概率与统计专题 第1讲 古典概型与独立事件 讲义-2027届高三数学一轮复习

古典概型与独立事件 概率与统计 · 专题篇 一 计数基础与分配问题 一、古典概型的两步。 先数所有等可能的基本事件数 ，再数符合条件的事件数 ，最后 。 ★ 两步都要「数得准」—— 概率题的失分大多不是算错，而是 或 数错。写解析时必须把「分母怎么数、分子怎么数」写出来。 二、三类常见模型。 分配型（球入盒、人分组）：先分组、再排列，注意组是否有编号；抽取型（从 个取 个）：用组合数 ；排列型（排成一列）：用排列数 。 ★ 分组与分配的区别：把人分成三组（组无编号）要除以相同组数的阶乘；把人分到三个班（班有编号）再乘 。 三、正难则反。 「至少」「至多」型先求对立事件：。 ★ 本节汕尾-07（至少一个空笼）、上饶余干-06（至少一个编号相同）都走对立事件。 四、特殊元素优先。 题里点名「甲、乙」这种特殊对象时，先把它们的位置定下来，再排其余的。 ★ 本节潍坊(3)-07、临汾-07 都是「甲、乙同组／甲不去 A」的特殊限制。 五、编号对应问题（错排）。 「 个球放入 个盒，求至少一个对应」用 ，其中 是错排数。 ★ 高中阶段只考 ，可枚举：、、、。 六、本节十道题的三类结构。 第一类「分组再分配」：鞍山-13、潍坊(3)-07、宜春-06 三道，关键是「组是否有编号」——无编号要除以 。 第二类「正难则反」：汕尾-07、上饶余干-06 两道，先求对立事件再相减。 第三类「特殊限制」：佛山-06（强队不同组）、临汾-07（甲不去 A），都要先把特殊对象的位置定下来。 ★ 三类的共同准备动作是「先把 数出来、再数 」——两步都要写清楚，不能只给最后的分式。 例1（填空·★★★☆☆） 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 【切入点】8 项分三类（游泳 1、球类 3、田径 4），抽 4 项，要求每一类都被抽到 —— 按「哪一类抽几项」分类。 【关键】总数为 。 符合条件的情形是三类各有 1、1、2 项（游泳只有 1 项，必抽）：游泳 1 加球类 1 加田径 2，或游泳 1 加球类 2 加田径 1。 故符合条件的事件数为 。 。 【易错】第一，游泳只有 1 项，故它必被抽到 —— 这是本题的突破口。第二，按「1、1、2」分类时两种情形都要算：球类取 1 还是取 2。第三， 要算对。 【答案】 变式1-1（填空·★★★☆☆） 将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________。 【切入点】五人分三组，每组至少 1 人、至多 2 人 ——故人数分配只能是 、、。 【关键】先分组： 种（两个 2 人组无编号，故除以 ）；再分到三个不同小组：乘 ，共 种。 甲、乙同组：把甲乙捆成一组，再从其余三人中取 1 人配成另一组，共 种分组，乘 得 种。 。 【易错】第一，分组时两个 2 人组无编号，故要除以 ，否则会重复计数。第二，分母 与分子 都要乘 ，两边一致才可比。第三，若分母只算分组不乘 ，分子也要相应不算 —— 两边一致即可。 【答案】 变式1-2（单选·★★★☆☆） 现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】5 人到 3 个社区，每社区至少 1 人 ——人数分配为 或 。 【关键】总数为 种。 甲、乙同社区：把甲乙捆成一个单位，与其余 3 人共 4 个单位分到 3 个社区（至少 1 个），得 种。 ，选 C。 【易错】第一， 与 两种情况都要算，漏一种就少一半。第二，除以 是因为两个 1 人组或两个 2 人组无编号。第三，甲乙捆绑后是 4 个单位，不是 5 个。 【答案】 变式1-3（填空·★★★☆☆） 将4个不同小球放入4个不同盒子中，则恰有一个空盒的概率为__________。 【切入点】4 个不同小球放入 4 个不同盒子，恰有一个空盒 ——说明 4 个球占了 3 个盒子，即「2,1,1」分配。 【关键】总数为 （每个球有 4 种选择）。 符合条件：先把 4 个球分成 三组，有 种；再把三组放进 4 个盒子中的 3 个（有顺序），有 种；故 。 。 【易错】第一，总数是 （每个球独立选盒），不是 。第二，分成 只需 （两个 1 人组无编号，不用再除）。第三，选 3 个盒子是 （有顺序，因为三组人数不同）。 【答案】 变式1-4（单选·★★★☆☆） 学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】6 队平均分成甲、乙两组（组有编号），求最强的两队分在不同组 —— 先定两队的位置。 【关键】总数为 。 最强两队不同组：设强队 在甲组，则甲组还需从其余 4 队中选 2 队（），强队 自动在乙组。 但 、 谁在甲组有两种情形，故 ，，选 C。 【易错】第一，分成甲乙两组是有编号的分组，故 即可。第二， 在甲组与 在甲组是两种不同情形，不能只算一种。第三， 是甲组剩余的 2 队。 【答案】 变式1-5（单选·★★★☆☆） 四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】四只鸽子飞回三个笼子，求至少一个空笼 ——正难则反：先求没有空笼。 【关键】总数为 。 没有空笼：4 只鸽子占满 3 个笼，必有一个笼 2 只、另两个各 1 只；先选哪个笼 2 只（），再选哪两只同笼（），再把剩下两只分到两个笼（），故 种。 至少一个空笼的情形有 种，，选 B。 【易错】第一，总数是 （每只鸽子 3 种选择）。第二，没有空笼的计数分三步：定 2 只的笼、定同笼的两只、分剩下的两只。第三， 约分得 。 【答案】 变式1-6（单选·★★★☆☆） 将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】5 个球放入 3 个盒子，每盒至少 1 个；求编号 1、2、3 的球所放盒子各不相同 —— 先定 1、2、3 的位置。 【关键】总数：按 分组有 种，乘 得 ；按 分组有 种，乘 得 ；共 种。 符合条件：1、2、3 号球先放入三个盒子（ 种），4、5 号球各有 3 种放法（ 种），共 种。 ，选 C。 【易错】第一，1、2、3 号球已占满三个盒子，故 4、5 号球可以任意放（不会造成空盒）。第二，分母的 要按每盒非空算，不是 。第三， 是三个球分到三个盒的排列数。 【答案】 变式1-7（单选·★★★☆☆） 将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【切入点】4 个球放入 4 个同号凹槽，求至少 1 个编号相同 ——正难则反：先求全部不同（错排）。 【关键】总数为 。 全部不同（错排）： 种。可用枚举法核对：第一个位置放 2、3、4 三类，每类各对应 3 种，共 9 种。 至少一个相同的情形有 种，，选 C。 【易错】第一，总数是 （每个球占一个槽，是排列）。第二，错排数 要记住（或现场枚举）。第三， 约分得 。 【答案】 变式1-8（单选·★★★☆☆） 将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】5 名实习生到 A、B、C 三班，每班至少 1 人；已知甲不去 A 班，求 B 班恰有 3 人的概率。 【关键】不考虑限制时总数为 （同宜春-06 的分组法）；甲去 A、B、C 三班的概率相等，故甲不去 A 的分法数为 。 再数甲不去 A 且 B 班恰 3 人：情形一（甲去 B）有 种；情形二（甲去 C）有 种，共 种。 ，选 D。 【易错】第一，甲不去 A 是前提条件，此时样本空间缩小，分母不是全部 而是 。第二，甲去 B 与甲去 C 两种情形都要算。第三，情形一里 是其余两个班各 1 人的排列。 【答案】 变式1-9（填空·★★★☆☆） 已知数列是公比不为1的等比数列，从中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为_______________。 【切入点】等比数列（公比不为 1）的前 20 项中任取 4 项，求这 4 项仍成等比 —— 关键是下标成等差等价于项成等比。 【关键】等比数列中，下标成等差时对应的项成等比，故问题化为「从 1 到 20 中取 4 个数成等差」。 总数为 。 4 个数成等差：设公差 ，首项满足 ；对 逐个计数，合计 组。 。 【易错】第一，4 项成等比等价于下标成等差 ——这是等比数列的性质，不是定义。第二，公差 最大取 6（因 ）。第三， 要算对，约分后才得 。 【答案】 二 古典概型 一、分母的三种数法。 有放回、可重复选： = 每人／每件的选择数的乘积（如 ）；不放回、一次取够：；不放回、逐个取：。 ★ 三种数法决定后续所有计算，先定「有放回还是不放回、是否讲顺序」，再动笔。本节镇江-14 的 与苏锡常镇-14 的「分组摸取」都靠这一步。 二、分子的分类计数。 把符合条件的情形按某个标准分类（如「、 都是奇数」与「都是偶数」），各类分别计数再相加。 ★ 分类要「不重不漏」—— 本节安康-07（ 被 2 整除）就是按 、 的奇偶分类。 三、对立事件。 「至少」「至多」先算反面。本节苏州-14 的「每一项都被抽到」、临汾(2)-05 的「三人同一部」都可先想反面。 ★ 反面好数的前提是「情形简单、能一眼数清」，否则直接正面分类更快。 四、编号对应与错排。 个球放 个盒、求「至少一个对应」用 ，、、、。 ★ 本节上饶余干-06 用的就是 。 五、多步游戏的计数。 「三局两胜」「掷两次比大小」这类，先把「一局／一次」的基本事件与胜负关系列清楚，再按总局数分情况。 ★ 本节巴中-14（三局两胜）、镇江-14（掷两次比大小）都是这个结构。 六、本节十道题的四类数法。 第一类「先选类、再选个」：运城-13（选主枝再选侧枝）、河东(2)-13（分 50 元上下）、河西-13（分颜色）。 第二类「按奇偶分类」：安康-07，、 同奇偶。 第三类「分步相乘」：临汾(2)-05 的 、苏锡常镇-14 的 。 第四类「多局枚举」：巴中-14 的 9 种段位组合、镇江-14 的平局枚举。 ★ 四类的共同要求是「分母先定、分子再分类」——分母数错（有放回当成不放回）是本节最主要的失分点。 例2（填空·★★★☆☆） 如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______。 【切入点】6 个主枝、每枝 9 个侧枝，共 54 个侧枝；任取 2 个，求「同一主枝」—— 分两步：先选哪一支，再在该支内取 2 个。 【关键】总数为 。 符合条件：先选主枝（ 种），再在该枝的 9 个侧枝中取 2 个（），故 。 。 【易错】第一，总侧枝数是 ，不是 6 或 9。第二，分子要「先选主枝再选侧枝」，写成 更清楚。第三，，约分后得 。 【答案】 变式2-1（单选·★★★☆☆） 从1至13的整数中任取3个不同的数，则能被2整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】从 1 至 13 中取 3 个不同的数 ，求 能被 2 整除的概率 ——先化简被 2 整除的条件。 【关键】，故只需 为偶数，即 、 同奇偶。 1 至 13 中有 7 个奇数、6 个偶数。若 、 都是奇数： 种取法， 从其余 11 个数中取，；若 、 都是偶数：。 总数 。分子为 ，故 ，选 B。 【易错】第一， 与 同奇偶 —— 因为 与 都是偶数。第二，、 是不同的数，故用 而不是 。第三， 要与 、 都不同，故从剩余 11 个数中取。 【答案】 变式2-2（单选·★★★☆☆） 在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）。现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（ ） A. B. C. D. 【切入点】彩带的影子有三个交叉处，每个交叉处有「上／下」两种位置关系 ——总数是 。 【关键】三个交叉处各 2 种，故 。 符合条件（能打成结）：固定中间交叉处，其余两个有 2 种；枚举后发现「能打结」的只有 2 种（中间与两端的关系要交错）。 ，选 B。 【易错】第一，交叉处是 3 个（看图数），故总数 。第二，「能打结」的判据是「三个交叉处的关系交错」，不是随意一种。第三，这类题靠枚举，画图数比推理快。 【答案】 变式2-3（填空·★★★☆☆） 比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜．比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为______． 【切入点】三局两胜、双方都不知道对方顺序 ——把双方的出场顺序都当作「 的排列」。 【关键】第一局：高一的 与高二的 各 3 种，共 个基本事件；高一获胜需「段位高于对方」（段位相同则高二胜）。 胜 、 胜 、 胜 ，共 3 个。 。 【易错】第一，「段位相同则高二获胜」这一条决定 对 时高一不胜。第二，第一局的基本事件是「两人的段位组合」，共 9 个。第三， 谁都胜不了（段位最低）。 【答案】 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三人各从 5 部电影中选一部，求「三人看同一部」——典型的分步计数。 【关键】总数为 （每人 5 种，独立）。 符合条件：三人选同一部，只需确定「是哪一部」，共 5 种。 ，选 C。 【易错】第一，总数是 （有放回、可重复），不是 。第二，「三人同一部」只需选 1 部，故分子是 5 不是 。第三， 约分得 。 【答案】 变式2-5（填空·★★★☆☆） 箱中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元、另一个不超过50元的概率为________． 【切入点】100 个红包（1 至 100 元），随机取 2 个，求「一个超过 50、一个不超过 50」——按 50 元分界分类。 【关键】总数为 。 符合条件：从「超过 50」的 50 个中取 1 个、从「不超过 50」的 50 个中取 1 个，故 。 。 【易错】第一，「超过 50」与「不超过 50」各 50 个（1～50 与 51～100）。第二，取 2 个是「一次取够」，用 而不用 。第三， 约分得 。 【答案】 变式2-6（填空·★★★★☆） “A组票箱”内装有3张“夜游票”和2张“日游票”。游客从获得的票箱中随机抽取2张票，若抽到的2张票同色则获得“A组票箱”，求某游客在第一步获得“A组票箱”的概率． 【切入点】5 个球（3 红 2 白）中取 2 个，求「两球同色」（即获得 A 组票箱）——按颜色分类。 【关键】总数为 。 符合条件：两红（）或两白（），共 4 种。 。 【易错】第一，「同色」包含「两红」与「两白」两种，不能只算一种。第二，，不是 。第三，本题的第二问要用全概率公式，属第 2 讲的内容。 【答案】 变式2-7（填空·★★★☆☆） 甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为________。 【切入点】甲乙各掷骰子两次，以两次点数之和为得分，比大小 ——总数是 。 【关键】先算「平局」的种数：得 2 分只有 一种，两人都如此共 种；得 3 分有 、 两种，两人共 种；依次算到 12 分，平局总数求和。 平局共 种，故「非平局」有 种；由对称性，甲胜占一半，即 种。 。 【易错】第一，总数是 （四颗骰子独立）。第二，「得 分的种数」要逐个算（），不是均匀分布。第三，非平局时甲乙胜率相同（对称性），故除以 2。 【答案】 变式2-8（填空·★★★☆☆） 在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球。某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），假设每次摸到球的各种不同情况等可能，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色。则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为______。 【切入点】袋中 4 种颜色，每次摸取（至少 1 个）记下颜色后放回，摸两次 —— 每次「摸几个」有多种情况。 【关键】每次摸取的情况数：；两次共 种。 符合条件：两次凑齐 4 种颜色且恰有一种重复 ——即一次摸 1 个、另一次摸 3 个（），且 1 个的颜色在 3 个之中；或一次摸 2 个、另一次摸 2 个且两组「恰有 1 个相同」。 分类计数后合计 种，。 【易错】第一，「每次至少摸 1 个」说明每次有 15 种情况，不是固定摸几个。第二，「凑齐 4 种且恰有一种重复」有两种搭配： 与 （含 1 个相同）。第三，分母 。 【答案】 变式2-9（单选·★★★☆☆） 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】传球问题：甲开始，四次传球后球回到甲 ——用递推（属「独立事件与概率乘法」的思路，但落点是状态转移）。 【关键】设 为第 次传球后球在甲手中的概率；甲只能从乙或丙接球，故 。 由 得 ，构造等比 解出通项。 代入 ，得对应的概率值与选项 C 相符，选 C。 【易错】第一，每次传球只有 2 种选择（不能传给自己），故系数是 。第二， 是「球不在甲手中」。第三，构造等比时减去的 是极限值（三人对称）。 【答案】 三 独立事件与条件概率的综合 一、独立事件的乘法公式。 、 独立 。 ★ 独立是「定义式」判定的，不是「感觉互不影响」——题里明说「相互独立」才能用乘法公式。 二、「至少一次」的对立。 次独立重复中「至少一次发生」：。 ★ 本节黄骅-05 就是解不等式 ，取对数求 。 三、独立与互斥的区别（本节核心）。 互斥：不能同时发生，；独立：一个发生不影响另一个，。 ★ 两者不可能同时成立（除 或 为 ）——这是本节最容易混的地方。 四、独立与条件概率的配合。 由 与 联立，可解出未知概率。 ★ 本节保定(2)-06、常德-10 都是「独立 ＋ 条件概率」联立求解。 五、和事件的概率。 。 ★ 独立时代入 ；互斥时代入 。 六、本节六道题的两类结构。 第一类「纯独立」：呼和浩特-12（乘积最大值）、梅州-06（三局两胜分奖金）、黄骅-05（至少一次解不等式）三道，都不用条件概率，直接乘。 第二类「独立 + 条件概率」：保定(2)-06、常德-10、保定-11 三道，核心是「独立时 」这一条 ——把条件概率直接换成无条件概率，再与和事件公式配合。 ★ 两类的分界很清楚：题干给了 就属第二类。第二类是本节难点，因为它同时用到独立、条件、和事件三个公式，任何一步用错都得不到答案。 本节还有一条底线：独立与互斥不能混 —— 独立时 、互斥时 ，两者除极端情形外不能同时成立。 做题时先看题干有没有「相互独立」四个字：有就直接乘，没有就用条件概率公式。 例3（填空·★★☆☆☆） 事件A与事件B相互独立。，则的最大值为______。 【切入点】、 独立，、，求 的最大值 —— 由独立用乘法公式化成 的二次函数。 【关键】。 即 ，这是开口向下的二次函数，对称轴 。 由 ，最大值在 处取到，为 。 【易错】第一，独立才能用 。第二， 与 的和为 1，故 的取值范围是 。第三，最大值 在 时取到，此时 。 【答案】 变式3-1（单选·★★★☆☆） 甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（ ）元. A. 3600 B. 3800 C. 4000 D. 4200 【切入点】三局两胜、奖金 5400 元，按「正常进行时各自获胜的概率之比」分配 ——先算甲、乙各自的获胜概率。 【关键】甲获胜的两条路：两局结束（连赢 2 局）；三局结束（前两局各赢一局、第三局甲赢）。 故 ，。 甲分得 元，选 C。 【易错】第一，「三局结束」时前两局各赢一局有两种顺序，故要乘 2。第二， 用对立事件算最快（）。第三，分奖金按「概率之比」，不是按「局数之比」。 【答案】 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次。如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【切入点】 门大炮各射一次、命中率 ，求「至少击中一次超过 」的最少门数 ——用对立事件。 【关键】每门不中的概率 ； 门都不中（独立）的概率 。 「至少一次」的概率为 ，令其大于 ，即 。 取对数：，由 、，解出 一类，故最少 门，选 A。 【易错】第一，「至少一次」的对立是「一次都不中」，故用 而不是 。第二， 取对数时不等号方向（底数小于 1 要变号）。第三，求的是「最少门数」，故取满足条件的最小整数。 【答案】 变式3-3（单选·★★★☆☆） 若两个随机事件相互独立，满足，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】、 独立，给 、，求 。 【关键】由独立性得 ；同理 ，故 。 。 ，选 C。 【易错】第一，独立时 —— 这是本题的突破口。第二， 故 。第三，和事件公式要减去 ，不能直接相加。 【答案】 变式3-4（多选·★★★☆☆） 设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】、 独立，、 —— 由条件的值反推 ，再逐项判断。 【关键】独立时 ，故由 直接得 ；再算 与 逐项核对。 由独立得 ，故 ，第三项正确。 第一、二项涉及 、，由独立性它们分别等于 、，与选项所给值不符，错误。 第四项涉及 ，即 ，正确。故选 CD。 【易错】第一，独立时「条件概率等于无条件概率」对 、、、 都成立。第二， 与 也独立 —— 这是独立性的性质，要用。第三，，不是 。 【答案】CD 变式3-5（多选·★★★★☆） 某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品。甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2。甲、乙设备的检测结果相互独立。已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ） A. 若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B. 若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C. 甲设备检测该芯片为良品的概率为 D. 甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 【切入点】两台设备检测芯片，各给「良品判良」「次品判良」的概率，且两设备结果独立 —— 逐项判断。 【关键】核心是「以芯片实际状态为前提」的条件概率：第一项按「实际良品」分类求「结果相同」，第三项用全概率公式，第四项用条件概率公式。 第一项：芯片为良品时，两设备「结果相同」的概率为，代入数值后与选项一致（为 0），正确。 第二项：芯片为次品时「至少一台判次」的概率为，与选项所给表述不符，错误。 第三项：由全概率公式 ，得 一类，正确。 第四项：由条件概率公式 ，代入第三项的分母，得与选项一致的结果，正确。故选 ACD。 【易错】第一，第一项「结果相同」是「都判良」＋「都判次」两种，要相加。第二，第三项用全概率公式，按「实际良品／次品」分类。第三，第四项是「由结果反推实际」，用条件概率公式，分子是 。 【答案】ACD 学科网（北京）股份有限公司 $ 古典概型与独立事件 概率与统计 · 专题篇 一 计数基础与分配问题 一、古典概型的两步。 先数所有等可能的基本事件数 ，再数符合条件的事件数 ，最后 。 ★ 两步都要「数得准」—— 概率题的失分大多不是算错，而是 或 数错。写解析时必须把「分母怎么数、分子怎么数」写出来。 二、三类常见模型。 分配型（球入盒、人分组）：先分组、再排列，注意组是否有编号；抽取型（从 个取 个）：用组合数 ；排列型（排成一列）：用排列数 。 ★ 分组与分配的区别：把人分成三组（组无编号）要除以相同组数的阶乘；把人分到三个班（班有编号）再乘 。 三、正难则反。 「至少」「至多」型先求对立事件：。 ★ 本节汕尾-07（至少一个空笼）、上饶余干-06（至少一个编号相同）都走对立事件。 四、特殊元素优先。 题里点名「甲、乙」这种特殊对象时，先把它们的位置定下来，再排其余的。 ★ 本节潍坊(3)-07、临汾-07 都是「甲、乙同组／甲不去 A」的特殊限制。 五、编号对应问题（错排）。 「 个球放入 个盒，求至少一个对应」用 ，其中 是错排数。 ★ 高中阶段只考 ，可枚举：、、、。 六、本节十道题的三类结构。 第一类「分组再分配」：鞍山-13、潍坊(3)-07、宜春-06 三道，关键是「组是否有编号」——无编号要除以 。 第二类「正难则反」：汕尾-07、上饶余干-06 两道，先求对立事件再相减。 第三类「特殊限制」：佛山-06（强队不同组）、临汾-07（甲不去 A），都要先把特殊对象的位置定下来。 ★ 三类的共同准备动作是「先把 数出来、再数 」——两步都要写清楚，不能只给最后的分式。 例1（填空·★★★☆☆） 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 变式1-1（填空·★★★☆☆） 将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________。 变式1-2（单选·★★★☆☆） 现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（ ） A. B. C. D. 变式1-3（填空·★★★☆☆） 将4个不同小球放入4个不同盒子中，则恰有一个空盒的概率为__________。 变式1-4（单选·★★★☆☆） 学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（ ） A. B. C. D. 变式1-5（单选·★★★☆☆） 四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（ ） A. B. C. D. 变式1-6（单选·★★★☆☆） 将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 变式1-7（单选·★★★☆☆） 将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 变式1-8（单选·★★★☆☆） 将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（ ） A. B. C. D. 变式1-9（填空·★★★☆☆） 已知数列是公比不为1的等比数列，从中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为_______________。 二 古典概型 一、分母的三种数法。 有放回、可重复选： = 每人／每件的选择数的乘积（如 ）；不放回、一次取够：；不放回、逐个取：。 ★ 三种数法决定后续所有计算，先定「有放回还是不放回、是否讲顺序」，再动笔。本节镇江-14 的 与苏锡常镇-14 的「分组摸取」都靠这一步。 二、分子的分类计数。 把符合条件的情形按某个标准分类（如「、 都是奇数」与「都是偶数」），各类分别计数再相加。 ★ 分类要「不重不漏」—— 本节安康-07（ 被 2 整除）就是按 、 的奇偶分类。 三、对立事件。 「至少」「至多」先算反面。本节苏州-14 的「每一项都被抽到」、临汾(2)-05 的「三人同一部」都可先想反面。 ★ 反面好数的前提是「情形简单、能一眼数清」，否则直接正面分类更快。 四、编号对应与错排。 个球放 个盒、求「至少一个对应」用 ，、、、。 ★ 本节上饶余干-06 用的就是 。 五、多步游戏的计数。 「三局两胜」「掷两次比大小」这类，先把「一局／一次」的基本事件与胜负关系列清楚，再按总局数分情况。 ★ 本节巴中-14（三局两胜）、镇江-14（掷两次比大小）都是这个结构。 六、本节十道题的四类数法。 第一类「先选类、再选个」：运城-13（选主枝再选侧枝）、河东(2)-13（分 50 元上下）、河西-13（分颜色）。 第二类「按奇偶分类」：安康-07，、 同奇偶。 第三类「分步相乘」：临汾(2)-05 的 、苏锡常镇-14 的 。 第四类「多局枚举」：巴中-14 的 9 种段位组合、镇江-14 的平局枚举。 ★ 四类的共同要求是「分母先定、分子再分类」——分母数错（有放回当成不放回）是本节最主要的失分点。 例2（填空·★★★☆☆） 如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______。 变式2-1（单选·★★★☆☆） 从1至13的整数中任取3个不同的数，则能被2整除的概率为（ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★★☆☆） 在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）。现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（ ） A. B. C. D. 变式2-3（填空·★★★☆☆） 比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜．比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为______． 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 变式2-5（填空·★★★☆☆） 箱中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元、另一个不超过50元的概率为________． 变式2-6（填空·★★★★☆） “A组票箱”内装有3张“夜游票”和2张“日游票”。游客从获得的票箱中随机抽取2张票，若抽到的2张票同色则获得“A组票箱”，求某游客在第一步获得“A组票箱”的概率． 变式2-7（填空·★★★☆☆） 甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为________。 变式2-8（填空·★★★☆☆） 在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球。某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），假设每次摸到球的各种不同情况等可能，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色。则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为______。 变式2-9（单选·★★★☆☆） 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 三 独立事件与条件概率的综合 一、独立事件的乘法公式。 、 独立 。 ★ 独立是「定义式」判定的，不是「感觉互不影响」——题里明说「相互独立」才能用乘法公式。 二、「至少一次」的对立。 次独立重复中「至少一次发生」：。 ★ 本节黄骅-05 就是解不等式 ，取对数求 。 三、独立与互斥的区别（本节核心）。 互斥：不能同时发生，；独立：一个发生不影响另一个，。 ★ 两者不可能同时成立（除 或 为 ）——这是本节最容易混的地方。 四、独立与条件概率的配合。 由 与 联立，可解出未知概率。 ★ 本节保定(2)-06、常德-10 都是「独立 ＋ 条件概率」联立求解。 五、和事件的概率。 。 ★ 独立时代入 ；互斥时代入 。 六、本节六道题的两类结构。 第一类「纯独立」：呼和浩特-12（乘积最大值）、梅州-06（三局两胜分奖金）、黄骅-05（至少一次解不等式）三道，都不用条件概率，直接乘。 第二类「独立 + 条件概率」：保定(2)-06、常德-10、保定-11 三道，核心是「独立时 」这一条 ——把条件概率直接换成无条件概率，再与和事件公式配合。 ★ 两类的分界很清楚：题干给了 就属第二类。第二类是本节难点，因为它同时用到独立、条件、和事件三个公式，任何一步用错都得不到答案。 本节还有一条底线：独立与互斥不能混 —— 独立时 、互斥时 ，两者除极端情形外不能同时成立。 做题时先看题干有没有「相互独立」四个字：有就直接乘，没有就用条件概率公式。 例3（填空·★★☆☆☆） 事件A与事件B相互独立。，则的最大值为______。 变式3-1（单选·★★★☆☆） 甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（ ）元. A. 3600 B. 3800 C. 4000 D. 4200 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次。如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 变式3-3（单选·★★★☆☆） 若两个随机事件相互独立，满足，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-4（多选·★★★☆☆） 设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 变式3-5（多选·★★★★☆） 某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品。甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2。甲、乙设备的检测结果相互独立。已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ） A. 若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B. 若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C. 甲设备检测该芯片为良品的概率为 D. 甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 学科网（北京）股份有限公司 $