第二章直线与圆的方程单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线与圆的方程单元测试卷 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 2．已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线斜率，根据直线的斜截式方程，即可求得答案. 【详解】因为直线倾斜角为，故直线的斜率为, 又直线在轴上的截距为，故直线方程为, 故选：D 3．若直线与直线垂直，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用两条直线互相垂直列式求解. 【详解】由直线与直线垂直，得，所以. 故选：C 4．经过三点，，的圆的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先利用三点的坐标求出圆的方程，进一步利用圆的面积公式求出结果. 【详解】解：设圆的一般式方程为：， 由于：圆经过三点，，的坐标， 故：，解得：，，. 故圆的方程为：，整理得：， 所以：. 故选：. 【点睛】本题考查的知识要点：圆的一般是方程的应用，圆的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型. 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出点关于直线的对称点为，则可得即为“将军饮马”的最短总路程，求出的坐标，即可求出. 【详解】如图，点关于直线的对称点为，则即为“将军饮马”的最短总路程， 设， 则，解得， 则， 故“将军饮马”的最短总路程为10. 故选：D. 6．若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 7．若圆与圆相交，则正整数的值为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求圆心坐标，再求圆心距，再利用两圆相交得，解出即可求解. 【详解】圆的圆心，半径为，圆，所以， 所以圆心，半径为， 所以， 由圆与圆相交，所以， 即，解得，又，所以， 故选：B. 8．已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论： ①不论为何值时，与都互相垂直； ②当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）； ③不论为何值时，与都关于直线对称； ④如果与交于点，则的最大值是1； 其中，所有正确的结论的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4. 【答案】C 【详解】对于①，当时，两条直线分别化为:，此时两条直线互相垂直，当时，两条直线斜率分别为:,满足,此时两条直线互相垂直，因此不论为何值时，与都互相垂直，故①正确； 对于②，当变化时，代入验证可得:与分别经过定点和，故②正确； 对于③，由①可知:两条直线交点在以为直径的圆上，不一定在直线上，因此与关于直线不一定对称，故③不正确； 对于④，如果与交于点，由③可知:，则，所以的最大值是1，故④正确. 所有正确结论的个数是3. 故选C 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列四个命题中错误的有（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率越大 B．直线倾斜角的取值范围是 C．两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等 D．过点的直线平行于直线 【答案】AC 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系判断A，倾斜角的定义判断B，平行直线的充要条件判断C,直线方程的定义判断D. 【详解】对于A，倾斜角为锐角对应的斜率为正数， 倾斜角为钝角对应的斜率为负，所以锐角对应的斜率大于钝角对应的斜率，故A错误； 对于B，直线的倾斜角的范围为，故B正确； 对于C，两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在，故C错误； 对于D，过点的直线方程为平行于直线，故D正确. 故选:AC 10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线l恒过定点(3，1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 【答案】AC 【分析】求出直线所过的定点，确定点在圆内，从而确定直线与圆的位置关系. 【详解】将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0， 由解得： 则无论m为何值，直线l过定点(3，1)， 因为，所以点在圆内， 故直线l与圆C恒相交，故AC正确. 故选：AC 11．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】ABD 【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解 【详解】曲线的方程可化为，它表示圆心为，半径为的圆. 对于A，表示圆上的点到原点的距离的平方， 则它的最小值为， 此时的最小值是，故A正确； 对于B，表示圆上的点与点的连线的斜率， 则该直线的方程为，即 由圆心到直线的距离， 解得，故B正确； 对于C，设是曲线上任意一点， 则到直线的距离为， 所以表示曲线上任意一点到直线的距离的倍， 而圆心到直线的距离， 所以其最小值为，故C错误； 对于D，因为点在圆上， 的斜率为，则过点的切线斜率为， 故切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．不论m为何实数，直线mx－y＋3＝0 恒过定点___________________（填点的坐标） 【答案】 【分析】将方程变形成点斜式可得. 【详解】将直线变形为，由直线方程的点斜式可知直线过定点. 故答案为： 13．已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【答案】 【分析】先求出公共弦的方程，求出点到直线的距离，结合勾股定理可得答案. 【详解】两圆的方程相减可得：， 如图，圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为： 14．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________________. 【答案】 【分析】分类讨论，当直线与线段交于点时，经计算得不合题意，当直线与线段交于点时，根据可求得点的坐标，即可得到直线的斜率. 【详解】 由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等。 