2026-2027学年高三上学期期中自编模拟数学卷（新高考1卷，湖南适用）

2026-2027学年高三上学期期中自编模拟数学卷（新高考1卷适用） 命题人： 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 2.复数 的实部与虚部之和 ( ) A. B. 5 C. 6 D.7 3.已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( ) A.19 B.29 C.30 D.31 4.某学校举办校园数学文化节，需从5名高一学生和4名高二学生中选出3名志愿者负责活动引导工作，要求至少有1名高二学生，则不同的选法共有( ) A. 74种 B. 76种 C. 78种 D. 80种 5.已知双曲线C：的实轴长为4，且过点，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6.已知四棱锥 的底面 是边长为 2 的正方形,顶点 在底面的投影为正方形中心 ,且 ,则下列说法正确的是( ) A. 平面 与平面 平行 B. 四棱锥 的体积为 C. 直线 与平面 所成角的正切值为 D. 异面直线 与 所成角的余弦值为 7.已知函数 是定义在 上的奇函数,且在 上单调递增,若 ,则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 8. 某快递公司为优化配送路线，在平面直角坐标系中设定两个分拣中心，主分拣中心A(0,0)和副分拣中心B(6,0)。现需确定一个临时配送点P(x,y)，要求临时配送点P到主分拣中心A的距离与到副分拣中心B的距离之比为2：1。同时，为方便取货，临时配送点P需在一个圆心为C(4,0)、半径为1的圆形货物暂存区内（含边界），则点P到主分拣中心A距离的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.记随机事件A、B发生的概率分别为P(A)、P(B)，且P(A)>0，P(B)>0．则下列说法错误的是（ ） A．若 ，则 B．事件A、B相互独立的充要条件是 C．若，则 D．A、B独立与A、B互斥可以同时成立 10. 已知函数，其中部分图象如图所示，A(3,0)，B是图象与x轴的两个相邻交点，C是图象上的一个最高点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在[0,1]上单调递增 C. 函数的图象关于点对称 D. 若函数在区间[0,t]上有且仅有3个零点，则t的取值范围为(5,7] A B x C O y 11.在棱长为1的正方体中，点M在侧面（包括边界）内运动，N为的中点，则下列说法正确的是（ ） A．当M在线段上运动时，恒有 B．当M为正方形的中心时，BM与AN所成角的正弦值为 C．若点M满足，则平面BM截正方体所得的截面面积为； D．直线MN和MB与平面所成的角相等时，动点M的轨迹为椭圆． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知向量，，若与的夹角为锐角，且，则实数的值为 . 13.已知数列满足，且对任意，都有；数列满足，设为的前项和。若（为常数），则的值为 . 14.已知函数，其中为的展开式中的系数.则不等式的解集为 . 4、 解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知，AD是BC边上的中线，且AD，c=5； （1）求角A的大小； （2）求a及的面积S。 16.在四棱锥P—ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，满足 AD AB ， BC //AD ， AB = 2 ， AD = 4 ， BC = 2 ， PA 底面 ABCD 且 PA = 2 。点 E 为棱 PB 的中点，点 F 为棱 PD 的中点。 （1）证明： EF//平面 ABCD ； （2）求平面 AEF 与平面 PCD 所成夹角的余弦值。 A C D B E F P 17. 2025年郴州推进“中国低空文旅第一城”建设，依托北湖机场—莽山航线，本地企业联合非遗工坊推出航线主题迷你直升机模型（复刻执飞的贝尔407机型，机身融入莽山丹霞、瑶族银饰等郴州元素）作为游客伴手礼。 该批次10个模型由A、B两条生产线联合打造：A线生产5个（含3个达标模型），B线生产5个（含4个达标模型）。经品控筛选后，整体有7个达“细节完整、涂装准确”的精品标准模型用于高端游客赠送，3个需微调涂装后上架。现从10个模型中，采用不放回抽样方式随机抽取4个初评，设抽到的达标迷你直升机模型数为 X 。 （1）求 X 的分布列及数学期望 E(X) ； （2）若初评中抽到的达标模型数不少于3个，该批次可获评“郴州低空文旅优质伴手礼”，求该批次获评的概率； （3）现从10个模型中随机抽取1个，发现其为达标模型，求该模型来自A生产线的概率。 18.已知函数. (1)求的单调区间和极值; (2)若，关于的方程有两个不等实根，，且. (i)求实数的取值范围； (ii)求证：. 19.已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率e=，且过点(1,)；抛物线(p>0)的焦点与椭圆的右焦点重合。设直线l的方程为，直线l与交于A、B两点（异于椭圆顶点），与交于M、N两点。 （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过点M、N分别作抛物线的切线，两切线交于点P，若点P在直线x=−1上，证明：直线l恒过某一定点Q，并求出Q点的坐标；（3）若直线l过定点Q，且△与△的面积比为，求的值； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期期中自编模拟数学卷（新高考1卷适用） 命题人： 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 答案：D 2.复数 的实部与虚部之和 ( ) A. B. 5 C. 6 D.7 答案：C 3.已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( ) A.19 B.29 C.30 D.31 答案：A 4.某学校举办校园数学文化节，需从5名高一学生和4名高二学生中选出3名志愿者负责活动引导工作，要求至少有1名高二学生，则不同的选法共有( ) A. 74种 B. 76种 C. 78种 D. 80种 答案：A 5.已知双曲线C：的实轴长为4，且过点，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 答案：B 6.已知四棱锥 的底面 是边长为 2 的正方形,顶点 在底面的投影为正方形中心 ,且 ,则下列说法正确的是( ) A. 平面 与平面 平行 B. 四棱锥 的体积为 C. 直线 与平面 所成角的正切值为 D. 异面直线 与 所成角的余弦值为 答案：B 7.已知函数 是定义在 上的奇函数,且在 上单调递增,若 ,则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 答案：C 8. 某快递公司为优化配送路线，在平面直角坐标系中设定两个分拣中心，主分拣中心A(0,0)和副分拣中心B(6,0)。现需确定一个临时配送点P(x,y)，要求临时配送点P到主分拣中心A的距离与到副分拣中心B的距离之比为2：1。同时，为方便取货，临时配送点P需在一个圆心为C(4,0)、半径为1的圆形货物暂存区内（含边界），则点P到主分拣中心A距离的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.记随机事件A、B发生的概率分别为P(A)、P(B)，且P(A)>0，P(B)>0．则下列说法错误的是（ ） A．若 ，则 B．事件A、B相互独立的充要条件是 C．若，则 D．A、B独立与A、B互斥可以同时成立 答案：ABC 10. 已知函数，其中部分图象如图所示，A(3,0)，B是图象与x轴的两个相邻交点，C是图象上的一个最高点，且，则下列说法正确的是（ ）A B x C O y A. B. 函数在[0,1]上单调递增 C. 函数的图象关于点对称 D.若函数在区间[0,t]上有且仅有3个零点，则t的取值范围为(5,7] 答案：AC 11.在棱长为1的正方体中，点M在侧面（包括边界）内运动，N为的中点，则下列说法正确的是（ ） A．当M在线段上运动时，恒有 B．当M为正方形的中心时，BM与AN所成角的正弦值为 C．若点M满足，则平面BM截正方体所得的截面面积为； D．直线MN和MB与平面所成的角相等时，动点M的轨迹为椭圆． 【答案】AC 解析：易证平面，而平面，所以．故A正确．，，设两异面直线所成的角为，计算得，从而．故B错误． 在，则等腰梯形上底边长为，下底边长为，腰长为，由梯形面积公式得截面面积为，C正确． ，，所以M的轨迹为圆．故D错误． 3. 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知向量，，若与的夹角为锐角，且，则实数的值为 . 答案：3 13.已知数列满足，且对任意，都有；数列满足，设为的前项和。若（为常数），则的值为 . 答案：4 解析：由得，所以数列{为首项为2，公比为2的等比数列。，,对任意，得，. 14.已知函数，其中为的展开式中的系数.则不等式的解集为 . 答案： 【解析】由于,问题可转化为求的系数，它的系数为,所以. 则.因为,所以,即.令,则,所以是减函数.而，则. 4、 解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（改编自教材必修第二册第54页第22题） 在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知，AD是BC边上的中线，且AD，c=5； （1）求角A的大小； （2）求a及的面积S。参考答案及评分标准： 解：由正弦定理得：……………1分 ，再根据两角和正弦公式展开得： 消去，整理得：……………3分 ,，两边同除以得：…4分 由辅助角公式得：………………………………………5分 又,则，故，解得.………6分 (2) 由题意得：2，平方并化简得：, 解得。………………………………………………9分 由余弦定理得： ……………………………………………………………11分 的面积S=………………13分 16.（改编自选择性必修第二册第49页第12题）在四棱锥P—ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，满足 AD AB ， BC //AD ， AB = 2 ， AD = 4 ， BC = 2 ， PA 底面 ABCD 且 PA = 2 。点 E 为棱 PB 的中点，点 F 为棱 PD 的中点。 （1）证明： EF//平面 ABCD ； （2）求平面 AEF 与平面 PCD 所成夹角的余弦值。 A C D B E F P 参考答案及评分标准： (1)方法二：线线平行法 证明：连接BD，………………………………………………………1分 E是PB中点，F是PD中点， EF是 PBD的中位线，故EF//BD。………………………………3分 又BD平面ABCD，EF平面ABCD， 根据线面平行的判定定理，可得EF//平面ABCD。…………………6分 方法二：面面平行法 证明：取PA的中点G，连接EG、FG。……………………………1分 E是PB中点，G是PA中点，EG//AB。………………………………………………………………2分 又EG平面ABCD，AB平面ABCD，故EG//平面ABCD。………3分 同理可证FG//平面ABCD。…………………………………………4分 又EGFG = G，EG、FG平面EFG，所以平面EFG//平面ABCD。 …………………………………………5分 EF平面EFG，EF//平面ABCD。…………………………………6分 方法三：坐标法，请酌情给分 (2)解:以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(0,2,1)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,4,0)。 …………7分 (1,0,1)，(0,2,1)。设平面AEF的法向量为，则， 令，得.………………………………………10分 (2,2,-2)，(0,4,2)。设平面PCD的法向量为，则， 令，得.……………………………………………13分 设平面 AEF 与平面 PCD 所成的夹角为，则 …………………………14分 故平面 AEF 与平面 PCD 所成夹角的余弦值为。…………………15分 A C D B E F P x y Z 17.（改编自选择性必修三第60页例3、第78页例5、第50页例5） 2025年郴州推进“中国低空文旅第一城”建设，依托北湖机场—莽山航线，本地企业联合非遗工坊推出航线主题迷你直升机模型（复刻执飞的贝尔407机型，机身融入莽山丹霞、瑶族银饰等郴州元素）作为游客伴手礼。 该批次10个模型由A、B两条生产线联合打造：A线生产5个（含3个达标模型），B线生产5个（含4个达标模型）。经品控筛选后，整体有7个达“细节完整、涂装准确”的精品标准模型用于高端游客赠送，3个需微调涂装后上架。现从10个模型中，采用不放回抽样方式随机抽取4个初评，设抽到的达标迷你直升机模型数为 X 。 （1）求 X 的分布列及数学期望 E(X) ； （2）若初评中抽到的达标模型数不少于3个，该批次可获评“郴州低空文旅优质伴手礼”，求该批次获评的概率； （3）现从10个模型中随机抽取1个，发现其为达标模型，求该模型来自A生产线的概率。 参考答案及评分标准： （1）由题意可知 X 服从超几何分布，且 X可取1,2,3,4…………1分 概率公式为：(k=1,2,3,4) ……………………………………………2分 ……………………………………………3分 ……………………………………………4分 ……………………………………………5分 所以X 的分布列为 X 1 2 3 4 数学期望 E(X) ……………7分 （也可以由超几何分布期望公式得E(X)） ………………7分 (2)达标模型数不少于3个即X=3或X=4，且X=3与X=4互斥……8分 所以， 故该批次获评“郴州低空文旅优质伴手礼”的概率为。………10分 (3)设事件 A 为“模型来自A生产线”，事件 B为“模型来自B生产线”，事件 D 为“模型为达标模型”。 P(A) = 0.5 ， P(B) =0.5 ………………………………………………11分 P(D|A) = 0.6 ， P(D|B) = 0.8 ………………………………………12分 由全概率公式得 P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) = 0.5 0.6 + 0.5 0.8 = 0.3 + 0.4 = 0.7 P(A|D) = ……………………………………14分 所该模型来自A生产线的概率为。………………………………15分 18.已知函数. (1)求的单调区间和极值; (2)若，关于的方程有两个不等实根，，且. (i)求实数的取值范围； (ii)求证：. 参考答案及评分标准： （1）函数的定义域为…………………………………1分 .…………………………………………………………2分 令，得. 当时，，单调递减; 当时，，单调递增. 所以的单调递减区间是，单调递增区间是 ………………………4分 的极小值为，无极大值. ………………………5分 （2）若，则. 由(1)可知，在上单调递减，在上单调递增，当时取得极小值.…………………………………………7分 当时，；当. (i)函数与的图象有两个公共点时实数的取值范围是. 故方程有两个不等实根时实数的取值范围是. ………………………………………10分 (ii)要证，只要证. 结合图象可知，，则. 又因为在上单调递增，所以只需证. 又，所以只需证， 即只要证. …………………………………12分 设， 则. ，. 所以上单调递减. …………15分 又，. 即. 故成立. .…………………………………………………17分 （运用比值代换或对数平均不等式证明的请酌情给分 ） 19. 已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率e=，且过点(1,)；抛物线(p>0)的焦点与椭圆的右焦点重合。设直线l的方程为，直线l与交于A、B两点（异于椭圆顶点），与交于M、N两点。 （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过点M、N分别作抛物线的切线，两切线交于点P，若点P在直线x=−1上，证明：直线l恒过某一定点Q，并求出Q点的坐标；（3）若直线l过定点Q，且△与△的面积比为，求的值； （参考公式：过抛物线(p>0)上一点的切线方程为.） 参考答案及评分标准： （1）由离心率e=得； 由椭圆基本关系得； 椭圆过点(1,)，代入椭圆方程得：，故，； 椭圆的标准方程为：，其右焦点的坐标为(1,0)。 抛物线的焦点坐标为(1,0)，从而， 故抛物线的标准方程为。…………………………………4分 （2） 设M，N 联立直线与抛物线的方程：得， 由韦达定理得：，；………………………6分 由题意可知切线PM的方程为：① 切线PN的方程为：② ①②： ，解得，…………………………………9分 ①②：， 将x=−1，，代入并整理得： 直线l的方程为， 当，直线l过定点Q(1,0)。………………………11分 （3） 由（2）可知，当时，，。 , （4） 设A，B 联立直线l与椭圆的方程：得， 由韦达定理得：，； ,……………………………13分 设到直线l的距离为d，则 ，解得：。 此时l：.…………………………………………………………………15分 |，|， 由椭圆的定义可知：||， 故。…………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $