湖南省2026-2027学年高三上学期期中质量检测数学模拟卷（一）

2027届湖南新高考高三上学期期中质量检测模拟卷（一） 数学 考试时间：120分钟，满分150分。 命题范围：函数与导数（含指对、抽象函数、导数大题）：40％，三角函数与解三角形：30%，数列：20%，集合逻辑 + 不等式 + 平面向量：10% 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（5分）命题“”的否定是（） A. B. C. D. 2.（5分）全集，集合，，则集合（） A. B. C. D. 3.（5分）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4.（5分）已知向量，若，则的值为（） A.1 B. C.4 D. 5.（5分）在正项等比数列中，，是方程的两个根，则（） A.3 B.6 C.9 D.12 6.（5分）是定义在上的函数，满足对都成立，则（） A. B. C. D. 7.（5分）已知，则（） A. B. C. D. 8.（5分）设数列的前项和为且则的最小值为（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题意的。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.（6分）若，则（） A. B. C. D. 10.（6分）已知函数，其中，则下列说法正确的是（） A.当时，函数有两个零点 B.若在上存在两个极值点，则的取值范围是 C.当时，函数至少有一个零点 D.存在实数，使函数在区间上有最大值 11.（6分）设函数f(x)＝sin (ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论,其中所有正确结论的选项是(　　) A.f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 B.f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 C.f(x)在单调递增 D.ω的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（5分）若与的等差中项是与的等比中项，则                   . 13.（5分）已知实数满足，且，则                  . 14.（5分）已知函数是定义在R上的偶函数，，，则不等式的解集为                  ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知函数（，，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调减区间． 16.（15分）已知函数． (1)求及函数的定义域； (2)求函数的零点． 17.（15分）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若，求的取值范围． 18.（17分）已知等差数列的前项和为，，．数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 19.（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且存在两个极值点． ①求的取值范围； ②设的两个极值点为，证明：． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学答题卡（一） 准考证号： 姓名： 贴条形码区 班级： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准 (正面制上，切勿贴出应线方框 考证号填写清楚。 客观题答题，必须使用2B铅笔填 涂，修改时用橡皮擦干净。 正确填涂 ■ 缺考标记 必须在题号对应的答题区域内作 答，超出答题区域书写无效。 客观题(1~8为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 填空题 12: ■ 13 14. 解答题 15.(13分) A 5沉 11π 12 12 囚囚■ 续15题 16.(15分) 囚囚■ 17.(15分) ■ 囚■囚 0 0 0 (LD)81 ■ 囚■囚 (LI)6I ■ 口 ■ 2027届湖南新高考高三上学期期中质量检测模拟卷（一） 数学（参考答案） 一、单选题 1.D【解析】由全称量词命题的否定规则得，将全称量词改为存在量词，保留原命题的定义域不变，仅否定原结论， 由此可得命题”“的否定是”“. 故选：D. 2.D【解析】解方程得或， 故. 由全集，集合，得. 由此可得. 故选：D. 3.C【解析】由题意，不等式， 化简为， 即，解得-2<x<1或x>3， 所以不等式的解集为， 故选：C． 4.B【解析】由已知得，. 由，两边平方得，展开化简得，解得. 故选：B. 5.B【解析】由韦达定理得，为正项等比数列，结合等比数列性质得. 由得， 代入计算得. 故选：B. 6.B【解析】令代入原式得①， 令代入得②， 令代入得③， 令代入得④. 联立③④解得，，将代入②，解得. 将代入①，整理得. 故选：B. 7.B【解析】由二倍角公式得，由得，结合，得，故. ，将展开得，整理得. 由三角恒等式得，代入正切和角公式得. 由得，结合，得. 故选：B. 8.C【解析】由得，累乘得. 由等差数列前项和公式得，代入目标式化简得. 对勾函数在上单调递减，在上单调递增，又，故只需比较和处的函数值. 当时，，当时，，比较得，故的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9.BCD【解析】，函数在上为减函数，故，因此A错误. 由得，整理得，故B正确. ，对数函数在上为增函数，故，因此C正确. 对勾函数在上为增函数，结合得，故D正确. 答案为BCD. 10.BC【解析】，. 对于A，时， . 令得，. 在和上单调递增，在上单调递减. ，，且. 由零点存在定理，在内有唯一零点，在上仅有一个零点. 故 A 错误. 对于B，， 若在上存在两个极值点， 则且在上有两个不相等的实数根， 当时，则有，即，解得， 当时，则有即，此不等式组无解. 综上，的取值范围为，故B正确； 对于C，时，. 设的两根为， 由韦达定理，. 不妨设， 则在和上单调递增，在上单调递减. ，故. 又， 所以在内存在零点. 因此时至少有一个零点. 故 C 正确. 对于D，当时，由知极大值点， 在上可能单调或先减后增， 但区间为开区间，最大值无法在端点取得，故不存在最大值. 时，在上单调递减，无最大值. 当时，， 的两根满足，， 故. 在和上单调递减，在上单调递增， 因此在上单调递减，无最大值. 当时，，且不恒为零， 在上单调递减，无最大值. 综上，不存在实数使在上有最大值. 故 D 错误. 故选：. 11.ACD【解析】已知f(x)＝sin (ω>0)在区间[0，2π]有且仅有5个零点，如图， 其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f (x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f (x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以A正确，B不正确；当x∈[0，2π]时， ωx＋∈，由f (x)在区间[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以D正确；当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在区间上单调递增，所以C正确．故选ACD. 三、填空题 12.【解析】由等差中项定义得与的等差中项为，结合题意可知是与的等比中项，由等比中项性质得，化简得. 故答案为：. 13.【解析】由得,, 故,. 因为, 所以, 即, 又, 得. 14. 【解析】令，则， 当x>0时．由，得， 所以函数在上单调递减， ∵函数是定义在R上的偶函数，， ， 是定义在上的奇函数， 在上单调递减， 又∵，， 则的大致图象如图所示： ∴0<x<2时，，x>2时，， 根据函数的奇偶性知，-2<x<0时，，x<-2时，， 当时，等价于， 当x=0时，不成立， ∴不等式的解集为， 所以不等式的解集是． 故答案为：. 四、解答题 15. 解 （1）由图可知，，∴，， 函数的图象经过点和， ∴，， ，，，． 函数的解析式为． （2）由（1）可知， 令，， 解得，，即函数的单调递减区间为，. 16. 解 (1)依题意， 所以，由得， 解得，所以的定义域为. (2)， 则，所以的定义域为， 令得， 所以，，则. 17. 解：(1)由正弦定理得,代入， 得， 因为且,所以， 由得,因为,所以. 由于,故. (2)由正弦定理得,所以,， 因为,所以,则， 代入得， . 由,且, 所以原式. 因为, 令,则原式. 由三角形为锐角三角形且,得且,解得, 所以,故. 因为在时取得最大值,且,, 由于,所以值域为. 18. (1)解：由是等差数列且, 得, 故． 由,得． 的公差, 故． (2)证明：由, 得． 由,得, 故, 因此是首项为1、公比为2的等比数列． (3)解：由是等比数列, 得, 故． 记, 由, 得,, ． . 19. (1)解：由,定义域为,得. 当时,,故在上单调递增； 当时,由得,由得, 故在上单调递增,在上单调递减. (2)①解：由,得. 因为存在两个极值点,故存在两个变号零点,即有两个不同实根, 即函数与有两个不同交点. 由,得时,单调递增；时,单调递减, 故. 又时,时,故,即. ②证明：由上述分析,时,存在两个极值点, 不妨设,由,得,. , 故要证,即证. 令（）,得. 因为,所以,,故,在上单调递增, 又,故时,即,因此. 由,得, 又在上单调递增,,,故,即,原不等式成立. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $