第三章圆锥曲线的方程单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程单元测试卷 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A． B． C． D．10 2．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A． B． C． D． 4．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（ ） A． B． C．1 D． 5．已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（ ） A．2 B．3 C． D．4 7．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B．3 C． D． 8．已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 10．（多选）已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A． B． C． D．以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 11．（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点，在第一象限，且，则（ ） A．点到的渐近线的距离为 B． C．的离心率为2 D．分别以为直径的圆的公共弦长为 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________. 13．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为_________________. 14．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，且，则 . 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 16．（15分）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 17．（15分）已知抛物线的准线方程为，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为. (1)求实数p的值； (2)求的面积. 18．（17分）已知椭圆C:=1的焦点在x轴上，右顶点A为抛物线的焦点. （1）求椭圆C的方程; （2）已知点，若斜率为的动直线与椭圆C交于不同的两点M,N，求最小值. 19．（17分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与，记的面积分别为，求的最小值. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章圆锥曲线的方程单元测试卷 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆的长半轴长，所以P到该椭圆的两个焦点的距离之和. 故选：C. 2．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 3．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】找到旋转前后的对应关系，写出新的抛物线方程，对应即可. 【详解】抛物线即开口向上，将其绕顶点逆时针旋转，得到的抛物线开口向左，其方程为，即为原抛物线，所以，则． 故选：B 5．已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线定义可得，从而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线定义可知，所以，即， 所以双曲线C：，则渐近线方程为. 故选：B． 6．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据焦点可得抛物线方程，进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解. 【详解】由，得，即，故抛物线的方程为. 设，则的面积为，得， 将代入，得， 由焦半径公式. 故选：D. 7．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设，应用点差法，结合为线段中点及、列方程求得，进而求离心率. 【详解】由题意，设，则， 两式相减得，而， ， 所以. 故选：B. 8．已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，用表示出，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】抛物线，焦点，设直线的倾斜角为，得：，则，. 当且仅当时等号成立.故选：D 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 【答案】BCD 【分析】由已知及双曲线的定义得且、，再依次判断各项的正误. 【详解】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD 10．（多选）已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A． B． C． D．以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 【答案】BCD 【分析】对于A，由焦点坐标可确定抛物线方程；对于B，将直线与抛物线方程联立，由韦达定理可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合抛物线定义可得答案；对于D，由抛物线定义及梯形中位线定理可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由是抛物线：的焦点，知，解得，所以选项A错误； 对于B，由可得抛物线方程为.过点且倾斜角为135°的直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程为，即. 将代入，可得，即. 因为，是直线与抛物线C的交点，根据韦达定理，，所以选项B正确； 对于C，由抛物线的焦点弦长公式. 因为，，所以，，则. 又因为，所以，所以选项C正确； 对于D，设的中点为P，分别过M，N，P作抛物线C的准线的垂线， 垂足分别为，，， 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 则，. 所以. 这说明以为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径， 所以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点，所以选项D正确. 故选：BCD. 11．（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点，在第一象限，且，则（ ） A．点到的渐近线的距离为 B． C．的离心率为2 D．分别以为直径的圆的公共弦长为 【答案】ACD 【分析】利用双曲线的定义以及余弦定理可求得，从而可求得，即可判断选项A，C；用余弦定理和双曲线的定义可求得判断选项B；点作于点，易知分别以为直径的圆的公共弦为，勾股定理可求公共弦长，即可求解选项D. 【详解】 因为双曲线，所以， 又因为，可得，， 又因为，所以，， 则在中由余弦定理有， 即，解得或（舍）， 则，则，所以，即点到点渐近线的距离等于，正确； 的离心率为，正确； 在中，由余弦定理可得有，则，解得，所以，错误； 过点作于点，因为,则点在为直径的圆上， 所以以为直径的圆的公共弦为，且，所以，正确. 故选： 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标. 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 13．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为_________________. 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 14．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，且，则 . 【答案】16 【分析】设直线的方程为，直线和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】由题意得，易知直线的斜率存在且不为0（当直线的斜率不存在时，点为的准线与轴的交点，此时，不符合题意；当直线的斜率为0时，直线与只有一个交点，不符合题意）， 故设直线的方程为，与联立，消去得， 设，，则，因为线段的中点为， 所以，由，得，得， 解法一：所以. 解法二：所以，设直线的倾斜角为，则，故. 故答案为：16. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 16．（15分）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 17．（15分）已知抛物线的准线方程为，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为. (1)求实数p的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到关于的方程，解方程可得的值； （2）设直线的方程为，， 与抛物线方程联立，结合韦达定理得到关于的方程，解方程即可确定直线方程，再利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后利用面积公式计算可得． (1)解：由准线方程为知，，故. (2)解：由（1）知，抛物线方程为， 设直线的方程为，， 联立抛物线方程，化简得. 则， 由线段的中点为，知， ，代入韦达定理知， ，解得， 故直线的方程为. 所以， 因此的面积. 18．（17分）已知椭圆C:=1的焦点在x轴上，右顶点A为抛物线的焦点. （1）求椭圆C的方程; （2）已知点，若斜率为的动直线与椭圆C交于不同的两点M,N，求最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）抛物线的焦点是，所以椭圆的； （2）先设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数的关系，代入向量的数量积，然后利用配方法求解. 【详解】（1）由抛物线，知其焦点为，故椭圆C中， 所以椭圆C的方程为 （2）由题意,可设直线方程为， 由，得， 因为动直线与椭圆C交于不同的两点， 所以，解得， 设，则， 所以 ， 因为，， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值， 最小值为 19．（17分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与，记的面积分别为，求的最小值. 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）利用定义法求出抛物线的方程； （2）抛物线焦点弦的性质：过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点，设其方程为，与抛物线联立，利用韦达定理，求出面积的表达式，然后将式子代入，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，知， 所以，所以抛物线的方程为. （2）由题意知直线与的斜率均不为0， 设， 联立消去得，则， 因为，用替换得 所以， ， 所以 ，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为32. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $