湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期数学期中模拟试卷（一）

《湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D B B C D AC BCD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】设，则， 所以， 因为都是实数，平方非负，所以只能， 所以. 2．A 【详解】由题意得a可能取1，3，5，23，b可能取1，3，5，23， 则可能取2，4，6，24，4，6，8，26，6，8，10，28，24，26，28，46， 由集合的互异性去掉重复的元素，则，则． 3．C 【分析】根据等差数列的通项公式结合题设先求得，再根据求和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以. 故选：C 4．D 【详解】，，则可能有，若，则， 故或. 5．B 【分析】根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可. 【详解】第代种子的数量为， 由题意得，得，即. 因为， 故种子数量首次超过100万粒的是第7代种子. 故选：B. 6．B 【分析】根据数列的定义得数列是一个等差数列，应用等差数列前n项和公式及下标和的性质得到，最后应用基本不等式求目标式最大值，注意取值条件. 【详解】根据题意，若数列满足（常数），则称为调和数列， 已知数列为调和数列，令，则， 即数列是一个等差数列，设其通项为，公差为， 已知，即等差数列的前项和为， 根据等差数列求和公式，得，解得， 由等差数列的下标性质，得，即， 由，所以 当且仅当时，等号成立，此时，即， 此时公差，数列为常数列，前项和为，符合题意， 综上，的最大值为. 7．C 【详解】对A，因为，所以 ，故A正确； 对B，因为，所以， 所以，故B正确； 对C，因为，所以，所以，故C错误； 对D，因为，由，故D正确. 8．D 【详解】若周期，周期，设是的公倍数， 则一定是的一个周期，已知其最小正周期， 则必须整除这个公倍数； 选项A：，故1是的周期，若， 则， 故1是的一个周期，但最小正周期是2，矛盾，故A错误； 选项B：，，故1是的周期， 于是，即1必须是的一个周期， 但的最小正周期，1不是的整数倍，矛盾，故B错误； 选项C：，的最小公倍数是，故一定是的一个周期， 如果最小正周期是1，则， 结合可得， 即3是的周期，但最小正周期，3不是的整数倍，矛盾，故C错误； 选项D：，的最小公倍数为，故一定是的一个周期，满足条件， 构造，则周期5，周期， ，其最小正周期为3，故D成立． 9．AC 【分析】根据函数的定义进行判断选项. 【详解】对于任意实数，乘以2得到都是唯一确定的，所以A正确； 对于任意，对应到4或5均有可能，不是唯一确定的，所以B错误； 对于任意，求倒数得到都是唯一确定的，所以C正确； 对于任意，求平方根得到不是唯一确定的，所以D错误. 故选:AC. 10．BCD 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 由题意知，则，又，则，所以， 故. 对于A，若的一个对称中心为， 则， 可得，，所以，. 又，所以，A错误. 对于B，若为偶函数，则，， 所以，， 又，所以，B正确. 对于C，当时，， 且区间的长度为， 若在区间内有三个零点，则，，则，， 又因为，故，C正确. 对于D，当时，， 因为，所以， 若在上单调递增，则， 即，解得，故的最大值为，D正确. 11．ACD 【分析】利用给定的曲线方程，列出符合要求的整点判断A；利用圆及椭圆性质计算判断B；求出面积最大值判断C；利用余弦定理及椭圆定义，借助基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A，由曲线与，知，， 当时，令，得曲线内部（不含边界）的整数点为，，，，，，，，，，，，有 12 个，A 正确； 对于B，曲线中，当时，，此时曲线上的点到原点的距离为2，椭圆的长短半轴长分别为3，2，该椭圆上的点到原点距离最大值为3，最小值为2，因此曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5，B错误； 对于C，当点在半圆弧上时，； 当点之一在半圆弧上时，不妨令点在半圆弧上，则，； 当点是半椭圆顶点时，； 当点在半椭圆上（不是顶点），设直线，则直线， 设横坐标分别为，由，得， 同理得.， 令， ，因此，C正确； 对于D，点，恰为椭圆的两个焦点，而点在半椭圆上， 则，当点不共线时， 由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，当点共线时，，D正确. 12．8 【分析】由求解. 【详解】由，得， 又因为向量的夹角的余弦值为， 所以， ， 故答案为：8 13．/ 【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值． 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 14． 【分析】由题意直观图是边长为1的正方形.该正方形可在斜二测坐标系内绕中心旋转，利用斜二测向量还原公式得到原四边形对角线向量，求出数量积，借助辅助角公式求得取值范围. 【详解】因为直观图是矩形，且，对角线互相垂直， 因此是正方形，，. 设与斜二测轴夹角为，则直观图中，. 根据斜二测坐标变换规则，对应原图形向量： ，. 因为原图形为平行四边形，所以，， 则 ， 利用辅助角公式化简得，其中. 因为， 所以的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理与和角公式，化简方程即可求得； （2）利用余弦定理求出边，再由三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）由和正弦定理，， 因， 代入上式化简得：， 因，则有，即， 因，则. （2）由余弦定理，，因，， 代入得， 即，解得（负根舍去）， 故的面积为. 16．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）用对立事件求概率公式进行求解； （2）求出的可能取值，及对应的概率，从而求出分布列，计算出数学期望. 【详解】（1）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题. 所以乙有机会答题的概率为， 解得； （2）X的可能取值为0，10，20，30，40； 所以X的分布列为： X 0 10 20 30 40 P . 17．(1)(2) 【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，结合椭圆离心率求出即可. （2）求出双曲线渐近线的斜率，进而求出直线的方程并与椭圆方程联立求出三角形面积. 【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为， 即有，由的离心率为，得，解得， 所以的方程为. （2）依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设， 由对称性，不妨设直线的方程为，即， 由消去，得 ，则，， 因此， 所以的面积.    18．(1)证明如下： 在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且， ∴. (2)；(3). 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）由（1）的信息建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用公式求解. （3）设，分别求出平面和平面的法向量和，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）略 （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 19.【分析】（1）求定义域，求导，根据函数单调性得到恒成立，参变分离，结合基本不等式可得答案； （2）根据极值点情况可得不等式，得到，，故，设，，求导，得到的单调性，得到，证明出结论； （3）设，求导，得到的单调性，画出的图象，数形结合得到，．又在处的切线方程为，设，求导，得到的单调性，得到，并得到过点和的直线方程为，该直线与的交点的横坐标为，同理可证，所以，可得成立．(1) 【详解】（1）的定义域为，． 因为在上单调递增，所以恒成立． 则，即在上恒成立，所以． 因为，当且仅当时，等号成立． 所以． (2)证明：由题意得，． 因为有2个极值点a，b，则有两个正根a，b． 则，解得． 所以 ． 设，，则． 因为，所以，则， 所以在区间上单调递增． 即， 所以． (3)设， 当时，．又恒成立，则在上单调递减； 当时，．又恒成立，则在上单调递增． 因为方程在上有2个不同的根，， 又时，，如图所示： 所以，． 又在处的切线方程为，设，． 当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则． 即当时，． 与，的两个交点的横坐标分别为与， 则有，同时． 过点和的直线方程为， 该直线与的交点的横坐标为，同理可证：， 所以． 综上所述，成立． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（一） 一、单选题 1．已知复数z满足，则（   ） A．0 B． C．i D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列满足，，则其前30项和（   ） A．585 B．957 C．1020 D．1085 4．已知直线，和平面，若，，则（   ） A． B． C．与相交 D．或 5．科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代12粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（    ）（参考数据：） A．第6代种子 B．第7代种子 C．第8代种子 D．第9代种子 6．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 7．下列说法错误的是（     ） A．已知随机变量X服从正态分布，则 B．已知随机变量X服从正态分布，且，则 C．已知随机变量X服从正态分布，则 D．设随机变量服从正态分布，若，则 8．定义在上的函数和的最小正周期分别是和．已知函数的最小正周期为，则下列选项中可能成立的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多选题 9．下列选项中，为上的函数有（    ） A．为“乘以” B．为“对应元素为或” C．为“求倒数” D．为“求平方根” 10．已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（   ） A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 11．京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一．某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线．其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（），则下列说法正确的是（     ） A．曲线内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B．曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C．若点，在曲线上，且，则面积的最大值为3 D．若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 三、填空题 12．设向量的夹角的余弦值为，且，则_____ 13．若直线与曲线相切，则的最小值为________． 14．平面图形斜二测画法为矩形，，，求取值范围为______． 四、解答题 15．在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 16．甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为. (1)求; (2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望. 17．已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合． (1)求的方程； (2)若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 18．如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 19．已知函数，． (1)若在定义域上单调递增，求m的取值范围； (2)若有两个极值点a，b，证明：； (3)若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $