山东济南市历城第二中学2026-2027学年高一上学期10月学情诊断数学试卷

历城二中 63 级高一 10 月份学情诊断数学试题 参考答案与试题解析 一、单选题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B C B C B 1．（5分）命题“，”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】存在量词命题的否定，量词换成“任意”，结论取反，注意 这个条件不变． 【解答】解：原命题是存在量词命题，其否定为全称量词命题， “”的否定是“”， 否定为 ，． 故选：A． 2．（5分）已知集合 ，，则 =（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解出 ，再看 中有哪些元素真的比 3 大． 【解答】解：由 得 ，， ，其中没有大于 的元素， ． 故选：D． 3．（5分）若 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】两个方向都要推：先看 能否推出结论，再看反方向． 【解答】解：若 ，则 ，又 ，， ，充分性成立； 若 ，则 ，即 ， ，，必要性成立． 是充要条件． 故选：C． 4．（5分）已知命题 ：，；命题 ：，，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 【答案】B 【分析】先各找一个反例或例子，判断 、 的真假，再选． 【解答】解：对 ，取 ，则 不成立， 是假命题， 是真命题； 对 ，取 ，则 成立， 是真命题． 和 都是真命题． 故选：B． 5．（5分）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把“定义域为 ”的充要条件求出来（按 的正负、零点分类），再找它的真超集． 【解答】解：要使定义域为 ，需 对任意 恒成立． ①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 ，； ③当 时，二次函数开口向下，不可能恒正，舍去． 充要条件是 ，即 ． 与它完全一样，是充要条件；、 都推不出它； 中的 真包含 （ 时 在 处为 ，定义域不是 ）， 是必要不充分条件． 故选：C． 6．（5分）关于 的不等式 的解集中恰有 2 个整数，则实数 的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】因式分解成 ，按两根的大小分两类，再数一数区间里正好有几个整数． 【解答】解：原不等式即 ． ①当 时，解集为 ，其中的整数从 开始， 要恰有 2 个整数（即 、），需 ； ②当 时，解集为 ，不含整数，舍去； ③当 时，解集为 ，其中的整数从 往左数， 要恰有 2 个整数（即 、），需 ． 实数 的取值范围是 或 ． 故选：B． 7．（5分）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的“不动点”．已知函数 在区间 上恰有两个不同的不动点，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“不动点”就是方程 的根．把它整理成二次方程，要求两个不同实根都落在 内，再按 的正负讨论． 【解答】解：由 得 （*）． ①当 时，（*）化为 ，只有一个根 ，不合题意； ②当 时，需 ，即 或 ； ， 或 ． 当 时，两根之积 ，之和 ，两根均为正， 较大根 ，不合题意； 当 时，两根之和 ，积为正，两根均为负数，自然都小于 ，符合； ③当 时，需 或 ，即 都满足； 此时两根之积 ，一正一负，正根为 ， ，，两个根都符合； 的取值范围是 ． 故选：C． 8．（5分）当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 的范围确定下来：先看 这个“最不利”的位置，再说明此时对一切 都成立． 【解答】解： 不等式对一切 恒成立， 令 得 ，即 ． ①当 时，，即 ，； ②当 时，，即 ，，无解． ． 下面验证充分性：当 时，对 有 ，， 原不等式即 ，即 ，． ，，，，两因式同号且不为零，不等式成立． 故选：B． 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分 9．（6分）下列说法正确的是（　　） A．已知函数 ，则 B． 与 是同一函数 C．若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 D．函数 的值域为 【答案】ABD 【分析】逐项验证： 用换元法求解析式； 看定义域与对应关系； 注意“括号里”的范围； 先求根号内式子的取值范围． 【解答】解：：令 ，则 ， ，，正确； ：，与 的定义域、对应关系都相同，是同一函数，正确； ：，，即 的定义域为 ， 由 得 ，即定义域为 ，错误； ：，且当 或 时取到一切非负值， 的值域为 ，正确． 故选：ABD． 10．（6分）设 ， 且满足 ，则（　　） A． 有最大值为 B． 有最小值为 C． 有最小值为 D． 有最大值为 【答案】BC 【分析】 是定和，、 直接配方或用基本不等式； 用“乘 1 法”； 用柯西不等式，但要检查等号能否取到． 【解答】解：：，最大值为 ，错误； ：，当 时取等号，最小值为 ，正确； ：， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，，正确； ：由柯西不等式 ， ， 但等号成立需 ，即 ，结合 得 ，与 矛盾， 取不到最大值，错误． 故选：BC． 11．（6分）对任意 ，，记 ，并称 为集合 ， 的对称差．下列命题中，是真命题的为（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ， 且 ，则 D．若 ， 且 ，则 【答案】ACD 【分析】对称差就是“并集去掉交集”。、 要把 、 翻译成集合关系． 【解答】解：：，， ，正确； ：，， ，注意 、 都被去掉了，错误； ：， 对任意 ， 且 ， 即 ，； 又若存在 且 ，则 ，矛盾，， ，正确； ： 即 ，<m> 只能 ，正确． 故选：ACD． 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分 12．（5分）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会仅会两种球类的老师有 　　　　位． 【答案】20 【分析】用三个集合的容斥原理：先求出“两两交集之和”，再减去三个都交的部分． 【解答】解：设会乒乓球、羽毛球、篮球的老师分别构成集合 、、， 则 ，，，，． 由容斥原理 ， 得 ． 仅会两种球类的老师被算了 次，三种都会的被算了 次， 仅会两种的人数为 （位）． 故答案为：20． 13．（5分）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 　　　　． 【答案】 【分析】把条件 两边同除以 ，得到“和为 1”的形式，再对所求式子乘 1． 【解答】解：，，由 得 ， 又 ，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 的最小值为 ． 故答案为：． 14．（5分）已知当 时，不等式 恒成立，则实数 = 　　　　． 【答案】 【分析】两个因式各自变号的“分界点”必须重合，否则乘积会变号． 【解答】解： 对一切 恒有 ， 当 时，第一个因式与 同号，第二个因式为正，，即 ； 若 ，第一个因式为 ，而 充分大时第二个因式为正，乘积为负，不合题意，． 此时第一个因式的零点为 ， 第二个因式的正零点为 ， 两个因式在 、 处分别变号，要使乘积恒非负，必须 ， 即 ． 两边乘以 并整理，可得 （此时 ，乘积为 ，确实恒成立）． 故答案为：． 四、解答题：共5小题，共77分 15．（13分）已知命题 ：，，命题 ：对任意 ，不等式 恒成立； （1）若命题 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若 ， 中至少有一个是假命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】 是“对任意 ，方程都不成立”， 时方程退化成一次，要单独看；第（2）问用“正难则反”，先求 、 都为真的范围，再取补集． 【解答】解：（1）：，． ①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 ，即 ． 为真命题时，，即取值范围为 ． （2）先求 、 都为真命题时 的范围． 由（1）知 为真时 或 ； 对 ：设 ，， 在 上单调递减，， 只需 ，即 ， 为真时 ． 、 都为真时 ， 至少有一个为假时 ，即取值范围为 ． 16．（15分）某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产 百台高级设备需要另投成本 万元，且 ，． 每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台． （1）求企业获得年利润 （万元）关于年产量 （百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1）；（2）当年产量为 百台（即 4000 台）时年利润最大，最大年利润为 万元 【分析】利润 = 销售收入 − 生产成本 − 固定成本。注意 的单位是“百台”，每百台售价 90 万元，所以收入是 90x 万元，不要漏掉固定成本 400 万元。 【解答】解：（1）由题意，年产量为 百台时的销售收入为 90x 万元， ． 当 时，； 当 时，． （2）当 时，， 当 时， 取最大值 ； 当 时，， 当且仅当 ，即 时取等号． ， 当年产量为 百台（即 4000 台）时年利润最大，最大年利润为 万元． 17．（15分）已知集合 ，集合 （）． （1）若 ，全集 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围； （3）设命题 ：；命题 ：，若命题 是命题 的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 或 ；（3） 【分析】（1）先解出 、 再求补集与交集；（2） 中含参数，一定要先讨论 ；（3）“ 是 的必要不充分条件”即 ，同样要讨论空集． 【解答】解：（1）由 得 ，． 当 时，，， ． （2）①当 时，，即 ，此时 ，符合； ②当 ，即 时，需 或 ， 或 ，结合 得 ． 或 ． （3） 是 的必要不充分条件，． ①当 时，，符合； ②当 时，由 得 且 ， ，结合 得 ； （此时 的长度不超过 ，一定不等于 ，满足“不必要”） 综上所述，． 18．（17分）已知二次函数 （，， 为实数）． （1）若 的解集是 ，求不等式 的解集； （2）当 ， 时，求关于 的不等式 的解集； （3）若不等式 对任意 恒成立，求 的最大值． 【答案】（1）；（2）见解答（按 与 的大小分三类）；（3） 【分析】（1）解集的两个端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系把 、 都用 表示；（2）先把左边因式分解成 ，再按两根大小分类；（3）恒成立转化为 ，得到 关于 、 的下界，再换元求最值． 【解答】解：（1） 的解集为 ，，且 、 是 的两根， ，，即 ，． 即 ， ，，， 解集为 ． （2）当 时，原不等式为 ， 即 ．， 抛物线开口向下，两根为 与 ． ①当 时，，解集为 ； ②当 时，，解集为 ； ③当 时，，解集为 ． （3） 即 ， 它对任意 恒成立， 且 ， ， ． 令 ，，则 ， ． 再令 ，则原式 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 的最大值为 ． 19．（17分）定义：设非空数集 ，若 ，，，则称 是一个“乘法封闭集”；若 ，，则称 为 的一个“完美元素”．已知集合 ． （1）证明： 是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集” 恰有 4 个子集，求集合 ； （3）若 （，）是集合 的一个“完美元素”，求 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 或 ；（3） 【分析】（1）把两个元素相乘，整理成 的形式，说明新的系数仍是整数即可；（2）4 个子集说明 只有 2 个元素，逐个试；（3）把 分母有理化，再要求它属于 ． 【解答】解：（1）证明：任取 ，（，，，）， ， ，，，，，， ，即 是乘法封闭集． （2） 恰有 4 个子集， 中恰有 2 个元素，设 ． 由乘法封闭知 、、 都必须在 中， ，． ①若 且 ，则 ，，； ②若 且 ，则 ，， 或 ， 对应 或 ，都退回 ①，且此时 只有 1 个元素，不符； ③若 且 ，则 或 ；当 时 ，不符；当 时 ， 或 ，前者只有 1 个元素，舍去． 或 ，（验证： 中任意两数之积仍在此集合中， 也满足．） （3）由题意 ，且 ， ，， ，，即 同时整除 与 ． 设 ，，（），则 ， 整除 ，即 整除 ， ，且 ． 若 ，则 ，即 ， 但平方数除以 的余数只能是 ，不可能余 ，矛盾； ． 高一数学 参考答案与试题解析　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 历城二中 63 级高一 10 月份学情诊断数学试题 考试时间：120 分钟　　总分：150 分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）命题“，”的否定是（　　） A． B． C． D． 2．（5分）已知集合 ，，则 =（　　） A． B． C． D． 3．（5分）若 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）已知命题 ：，；命题 ：，，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 5．（5分）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 6．（5分）关于 的不等式 的解集中恰有 2 个整数，则实数 的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（5分）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的“不动点”．已知函数 在区间 上恰有两个不同的不动点，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（6分）下列说法正确的是（　　） A．已知函数 ，则 B． 与 是同一函数 C．若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 D．函数 的值域为 10．（6分）设 ， 且满足 ，则（　　） A． 有最大值为 B． 有最小值为 C． 有最小值为 D． 有最大值为 11．（6分）对任意 ，，记 ，并称 为集合 ， 的对称差．下列命题中，是真命题的为（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ， 且 ，则 D．若 ， 且 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（5分）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会仅会两种球类的老师有 　　　　位． 13．（5分）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 　　　　． 14．（5分）已知当 时，不等式 恒成立，则实数 = 　　　　． 四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知命题 ：，，命题 ：对任意 ，不等式 恒成立； （1）若命题 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若 ， 中至少有一个是假命题，求实数 的取值范围． 16．（15分）某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产 百台高级设备需要另投成本 万元，且 ，． 每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台． （1）求企业获得年利润 （万元）关于年产量 （百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 17．（15分）已知集合 ，集合 （）． （1）若 ，全集 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围； （3）设命题 ：；命题 ：，若命题 是命题 的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 18．（17分）已知二次函数 （，， 为实数）． （1）若 的解集是 ，求不等式 的解集； （2）当 ， 时，求关于 的不等式 的解集； （3）若不等式 对任意 恒成立，求 的最大值． 19．（17分）定义：设非空数集 ，若 ，，，则称 是一个“乘法封闭集”；若 ，，则称 为 的一个“完美元素”．已知集合 ． （1）证明： 是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集” 恰有 4 个子集，求集合 ； （3）若 （，）是集合 的一个“完美元素”，求 的值． 高一数学　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $