专题18 概率与统计常考小题归类讲义-2027届高三数学一轮复习

专题18 概率与统计常考小题归类 目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 抽样方法与随机数表 题型02 统计图表及其数字特征 题型03 传统线性拟合 题型04 非线性拟合处理 题型05 传统独立性检验 题型06 正态分布 题型07 超几何分布与二项分布 题型08 随机变量的分布列、期望、方差 题型09 古典概型 题型10条件概率与全概率 题型11 新赛制概率问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 抽样方法与随机数表 【例1】某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（    ） 32  12  67  12  31  02  37  02  14  72  31  09  81  47  80  25  13  25  46  08 71  20  34  51  19  72  01  38  47  18  04  92  51  28  02  31  27  46  51  30 A．098 B．147 C．513 D．310 【答案】C【解析】由题意可知得到的编号依次为231，023，147，098，513，…，则得到的第5个编号是513. 【变式1-1】非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【变式1-2】国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 【答案】C【解析】根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为（个）． 题型02 统计图表及其数字特征 【例2】豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图．根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法错误的是（    ） A．的值是 B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】C【解析】对A选项，参与评价的观众中有的评价不低于二星，则，所以，故A正确；对B选项，随机抽取名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B正确；对C选项，因为，则，故C错误；对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确.故选：C. 【变式2-1】1．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】B 【变式2-2】已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B【解析】，故， ， ，故，故选：B. 题型03 传统线性拟合 【例3】已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为 ． 【答案】【解析】回归直线经过，且，代入回归方程得：，即，所以当时，的最小值为. 【变式3-1】已知和之间的一组数据如右表；与线性相关，且回归方程为，为的方差的0.6倍，则当时， . 0 1 2 3 5 【答案】/ 【变式3-2】某科研团队研究发现向日葵花盘中所含的二萜化合物对灰葡萄孢菌具有良好的抗菌活性，能通过破坏细胞膜完整性等方式来抑制病原菌生长，增加果蔬的保鲜时长．通过实验得到不同浓度的二萜化合物对灰葡萄孢菌的抑制率如下表： 二萜化合物浓度 20 40 60 80 100 抑制率 10 15 18 21 25 若呈线性相关，且满足经验回归方程为，则当时，抑制率的值为 ． 【答案】【解析】由题得，， 所以，解得，可得，当时，． 题型04 非线性拟合处理 【例4】害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为 . 【答案】【解析】对两边同时取对数可得； 即，可得，由可得， 代入可得，即，所以. 【变式4-1】为了反映城市的人口数量x与就业压力指数y之间的变量关系，研究人员选择使用非线性回归模型对所测数据进行拟合，并设，得到的数据如表所示，则 . x 4 6 8 10 z 2 c 5 6 【答案】3【解析】，，依题意，， 而回归直线方程过点，故，解得. 【变式4-2】一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然常数，则 . 【答案】【解析】经过变换后，得到，根据题意，故，又，故，，故，于是回归方程为一定经过，故，解得，即，于是. 题型05 传统独立性检验 【例5】某校团委对“学生性别和喜欢某视频是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频的人数占男生人数的，女生喜欢该视频的人数占女生人数的，若依据小概率值的独立性检验，认为喜欢该视频和性别有关，则男生至少有（    ） 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 . A．12人 B．6人 C．10人 D．18人【答案】A 【变式5-1】对于独立性检验，下列说法中错误的是（    ） A．的值越大，说明两事件相关程度越大 B．的值越小，说明两事件相关程度越小 C．时，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件与有关 D．时，则可以大概率认为事件与有关 【答案】C【解析】对于A,B,因观测值，的值越大，越大，事件A与事件B关系越强；反之，事件A与事件B关系越弱,故A,B项均正确； 对于C，D，因只有时，说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件与有关，而，故C错误；D正确. 【变式5-2】年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 题型06 正态分布 【例6】已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 . 【答案】9【解析】因为随机变量，正数满足，有对称性可知，即，所以 ；当且仅当，即时，等号成立. 【变式6-1】若随机变量，，，则的最小值为 ． 【答案】18【解析】因为，所以对应的正态曲线的对称轴为直线.又，则由对称性得.又，所以.所以，当且仅当且，即，时，等号成立.所以的最小值为18. 【变式6-2】某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 【答案】【解析】由题可得，即， 而，所以．又因为，所以， 所以，即，解得，故至少需做次实验． 题型07 超几何分布与二项分布 【例7】某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【答案】18【解析】继续再进行80次投掷试验，出现点数为6次数服从二项分布， 由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数6的概率最大，加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 【变式7-1】某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【答案】18【解析】继续再进行80次投掷试验，出现点数为6次数服从二项分布， 由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数6的概率最大，加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 【变式8-1】口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 【答案】/【解析】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2； 则，，，所以随机变量X的概率分布为； X 0 1 2 P 所以数学期望. 【变式7-2】二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为 .(结果保留三位小数.参考数据：若，则，， 【答案】【解析】由题意得随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，同时设正面向上的次数为，则，所以，，此时符合，故有，且，，设所求概率为，因为， 所以由正态分布对称性得. 题型08 随机变量的分布列、期望、方差 【例8】“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D．【答案】D 【变式8-1】以下说法正确的个数为（   ） ①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0； ②设是随机变量，则，； ③设随机变量，若，则； ④设随机变量，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B【解析】两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故①错误； 若是随机变量，则，故②正确；随机变量，若，则，故③错误；设随机变量，则，当且仅当，时等号成立，故④错误； 【变式8-2】抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（    ） A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．与2的大小无法确定 【答案】B【解析】由题意，在第次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为， 所以，则， 故 ，所以. 题型09 古典概型 【例9】如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 【答案】 【变式9-1】甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束．若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 ． 【答案】/0.1【解析】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从8张卡片中抽取了5张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为13，乙抽取的两张卡片数字之和不为13；总的情况相当于从8张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法；其中三张卡片数字之和为13的组合有；；；；；共6种情况；当甲抽取的数字为；时， 乙在剩余的5个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种；当甲抽取的数字为；；；时，要排除乙抽到或，此时共有种；所以符合题意的排列总数为种， 可得所求概率为. 【变式9-2】抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】，若没有极值点，则，即． 由题意知，所有的基本事件为36个，其中满足的有，，，，，，，，，共有9个，所以．故选：A. 题型10 条件概率与全概率 【例10】有6名研究员进入A、B、C三个实验舱，则恰有4名研究员在A舱的条件下甲和乙在A舱的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】设事件表示“恰有4名研究员在A舱”，事件表示“甲和乙在A舱”， 则，，则. 【变式10-1】甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题意可知，，，， 所以， ，综上ABD说法正确，C说法错误； 【变式10-2】春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（   ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 【答案】C【解析】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知，，，，，， 则 故. 题型11 新赛制概率问题 【例11】随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为 . 【答案】0.304【解析】甲队在每轮点球比赛获胜的概率为，甲队在每轮点球比赛平局的概率为.由题可知最终甲队获胜，则后三轮比赛只能有两种情况： ①甲获胜两轮，剩下一轮甲乙平局，最终甲队获胜的概率为； ②甲获胜三轮，该情况下最终甲队获胜的概率为，综上，甲队获胜的概率为0.24＋0.064＝0.304. 【变式11-1】在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）．根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是 ． 【答案】 【变式11-2】甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 . 【解析】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”，由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得；记事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”， “甲在自主投篮环节得分”，“乙在自主投篮环节得分”，由题意可知相互独立，则， 且事件两两互斥， 则. 1.已知三种不同型号的产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，若样本中型号产品有件，则为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】B 2．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 【答案】A 3．学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，176，则十名护旗手身高的分位数为（    ） A．177.5 B．178 C．178.5 D．179 【答案】C 4．在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试.为了解本次考试考生的数学成绩情况，本中抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，成绩均在内，按照的分组作出频率分布直方图（如图所示），据图中数据，则（    ） A．该样本中学生成绩的中位数一定大于75 B．该样本中学生成绩的极差介于40至50之间 C．该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间 D．若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300 【答案】C 5.“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由，则，则，故A错误；在的概率为，则，则，故C正确；，故D错误； ，故B错误. 6.学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（    ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 【答案】D 7．已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，则，，， 因为，即，解得，又因为，即，解得，因为，所以，所以. 8.在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【答案】【解析】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 9．某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了10次相关数据，通过绘制散点图可看出与之间有线性相关关系，并设其回归方程为.已知和分别表示第次降雨量（单位）和水位增长量（单位：cm），且.若某次降雨量为，据此估计水位增长量为 . 【答案】35【解析】由题意得，所以， 所以回归方程为，所以当时，， 所以若某次降雨量为，据此估计水位增长量为. 10．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示： 3 4 6 7 2.5 3 4 5.9 得到与的线性回归方程，则 . 【答案】【解析】由已知可得，，， 所以，有，解得，所以.由，得， 所以，所以. 11.甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 . 【答案】0.245/【解析】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为 ，甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为 ，甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为 ，甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为 ，所以甲队以4：1获胜的概率 . 12.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则 ； ． 【解析】由题意，得，，，由，设，则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 概率与统计常考小题归类 目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 抽样方法与随机数表 题型02 统计图表及其数字特征 题型03 传统线性拟合 题型04 非线性拟合处理 题型05 传统独立性检验 题型06 正态分布 题型07 超几何分布与二项分布 题型08 随机变量的分布列、期望、方差 题型09 古典概型 题型10条件概率与全概率 题型11 新赛制概率问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 抽样方法与随机数表 【例1】某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（    ） 32  12  67  12  31  02  37  02  14  72  31  09  81  47  80  25  13  25  46  08 71  20  34  51  19  72  01  38  47  18  04  92  51  28  02  31  27  46  51  30 A．098 B．147 C．513 D．310 【变式1-1】非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（    ） A． 人 B．人 C．人 D．人 【变式1-2】国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 题型02 统计图表及其数字特征 【例2】豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图．根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法错误的是（    ） A．的值是 B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 【变式2-1】某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【变式2-2】已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（   ）    A．， B．， C．， D．， 题型03 传统线性拟合 【例3】已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为 ． 【变式3-1】已知和之间的一组数据如右表；与线性相关，且回归方程为，为的方差的0.6倍，则当时， . 0 1 2 3 5 【变式3-2某科研团队研究发现向日葵花盘中所含的二萜化合物对灰葡萄孢菌具有良好的抗菌活性，能通过破坏细胞膜完整性等方式来抑制病原菌生长，增加果蔬的保鲜时长．通过实验得到不同浓度的二萜化合物对灰葡萄孢菌的抑制率如下表： 二萜化合物浓度 20 40 60 80 100 抑制率 10 15 18 21 25 若呈线性相关，且满足经验回归方程为，则当时，抑制率的值为 ． 题型04 非线性拟合处理 【例4】害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为 . 【变式4-1】为了反映城市的人口数量x与就业压力指数y之间的变量关系，研究人员选择使用非线性回归模型对所测数据进行拟合，并设，得到的数据如表所示，则 . x 4 6 8 10 z 2 c 5 6 【变式4-2】一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然常数，则 . 题型05 传统独立性检验 【例5】某校团委对“学生性别和喜欢某视频是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频的人数占男生人数的，女生喜欢该视频的人数占女生人数的，若依据小概率值的独立性检验，认为喜欢该视频和性别有关，则男生至少有（    ） 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 . A．12人 B．6人 C．10人 D．18人 【变式5-1】对于独立性检验，下列说法中错误的是（    ） A．的值越大，说明两事件相关程度越大 B．的值越小，说明两事件相关程度越小 C．时，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件与有关 D．时，则可以大概率认为事件与有关 【变式5-2】年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 题型06 正态分布 【例6】已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 . 【变式6-1】若随机变量，，，则的最小值为 ． 【变式6-2】某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 题型07 超几何分布与二项分布 【例7】某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【变式7-1】某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【变式8-1】口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 【变式7-2】二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为 .(结果保留三位小数.参考数据：若，则，， 题型08 随机变量的分布列、期望、方差 【例8】“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】以下说法正确的个数为（   ） ①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0； ②设是随机变量，则，； ③设随机变量，若，则； ④设随机变量，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式8-2】抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（    ） A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．与2的大小无法确定 题型09 古典概型 【例9】如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 【变式9-1】甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束．若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 ． 【变式9-2】抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（    ） A． B． C． D． 题型10 条件概率与全概率 【例10】有6名研究员进入A、B、C三个实验舱，则恰有4名研究员在A舱的条件下甲和乙在A舱的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（   ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 题型11 新赛制概率问题 【例11】随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为 . 【变式11-1】在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）．根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是 ． 【变式11-2】甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 . 1.已知三种不同型号的产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，若样本中型号产品有件，则为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 2．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 3．学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，176，则十名护旗手身高的分位数为（    ） A．177.5 B．178 C．178.5 D．179 4．在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试.为了解本次考试考生的数学成绩情况，本中抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，成绩均在内，按照的分组作出频率分布直方图（如图所示），据图中数据，则（    ） A．该样本中学生成绩的中位数一定大于75 B．该样本中学生成绩的极差介于40至50之间 C．该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间 D．若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300 5.“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 6.学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（    ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 7．已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 8.在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 9．某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了10次相关数据，通过绘制散点图可看出与之间有线性相关关系，并设其回归方程为.已知和分别表示第次降雨量（单位）和水位增长量（单位：cm），且.若某次降雨量为，据此估计水位增长量为 . 10．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示： 3 4 6 7 2.5 3 4 5.9 得到与的线性回归方程，则 . 11.甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 . 12.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则 ； ． 学科网（北京）股份有限公司 $