问题：已知直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设出直线方程，利用直线平行，垂直的性质求解参数即可. （2）求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 16．（15分）已知圆C过点，，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且与圆C相切的直线方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用几何法作出圆心，结合方程组求解圆心坐标和半径，从而可得圆的标准方程； （2）利用分斜率是否存在来表示直线，结合圆心到直线的距离等于半径来求切线方程. 【详解】（1）由点，，可得中点和斜率， 则的中垂线方程为：， 由圆心既在的中垂线上，又在直线上， 联立可得：，解得：， 所以圆心坐标，半径， 所以圆C的标准方程为； （2）过点垂直于轴的直线为，圆心到直线的距离，故直线为圆的一条切线， 再设过点斜率存在的切线方程为， 由直线与圆相切，可得：， 解得：，则此时切线方程为， 综上，与圆C相切的直线方程为或. 17．（15分）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 18．（17分）已知圆 方程． (1)若圆与直线相交于、 两点，且 ( 为坐标原点)，求 ； (2)在（1）的条件下，求以 为直径的圆的方程． 【答案】(1).(2)以 为直径的圆的方程为：. 【分析】（1）将圆的方程与直线方程联立，设、 ，利用 可得 ，利用韦达定理，即可求出 . （2）确定圆心坐标和半径，即可求出以为直径的圆的方程. 【详解】（1）解：由得 ， 即， 由题意联立可得， 将代入， ， 设、 则，， ， ， 又，， ， 代入得，解得 ，满足， 的值为：. （2）在（1）的条件下，，以 为直径的圆的方程， 又，， ，， 设圆心坐标为 则 ， ， 由弦长公式可得：半径 圆的方程为： 以 为直径的圆的方程为：. 19．（17分）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程，并说明其形状； （2）过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点， （ⅰ）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）以为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点；（ⅱ）存在，. 【分析】（1）设，用坐标表示距离比，化简后可得，由方程可得曲线形状． （2）（ⅰ）由、、、四点共圆（以为直径），、在以为直径的圆上，两圆方程相关可得直线方程，由方程得定点坐标； （ⅱ）由得点在以为直径的圆周上，这样易得的面积最大值，求得点坐标后可得点坐标． 【详解】（1）设，由，得. 化简得，即. 故曲线是以为圆心，半径为2的圆. （2）（ⅰ）证明： 由题意知，、与圆相切，、为切点， 则，， 则、、、四点共圆，、在以为直径的圆上（如图）. 设，又， 则的中点为，. 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，① （也可用圆的直径式方程化简得.） 又、在上，    ② 由两圆方程作差即②①得：. 所以，切点弦所在直线的方程为. 则恒过坐标原点. （ⅱ）， 因为，所以点在以为直径的圆周上， 故，即，此时， 又由点，，三点共线，所以，， 所以，即. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章直线与圆的方程单元测试卷 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．若直线与直线垂直，则（ ） A． B． C．1 D．2 4．经过三点，，的圆的面积（    ） A． B． C． D． 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 6．若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 7．若圆与圆相交，则正整数的值为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论： ①不论为何值时，与都互相垂直； ②当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）； ③不论为何值时，与都关于直线对称； ④如果与交于点，则的最大值是1； 其中，所有正确的结论的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4. 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列四个命题中错误的有（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率越大 B．直线倾斜角的取值范围是 C．两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等 D．过点的直线平行于直线 10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线l恒过定点(3，1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 11．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．不论m为何实数，直线mx－y＋3＝0 恒过定点___________________（填点的坐标） 13．已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 14．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________________. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等。 问题：已知直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 16．（15分）已知圆C过点，，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且与圆C相切的直线方程. 17．（15分）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18．（17分）已知圆 方程． (1)若圆与直线相交于、 两点，且 ( 为坐标原点)，求 ； (2)在（1）的条件下，求以 为直径的圆的方程． 19．（17分）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程，并说明其形状； （2）过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点， （ⅰ）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $