概率与统计专题第5讲正态分布讲义-2027届高三数学一轮复习

正态分布 概率与统计 · 专题篇 一 对称性：求 与补概率 一、对称性。 的密度曲线关于 对称，故 ，且 。 二、看到「两个概率相等」就列平均。 等价于「 与 关于 对称」，即 。求 、求端点、求参数，全靠这一条。 三、三段拼凑。 已知一侧尾部，求另一侧尾巴：；求对称区间：两条尾巴各算一次，用 减两次。 四、区间平移不改变概率。 与 只与「偏离 多少」有关。★ 邢台-12 里 与 之和恒为 ，正是这一条 ——不必知道 是多少。 五、连续型可以换不等号。 ，所以「不大于」与「小于」、「不小于」与「大于」在端点处可以互换，这一点在「已知 求 」时最常用。 例1（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量X服从正态分布，，则 = ______。 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 设随机变量，若，则 = __________。 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量，且，则 = ___________ 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，若，则 = （ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 变式1-4（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量服从正态分布，若，则 = ______。 变式1-5（填空·★★☆☆☆） 随机变量服从正态分布，，则 = ______。 变式1-6（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量服从正态分布。若，则=__________。 变式1-7（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 变式1-8（填空·★★☆☆☆） 若随机变量，且，则 = ________ 变式1-9（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量服从正态分布，且，则 = ______。 二 原则与个数估计 一、三段参考概率。 ，，。 二、四种切法。 单侧尾：；单侧段：；环带：；对称段：直接用题目给的数。 ★ 只要区间端点写成 的形式，就一定能套这四种之一。 三、 要先读出来。 的第二个数是方差，。 ★ 黄石-05 的 是 ；梁山一中-10 的 是 —— 这两处最容易直接拿第二个数当 。 四、算人数。 ，结果按题目选项取整（一般是四舍五入到整十或整百）。 ★ 题目给了具体参考值（如 ）时就用给的值，不要硬套 。 例2（单选·★★☆☆☆） 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ）附：若，则。 A. 228个 B. 456个 C. 1587个 D. 3174个 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 某种包装的大米质量（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米2000袋。则大米质量在以上的袋数大约为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次。 A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 变式2-3（填空·★★☆☆☆） 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布。已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______。 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有） A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人 变式2-5（单选·★★☆☆☆） 在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 变式2-6（多选·★★★☆☆） 某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼。学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（ ）附：随机变量服从正态分布，则，，。 A. 该校学生的体能检测结果的期望为 B. 该校学生的体能检测结果的标准差为 C. 该校学生的体能达标率超过 D. 该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 变式2-7（填空·★★★☆☆） 已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________。 变式2-8（单选·★★☆☆☆） 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则 = （ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9 三 与其它知识的综合 一、起点永远是「」。 等价于 ——综合题的第一句话都从这里开始。 二、再叠加第二个知识点。 充要条件： 与 互为充要；最值：由 消元，化成一元二次或基本不等式；条件概率：，分子多是关于 对称的一段；期望方差：，。 三、求最值的两条路。 能配成二次就配方（滨州-04）；出现「」就走「 的代换」+ 基本不等式（名校联盟-05、郴州-04）。 ★ 用基本不等式前先凑出「乘积为常数」的两项，并写明取等条件。 四、多选项要逐条算。 先写出 、，再每一项算数值，别凭语感判断。 ★ 蚌埠(2)-09 的四个选项分别考对称翻倍、 的拆分、、 —— 一条一条核。 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 变式3-4（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，则 = （ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 变式3-5（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量服从正态分布且，则 = （ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 变式3-6（多选·★★★☆☆） 已知随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 正态分布 概率与统计 · 专题篇 一 对称性：求 与补概率 一、对称性。 的密度曲线关于 对称，故 ，且 。 二、看到「两个概率相等」就列平均。 等价于「 与 关于 对称」，即 。求 、求端点、求参数，全靠这一条。 三、三段拼凑。 已知一侧尾部，求另一侧尾巴：；求对称区间：两条尾巴各算一次，用 减两次。 四、区间平移不改变概率。 与 只与「偏离 多少」有关。★ 邢台-12 里 与 之和恒为 ，正是这一条 ——不必知道 是多少。 五、连续型可以换不等号。 ，所以「不大于」与「小于」、「不小于」与「大于」在端点处可以互换，这一点在「已知 求 」时最常用。 例1（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量X服从正态分布，，则 = ______。 【切入点】两个等概率端点 —— 它们关于 对称，直接取平均。 【关键】，故 。 【易错】一侧是「」、另一侧是「」，方向相反也能配对，只要两端等概率即可； 取两数的算术平均，不是两者之差。 【答案】 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 设随机变量，若，则 = __________。 【切入点】 ——端点 与 关于 对称。 【关键】，即 ，。 【易错】右端的端点是 而不是 ；两个端点相加应等于 。 【答案】 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量，且，则 = ___________ 【切入点】还是「两端等概率」，只是端点里含未知数 。 【关键】，即 ，。 【易错】两个端点相加是 —— 与 合起来是 ，这一处最容易算错。 【答案】 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，若，则 = （ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 【切入点】 ——先把「和为 」翻译成「互为对立事件」。 【关键】由 得 ，故 与 关于 对称，，选 B。 【易错】不能拿到 与 就直接平均 —— 要先说明它们为什么对称（把「和等于 」凑成同一端点的对立事件）；连续型下「小于 」与「不大于 」同概率，可以直接换。 【答案】 变式1-4（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量服从正态分布，若，则 = ______。 【切入点】，而 与 关于 对称 ——把已知的左尾翻到右尾。 【关键】，故 。 【易错】求的是「」，翻完还要用 减；对称只保证两侧尾巴相等，不保证区间概率。 【答案】 变式1-5（填空·★★☆☆☆） 随机变量服从正态分布，，则 = ______。 【切入点】， 与 对称，已知右尾 。 【关键】，故 。 【易错】 与 是对立事件，和为 ；别把 当成「」的概率。 【答案】 变式1-6（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量服从正态分布。若，则=__________。 【切入点】，区间 恰好是 ——两端各切掉一块相等的尾巴。 【关键】，故 。 【易错】两侧对称，所以要乘 ；只减一次会得 。 【答案】 变式1-7（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 【切入点】、，区间 是 。 【关键】，由对称得 ，选 B。 【易错】先用「 左侧总面积是 」切出单侧概率，再翻倍；直接拿 减两次 虽然结果对，但那是「两侧尾巴都是 」的巧合，过程要说清。 【答案】 变式1-8（填空·★★☆☆☆） 若随机变量，且，则 = ________ 【切入点】 与 之和为 ——两者本来就关于 对称。 【关键】，故 。 【易错】完全不必知道 是多少 —— 只要两端点和恒为 就对称；「小于」与「大于等于」互补，和为 。 【答案】 变式1-9（填空·★★☆☆☆） 已知随机变量服从正态分布，且，则 = ______。 【切入点】 给的是两个概率之比，配合「和为 」才能定出具体值。 【关键】，故 。 ， 与 对称，故 ；。 【易错】先由比例定出 的具体值，再翻到右侧；区间从 起算，所以是「 减右尾」，不是「 减右尾」。 【答案】 二 原则与个数估计 一、三段参考概率。 ，，。 二、四种切法。 单侧尾：；单侧段：；环带：；对称段：直接用题目给的数。 ★ 只要区间端点写成 的形式，就一定能套这四种之一。 三、 要先读出来。 的第二个数是方差，。 ★ 黄石-05 的 是 ；梁山一中-10 的 是 —— 这两处最容易直接拿第二个数当 。 四、算人数。 ，结果按题目选项取整（一般是四舍五入到整十或整百）。 ★ 题目给了具体参考值（如 ）时就用给的值，不要硬套 。 例2（单选·★★☆☆☆） 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ）附：若，则。 A. 228个 B. 456个 C. 1587个 D. 3174个 【切入点】 里 是方差，，于是 ——求的是单侧尾部。 【关键】，故约 个，选 C。 【易错】 而不是 ；单侧尾是「 减中间段再除以 」，只减不除会得到 ，算出来正好是干扰项的 倍。 【答案】 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 某种包装的大米质量（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米2000袋。则大米质量在以上的袋数大约为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【切入点】题目给的 不是标准 值 —— 它只是「」这段的概率，按中间段直接用。 【关键】，故约 袋，选 B。 【易错】不要硬套 —— 题给什么就用什么；单侧尾仍然要除以 。 【答案】 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次。 A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【切入点】 与 关于 对称，已知左半段 ，求右尾。 【关键】，故 ，人数约 ，选 A。 【易错】 是「大于 」的总概率，减去已知的右半段才是右尾；用「」会算成 。 【答案】 变式2-3（填空·★★☆☆☆） 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布。已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______。 【切入点】 与 关于 对称，已知左半段 。 【关键】，由对称 ，故人数约 。 【易错】先把「小于 」算出来，再翻到「大于 」；总数是 不是 ，别用错基数。 【答案】 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有） A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人 【切入点】 的 ，于是 、 —— 求「环带的一半」。 【关键】，故约 人，选 A。 【易错】 不是 ；环带是「大区间减小区域再除以 」； 与选项 的差是取整造成的。 【答案】 变式2-5（单选·★★☆☆☆） 在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【切入点】 与 关于 对称，已知左半段 。 【关键】，故 ，选 A。 【易错】与梅州-03 是同一模型；别把 直接当成右尾，它是「 到 」这一段。 【答案】 变式2-6（多选·★★★☆☆） 某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼。学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（ ）附：随机变量服从正态分布，则，，。 A. 该校学生的体能检测结果的期望为 B. 该校学生的体能检测结果的标准差为 C. 该校学生的体能达标率超过 D. 该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 【切入点】：、 —— 逐项判断。 【关键】A 对：期望就是 。B 错：标准差是 ，不是 。 C 错：，故 。 D 对：，故 ，不达标与优秀的人数大致相等。故选 AD。 【易错】B 混淆方差与标准差；C 要看「 在 的哪一侧」—— 更靠里，所以达标率反而小于 ，不能只看它大于 就说超过 。 【答案】AD 变式2-7（填空·★★★☆☆） 已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________。 【切入点】这里有两个「」—— 单株果实数服从正态， 株中达标的株数服从二项。先把正态那个概率求出来，再当二项的 。 【关键】 与 关于 对称，故 ，，即 。 株数服从 ，方差为 。 【易错】两个「」别混；求的是方差不是标准差，最后不要再开方。 【答案】 变式2-8（单选·★★☆☆☆） 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则 = （ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9 【切入点】， 与 对称，已知左尾 。 【关键】，故 ，选 D。 也可以这样看：，故 。 【易错】用「 减右尾」最快；若走分段相加，别把左尾 漏掉再加。 【答案】 三 与其它知识的综合 一、起点永远是「」。 等价于 ——综合题的第一句话都从这里开始。 二、再叠加第二个知识点。 充要条件： 与 互为充要；最值：由 消元，化成一元二次或基本不等式；条件概率：，分子多是关于 对称的一段；期望方差：，。 三、求最值的两条路。 能配成二次就配方（滨州-04）；出现「」就走「 的代换」+ 基本不等式（名校联盟-05、郴州-04）。 ★ 用基本不等式前先凑出「乘积为常数」的两项，并写明取等条件。 四、多选项要逐条算。 先写出 、，再每一项算数值，别凭语感判断。 ★ 蚌埠(2)-09 的四个选项分别考对称翻倍、 的拆分、、 —— 一条一条核。 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】「」等价于「」——这是正态分布特有的性质，正反都成立。 【关键】，故 时 成立；反之由 也只能得 （连续型的中位数唯一）。故为充要条件，选 C。 【易错】连续型下取「小于」还是「不大于」不影响结果；也不要因为 未知就判成「无法确定」—— 只要 已知就够。 【答案】 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】由对称得 ，再求 的最小值 ——典型「 的代换」。 【关键】由 作「 的代换」：，展开得 。 由基本不等式 ，故原式 ，当 时取等，选 C。 【易错】必须先乘 （它等于 ）才能用基本不等式；直接对 用不等式会丢掉 这个约束。 【答案】 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 【切入点】对称给 ，消元后是二次函数 —— 配方即可。 【关键】，故 ，最小值为 ，选 A。 【易错】配方后看二次项系数为正，取顶点； 时取到，正好符合「关于 对称」。 【答案】 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【切入点】先由对称求出 ，再对 用「 的代换」。 【关键】，得 。 对 作「 的代换」：乘上 ，得 。 由基本不等式 ，故原式 ，选 D。 【易错】乘进去的 等于 ，外面要除以 还原；等号条件 给出 ，要在 内。 【答案】 变式3-4（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，则 = （ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【切入点】两个概率都用 表示，而 与 关于 对称 ——把「对称」翻译成方程。 【关键】，，两者相等得 ，解得 （ 舍去）。 故 ，，选 B。 【易错】 必须舍去（概率不能为负）； 是隐含条件，别忘了用。 【答案】 变式3-5（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量服从正态分布且，则 = （ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【切入点】先由对称补出 的概率，再用条件概率公式。 【关键】，由对称得 。 ，选 B。 【易错】条件概率的分母是 ，不是 ；分子只取「同时满足」的那一段 。 【答案】 变式3-6（多选·★★★☆☆） 已知随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】：、； 与 关于 对称 ——四个选项分别考对称、 的拆分、期望与方差的性质。 【关键】A 对：（对称翻倍）。 B 对：（ 与 对称，故 ）。 C 错：，不是 。D 对：。故选 ABD。 【易错】C 的 是「」忘了减 ；D 的系数平方后是 ，别写成 。 【答案】ABD 学科网（北京）股份有限公司 $