专题19 概率与统计的综合应用讲义-2027届高三数学一轮复习

专题19 概率与统计的综合应用 目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 求概率及随机变量的分布列与期望 题型02 超几何分布与二项分布 题型03 正态分布与标准正态分布 题型04 统计图表及数字特征 题型05 线性回归与非线性回归分析 题型06 独立性检验 题型07 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 求概率及随机变量的分布列与期望 【例1】随着教育部的“双减政策”落地，为了丰富高中基础年级学生的课余生活，2025年元旦期间，某校师生举行一场惊心动魄的足球比赛；由教师代表队、高一学生代表队和高二学生代表队组成、得分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由教师代表队与高一学生代表队和高二学生代表队的两场比赛．根据前期比赛成绩，教师代表队与高一学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为；由教师代表队与高二学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． (1)求教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率； (2)用表示教师代表队两场比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【变式1-1】蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． (1)求顾客中奖的概率； (2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 【变式1-2】为了让高三同学们在紧张的学习之余放松身心，缓解压力，激发同学们的竞争意识，培养积极向上的心态，为高三生活增添一抹别样的色彩，某校高三（1）班利用课余时间开展一次投篮趣味比赛．已知该班甲同学每次投篮相互独立，每次投篮命中的概率为，且次投篮至少命中次的概率为． (1)求；(2)若甲同学连续投篮次，每次投进记分，未投进记分，记甲同学的总得分为，求的分布列和数学期望； (3)若甲同学投篮时出现命中就停止投篮，且最多投篮次，设随机变量为投篮的次数，证明：． 题型02 超几何分布与二项分布 【例2】高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； (2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 【变式2-1】同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率；(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）. 【变式2-2】在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； (3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 题型03 正态分布与标准正态分布 【例3】“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数）(2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【变式3-1】高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【变式3-2】2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 题型04 统计图表及数字特征 【例4】为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图： (1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）； (2)若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为，获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立． （ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点； （ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值． 【变式4-1】某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 (1)从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； (2)从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 【变式4-2】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为 和． (1)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高） (2)假设该厂计划用新设备全面投产，若生产一系列产品的指标数据不少于10.3即为质量优秀产品，以表中的频率估计概率，现从该厂生产的一批产品中随机抽取100件产品进行质量抽检，求抽检的产品中质量优秀产品的件数ξ的数学期望. 题型05 线性回归与非线性回归分析 【例5】红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【变式5-1】随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 (1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； (2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【变式5-2】某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180 体重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84 (1)在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测 （ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率； （ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率； (2)由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）． 参考公式及数据：样本相关系数 ，，，，． 题型06 独立性检验 【例6】“八段锦”，起源于北宋，已有八百多年的历史. 古人把这套动作比喻为“锦”，意为五颜六色，美而华贵. 体现其动作舒展优美，视其为“祛病健身，效果极好，编排精致，动作完美”，此功法分为八段，每段一个动作，故名为“八段锦”. 作为传统养生功法，对人体有着很多的益处. 为了继续推广“八段锦”，吸引更多的老年市民练习“八段锦”，促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 岁的均为老年人)练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段锦”的 200 位老年人，得到了性别与年龄的有关数据，并整理得到以下列联表： 类型 年龄 (岁) 合计 男性 36 111 女性 25 合计 200 (1)补全 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否大于 65 岁有关联? (2)在这 200 位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于 65 岁的情况下，为女性老年人的概率. 附： ，其中 . 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【变式6-1】随机数广泛应用于数据加密、安全通信、金融等领域.计算机中的随机数是由算法产生的，其“随机性”的优劣取决于所采用的算法.某工厂计划生产一种随机数发生器，这种发生器的显示屏能显示1，2，3，4中的一个数字，每按一次数字更新按钮后，显示屏上的数字将等可能地更新为另三个数字中的一个.在试生产阶段，采用两种不同算法，生产出相应算法的甲、乙两种随机数发生器.为评估两种算法的优劣，从这两种随机数发生器中随机抽取150件进行检验，得到数据饼图如下： (1)已知这150件发生器中，乙种发生器的三级品为2件.在答题卡中填写列联表；依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两种发生器的一级品率存在差异? 一级品 非一级品 合计 甲 乙 合计 (2)若发生器显示屏的初始显示数字为1，记按次数字更新按钮后得到的数字为，. （i）求，； （ii）检测一个发生器是否为一级品的方案为：每件被测发生器需进行100轮测试，每轮测试共按10次数字更新按钮；表示100轮测试得到“”的频率，规定满足的被测发生器为一级品.若某件发生器经100轮测试后得到，能否判断该发生器为一级品? 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式6-2】一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 (1)依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； (2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率； (3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 题型07 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 【例7】放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【变式7-1】如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为. (1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； (2)若，求两个粒子经过2号门后都为上旋状态的概率； (3)求的分布列和数学期望. 【变式7-2】巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为． (1)若甲抽取3次，记表示甲3次抽取题目分值之和，求的分布列和数学期望． (2)若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求． 1.甲、乙、丙人进行跳棋比赛，人两两各进行局，共进行局，赢的局数多者获胜，且这人只有人可获胜，若没有获胜者，则这人两两再各进行局，若还没有获胜者，则比赛结束.假设甲、乙、丙每人每局赢的概率均为，每局是平局的概率均为，每人每局的结果相互独立.设每赢局得分，平局得分，输局得分. (1)求该跳棋比赛前局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率； (2)已知前局中甲、乙、丙各赢局，这人两两再各进行局，记甲在这局中获得的总分为，求的分布列与数学期望. 2.某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数； (2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望； (3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率． 3.袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次变换后的函数记为，经过2次变换后的函数记为，…，经过次变换后的函数记为．现对函数进行连续的变换． (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望． 4.某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 5.为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 6.某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（y%），A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 y（%） 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若． (1)根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；（若，则认为y与z线性相关性很强；若，则认为y与z线性相关性一般；若，则认为y与z线性相关性较弱）（精确到0.01） (2)求y关于x的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）； (3)若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，现让A学员打3个球，以X表示“准点球”的个数，求X的数学期望． 参考公式和数据：对于一组数据 ，，，，，，，，，． 7.《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》于2024年3月1日经国务院常务会议审议通过.家电以旧换新的具体品类包括冰箱、洗衣机、电视、空调、电脑、热水器、家用灶具、吸油烟机等，每位消费者每类产品可补贴一件，每件补贴标准不超过2000元，部分品类及补贴标准如下表.居民甲欲将家中电视机和洗衣机进行更换，其中更换电视机的概率为0.6，两种电器只更换一件的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2. 品类名称 热水器 冰箱 洗衣机 电视机 空调 补贴标准（单位：元/件） 1000 1000 1500 2000 2000 (1)求居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的概率； (2)居民乙欲从表中5个品类中任选3个不同的品类进行以旧换新，每个品类只选一件，记居民乙获得政府补贴为，求的分布列与期望. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 概率与统计的综合应用 目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 求概率及随机变量的分布列与期望 题型02 超几何分布与二项分布 题型03 正态分布与标准正态分布 题型04 统计图表及数字特征 题型05 线性回归与非线性回归分析 题型06 独立性检验 题型07 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 求概率及随机变量的分布列与期望 【例1】随着教育部的“双减政策”落地，为了丰富高中基础年级学生的课余生活，2025年元旦期间，某校师生举行一场惊心动魄的足球比赛；由教师代表队、高一学生代表队和高二学生代表队组成、得分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由教师代表队与高一学生代表队和高二学生代表队的两场比赛．根据前期比赛成绩，教师代表队与高一学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为；由教师代表队与高二学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． (1)求教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率； (2)用表示教师代表队两场比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【解析】（1）设事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为3分”， 事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为1分”，事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为0分”，事件“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为3分”，事件“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为1分”，事件“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为0分”， 事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分”， ，，， 则，教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率为． （2）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，6． ，，，，，． 的分布列为 0 1 2 3 4 6 ． 【变式1-1】蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． (1)求顾客中奖的概率； (2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 【解析】（1）顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为，顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为，顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为，综上，顾客中奖的概率为； （2）设小明全家中奖的次数为，则，， ，，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以． 【变式1-2】为了让高三同学们在紧张的学习之余放松身心，缓解压力，激发同学们的竞争意识，培养积极向上的心态，为高三生活增添一抹别样的色彩，某校高三（1）班利用课余时间开展一次投篮趣味比赛．已知该班甲同学每次投篮相互独立，每次投篮命中的概率为，且次投篮至少命中次的概率为． (1)求；(2)若甲同学连续投篮次，每次投进记分，未投进记分，记甲同学的总得分为，求的分布列和数学期望； (3)若甲同学投篮时出现命中就停止投篮，且最多投篮次，设随机变量为投篮的次数，证明：． 【解析】（1）由题知两次均未投中的概率为，即，解得. （2）易知甲同学连续投篮次有：次均未命中，恰好命中次，命中次，次全命中，所以的可能取值为，又，， ，，所以的分布列为 . （3）易知随机变量可能取值为，又易知，所以， 则， 所以； ，又易知，所以. 题型02 超几何分布与二项分布 【例2】高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； (2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 【解析】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则，记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则，所以.即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为；解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人，所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为 （2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，所以所有可能的取值为：、、、，，， ，.所以的分布列为： . ②名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以. 【变式2-1】同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）. 【解析】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，可得：，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，因两队积分相等，所以，即，则， 而，， ， 所以 ，因为，所以两队积分相等的概率小于. 【变式2-2】在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； (3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 【解析】（1）由已知，解得， 所以平均数为 . （2）这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生分别有人，和人；所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，所以随机变量的可能取值有，，所以，， 则分布列为 期望； （3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，则，若为最大值，则， 即，即，解得，又，且，则. 题型03 正态分布与标准正态分布 【例3】“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数）(2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【解析】（1）依题意，令，则， 所以可得，，， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得，设最录取分数为，则， ，，所以，即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分，所以甲能被录取概率为，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有，即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【变式3-1】高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【解析】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”，则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”，事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ，由全概率公式：  ，∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 （2）的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； （3），  ， ，，∴的数学期望约为6人. 【变式3-2】2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 【解析】（1），又，所以.因为，根据正态曲线对称性，，又因为，所以. （2），. 令，得.当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数.所以的最大值点，从而. （ⅰ）的可能取值为3，2，1，0.，， ，，所以的分布列为 3 2 1 0 （ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为. 题型04 统计图表及数字特征 【例4】为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图： (1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）； (2)若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为，获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立． （ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点； （ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值． 【解析】（1）由频率分布直方图可知，评分为的节目的频率为，因为前四组的频率为：； 前五组的频率为：；则第85百分位数占第五组的比例为，所以，∴估计所有参赛节目评分的第85百分位数为91.7； （2）（i）评分在的节目的频数为，∴， ∴，∵， ∴当时，单调递增，当时，单调递减，当时，，所以取得极大值， ∴的极大值点； （ii）设获得一等奖的节目数为随机变量X，总奖金为Y，易知，，∴， 设二等奖奖金为a元，则∴，解得，∴二等奖奖金的最大值为100元． 【变式4-1】某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 (1)从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； (2)从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 【解析】（1）对于甲款奶茶，7天中共有3天销量大于65，设为：“该天甲款奶茶日销售量大于65杯”，则. （2）设为：“乙款奶茶日销售量大于60杯”，为：“丙款奶茶日销售量大于60杯”，则，， 而可取，则，而，故， 故的分布列为： 故. （3）乙款奶茶日销售量数据的平均值为，故，同理可得表格中所有的日销售量数据的平均值为，，而，故. 【变式4-2】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为 和． (1)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高） (2)假设该厂计划用新设备全面投产，若生产一系列产品的指标数据不少于10.3即为质量优秀产品，以表中的频率估计概率，现从该厂生产的一批产品中随机抽取100件产品进行质量抽检，求抽检的产品中质量优秀产品的件数ξ的数学期望. 【解析】（1）， ， ， ，依题意，，所以，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. （2）从表中数据可得产品的指标数据不少于10.3在10次中有6次，所以从中取一件产品为优秀的概率为，所以随机变量ξ服从，所以抽检的产品中质量优秀产品的件数ξ的数学期望为. 题型05 线性回归与非线性回归分析 【例5】红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【解析】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度x可以用线性回归方程来拟合，则． 于是， ， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为． 【变式5-1】随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 (1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； (2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【解析】（1）两边同时取自然对数得.设，所以， 因为，，，所以. 把代入，得，可得，. 所以，即关于的回归方程为. （2）由题意，得的所有可能取值依次为，，，，，且， ，， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 【变式5-2】某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180 体重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84 (1)在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测 （ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率； （ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率； (2)由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）． 参考公式及数据：样本相关系数 ，，，，． 【解析】（1）（ⅰ）记抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg为事件M，则，得．     （ⅱ）记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件A，第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B．因为样本中学生身高大于175cm的有4人，身高大于175cm且体重大于79kg的有2人，身高小于175cm且体重大于79kg的有1人，所以． （2）设未去离群点的样本相关系数为，去掉离群点后的样本相关系数为，则． 去掉离群点后，，， ，，         ， 由得     因为，且相比更接近1，所以y与x的线性相关性更强，所以去掉离群点是合理的． 题型06 独立性检验 【例6】“八段锦”，起源于北宋，已有八百多年的历史. 古人把这套动作比喻为“锦”，意为五颜六色，美而华贵. 体现其动作舒展优美，视其为“祛病健身，效果极好，编排精致，动作完美”，此功法分为八段，每段一个动作，故名为“八段锦”. 作为传统养生功法，对人体有着很多的益处. 为了继续推广“八段锦”，吸引更多的老年市民练习“八段锦”，促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 岁的均为老年人)练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段锦”的 200 位老年人，得到了性别与年龄的有关数据，并整理得到以下列联表： 类型 年龄 (岁) 合计 男性 36 111 女性 25 合计 200 (1)补全 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否大于 65 岁有关联? (2)在这 200 位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于 65 岁的情况下，为女性老年人的概率. 附： ，其中 . 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）补全 列联表如下： 类型 年龄 (岁) 合计 男性 36 75 111 女性 64 25 89 合计 100 100 200 零假设为 ： 老年人的性别与年龄是否大于 65 岁无关联.根据列联表中的数据， 得 依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即老年人的性别与年龄是否大于 65 岁有关联，该推断犯错误的概率不大于 0.001 . （2）设事件 “抽取的一位老年人年龄大于 65 岁”，事件 “抽取的一位老年人为女性老年人”， 法一： 所求概率为 . 法二： 所求概率为 . 【变式6-1】随机数广泛应用于数据加密、安全通信、金融等领域.计算机中的随机数是由算法产生的，其“随机性”的优劣取决于所采用的算法.某工厂计划生产一种随机数发生器，这种发生器的显示屏能显示1，2，3，4中的一个数字，每按一次数字更新按钮后，显示屏上的数字将等可能地更新为另三个数字中的一个.在试生产阶段，采用两种不同算法，生产出相应算法的甲、乙两种随机数发生器.为评估两种算法的优劣，从这两种随机数发生器中随机抽取150件进行检验，得到数据饼图如下： (1)已知这150件发生器中，乙种发生器的三级品为2件.在答题卡中填写列联表；依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两种发生器的一级品率存在差异? 一级品 非一级品 合计 甲 乙 合计 (2)若发生器显示屏的初始显示数字为1，记按次数字更新按钮后得到的数字为，. （i）求，； （ii）检测一个发生器是否为一级品的方案为：每件被测发生器需进行100轮测试，每轮测试共按10次数字更新按钮；表示100轮测试得到“”的频率，规定满足的被测发生器为一级品.若某件发生器经100轮测试后得到，能否判断该发生器为一级品? 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）根据题意可得列联表： 一级品 非一级品 合计 甲 26 24 50 乙 70 30 100 合计 96 54 150 零假设为：甲、乙两批发生器的一级品率没有差异.根据列联表中的数据，经计算得 ，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以可以认为甲、乙两批发生器的一级品率存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）（i）依题意可得.记“按次按钮后显示的数字为1”， 由全概率公式，得 . （ii）由全概率公式，得， 所以，即，且， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即. 所以.因为，所以该发生器为一级品. 【变式6-2】一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 (1)依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； (2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率； (3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）零假设为：对新能源车与燃油车的购买倾向不存在性别差异； 易知，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立，即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，此推断犯错误的概率不大于； （2）根据表中数据可知按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人中3人为女性，7人为男性； 再从中抽取4人进行座谈，共有种，其中有女性居民参加座谈的情况共有种； 恰有2名男性居民参加座谈的情况共有种；因此在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率为； （3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，可知抽取结果如下表： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 男性居民 7 5 再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为， 的所有可能取值为；所以，； ，，的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望. 题型07 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 【例7】放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【解析】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，，，，，， 由全概率公式得，， 所以该航班准点放行的概率为. （2），， ，因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 【变式7-1】如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为. (1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； (2)若，求两个粒子经过2号门后都为上旋状态的概率； (3)求的分布列和数学期望. 【解析】（1）设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，故，解得或. （2）设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”， 则， 则. （3）由题知，时分3类情形， ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态， 所以，同理， ，所以所求的分布列为 X 0 1 2 P 所以所求数学期望. 【变式7-2】巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为． (1)若甲抽取3次，记表示甲3次抽取题目分值之和，求的分布列和数学期望． (2)若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求． 【解析】（1）的所有可能取值为．，， ，，所以的分布列为 6 14 22 30 所以． （2）记“甲抽出题目分值之和为”，，则，． 当甲抽出题目分值之和为24时，乙抽出题目分值之和需为32或40，所以； 当甲抽出题目分值之和为32时，乙抽出题目分值之和需为40，所以． 故． 1.甲、乙、丙人进行跳棋比赛，人两两各进行局，共进行局，赢的局数多者获胜，且这人只有人可获胜，若没有获胜者，则这人两两再各进行局，若还没有获胜者，则比赛结束.假设甲、乙、丙每人每局赢的概率均为，每局是平局的概率均为，每人每局的结果相互独立.设每赢局得分，平局得分，输局得分. (1)求该跳棋比赛前局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率； (2)已知前局中甲、乙、丙各赢局，这人两两再各进行局，记甲在这局中获得的总分为，求的分布列与数学期望. 【解析】（1）依题意可得乙和丙不可能都得分或分，则乙和丙可能都得分或分， 当乙和丙都得分时，这局均为平局或这局每人各赢局；当乙和丙都得分时，乙与丙都赢了甲且乙与丙的对局结果为平局.所以该跳棋比赛前局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率为. （2）依题意可得的可能取值为，则，， ，，， 则的分布列为： 6 5 4 3 2 故. 2.某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数； (2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望； (3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率． 【解析】（1）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为，则． 全校学生运动时长超过分钟的人数约为． （2）由图可知，运动时长超过分钟的人数为，运动时长不超过分钟的人数为，由题意可知的可能取值为、、， 则，，，所以的分布列为 所以． （3）运动时长超过分钟的人数为，运动时长不超过分钟的人数为，所以从样本中任意选取名学生，恰有名学生是“热爱运动者”的概率． 3.袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次变换后的函数记为，经过2次变换后的函数记为，…，经过次变换后的函数记为．现对函数进行连续的变换． (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望． 【解析】（1）第一次从袋中摸出的是白球，把函数变换为， 第二次从袋中摸出的是红球，把函数变换为，所以. （2）经过3次变换后，有4种情况:若摸出的3个球都是白球，则； 若摸出的3个球为2个白球、1个红球，则；若摸出的3个球为1个白球、2个红球，则；若摸出的3个球都是红球，则； 所以随机变量的可能取值为.因为从袋中随机摸出1个球，是白球的概率为，是红球的概率为， 故，， ，. 所以所求随机变量的分布列为 所以，. 4.某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 【解析】（1）该同学投篮了四次，设分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”. 则有. （2）随机变量代表次投篮后命中的次数，则服从二项分布， 然后令随机变量，并近似视为其服从正态分布.题目条件即为，即的概率至少为.由于我们有， 故命题等价于，解得.综上，该同学至少要投次. 5.为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 【解析】（1）根据题意，， 解得. （2）运动时长为的频率为所以运动时长为的样本群众人数为（人） （3）由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为.该市群众每天体育运动时间的平均数约为 由题意知， 前两组的频率为，前三组的频率为.所以 中位数在50和60之间，设为x，则+ (，解得，即该市群众每天体育运动时间的中位数约为. 6.某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（y%），A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 y（%） 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若． (1)根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；（若，则认为y与z线性相关性很强；若，则认为y与z线性相关性一般；若，则认为y与z线性相关性较弱）（精确到0.01） (2)求y关于x的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）； (3)若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，现让A学员打3个球，以X表示“准点球”的个数，求X的数学期望． 参考公式和数据：对于一组数据 ，，，，，，，，，． 【解析】（1），故与线性相关性很强． （2），， 所以关于的线性回归方程为，将代入，得．当时，，故预测第9周“准点球”的百分比为55.89%． （3）现在A学员任打一球是“准点球”的概率为：，由题意，数学期望． 7.《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》于2024年3月1日经国务院常务会议审议通过.家电以旧换新的具体品类包括冰箱、洗衣机、电视、空调、电脑、热水器、家用灶具、吸油烟机等，每位消费者每类产品可补贴一件，每件补贴标准不超过2000元，部分品类及补贴标准如下表.居民甲欲将家中电视机和洗衣机进行更换，其中更换电视机的概率为0.6，两种电器只更换一件的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2. 品类名称 热水器 冰箱 洗衣机 电视机 空调 补贴标准（单位：元/件） 1000 1000 1500 2000 2000 (1)求居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的概率； (2)居民乙欲从表中5个品类中任选3个不同的品类进行以旧换新，每个品类只选一件，记居民乙获得政府补贴为，求的分布列与期望. 【解析】（1）设事件“更换电视机”，事件“更换洗衣机”， 因为，所以， 因为，，且， 所以，由全概率公式，得，所以，同理可得，所以， 则，所以居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的概率为0.5. （2）由题意知的可能取值为3500，4000，4500，5000，5500， ，，， ，. 所以的分布列为 3500 4000 4500 5000 5500 则元. 学科网（北京）股份有限公司 $