概率与统计专题第6讲统计图表与数字特征讲义-2027届高三数学一轮复习

统计图表与数字特征 概率与统计 · 专题篇 一 抽样方法与频率分布直方图 一、分层抽样按比例分配。 各层的抽样比相同：。已知某一层的样本量，就能反求抽样比，再乘别层的总量。 ★ 重庆-03 先求抽样比 ；青岛淄博-03、太原-12 直接用比例换算更快。 二、直方图的三句话。 频率 = 面积 = 纵坐标 组距；各组频率之和为 ；纵轴是「频率/组距」，读图时先乘组距才是频率。 ★ 威海-04 的纵坐标是 ，落到 上的频率是 。 三、直方图求中位数与分位数。 把各矩形面积从头累加，找到累计频率跨过目标值（中位数是 ）的那一组，再设未知数解方程：已累计的频率 加上「 减去组左端」乘以该组的「频率/组距」，等于目标值（中位数时目标值为 ）。 四、三特征的大小关系。 单峰右拖尾时，众数最小、平均数最大、中位数居中；左拖尾则三者顺序颠倒。 ★ 平均数被极端值拉向拖尾那一边，中位数只按位置取，所以总在两者之间。和平区(2)-05 就是这一条。 例1（单选·★☆☆☆☆） 某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（ ） A. 6人 B. 16人 C. 22人 D. 28人 【切入点】三类教师总人数已知、样本量已知 —— 先求抽样比，再乘小学教师人数。 【关键】抽样比为 ，故小学教师抽 人，选 C。 【易错】分母是三类之和 ，不是某一类；抽样比求出后只乘目标那一类的人数。 【答案】 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为。现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研。已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 【切入点】各区人口比已知、开发区样本量已知 —— 比例换算一步到位。 【关键】设核心区抽 人，由 得 ，选 D。 【易错】 对应的是「核心区 : 开发区 : 远郊区」，开发区的份数 对应 人，别拿 去配 。 【答案】 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________。 【切入点】男女比例已知、男运动员的样本量已知 —— 按同比例求女运动员。 【关键】男女比为 ，故女运动员抽 人。 【易错】比例要化简成 再用；也可以先求抽样比 ，再乘 ，两条路结果一致。 【答案】 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54 频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】给出的是频数表不是频率表 —— 先累计频数，再按百分位数定义定位。 【关键】直径不超过 的有 个，而 恰是整数，故第 百分位数取第 与第 个数据的平均，即 ，选 C。 【易错】 是整数，必须取两项平均；只取第 项会得 ，那是干扰项 B。 【答案】 变式1-4（单选·★★☆☆☆） 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图。政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（ ） A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7 【切入点】「表彰不超过 」就是求 分位数 ——从最小的组开始累计面积。 【关键】第一组 的频率为 ，说明分位数落在这一组内。设标准为 ，则 ，解得 ，选 A。 【易错】纵坐标是「频率/组距」，先乘组距 才是频率；方程左边用「组距乘高度」而不是直接拿 当频率。 【答案】 变式1-5（单选·★★☆☆☆） 某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（ ） A. 87.5 B. 85 C. 82.5 D. 80 【切入点】直方图求中位数 —— 累计面积到 的那一组里解方程。 【关键】各组频率为 、、、；累计到 前是 ，加上这组是 ，故中位数在 内。设中位数为 ，则 ，解得 ，选 C。 【易错】方程里的 是纵坐标，不再乘组距；若写成 就错了 —— 这一段是「每 1 个单位贡献 」。 【答案】 变式1-6（单选·★★☆☆☆） 为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ） A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁 【切入点】图是残缺的，先补齐缺失那一组的频率 —— 所有频率之和为 。 【关键】已知四组纵坐标为 、、、，缺失的 组频率为 ，纵坐标即 。累计： 为 ， 为 ，故中位数在 。设中位数为 ，则 ，解得 ，选 C。 【易错】补频率时别忘乘组距 ；漏掉 那 会让累计起点错位。 【答案】 变式1-7（单选·★★☆☆☆） 某人统计了他月份的手机通话明细清单，发现该月共通话次。按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 该月通话时间不低于分钟的次数为次 B. 估计该月通话时间的众数为分钟 C. 估计该月通话时间的第百分位数为分钟 D. 估计该月通话时间的平均数大于中位数 【切入点】四个选项分别考「次数」「众数」「第 百分位数」「平均数与中位数的大小」——一条一条算。 【关键】A 错：不低于 分钟的频率为 ，即 次不是 次。B 错：最高柱在 ，众数取组中值 分钟。C 错：前两组频率和 ，第三组后为 ，故 ，得 。D 对：平均数为 ；中位数由 得 ，故平均数更大。故选 D。 【易错】众数取「最高组的组中值」而不是「最高组的右端点」；平均数用组中值加权，不是用组端点。 【答案】 变式1-8（单选·★★☆☆☆） 如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】只看形状：单峰、右拖尾 —— 三个特征的大小关系可以直接判断，不必算数。 【关键】众数是最高峰的位置，最靠左；平均数被右侧的长尾拉大，最靠右；中位数按位置取，夹在中间。故 ，选 A。 【易错】拖尾方向决定平均数的偏移方向 —— 右拖尾平均数偏大、左拖尾偏小；若图形对称，三者才重合。 【答案】 二 数字特征：平均数、中位数、众数与百分位数 一、百分位数的三步算法。 ① 从小到大排序；② 算 ；③ 若 不是整数，取第 项；若 是整数，取第 项与第 项的平均。 ★ 杭州-01 的 取第 项；宜昌-01 的 取第 、 两项平均 ——两条规则的分界就在这里。 二、中位数与众数。 中位数：排序后正中间， 为奇数取中间一项、 为偶数取中间两项的平均；众数：出现次数最多的数，可以不唯一。 三、先定参数再算特征。 题给「平均数为 」时，先由平均数解出未知数，再排序算分位数。 ★ 运城-12、江门-02 都是这个两步走；顺序颠倒会算错。 四、含参数的要分类。 未知数的位置会改变中位数的取法，必须分情况讨论（聊城(3)-03 分三段、湛江(2)-04 分两种），每类都要回头验证是否与假设一致。 例2（单选·★☆☆☆☆） 某篮球兴趣小组名学生参加投篮比赛，每人投个，投中的个数分别为：、、、、、、，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【切入点】两组概念一起考 —— 先排序，众数看出现次数、中位数看位置。 【关键】排序得 ： 出现 次最多，众数为 ；共 个数，中位数取第 个，即 。故选 D。 【易错】原数据的顺序是乱的，不排序直接取中间会错；众数是「出现最多的数」不是「最大值」。 【答案】 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【切入点】、，先算 —— 不是整数，往上取整。 【关键】取第 个数，即 ，选 D。 【易错】 要「进位」取第 项，不是四舍五入到第 项；数据已排好序，不必再排。 【答案】 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 一组数据的第60百分位数为（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【切入点】、， —— 正好是整数，取两项平均。 【关键】第 项是 、第 项是 ，故第 百分位数为 ，选 C。 【易错】 时用「第 与第 项的平均」，不是直接取第 项 （那是干扰项 B）。 【答案】 变式2-3（单选·★☆☆☆☆） 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（ ） A. 4，6 B. 5，4 C. 6，4 D. 6，5 【切入点】 个数， 为奇数，中位数取第 个；第 百分位数的 不是整数。 【关键】排序得 ：中位数为第 个 ；第 百分位数取第 个 。故选 C。 【易错】 进位取第 项而不是第 项；中位数与百分位数是两回事，别混成一个数。 【答案】 变式2-4（单选·★☆☆☆☆） 某同学记录了3月1日到8日每天的最高温（单位：℃），分别为，则该组数的第80百分位数为（ ） A. 10 B. 13 C. 13.5 D. 14 【切入点】8 个数据、， —— 不是整数，进位取第 项。 【关键】排序得 ，第 项为 ，选 D。 【易错】 进位到 ，取 不是 ；若错按「四舍五入」处理会落到第 项 （干扰项 B）。 【答案】 变式2-5（填空·★★☆☆☆） 已知一组数据5，a，，7，10的平均数为5，则这组数据的第30百分位数为______。 【切入点】先由平均数求 ，再把数据排序算分位数 —— 两步不能颠倒。 【关键】，即 ，。数据为 ，排序得 ； 不是整数，取第 项，即 。 【易错】 要代回去再排序； 进位取第 项，不是取第 项。 【答案】 变式2-6（单选·★☆☆☆☆） 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 【切入点】平均数给的是等量关系 —— 先求 ，再看 是整数。 【关键】，故 。排序得 ， 为整数，第 百分位数为 ，选 B。 【易错】 要取第 、 项的平均；直接取第 项会得 （干扰项 C）。 【答案】 变式2-7（单选·★☆☆☆☆） 已知数据，9，7，9的中位数和平均数相等，那么的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 5或9 D. 7或11 【切入点】 的位置决定中位数取哪两项 —— 必须分情况，不能先假定 最小。 【关键】平均数为 。分三种位置： 时中位数为 ，令 得 ，符合。 时中位数为 ，令其等于 得 ，符合。 时中位数为 ，令 得 ，符合。故 或 ，选 D。 【易错】只讨论一种位置会漏解；每解出一个 都要回头看它是否落在所设的区间里。 【答案】 变式2-8（单选·★★☆☆☆） 已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【切入点】四个正整数、平均数与中位数都是 —— 用「和」与「中间两项和」两式联立。 【关键】设 ，则 、，相减得 。若 ，则四个数全为 ，与「不全相等」矛盾；故只能 、，极差为 ，选 C。 【易错】 有两组正整数解 与 ，必须用「不全相等」把 排除 —— 这一步最容易漏。 【答案】 三 方差、标准差与数字特征的变换 一、方差的两种算法。 定义式 ；简化式 （先算平方的平均，再减平均的平方）。 二、线性变换。 每个数据都乘 再加 ：平均数变为 ，方差变为 ，标准差变为 。 ★ 常数项 只平移位置，不影响离散程度。 三、加一个数与删一个数。 把 追加进数据：平均数不变，方差变为原来的 ；删掉一个等于平均数的数据：平均数不变，离差平方和不变而分母变小，方差变大。 ★ 德州-05（追加）、青岛(2)-03（删去）正好是这一对。 四、两层合并。 平均数按容量加权：；方差用「组内方差 + 组间偏差」：。 ★ 广元-05 直接套这条；成都-04、萍乡-02 只合平均数，加权即可。 例3（单选·★★☆☆☆） 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】新数据是把原平均数再追加一个 —— 平均数不变，方差看「离差平方和是否变、分母是否变」。 【关键】，故平均数相同，A、B 都错。追加的那一项离差为 ，故括号里只剩原来五项、合计 ；再除以新的个数 ，得 。因数据不全相等，，故 ，选 C。 【易错】追加的那一项离差为 ，分子不变；分母由 变 ，所以方差必然变小，不必算具体值。 【答案】 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（ ） A. 第一组数据的平均数为4 B. 第二组数据的方差为3 C. 将两组数据合并后数据的平均数是9 D. 将两组数据合并后数据的方差是30 【切入点】第二组是第一组做线性变换 得来的 ——先用「平均数 」反求 ，再逐项判断。 【关键】设第一组平均数为 、方差为 ，则第二组平均数为 ，故 ，A 对。第二组方差为 ，B 错。两组容量相同，合并后平均数就是两者平均：，C 对。合并后的方差：前一组贡献 ，后一组贡献 ，相加得 ，D 对。故选 ACD。 【易错】B 的方差是 ，写成 就会误判为对；合并方差要加「组均值与总均值之差的平方」，只把两个方差平均会得 。 【答案】ACD 变式3-2（单选·★☆☆☆☆） 若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（ ） A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 【切入点】原数据 个、平均数 、方差 ；去掉的恰好是那个「」—— 也就是去掉了一个等于平均数的数。 【关键】，故 ，剩余 个数的平均数为 ，平均数不变。原方差 ，即离差平方和为 ；去掉后 ，方差变大，选 D。 【易错】离差平方和不变、分母从 变 ，方差必变大；平均数则不变，因为去掉的正是均值。 【答案】 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（ ）（参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则。） A. 45.8 B. 140.8 C. 176 D. 183.2 【切入点】两层容量、均值、方差全给了 —— 先算合并后的平均数，再套参考公式。 【关键】。前一层贡献 ，后一层贡献 。两者相加得 ，选 B。 【易错】括号里必须加「组均值与总均值之差的平方」，只代 、 会算成 ；权重是容量比 ，不是 。 【答案】 变式3-4（单选·★★☆☆☆） 已知4个互不相等的正整数的平均数为3，极差为4，则这四个数的方差为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【切入点】四个互不相同的正整数、平均 、极差 —— 先把四个数定出来再算方差。 【关键】设 ，则 、，相减得 ，且 。取 得 、，由 只能 、。故方差为 ，选 A。 【易错】 取 会得 、，而 无整数解，故 是唯一可能；候选组要验证唯一性。 【答案】 变式3-5（单选·★★☆☆☆） 某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分层抽样按比例分配 —— 先求各层样本量，再按样本量加权平均。 【关键】，样本 人中男生 、女生 ，平均身高为 ，选 C。 【易错】权重是 不是 ；直接取 会落到干扰项 B。 【答案】 变式3-6（单选·★★☆☆☆） 某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛。现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则 = （ ） A. 74 B. 76 C. 78 D. 80 【切入点】分层抽样的人数比已知，总平均与两层平均的关系给出方程 ——把人数比直接代进去。 【关键】，故 ，解得 ，选 D。 【易错】 是人数比，用 代入即可，不必求出 、 的具体值；左边是加权平均，不是简单平均。 【答案】 变式3-7（单选·★★☆☆☆） 在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数占调查人数的百分比 从表中可以得出正确的结论为（ ） A. 估计观看比赛场数的众数为4 B. 估计观看比赛场数的极差为 C. 估计观看比赛场数的上四分位数为2 D. 估计观看比赛场数的平均数为 【切入点】表格给的是百分比 —— 先由「和为 」补出 ，再逐项判断。 【关键】。A 错：占比最大的是 ，对应观看 场，众数为 。B 错：极差是 场，不是 。C 错：累计到 场为 ，到 场为 ，故上四分位数是 不是 。D 对：加权平均为 。故选 D。 【易错】极差是「最大值减最小值」的 场，不是两个百分比的差；上四分位数就是 分位数，不是 。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 统计图表与数字特征 概率与统计 · 专题篇 一 抽样方法与频率分布直方图 一、分层抽样按比例分配。 各层的抽样比相同：。已知某一层的样本量，就能反求抽样比，再乘别层的总量。 ★ 重庆-03 先求抽样比 ；青岛淄博-03、太原-12 直接用比例换算更快。 二、直方图的三句话。 频率 = 面积 = 纵坐标 组距；各组频率之和为 ；纵轴是「频率/组距」，读图时先乘组距才是频率。 ★ 威海-04 的纵坐标是 ，落到 上的频率是 。 三、直方图求中位数与分位数。 把各矩形面积从头累加，找到累计频率跨过目标值（中位数是 ）的那一组，再设未知数解方程：已累计的频率 加上「 减去组左端」乘以该组的「频率/组距」，等于目标值（中位数时目标值为 ）。 四、三特征的大小关系。 单峰右拖尾时，众数最小、平均数最大、中位数居中；左拖尾则三者顺序颠倒。 ★ 平均数被极端值拉向拖尾那一边，中位数只按位置取，所以总在两者之间。和平区(2)-05 就是这一条。 例1（单选·★☆☆☆☆） 某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（ ） A. 6人 B. 16人 C. 22人 D. 28人 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为。现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研。已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________。 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54 频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（ ） A. B. C. D. 变式1-4（单选·★★☆☆☆） 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图。政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（ ） A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7 变式1-5（单选·★★☆☆☆） 某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（ ） A. 87.5 B. 85 C. 82.5 D. 80 变式1-6（单选·★★☆☆☆） 为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ） A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁 变式1-7（单选·★★☆☆☆） 某人统计了他月份的手机通话明细清单，发现该月共通话次。按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 该月通话时间不低于分钟的次数为次 B. 估计该月通话时间的众数为分钟 C. 估计该月通话时间的第百分位数为分钟 D. 估计该月通话时间的平均数大于中位数 变式1-8（单选·★★☆☆☆） 如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（ ） A. B. C. D. 二 数字特征：平均数、中位数、众数与百分位数 一、百分位数的三步算法。 ① 从小到大排序；② 算 ；③ 若 不是整数，取第 项；若 是整数，取第 项与第 项的平均。 ★ 杭州-01 的 取第 项；宜昌-01 的 取第 、 两项平均 ——两条规则的分界就在这里。 二、中位数与众数。 中位数：排序后正中间， 为奇数取中间一项、 为偶数取中间两项的平均；众数：出现次数最多的数，可以不唯一。 三、先定参数再算特征。 题给「平均数为 」时，先由平均数解出未知数，再排序算分位数。 ★ 运城-12、江门-02 都是这个两步走；顺序颠倒会算错。 四、含参数的要分类。 未知数的位置会改变中位数的取法，必须分情况讨论（聊城(3)-03 分三段、湛江(2)-04 分两种），每类都要回头验证是否与假设一致。 例2（单选·★☆☆☆☆） 某篮球兴趣小组名学生参加投篮比赛，每人投个，投中的个数分别为：、、、、、、，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 一组数据的第60百分位数为（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 变式2-3（单选·★☆☆☆☆） 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（ ） A. 4，6 B. 5，4 C. 6，4 D. 6，5 变式2-4（单选·★☆☆☆☆） 某同学记录了3月1日到8日每天的最高温（单位：℃），分别为，则该组数的第80百分位数为（ ） A. 10 B. 13 C. 13.5 D. 14 变式2-5（填空·★★☆☆☆） 已知一组数据5，a，，7，10的平均数为5，则这组数据的第30百分位数为______。 变式2-6（单选·★☆☆☆☆） 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 变式2-7（单选·★☆☆☆☆） 已知数据，9，7，9的中位数和平均数相等，那么的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 5或9 D. 7或11 变式2-8（单选·★★☆☆☆） 已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三 方差、标准差与数字特征的变换 一、方差的两种算法。 定义式 ；简化式 （先算平方的平均，再减平均的平方）。 二、线性变换。 每个数据都乘 再加 ：平均数变为 ，方差变为 ，标准差变为 。 ★ 常数项 只平移位置，不影响离散程度。 三、加一个数与删一个数。 把 追加进数据：平均数不变，方差变为原来的 ；删掉一个等于平均数的数据：平均数不变，离差平方和不变而分母变小，方差变大。 ★ 德州-05（追加）、青岛(2)-03（删去）正好是这一对。 四、两层合并。 平均数按容量加权：；方差用「组内方差 + 组间偏差」：。 ★ 广元-05 直接套这条；成都-04、萍乡-02 只合平均数，加权即可。 例3（单选·★★☆☆☆） 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（ ） A. 第一组数据的平均数为4 B. 第二组数据的方差为3 C. 将两组数据合并后数据的平均数是9 D. 将两组数据合并后数据的方差是30 变式3-2（单选·★☆☆☆☆） 若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（ ） A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（ ）（参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则。） A. 45.8 B. 140.8 C. 176 D. 183.2 变式3-4（单选·★★☆☆☆） 已知4个互不相等的正整数的平均数为3，极差为4，则这四个数的方差为（ ） A. B. C. 3 D. 2 变式3-5（单选·★★☆☆☆） 某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（ ） A. B. C. D. 变式3-6（单选·★★☆☆☆） 某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛。现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则 = （ ） A. 74 B. 76 C. 78 D. 80 变式3-7（单选·★★☆☆☆） 在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数占调查人数的百分比 从表中可以得出正确的结论为（ ） A. 估计观看比赛场数的众数为4 B. 估计观看比赛场数的极差为 C. 估计观看比赛场数的上四分位数为2 D. 估计观看比赛场数的平均数为 学科网（北京）股份有限公司 $