第49讲 随机抽样与统计图表 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第49讲 随机抽样与统计图表 第49讲 随机抽样与统计图表 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解总体、样本、样本量的含义，掌握简单随机抽样"逐个不放回、机会均等"的特征； 2．理解分层随机抽样及其适用情形，熟练运用抽样比 进行按比例分配； 3．掌握频率分布直方图的绘制与纵轴 的含义，会由直方图求频率与频数； 4．能综合抽样方法与统计图表解决实际问题，会对图表信息作出准确判断。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 抽样方法的辨析与选择 选择题 第3~5题 中 有差异用分层，无差异用简单随机 分层随机抽样的计算 选择题、填空题 第5~7题、第12~13题 中 抓抽样比 ，用份数法快速分配 频率分布直方图的读取 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中 纵轴是 ，不是频率 由直方图求频率与频数 选择题、解答题 第6~7题、第15~18题 中偏难 先加频率再乘样本量，注意取整 统计图表的信息判断 选择题、解答题 第7~10题、第18题 中偏难 逐项核对数据，用比例与合计检验 命题规律分析 随机抽样与统计图表是统计板块的起点，也是新高考中"送分题"与"判断陷阱题"并存的考点，多以选择题第 4~7 题、填空第 12~13 题出现，并作为解答题第 15~18 题的一问。培优层不能只满足于套公式：抽样的关键是先看总体各部分有无明显差异，有差异用分层、无差异用简单随机；分层抽样牢记"抽样比就是样本量与总体量之比"，已知某层可反求总体；读直方图时牢记纵轴是频率与组距的比值，求频率要乘组距，求频数再乘样本量；由图表作判断要逐项核对数据，用比例与合计检验，警惕"直观错觉"。本讲在夯实基础的同时，重点突破抽样比的反求与直方图的综合计算，目标是把这档题练成稳拿分。 考点1 简单随机抽样 知识点1 总体、样本与简单随机抽样 总体是被考察对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本量是样本中个体的数目。 简单随机抽样：逐个不放回地抽取，且每个个体被抽到的概率都等于 （ 为总体量， 为样本量）。 【易错清单】 1．"机会均等"指每个个体被抽到的可能性相等，不是被抽到的次数相同； 2．有放回抽样不是简单随机抽样，因为同一个体可能被重复抽到。 知识点2 抽签法与随机数法 抽签法：先给个体编号，把号码写在形状、大小相同的号签上，搅拌均匀后逐个抽取 次。 随机数法：先给个体编号，用随机数工具按位读数，遇到重复或超出编号范围的号码就跳过。 【易错清单】 1．两种方法都必须先给个体编号，否则无法保证机会均等； 2．用随机数法读到重复或超出范围的号码时应舍弃重读，编号位数要与随机数数位一致。 考点2 分层随机抽样 知识点3 分层随机抽样及其适用情形 当总体由差异明显的几部分组成时，先按变量分层，再在每层内独立地进行简单随机抽样。 分层要求"层内差异小、层间差异大"，且每个个体恰好属于其中一层，不重不漏。 【易错清单】 1．分层不是"每层抽同样多"，而是按比例分配； 2．分层后要把各层的样本合起来作为一个总样本，不能只报告某一层的情况。 知识点4 按比例分配的计算 抽样比 ；按比例分配时各层抽样比相同，即 。 各层抽取的个体数之比等于各层个体数之比：。 【易错清单】 1．抽样比是"样本量除以总体量"，分子分母不要写反； 2．用某层反求总体时必须使用同一个抽样比，且注意结果按题意取整。 考点3 频率分布直方图 知识点5 频率分布直方图的绘制与纵轴含义 画直方图的步骤：求极差、定组距与组数、分组、列频率分布表、画图。 纵轴表示 ，小长方形的面积等于该组频率，各小长方形面积之和等于 。 【易错清单】 1．把纵轴误当成"频率"或"频数"，会导致频率、频数全部算错； 2．"各小长方形面积之和等于 "不是"高之和等于 "。 知识点6 由频率分布直方图求频率与频数 某组频率 该组纵坐标 组距；某组频数 该组频率 样本量。 求某范围的频率时，把范围内各组的频率相加，再乘样本量即得相应频数。 【易错清单】 1．频率是无单位的比值，频数是具体的个数，二者不能混淆； 2．各组组距可能不同，求频率要用各自对应的组距。 【题型1 抽样方法的辨析与选择】 【例1】某校有高一学生 人、高二学生 人、高三学生 人，为了解该校学生的睡眠时长，拟抽取一个容量为 的样本。下列抽样方法中最合理的是（　　） A．把三个年级的学生合并后随机抽取 人　B．按年级分层，各年级按人数比例抽取相应人数　C．只从高一年级随机抽取 人　D．随意抽取 人 【答案】B 【解题思路】先看总体各部分有无"明显差异"：不同年级学生的睡眠时长可能存在差异，宜先分层再按比例抽取。 【解答过程】该校学生按年级分为三部分，各部分差异明显。为使样本更充分地反映总体，应按年级分层，再在各层内按比例抽取，即采用分层随机抽样。故选B。 【多解·巧解】选择抽样方法的判断只需一步：总体各部分有明显差异就用分层随机抽样，差异不明显就用简单随机抽样；"随意抽取"不属于科学的抽样方法。 【易错提醒】选项A把不同年级合并后随机抽取，忽略了层间差异；选项D"随意抽取"带有主观性，都不科学。别因为题目没提"分层"就漏掉判断依据。 【变式1-1】下列调查中最适合用分层随机抽样的是（　　） A．从 件产品中抽取 件检验质量　B．了解某市居民收入时，按城区、郊区、乡镇分为三类分别抽样　C．调查某班全体同学的视力情况　D．从 名学生中随机抽取 名参加座谈 【答案】B 【解题思路】分层随机抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情形。 【解答过程】A、C、D 中总体个体差异不明显，适合简单随机抽样；B 中城区、郊区、乡镇居民的收入差异明显，应按这三类分层后再抽样。故选B。 【变式1-2】关于简单随机抽样，下列说法正确的是（　　） A．要求从总体中逐个不放回地抽取　B．每个个体被抽到的概率与其编号的先后有关　C．有放回地抽取也属于简单随机抽样　D．要求样本量与总体量相等 【答案】A 【解题思路】对照简单随机抽样"逐个、不放回、机会均等"的特征逐项判断。 【解答过程】简单随机抽样要求逐个不放回地抽取，A正确；每个个体被抽到的概率都等于 ，与编号顺序无关，B错误；有放回抽样可能重复抽到同一个体，不是简单随机抽样，C错误；样本量通常小于总体量，D错误。故选A。 【变式1-3】用随机数法从编号为 的 件产品中抽取样本。若按顺序读到的号码依次为 ，，，，，，则其中应舍弃的号码是____________。 【答案】 与 （ 超出范围， 重复出现） 【解题思路】随机数法中超出编号范围的号码要舍弃，已取过的号码不能重复使用。 【解答过程】编号范围为 ，故 超出范围应舍弃； 在 之前已经取到，重复出现也应舍弃。所以应舍弃的号码是 与 。 【题型2 分层随机抽样的计算】 【例2】某单位有老、中、青职工共 人，其中老年职工 人、中年职工 人、青年职工 人。现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，则应从青年职工中抽取（　　）人 A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先求抽样比，再用青年职工人数乘抽样比。 【解答过程】总体量为 ，抽样比为 。 青年职工应抽取 人。故选B。 【多解·巧解】分层抽样的计算核心是抽样比 ，各层都用同一个抽样比；也可用份数法，把青年职工的人数比例直接乘样本量。 【易错提醒】别把抽样比写成 ；本题抽样比是 ，若误取 会算出 之类明显离谱的结果。 【变式2-1】某工厂生产 A、B、C 三种型号的产品，数量之比为 。现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若从 C 型号产品中抽取了 件，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用份数法：先求 C 型号占总体的比例，再由该层样本量反求总样本量。 【解答过程】三种型号数量之比为 ，总份数为 ，C 型号占总体的 。设样本量为 ，则从 C 型号中抽取 件，由 得 。 【变式2-2】某校共有学生 人，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，已知样本中男生有 人，则该校男生共有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】样本中男生所占比例等于总体中男生所占比例，用总体量乘该比例。 【解答过程】样本中男生占 。由分层抽样按比例分配，总体中男生也占 ，所以男生共有 人。故选C。 【变式2-3】某校高三有学生 人，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，已知从高三、高二、高一抽取的人数之比为 ，则高二年级共有学生（　　）人 A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】先用份数法求各层抽取人数，再由"已知层"求出抽样比，最后反求高二年级总体量。 【解答过程】抽取人数之比为 ，总份数为 。高三抽取 人，抽样比为 。高二抽取 人，所以高二年级共有 人。故选D。 【题型3 频率分布直方图的读取】 【例3】某校随机抽取 名学生统计他们每天阅读的时间（单位：分钟），按 ，，，， 分组（组距为 ）。若 一组的 ，则该组对应的频率是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】纵轴是 ，频率等于纵坐标乘组距。 【解答过程】该组组距为 ，纵坐标为 ，所以频率为 。故选C。 【多解·巧解】直方图纵轴是 ，求频率一定要"乘组距"，这是本专题最经典的陷阱；记住"面积等于频率"就不会错。 【易错提醒】直接把 当成频率会误选A；也别把组距记成 或 。本题各组区间与组距必须看清，、 之间的间隔就是组距 。 【变式3-1】在频率分布直方图中，纵轴表示的是（　　） A．频率　B．　C．频数　D． 【答案】B 【解题思路】回顾频率分布直方图的定义，识记纵轴的含义。 【解答过程】为使小长方形的面积等于频率，直方图的纵轴取 ，故选B。 【变式3-2】在频率分布直方图中，所有小长方形的面积之和等于（　　） A．　B．组距　C．样本量　D． 【答案】A 【解题思路】每个小长方形的面积等于该组的频率，各频率之和为 。 【解答过程】每个小长方形的面积等于对应组的频率，所有组频率之和等于 ，故各小长方形面积之和等于 。故选A。 【变式3-3】某校随机抽取 名学生统计每天阅读时间（单位：分钟），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组对应的 依次为 ，，，，。则估计阅读时间不少于 分钟的学生所占比例为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把符合条件各组的"纵坐标乘组距"相加，得到累计频率。 【解答过程】"不少于 分钟"对应 与 两组，其频率之和为 。故选C。 【题型4 由直方图求频率与频数】 【例4】某校随机抽取 名学生统计每天阅读时间（单位：分钟），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组对应的 依次为 ，，，，。则阅读时间不足 分钟的学生约有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先求"不足 分钟"对应的累计频率，再乘样本量得到频数。 【解答过程】"不足 分钟"对应 与 两组， 其频率之和为 ，所以人数约为 人。故选C。 【多解·巧解】求某个范围的频数"两步走"：先把范围内各组的频率相加得累计频率，再乘样本量；比先分别求各组频数再相加更省事，也不容易出错。 【易错提醒】"不足 分钟"只含 与 两组，别把 也计进去；另外要分清"不足"与"不超过"，端点归属不同。 【变式4-1】某班 名学生的某次测验成绩的频率分布直方图中， 一组（组距为 ）对应的 为 。则成绩在 内的学生有____________人。 【答案】 【解题思路】先由"纵坐标乘组距"求频率，再乘样本量。 【解答过程】 一组的频率为 ，所以该组学生有 人。 【变式4-2】某校抽取若干名学生测量身高（单位：cm），得到频率分布直方图。已知身高在 （组距为 ）内的频率为 ，对应人数为 人，则本次抽取的总人数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由"频数等于频率乘样本量"反解样本量。 【解答过程】由频数 频率 样本量，得样本量 频数 频率 人。故选B。 【变式4-3】某校随机抽取 名学生统计每天锻炼时间（单位：分钟），按 ，，，，， 分组（组距为 ），各组对应的 依次为 ，，，，，。则锻炼时间不少于 分钟的学生约有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先求"不少于 分钟"的累计频率，再乘样本量。 【解答过程】"不少于 分钟"对应 、、 三组，其频率之和为 ，所以人数约为 人。故选C。 【题型5 样本量的分配与总体估计】 【例5】某校高一年级有学生 人、高二年级有学生 人，现采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，已知样本中高一年级有 人，则样本中高二年级有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先用已知层求出抽样比，再用高二年级人数乘抽样比。 【解答过程】由高一年级抽取 人、共 人，得抽样比 。 所以高二年级抽取 人。故选B。 【多解·巧解】分层抽样中"各层抽样比相同"是核心：题目给出的已知层往往就是用来求抽样比的钥匙，求出后各层就都能算。 【易错提醒】别直接用 凑答案（虽然本题巧合相等）；正确的做法是先由已知层求抽样比，再算高二年级。换一组数据两者就不相等了。 【变式5-1】某单位有 A、B、C 三个部门，人数分别为 、、。现按比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为 的样本，则应从 C 部门抽取（　　）人 A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】先求 C 部门占总体的比例，再乘样本量。 【解答过程】总体量为 ，C 部门占 ，所以应抽取 人。故选D。 【变式5-2】某校共有学生 人，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若样本中女生有 人，则估计该校女生共有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】样本中女生的比例等于总体中女生的比例，用总体量乘该比例。 【解答过程】样本中女生占 ，由分层抽样按比例分配，总体中女生也占 ，所以女生共有 人。故选C。 【变式5-3】某公司员工共 人，按部门分层抽取一个容量为 的样本，已知从甲、乙、丙三个部门抽取的人数之比为 ，则丙部门共有员工（　　）人 A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先用份数法求丙部门抽取人数，再由抽样比反求丙部门总人数。 【解答过程】抽取人数之比为 ，总份数为 ，丙部门抽取 人。抽样比为 ，所以丙部门共有 人。故选C。 【题型6 统计图表的信息判断】 【例6】某班对 名学生最喜欢的球类运动进行调查，结果为：篮球 人、足球 人、乒乓球 人、羽毛球 人、其他 人。若用扇形统计图表示上述数据，则"足球"部分对应的扇形圆心角为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】扇形图中每个部分的圆心角等于 乘该部分所占的比例。 【解答过程】喜欢足球的人数占全班人数的比例为 ， 对应圆心角为 。故选B。 【多解·巧解】圆心角的通用公式是 该部分频率；算之前先核对各部分人数之和是否等于总人数，可以快速排除数据抄错。 【易错提醒】别把比例算成 之外的值；本题各部分人数 ，恰好等于总人数，说明数据完整，可直接用 除以 。 【变式6-1】某公司 月至 月的销售额（单位：万元）依次为 ，，，，，则下列说法正确的是（　　） A． 月销售额最低，为 万元　B． 月销售额的增长量为 万元　C． 月销售额的增长量最大　D．各月销售额的增长量都相等 【答案】A 【解题思路】逐项计算相邻两月销售额的差，再与选项核对。 【解答过程】各月增长量依次为 ，，，。 月销售额 万元最低，A正确； 月增长量为 万元，B错误； 月增长量为 万元，不是最大，C错误；增长量依次为 ，并不都相等，D错误。故选A。 【变式6-2】关于频率分布直方图，下列说法不正确的是（　　） A．各小长方形的面积之和等于 　B．组距相同时，小长方形越高说明该组的频率越大　C．纵轴表示频数　D．频率分布直方图可以用来估计总体的分布情况 【答案】C 【解题思路】回顾直方图纵轴、面积的含义，逐项判断。 【解答过程】各小长方形面积之和为 ，A正确；组距相同时小长方形越高，对应的 越大，该组频率也越大，B正确；纵轴表示 而不是频数，C不正确；直方图能反映样本的频率分布，可估计总体分布，D正确。故选C。 【变式6-3】某中学对 名学生进行课外阅读调查，其中经常阅读的有 人、偶尔阅读的有 人、很少阅读的有 人。若用扇形统计图表示这些数据，则"偶尔阅读"部分对应的扇形圆心角为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先用"偶尔阅读"人数除以总人数求比例，再乘 。 【解答过程】总人数为 ，偶尔阅读的人数占 ，对应圆心角为 。故选B。 一、单选题 1．（★★）下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．从 名学生中挑选成绩最好的 名　B．从 件产品中逐个不放回地抽取 件进行检验　C．把全校学生按年级分成三层后抽取　D．由教师指定 名学生参加调查 【答案】B 【解题思路】简单随机抽样要求"逐个不放回"且"机会均等"。 【解答过程】A、D 带有主观选择，不满足机会均等；C 属于分层随机抽样；B 逐个不放回地抽取，且每件产品被抽到的机会相等，属于简单随机抽样。故选B。 2．（★★）某校高一年级有男生 人、女生 人，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，则应抽取的男生人数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先求抽样比，再乘男生人数。 【解答过程】总体量为 ，抽样比为 ，应抽取男生 人。故选C。 3．（★★）在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示（　　） A．频数　B．频率　C．　D．组距 【答案】B 【解题思路】小长方形面积 组距乘纵坐标，由纵轴含义可知其等于频率。 【解答过程】直方图中小长方形的面积为组距乘 ，恰好等于该组的频率。故选B。 4．（★★）某频率分布直方图中，组距为 ，某一组对应的 为 ，则该组的频率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】频率等于纵坐标乘组距。 【解答过程】该组频率为 。故选B。 5．（★★）下列关于抽签法的说法中，正确的是（　　） A．抽签前必须先把总体中的每个个体编号　B．抽签法抽取时各个个体被抽到的机会可以不相同　C．抽签法属于分层随机抽样　D．总体容量很大时，用抽签法最方便 【答案】A 【解题思路】抽签法属于简单随机抽样，须先编号且机会均等。 【解答过程】抽签法是把个体编号后制成的号签随机抽取，因此必须先编号，A正确；简单随机抽样中各个个体被抽到的机会相等，B错误；抽签法属于简单随机抽样，C错误；总体容量很大时制作号签费时费力，D错误。故选A。 6．（★★★）某校随机抽取若干名学生测量身高，其身高频率分布直方图中 一组（组距为 ）对应的 为 ，且该组共有 人，则本次抽取的学生总人数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】先由"纵坐标乘组距"求该组频率，再由"样本量等于频数除以频率"求总人数。 【解答过程】 一组的频率为 。由频数 频率 样本量，得样本量 人。故选D。 7．（★★★）某工厂生产甲、乙两种型号的零件共 件，其中甲型号零件 件。现用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，测得样本中甲型号零件的平均长度为 cm，乙型号零件的平均长度为 cm，并据此估计这批零件的平均长度为 cm，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】分层抽样中样本结构与总体结构相同：甲型号所占比例等于 ，用两层均值按比例加权建立关于 的方程。 【解答过程】分层抽样按比例分配，甲型号零件在样本中所占比例与总体中相同，均为 ，乙型号占 。用样本均值估计总体均值：，整理得 ，即 ，故 ，解得 。经检验 ，符合题意。故选C。 8．（★★★）某市随机抽取 户居民统计月用水量（单位：立方米），按 ，，，， 分组（组距为 ），前三组对应的 依次为 ，，，后两组对应的 相等，记为 。则 与月用水量不低于 立方米的户数分别为（　　） A．， 户　B．， 户　C．， 户　D．， 户 【答案】A 【解题思路】先用"各组频率之和等于 "建立关于 的方程求出 ，再把不低于 立方米对应两组的频率相加后乘样本量。 【解答过程】前三组的频率依次为 ，，，合计 。后两组频率相等，均为 ，由各组频率之和为 得 ，解得 。"不低于 立方米"对应 与 两组，频率之和为 ，故户数为 户。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于分层随机抽样，下列说法正确的是（　　） A．它适用于总体由差异明显的几部分组成的情形　B．各层抽取的样本量之比等于各层个体数之比　C．同一次分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等　D．为了使结果公平，各层抽取的样本量必须相同 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照分层随机抽样的定义与按比例分配的特点。 【解答过程】总体由差异明显的几部分组成时宜用分层随机抽样，A正确；按比例分配时各层样本量之比等于各层个体数之比，B正确；分层随机抽样中每个个体被抽到的可能性仍然相等，C正确；各层样本量一般按比例分配，并不要求相同，D错误。故选ABC。 10．（★★）关于频率分布直方图，下列说法正确的是（　　） A．纵轴表示 　B．各小长方形的面积之和等于 　C．小长方形的高等于该组的频率　D．可以用它估计总体的分布情况 【答案】ABD 【解题思路】牢记纵轴含义、面积含义，区分"高"与"面积"。 【解答过程】直方图纵轴表示 ，A正确；各小长方形面积之和等于 ，B正确；小长方形的高是 ，并不等于频率，C错误；直方图反映样本频率分布，可估计总体分布，D正确。故选ABD。 11．（★★★）某校高一年级有学生 人，其中男生 人、女生 人。用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，下列说法正确的是（　　） A．应从男生中抽取 人　B．应从女生中抽取 人　C．每个学生被抽到的可能性相等　D．本次抽样的抽样比为 【答案】ABC 【解题思路】先求抽样比，再逐层计算，最后核对选项。 【解答过程】总体量为 ，抽样比为 ，男生应抽取 人，女生应抽取 人，A、B正确；分层随机抽样中每个学生被抽到的可能性相等，C正确；抽样比为 而不是 ，D错误。故选ABC。 12．（★★★）某校共有学生 人，其中男生 人（），女生 人。现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，下列说法正确的是（　　） A．样本中男生的人数为 　B．若样本中男生比女生多 人，则 　C．对任意 ，样本中男生人数都是整数　D．若样本中男生人数为整数，则满足条件的整数 共有 个 【答案】ABD 【解题思路】先求抽样比 ，再逐项推导：A 用抽样比表示；B 由人数差建立方程；C、D 抓住" 为整数等价于 是 的倍数"作整除分析。 【解答过程】抽样比为 。A：男生抽取 人，正确；B：男生与女生抽取人数之差为 ，令其等于 ，解得 ，且 ，正确；C：取 ，则 不是整数，故并非对任意 都成立，错误；D： 为整数等价于 是 的倍数，满足 的有 ，，，，，共 个（此时女生抽取人数 自动为整数），正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）某总体共有 个个体，若用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，则每个个体被抽到的概率为____________（用 表示）。 【答案】 【解题思路】简单随机抽样中每个个体被抽到的概率都等于 。 【解答过程】简单随机抽样中每个个体被抽到的概率为 ，这里样本量为 、总体量为 ，故概率为 。 14．（★★）某单位有职工 人，其中男职工 人。用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，则应抽取女职工____________人。 【答案】 【解题思路】女职工人数为总体量减男职工人数，再用抽样比计算。 【解答过程】女职工有 人，抽样比为 ，应抽取女职工 人。 15．（★★★）某校 名学生期末数学成绩的频率分布直方图中， 一组（组距为 ）对应的 为 。则该校成绩在 内的学生约有____________人。 【答案】 【解题思路】先由"纵坐标乘组距"求频率，再乘样本量。 【解答过程】 一组的频率为 ，故该校成绩在 内的学生约有 人。 16．（★★★）某单位有甲、乙、丙三个部门，人数之比为 。现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，按比例分配后各部门抽取的人数都是整数，且从丙部门抽取的人数不少于 人，则样本量 的最小值为____________。 【答案】 【解题思路】先用"丙部门抽取 "得到 ，再由三个部门抽取人数都必须是整数推出 必须是 的倍数，从而绕开 的陷阱。 【解答过程】丙部门占总份数的 ，抽取人数为 ，由 得 。但甲、乙、丙抽取人数依次为 ，，，都必须是整数：由 为整数且 与 互质，得 必须是 的倍数（此时 与 自动为整数）。而 之间没有 的倍数，故最小取 ，此时甲、乙、丙分别抽取 人、 人、 人，均为整数且丙不少于 人，满足题意。故 的最小值为 。 四、解答题 17．（★★）某校高一年级有学生 人，其中女生 人。为了解学生的课外阅读情况，用分层随机抽样的方法从高一年级抽取一个容量为 的样本。 (1) 求样本中女生的人数； (2) 求样本中女生人数所占的比例。 【答案】(1) 人； (2) 。 【解题思路】(1) 先求抽样比，再用女生人数乘抽样比；(2) 用女生样本量除以样本量。 【解答过程】(1) 总体量为 ，抽样比为 ，所以样本中女生有 人。 (2) 样本量为 ，女生占 。 【多解·巧解】分层抽样的计算都是"抽样比打天下"：先算出 ，各层人数一律乘它即可；第(2)问求比例时也可直接比较人数，不必绕回抽样比。 【易错提醒】第(1)问的总体量是 （高一年级总人数），不是女生人数 ；抽样比写成 是常见错误，会导致结果出错。 18．（★★）某工厂用分层随机抽样的方法，从 A、B、C 三个车间共 名工人中抽取一个容量为 的样本，已知从 A、B、C 三个车间抽取的人数之比为 。 (1) 求从 C 车间抽取的人数； (2) 求 C 车间的工人总数。 【答案】(1) 人； (2) 人。 【解题思路】(1) 用份数法求 C 车间抽取人数；(2) 先求抽样比，再反求 C 车间总人数。 【解答过程】(1) 抽取人数之比为 ，总份数为 ，C 车间占 ，抽取 人。 (2) 抽样比为 ，所以 C 车间共有工人 人。 【多解·巧解】"比例型"分层抽样用份数法最快：该层样本量 样本量 ；反求总体量时，用"该层样本量除以抽样比"一步到位。 【易错提醒】第(1)问的总份数是 ，C 占 ，别把分母写成 ；第(2)问要用同一抽样比 ，不能另取比例。 19．（★★）某校随机抽取 名学生测量身高（单位：cm），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组对应的 依次为 ，，，，。 (1) 求身高在 内的频率； (2) 估计身高不低于 cm 的学生人数。 【答案】(1) ； (2) 人。 【解题思路】先由"纵坐标乘组距"求频率，再把符合范围的各组频率相加后乘样本量。 【解答过程】(1) 一组的频率为 。 (2) "不低于 cm"对应 与 两组，其频率之和为 ，所以人数约为 人。 【多解·巧解】直方图求频率与频数的固定流程是"纵坐标乘组距得频率，频率乘样本量得频数"；求范围的频率时先把范围内各组频率相加，再乘样本量。 【易错提醒】"不低于 cm"包含端点 ，对应的是 与 两组；别把 也算进去，也别漏掉 。 20．（★★★）某校高二年级共有 名学生，其中男生 人、女生 人。为了解学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本。 (1) 求样本中男生、女生的人数； (2) 在抽取的 名学生中，睡眠时间不足 小时的有 人，试估计全年级睡眠时间不足 小时的学生人数。 【答案】(1) 男生 人，女生 人； (2) 约 人。 【解题思路】(1) 按抽样比分层计算；(2) 用"样本频率乘总体量"估计总体人数。 【解答过程】(1) 抽样比为 ，男生抽取 人，女生抽取 人。 (2) 样本中睡眠不足 小时的比例为 ，所以全年级睡眠时间不足 小时的学生约有 人。 【多解·巧解】用样本估计总体时，把"样本中所占比例"当作"总体中所占比例"，再乘总体量即可；分层抽样的第(1)问与频率估计的第(2)问互不干扰，分别独立计算。 【易错提醒】第(1)问男、女人数之和应等于样本量 （），可用它自检；第(2)问求的是全年级人数而非样本人数，不要漏乘总体量 。 21．（★★★）某公司对 名员工的月收入（单位：千元）进行调查，按 ，，，， 分组（组距为 ），得到频率分布直方图，各组对应的 依次为 ，，，，。 (1) 求月收入在 内的频率及人数； (2) 估计该公司员工月收入不低于 千元的人数。 【答案】(1) 频率为 ， 人； (2) 约 人。 【解题思路】先由"纵坐标乘组距"求频率，再用频率乘样本量得人数；求"不低于 千元"时把相关各组频率相加。 【解答过程】(1) 一组的频率为 ，对应人数为 人。 (2) "月收入不低于 千元"对应 与 两组，其频率之和为 ，所以人数约为 人。 【多解·巧解】组距为 时纵坐标就等于频率，但仍要养成"乘组距"的习惯；求"不低于 千元"先累加 与 的频率再乘样本量，两步不要颠倒。 【易错提醒】各组频率之和应等于 ：，可用它检验数据是否完整；"不低于 千元"包含 ，别把 也算进去。 22．（★★★）某校共有学生 人，其中男生 人、女生 人。为了解学生每天的体育锻炼时间，先按性别分层抽取一个容量为 的样本，在样本中统计得锻炼时间不少于 小时的有 人。 (1) 求样本中男生、女生的人数； (2) 估计该校锻炼时间不少于 小时的学生人数。 【答案】(1) 男生 人，女生 人； (2) 约 人。 【解题思路】(1) 先求抽样比，再分层计算；(2) 用样本比例估计总体人数。 【解答过程】(1) 抽样比为 ，男生抽取 人，女生抽取 人。 (2) 样本中锻炼时间不少于 小时的比例为 ，所以该校锻炼时间不少于 小时的学生约有 人。 【多解·巧解】本题把"分层抽样"与"用样本估计总体"两类问题拼在一起，要分别独立求解：第(1)问用抽样比，第(2)问用样本频率，互不干扰。 【易错提醒】第(1)问总体量是 （全校学生），不是某个性别的人数；第(2)问的比例 来自样本，要乘全校人数 ，而不是乘男生的 。 23．（★★★）某校高一年级有学生 人、高二年级有学生 人。为了解学生每日体育锻炼时间（单位：分钟），按年级用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，将样本数据按 ，，，， 分组（组距为 ），绘制频率分布直方图。已知第一、二、三、五组对应的 依次为 ，，，，第四组对应的 为 。 (1) 求抽样比以及高一、高二年级各抽取的人数； (2) 求 的值，并估计这两个年级每日锻炼时间不少于 分钟的学生人数； (3) 若样本中高一年级有 人、高二年级有 人每日锻炼时间不少于 分钟，试分别估计高一、高二年级每日锻炼时间不少于 分钟的学生人数，并判断哪个年级该比例更高。 【答案】(1) 抽样比为 ，高一抽取 人，高二抽取 人； (2) ，约 人； (3) 高一约 人、高二约 人，高一年级的比例更高。 【解题思路】(1) 用样本量除以总体量求抽样比，再按比例分配；(2) 用"各组频率之和为 "建立关于 的方程，求出第四组频率后再估计人数；(3) 用各年级内部的样本比例分别估计各年级总体，比例用通分比较大小。 【解答过程】(1) 两个年级共 人，抽样比为 ，故高一年级抽取 人，高二年级抽取 人。 (2) 前三组与第五组的频率之和为 ，由各组频率之和为 得第四组频率为 ，故 。"不少于 分钟"对应 与 两组，频率之和为 ，样本中对应人数为 人（与第(3)问中 相符），估计这两个年级每日锻炼时间不少于 分钟的学生约有 人。 (3) 高一样本中该比例为 ，估计高一年级约有 人；高二样本中该比例为 ，估计高二年级约有 人（两个估计之和 ，与第(2)问一致）。比较比例：，而 ，故高一年级该比例更高。 【多解·巧解】第(2)问求 的关键是把"各组频率之和等于 "当作方程：先由纵坐标乘组距算出已知四组的频率，剩下的就是第四组；第(3)问必须"哪个年级的比例就用哪个年级的样本"，若直接用总比例 去乘 或 就丢失了分层信息。最后用""与第(2)问对照，可快速自检。 【易错提醒】① 第(2)问把纵坐标 当频率，漏乘组距 ；② 第(3)问用全样本比例 直接乘某一年级的人数，混淆了"总体估计"与"分层估计"；③ 比较比例时把 与 直接硬算，通分成 与 更稳妥。 24．（★★★）某市共有市民 人，其中青年 人、老年 人。为了解市民月乘坐公交的情况，按年龄用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本。 (1) 求青年、老年各抽取的人数； (2) 统计样本中所有人的月乘坐公交次数（单位：次），按 ，，，， 分组（组距为 ），已知第一、二、五组对应的 依次为 ，，，第三、四组对应的 分别为 ，，且月乘坐公交次数不低于 次的频率恰好是不高于 次的频率的 倍，求 ， 的值； (3) 该市拟对月乘坐公交次数不低于 次的市民发放乘车补贴，试估计全市可获得补贴的人数；若样本中青年有 人、老年有 人月乘坐公交次数不低于 次，判断青年与老年中哪个群体"可获得补贴的比例"更高，并说明理由。 【答案】(1) 青年 人，老年 人； (2) ，； (3) 约 人；老年人可获得补贴的比例更高。 【解题思路】(1) 用抽样比分层计算；(2) 联立"各组频率之和为 "与"不低于 次的频率是不高于 次的频率的 倍"两个方程求 ，；(3) 先用总频率乘总体量估计人数，再分群体用各自样本比例比较，注意分层比例与整体比例的区别。 【解答过程】(1) 抽样比为 ，青年抽取 人，老年抽取 人。 (2) 各组频率依次为 ，，，，。"不高于 次"即第一组，频率为 ，由倍数关系得"不低于 次"的频率为 ，而"不低于 次"对应第四、五两组，即 ，解得 。又各组频率之和为 ：，即 ，故 。检验：各组频率依次为 ，，，，，和为 ，符合题意。 (3) "不低于 次"的频率为 ，估计全市可获得补贴的人数约为 人。样本中青年获得补贴的比例为 ，老年获得补贴的比例为 ，因 ，故老年人"可获得补贴的比例"更高。理由：估计各群体的比例时，应当用该群体自己的样本频率，而不是用全体样本的总频率 。 【多解·巧解】第(2)问是"两个未知数、两个方程"：一个方程是各组频率之和为 ，另一个是倍数关系。先由倍数关系解出 （它只出现在 段），再代回频率和求 ，比硬解二元方程组更快。第(3)问比较各群体比例时必须"谁的比例用谁的样本"，分群体估计后还可用 与总频率 互相验证。 【易错提醒】① 第(2)问把倍数关系写反，或列 时漏掉第五组频率 ；② 由频率和列方程时把 、 写成 、，漏乘组距；③ 第(3)问直接比较 就下结论，忽略了两个群体的样本量不同（ 与 ），必须比较各自的比例，也不能用总频率 代替各群体的样本比例。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第49讲 随机抽样与统计图表 第49讲 随机抽样与统计图表 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解总体、样本、样本量的含义，掌握简单随机抽样"逐个不放回、机会均等"的特征； 2．理解分层随机抽样及其适用情形，熟练运用抽样比 进行按比例分配； 3．掌握频率分布直方图的绘制与纵轴 的含义，会由直方图求频率与频数； 4．能综合抽样方法与统计图表解决实际问题，会对图表信息作出准确判断。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 抽样方法的辨析与选择 选择题 第3~5题 中 有差异用分层，无差异用简单随机 分层随机抽样的计算 选择题、填空题 第5~7题、第12~13题 中 抓抽样比 ，用份数法快速分配 频率分布直方图的读取 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中 纵轴是 ，不是频率 由直方图求频率与频数 选择题、解答题 第6~7题、第15~18题 中偏难 先加频率再乘样本量，注意取整 统计图表的信息判断 选择题、解答题 第7~10题、第18题 中偏难 逐项核对数据，用比例与合计检验 命题规律分析 随机抽样与统计图表是统计板块的起点，也是新高考中"送分题"与"判断陷阱题"并存的考点，多以选择题第 4~7 题、填空第 12~13 题出现，并作为解答题第 15~18 题的一问。培优层不能只满足于套公式：抽样的关键是先看总体各部分有无明显差异，有差异用分层、无差异用简单随机；分层抽样牢记"抽样比就是样本量与总体量之比"，已知某层可反求总体；读直方图时牢记纵轴是频率与组距的比值，求频率要乘组距，求频数再乘样本量；由图表作判断要逐项核对数据，用比例与合计检验，警惕"直观错觉"。本讲在夯实基础的同时，重点突破抽样比的反求与直方图的综合计算，目标是把这档题练成稳拿分。 考点1 简单随机抽样 知识点1 总体、样本与简单随机抽样 总体是被考察对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本量是样本中个体的数目。 简单随机抽样：逐个不放回地抽取，且每个个体被抽到的概率都等于 （ 为总体量， 为样本量）。 【易错清单】 1．"机会均等"指每个个体被抽到的可能性相等，不是被抽到的次数相同； 2．有放回抽样不是简单随机抽样，因为同一个体可能被重复抽到。 知识点2 抽签法与随机数法 抽签法：先给个体编号，把号码写在形状、大小相同的号签上，搅拌均匀后逐个抽取 次。 随机数法：先给个体编号，用随机数工具按位读数，遇到重复或超出编号范围的号码就跳过。 【易错清单】 1．两种方法都必须先给个体编号，否则无法保证机会均等； 2．用随机数法读到重复或超出范围的号码时应舍弃重读，编号位数要与随机数数位一致。 考点2 分层随机抽样 知识点3 分层随机抽样及其适用情形 当总体由差异明显的几部分组成时，先按变量分层，再在每层内独立地进行简单随机抽样。 分层要求"层内差异小、层间差异大"，且每个个体恰好属于其中一层，不重不漏。 【易错清单】 1．分层不是"每层抽同样多"，而是按比例分配； 2．分层后要把各层的样本合起来作为一个总样本，不能只报告某一层的情况。 知识点4 按比例分配的计算 抽样比 ；按比例分配时各层抽样比相同，即 。 各层抽取的个体数之比等于各层个体数之比：。 【易错清单】 1．抽样比是"样本量除以总体量"，分子分母不要写反； 2．用某层反求总体时必须使用同一个抽样比，且注意结果按题意取整。 考点3 频率分布直方图 知识点5 频率分布直方图的绘制与纵轴含义 画直方图的步骤：求极差、定组距与组数、分组、列频率分布表、画图。 纵轴表示 ，小长方形的面积等于该组频率，各小长方形面积之和等于 。 【易错清单】 1．把纵轴误当成"频率"或"频数"，会导致频率、频数全部算错； 2．"各小长方形面积之和等于 "不是"高之和等于 "。 知识点6 由频率分布直方图求频率与频数 某组频率 该组纵坐标 组距；某组频数 该组频率 样本量。 求某范围的频率时，把范围内各组的频率相加，再乘样本量即得相应频数。 【易错清单】 1．频率是无单位的比值，频数是具体的个数，二者不能混淆； 2．各组组距可能不同，求频率要用各自对应的组距。 【题型1 抽样方法的辨析与选择】 【例1】某校有高一学生 人、高二学生 人、高三学生 人，为了解该校学生的睡眠时长，拟抽取一个容量为 的样本。下列抽样方法中最合理的是（　　） A．把三个年级的学生合并后随机抽取 人　B．按年级分层，各年级按人数比例抽取相应人数　C．只从高一年级随机抽取 人　D．随意抽取 人 【变式1-1】下列调查中最适合用分层随机抽样的是（　　） A．从 件产品中抽取 件检验质量　B．了解某市居民收入时，按城区、郊区、乡镇分为三类分别抽样　C．调查某班全体同学的视力情况　D．从 名学生中随机抽取 名参加座谈 【变式1-2】关于简单随机抽样，下列说法正确的是（　　） A．要求从总体中逐个不放回地抽取　B．每个个体被抽到的概率与其编号的先后有关　C．有放回地抽取也属于简单随机抽样　D．要求样本量与总体量相等 【变式1-3】用随机数法从编号为 的 件产品中抽取样本。若按顺序读到的号码依次为 ，，，，，，则其中应舍弃的号码是____________。 【题型2 分层随机抽样的计算】 【例2】某单位有老、中、青职工共 人，其中老年职工 人、中年职工 人、青年职工 人。现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，则应从青年职工中抽取（　　）人 A．　B．　C．　D． 【变式2-1】某工厂生产 A、B、C 三种型号的产品，数量之比为 。现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若从 C 型号产品中抽取了 件，则 ____________。 【变式2-2】某校共有学生 人，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，已知样本中男生有 人，则该校男生共有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【变式2-3】某校高三有学生 人，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，已知从高三、高二、高一抽取的人数之比为 ，则高二年级共有学生（　　）人 A．　B．　C．　D． 【题型3 频率分布直方图的读取】 【例3】某校随机抽取 名学生统计他们每天阅读的时间（单位：分钟），按 ，，，， 分组（组距为 ）。若 一组的 ，则该组对应的频率是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】在频率分布直方图中，纵轴表示的是（　　） A．频率　B．　C．频数　D． 【变式3-2】在频率分布直方图中，所有小长方形的面积之和等于（　　） A．　B．组距　C．样本量　D． 【变式3-3】某校随机抽取 名学生统计每天阅读时间（单位：分钟），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组对应的 依次为 ，，，，。则估计阅读时间不少于 分钟的学生所占比例为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 由直方图求频率与频数】 【例4】某校随机抽取 名学生统计每天阅读时间（单位：分钟），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组对应的 依次为 ，，，，。则阅读时间不足 分钟的学生约有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【变式4-1】某班 名学生的某次测验成绩的频率分布直方图中， 一组（组距为 ）对应的 为 。则成绩在 内的学生有____________人。 【变式4-2】某校抽取若干名学生测量身高（单位：cm），得到频率分布直方图。已知身高在 （组距为 ）内的频率为 ，对应人数为 人，则本次抽取的总人数为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】某校随机抽取 名学生统计每天锻炼时间（单位：分钟），按 ，，，，， 分组（组距为 ），各组对应的 依次为 ，，，，，。则锻炼时间不少于 分钟的学生约有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【题型5 样本量的分配与总体估计】 【例5】某校高一年级有学生 人、高二年级有学生 人，现采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，已知样本中高一年级有 人，则样本中高二年级有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【变式5-1】某单位有 A、B、C 三个部门，人数分别为 、、。现按比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为 的样本，则应从 C 部门抽取（　　）人 A．　B．　C．　D． 【变式5-2】某校共有学生 人，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若样本中女生有 人，则估计该校女生共有（　　）人 A．　B．　C．　D． 【变式5-3】某公司员工共 人，按部门分层抽取一个容量为 的样本，已知从甲、乙、丙三个部门抽取的人数之比为 ，则丙部门共有员工（　　）人 A．　B．　C．　D． 【题型6 统计图表的信息判断】 【例6】某班对 名学生最喜欢的球类运动进行调查，结果为：篮球 人、足球 人、乒乓球 人、羽毛球 人、其他 人。若用扇形统计图表示上述数据，则"足球"部分对应的扇形圆心角为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】某公司 月至 月的销售额（单位：万元）依次为 ，，，，，则下列说法正确的是（　　） A． 月销售额最低，为 万元　B． 月销售额的增长量为 万元　C． 月销售额的增长量最大　D．各月销售额的增长量都相等 【变式6-2】关于频率分布直方图，下列说法不正确的是（　　） A．各小长方形的面积之和等于 　B．组距相同时，小长方形越高说明该组的频率越大　C．纵轴表示频数　D．频率分布直方图可以用来估计总体的分布情况 【变式6-3】某中学对 名学生进行课外阅读调查，其中经常阅读的有 人、偶尔阅读的有 人、很少阅读的有 人。若用扇形统计图表示这些数据，则"偶尔阅读"部分对应的扇形圆心角为（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．从 名学生中挑选成绩最好的 名　B．从 件产品中逐个不放回地抽取 件进行检验　C．把全校学生按年级分成三层后抽取　D．由教师指定 名学生参加调查 2．（★★）某校高一年级有男生 人、女生 人，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，则应抽取的男生人数为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示（　　） A．频数　B．频率　C．　D．组距 4．（★★）某频率分布直方图中，组距为 ，某一组对应的 为 ，则该组的频率为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）下列关于抽签法的说法中，正确的是（　　） A．抽签前必须先把总体中的每个个体编号　B．抽签法抽取时各个个体被抽到的机会可以不相同　C．抽签法属于分层随机抽样　D．总体容量很大时，用抽签法最方便 6．（★★★）某校随机抽取若干名学生测量身高，其身高频率分布直方图中 一组（组距为 ）对应的 为 ，且该组共有 人，则本次抽取的学生总人数为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）某工厂生产甲、乙两种型号的零件共 件，其中甲型号零件 件。现用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，测得样本中甲型号零件的平均长度为 cm，乙型号零件的平均长度为 cm，并据此估计这批零件的平均长度为 cm，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）某市随机抽取 户居民统计月用水量（单位：立方米），按 ，，，， 分组（组距为 ），前三组对应的 依次为 ，，，后两组对应的 相等，记为 。则 与月用水量不低于 立方米的户数分别为（　　） A．， 户　B．， 户　C．， 户　D．， 户 二、多选题 9．（★★）关于分层随机抽样，下列说法正确的是（　　） A．它适用于总体由差异明显的几部分组成的情形　B．各层抽取的样本量之比等于各层个体数之比　C．同一次分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等　D．为了使结果公平，各层抽取的样本量必须相同 10．（★★）关于频率分布直方图，下列说法正确的是（　　） A．纵轴表示 　B．各小长方形的面积之和等于 　C．小长方形的高等于该组的频率　D．可以用它估计总体的分布情况 11．（★★★）某校高一年级有学生 人，其中男生 人、女生 人。用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，下列说法正确的是（　　） A．应从男生中抽取 人　B．应从女生中抽取 人　C．每个学生被抽到的可能性相等　D．本次抽样的抽样比为 12．（★★★）某校共有学生 人，其中男生 人（），女生 人。现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，下列说法正确的是（　　） A．样本中男生的人数为 　B．若样本中男生比女生多 人，则 　C．对任意 ，样本中男生人数都是整数　D．若样本中男生人数为整数，则满足条件的整数 共有 个 三、填空题 13．（★★）某总体共有 个个体，若用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，则每个个体被抽到的概率为____________（用 表示）。 14．（★★）某单位有职工 人，其中男职工 人。用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，则应抽取女职工____________人。 15．（★★★）某校 名学生期末数学成绩的频率分布直方图中， 一组（组距为 ）对应的 为 。则该校成绩在 内的学生约有____________人。 16．（★★★）某单位有甲、乙、丙三个部门，人数之比为 。现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，按比例分配后各部门抽取的人数都是整数，且从丙部门抽取的人数不少于 人，则样本量 的最小值为____________。 四、解答题 17．（★★）某校高一年级有学生 人，其中女生 人。为了解学生的课外阅读情况，用分层随机抽样的方法从高一年级抽取一个容量为 的样本。 (1) 求样本中女生的人数； (2) 求样本中女生人数所占的比例。 18．（★★）某工厂用分层随机抽样的方法，从 A、B、C 三个车间共 名工人中抽取一个容量为 的样本，已知从 A、B、C 三个车间抽取的人数之比为 。 (1) 求从 C 车间抽取的人数； (2) 求 C 车间的工人总数。 19．（★★）某校随机抽取 名学生测量身高（单位：cm），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组对应的 依次为 ，，，，。 (1) 求身高在 内的频率； (2) 估计身高不低于 cm 的学生人数。 20．（★★★）某校高二年级共有 名学生，其中男生 人、女生 人。为了解学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本。 (1) 求样本中男生、女生的人数； (2) 在抽取的 名学生中，睡眠时间不足 小时的有 人，试估计全年级睡眠时间不足 小时的学生人数。 21．（★★★）某公司对 名员工的月收入（单位：千元）进行调查，按 ，，，， 分组（组距为 ），得到频率分布直方图，各组对应的 依次为 ，，，，。 (1) 求月收入在 内的频率及人数； (2) 估计该公司员工月收入不低于 千元的人数。 22．（★★★）某校共有学生 人，其中男生 人、女生 人。为了解学生每天的体育锻炼时间，先按性别分层抽取一个容量为 的样本，在样本中统计得锻炼时间不少于 小时的有 人。 (1) 求样本中男生、女生的人数； (2) 估计该校锻炼时间不少于 小时的学生人数。 23．（★★★）某校高一年级有学生 人、高二年级有学生 人。为了解学生每日体育锻炼时间（单位：分钟），按年级用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本，将样本数据按 ，，，， 分组（组距为 ），绘制频率分布直方图。已知第一、二、三、五组对应的 依次为 ，，，，第四组对应的 为 。 (1) 求抽样比以及高一、高二年级各抽取的人数； (2) 求 的值，并估计这两个年级每日锻炼时间不少于 分钟的学生人数； (3) 若样本中高一年级有 人、高二年级有 人每日锻炼时间不少于 分钟，试分别估计高一、高二年级每日锻炼时间不少于 分钟的学生人数，并判断哪个年级该比例更高。 24．（★★★）某市共有市民 人，其中青年 人、老年 人。为了解市民月乘坐公交的情况，按年龄用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本。 (1) 求青年、老年各抽取的人数； (2) 统计样本中所有人的月乘坐公交次数（单位：次），按 ，，，， 分组（组距为 ），已知第一、二、五组对应的 依次为 ，，，第三、四组对应的 分别为 ，，且月乘坐公交次数不低于 次的频率恰好是不高于 次的频率的 倍，求 ， 的值； (3) 该市拟对月乘坐公交次数不低于 次的市民发放乘车补贴，试估计全市可获得补贴的人数；若样本中青年有 人、老年有 人月乘坐公交次数不低于 次，判断青年与老年中哪个群体"可获得补贴的比例"更高，并说明理由。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $