第三章圆锥曲线的方程章末检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修第一册 第三章《圆锥曲线的方程》检测试卷 考试范围与说明 考试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第三章——3.1 椭圆；3.2 双曲线；3.3 抛物线。包含圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，以及与圆锥曲线相关的最值、定值、定点等综合问题。 1. 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线 的焦点坐标是（　　） A. B. C. D. 1. 已知双曲线 ，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 1. 椭圆 上一点 到左焦点的距离为 ，则点 到右焦点的距离为（　　） A. B. C. D. 1. 已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 1. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，则 =（　　） A. B. C. D. 1. 已知椭圆 的焦距为 ，且过点 ，则椭圆 的方程为（　　） A. B. C. D. 1. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在 的右支上，且 ，，则 的离心率为（　　） A. B. C. D. 1. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 交于 两点。若 ，且线段 的中点到 轴的距离为 ，则 =（　　） A. B. C. D. 1. 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 1. 关于椭圆 ，下列说法正确的是（　　） A. 长轴长为 B. 离心率为 C. 焦点坐标为 D. 短轴长为 1. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，则下列说法正确的是（　　） A. 的虚轴长为 B. 的离心率为 C. 点 在 上，则 D. 的渐近线与圆 相切 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 若 ，则线段 的中点到准线的距离为 1. 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 = 。 1. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，且 ，则 的面积为 。 1. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 ，则 的最小值为 。 1. 解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （13分） 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 。 1. 求椭圆 C 的标准方程； 1. 求椭圆 上的点到直线 的距离的最大值。 1. （15分） 已知双曲线 的离心率为 ，且过点 。 1. 求双曲线 C 的标准方程； 1. 设 分别为双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线 的右支上，且 ，求 的余弦值。 1. （15分） 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 。 1. 求抛物线 C 的方程； 1. 过点 作斜率为 的直线 ，与抛物线 交于 两点，求 的面积（ 为坐标原点）。 1. （17分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且点 在椭圆 上。 1. 求椭圆 C 的标准方程； 1. 过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 的面积为 ，求直线 的方程。 1. （17分） 已知双曲线 的离心率为 ，且过点 。 1. 求双曲线 C 的标准方程； 1. 设 是双曲线 上关于原点对称的两个点，点 是双曲线 上异于 的一点。若直线 的斜率分别为 （且 均存在），求证： 为定值。 参考答案与详细解答 一、单项选择题 1. B。抛物线 中 ，故 ，焦点在 轴正半轴上，坐标为 。 2. B。双曲线 中 ，渐近线方程为 。 3. B。椭圆中 ，由椭圆定义知 。已知 ，所以 。 4. A。离心率 ，则 ，，即 。渐近线方程为 。 5. B。抛物线 中 ，准线为 。点 在抛物线上，由抛物线定义知 。 6. A。焦距 ，故 ，。将点 代入椭圆方程得 。联立解得 （另一组 舍去）。故椭圆方程为 。 7. C。设 ，则 。由双曲线定义，，即 ，。在直角三角形 中，由勾股定理得 ，即 ，，，。 8. A。设 。由抛物线焦点弦性质，。 中点到 轴距离为 ，故 。代入得 ，。 二、多项选择题 9. ACD。椭圆中 。长轴长 ，A正确；离心率 ，B错误；焦点为 ，C正确；短轴长 ，D正确。 10. ABC。双曲线中 。虚轴长 ，A正确；离心率 ，B正确；由双曲线定义 ，C正确；渐近线 ，原点到渐近线的距离为 ，D错误。 11. ABC。抛物线中 ，焦点 ，准线 。设直线 ，代入 得 ，故 ，B正确；，A正确；，而 ，代入得 ，C正确；若 ，则 ， 中点到准线距离为 ，D错误。 三、填空题 12. 2。双曲线渐近线方程为 ，由题意 ，故 。 13. 。椭圆中 。设 ，则 。在 中，由余弦定理 ，即 ，得 。面积 。 14. 。抛物线焦点 ，准线 。由抛物线定义 等于点 到准线的距离，故 的最小值即为点 到准线 的距离，即 。 四、解答题 15.（13分） （1） 椭圆离心率 ，故 ，。椭圆方程为 。 代入点 ：，即 ，。 故 ，椭圆 的标准方程为 。 （2） 设椭圆上点为 ，则点 到直线 的距离为： 令 （其中 ），其最大值为 （因为 ）。 故 。 距离的最大值为 。 16.（15分） （1） 离心率 ，故 ，。双曲线方程为 。 代入点 ：，即 ，。 故 ，双曲线 的标准方程为 。 （2） 双曲线 中 ，故 。 设 。由双曲线定义，点 在右支上，故 。又已知 。 由余弦定理： ，，。 故 。 17.（15分） （1） 抛物线 的准线为 ，焦点 。 点 在抛物线上，由抛物线定义 ，故 。 抛物线 的方程为 。 （2） 焦点 。过 且斜率为 的直线 的方程为 。 代入 ：，。 设 ，则 ，。 弦长 。 原点 到直线 的距离 。 的面积 。 18.（17分） （1） 由题意 ，故 。点 在椭圆上，代入得 。 联立解得 （另一组 舍去）。 椭圆 的标准方程为 。 （2） 设直线 l:x=my+1，代入椭圆方程： 整理得 。 设 ，则 ，。 。 的面积 。 令 ，化简得 。 令 ，则 ，代入得 ，即 ，。 舍去 的根，取 。 故 。 直线 的方程为 。 19.（17分） （1） 离心率 ，故 ，。 双曲线方程为 。 代入点 ：，即 ，。 故 ，双曲线 的标准方程为 。 （2） 设 ，则 ，且满足 。 设 为双曲线上异于 的一点，满足 。 ，。 由双曲线方程：，。 故 。 代入得 。 故 为定值 。故 为定值 。 学科网（北京）股份有限公司 $