以f(p)＝Cp2(1－p)2·p＝6p3(1－p)2，0<p<1. 对f(p)求导得f′(p)＝6p2(1－p)(3－5p)， 令f′(p)＝0，解得p＝0，p＝1，p＝. 则当0<p<时，f′(p)>0，f(p)单调递增，当<p<1时，f′(p)<0，f(p)单调递减． 因此当p＝时，f(p)取得最大值f()＝6×()3×(1－)2＝. 【感悟进阶】　(1)从已知数表中获取关键信息，厘清数据及事件之间的关系． (2)建立适当的数学模型，转化成各种概型或随机变量的分布、回归分析、独立性检验等问题． (3)求解数学模型再回到实际问题． 　某研究小组为了探究成年男士的身高与体重之间是否存在关联，随机选取成年男士100人，其中身高X(单位：cm)服从正态分布N(175，22)，体重Y(单位：kg)服从正态分布N(70，32)，得到数据如下表． 单位：人 身高 体重 合计 大于73 kg 小于或等 于73 kg 大于177 cm a b a＋b 小于或等于177 cm c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (1)根据正态分布估计a＋b和b＋d的值； (2)若a＝12，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析成年男士身高大于177 cm与体重大于73 kg是否有关联？ 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7. χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)因为该地区成年男士的身高X(单位：cm)服从正态分布N(175，22)， 由正态分布可得P(X＞177)＝0.5－·P(175－2≤X≤175＋2)≈0.16， 所以可得从该地区随机选取成年男士100人，则身高大于177 cm的人数约为16人，所以a＋b＝16， 因为体重Y(单位：kg)服从正态分布N(70，32). 由正态分布可得P(Y≤73)＝0.5＋·P(70－3≤Y≤70＋3)≈0.84， 所以可得从该地区随机选取成年男士100人，则体重小于或等于73 kg的人数约为84人，故b＋d＝84. (2)若a＝12，则b＝4，c＝4，d＝80， 零假设为H0：该地区成年男士身高大于177 cm与体重大于73 kg无关， 计算可得χ2＝≈49.333 9>3.841＝x0.05， 由小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立， 所以认为该地区成年男士身高大于177 cm与体重大于73 kg有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 学科网（北京）股份有限公司 $