精品解析：海南省省直辖县级行政单位万宁市第二中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期第一次月考 九年级数学试题 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 下列函数中，y 是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 6. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 9. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为________． 14. 已知关于x的方程（m﹣1）x|m|＋1＋（2m＋1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝__． 15. 已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 ____________________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）. 18. 关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为且满足，求m的值． 19. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 20. 若将平面直角坐标系的坐标轴向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，原坐标系中的抛物线在新坐标系下的解析式为． （1）求抛物线在原坐标系下的解析式； （2）指出该抛物线在原坐标系中的开口方向、对称轴和顶点坐标． 21. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由． 22. （1）如果四个点，，，中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上. ① ； ②如图1，已知菱形的顶点B，C，D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B，D在该二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； （2）已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，直接写出m，n满足的等量关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次月考 九年级数学试题 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式，二次项系数是，进行分析，即可作答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是， 故选：B 2. 下列函数中，y 是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义：形如（，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，是二次函数，故此选项不符合题意； B、是二次函数，故此选项符合题意； C、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 5. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 6. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得． 7. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两年的产量和是，分别表示、年的每公顷产量后相加列方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 8. 已知，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得出，，得出，是方程的两根，进而利用根与系数的关系代入求出即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，是方程的两根， 则，， 故 ． 9. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上所述，，． 10. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 11. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，抛物线顶点在轴上说明其与轴仅有一个交点，即判别式，通过代入系数计算判别式方程即可求解的值． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 抛物线与轴仅有一个交点， ，，， ， 整理得：， 两边同除以得：， 因式分解得：， 或． 故选：C． 12. 已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，关于直线的对称点为， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知关于x的方程（m﹣1）x|m|＋1＋（2m＋1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝__． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可； 【详解】解：根据题意得：|m|+1＝2，m﹣1≠0， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 15. 已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，求出的取值范围以及的最值是解题关键．先将抛物线化为顶点式，得到对称轴为，顶点坐标为，再根据，得到，进而得到，，求出时，的最大值和最小值，得到，然后根据二次函数的性质和的取值范围，求出的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴抛物线的对称轴，顶点坐标为， ∵，即与的差值为， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴ 则对称轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为， 综上所述：； 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：移项得， 提取公因式得， 所以或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 移项得， 提取公因式得， ， 所以或， 解得． 18. 关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程的两根为 ∴, ∵ ∴ 解得： 【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 19. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 【答案】（1）三边长分别为，， （2）不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； 【小问2详解】 略 20. 若将平面直角坐标系的坐标轴向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，原坐标系中的抛物线在新坐标系下的解析式为． （1）求抛物线在原坐标系下的解析式； （2）指出该抛物线在原坐标系中的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2） 开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平移规则求出函数解析式即可； （2）根据顶点式的性质，作答即可. 【小问1详解】 解：由题意，抛物线先向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线， ∴原抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，； ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. 21. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，代数式比大小，掌握好作差法比较大小是解题关键． （1）将点和点代入表达式，求出和的值； （2）先用m表示出和，用作差法比较和的大小即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入表达式，得， ， 解得，， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将点代入，得， ， 同理，， ． 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； ∴当时，；当时，；当时，． 22. （1）如果四个点，，，中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上. ① ； ②如图1，已知菱形的顶点B，C，D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B，D在该二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； （2）已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，直接写出m，n满足的等量关系式. 【答案】（1）①1；②；③是定值，（2）、满足的等量关系式为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）①在中，令得，即知不在二次函数为常数，且的图象上，用待定系数法可得； ②设交轴于，设菱形的边长为，可得，故，，代入得，即可求解； ③过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，可得，，，，证明，有，，故，，即可得； （2）过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，知，，分三种情况：①当，在轴左侧时，由，可得，，即可求解；②当在轴左侧，在轴右侧时，由，有，，即可求解；③当，在轴右侧时，，，即可求解． 【详解】解：（1）①在中，令得， 在二次函数为常数，且的图象上，不在二次函数为常数，且的图象上， 四个点、、、中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上， 二次函数为常数，且的图象上的三个点是、、， 把代入得：， 解得：， 故答案为：1； ②设交轴于，如图： 设菱形的边长为，则， ，关于轴对称， ， ， ， ， ， ， 把代入得： ， 解得或（舍去）， 菱形的边长为； ③是为定值，理由如下： 过作轴于，过作轴于，如图： 点、的横坐标分别为、， ，， ，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， 点、在轴的同侧， ， ； （2）过作轴于，过作轴于， 点、的横坐标分别为、， ，， ①当，在轴左侧时，如图： ，，，， 同理可得， ，， ，， ， ， ， ； ②当在轴左侧，在轴右侧时，如图： ，，，， 同理可得， ，， ，， ， ， 或； ③当，在轴右侧时，如图： ，，，， 同理可得， ，， ，， ， ， ； 综上所述，、满足的等量关系式为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $