第二章 直线与圆的方程 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学直线与圆的方程单元卷，适用于单元复习，全面覆盖直线斜率、方程、距离及圆的位置关系、轨迹等核心知识，题型多样且梯度合理，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|直线倾斜角（2题）、圆与直线距离（6题）、曲线性质（11题）|基础概念辨析（如1题斜率）与综合应用（如8题切线最小值）结合，体现几何直观| |填空题|3题/15分|直线垂直（12题）、垂直平分线截距（13题）、轨迹面积（14题）|基础计算与几何意义融合，培养空间观念| |解答题|5题/77分|直线方程（15题）、圆公共弦（16题）、三角形几何量（17题）、圆切线与轨迹（18-19题）|突出综合性，如19题轨迹方程考查推理能力，18题外公切线结合模型意识，符合真题命题趋势|

第二章 直线与圆的方程 单元测试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 2.若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 3．过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 5．直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 8.已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则（    ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 10．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（   ） A．曲线与直线有个公共点 B．曲线上任意两点距离最大值为 C．的最大值为 D．曲线所围成图形面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若经过点和的直线l与斜率为的直线互相垂直，则m的值是 ． 13.已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为 . 14．在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16.（15分）(1)分别将圆和圆的方程化为标准方程，并写出它们的圆心坐标和半径； (2)求圆与圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 17.（15分）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 18.（17分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 19.（17分）已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，． (1)当时，求出点的坐标； (2)经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； (3)求线段的中点的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线与圆的方程 单元测试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【解析】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D 2.若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到. 【解析】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得， 故选：C． 3．过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】由题意可知直线的斜率，由点斜式方程得， 所求直线的方程为，即． 故选：A 4．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【解析】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 5．直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线倾斜角的变化与点斜式方程求解， 【详解】直线与轴的交点为，斜率为，倾斜角为， 则直线过点，倾斜角为，斜率为， 直线的方程为，即 故选：A 6. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【解析】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知，当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 7．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【解析】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 8.已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【解析】因为圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则（    ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【解析】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 10．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，即可满足题意． 【详解】圆心到直线的距离， 因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于， 所以， 即， 解得， 结合选项可知，BC正确， 故选：BC． 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（   ） A．曲线与直线有个公共点 B．曲线上任意两点距离最大值为 C．的最大值为 D．曲线所围成图形面积为 【答案】BCD 【分析】联立曲线与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项. 【解析】曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 在曲线上任取一点，则该点关于轴的对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线关于轴、原点对称，作出曲线的图形如下图所示： 对于A选项，由，得， 所以，即，可得或（舍去）， 故，所以曲线与直线只有个公共点，A错； 对于B选项，在曲线的方程中，令，可得，解得或， 所以，曲线交轴于点、、， 结合图形可知，曲线上任意两点距离最大值为，B对； 对于C选项，当取最大值，则必有，， 此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上， 设，，其中， 由可得，所以， 所以， 因为，则，故， 故，即的最大值为，C对； 对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为， 因为，故是边长为的等边三角形， 所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为， 所以曲线所围成图形面积为，D对. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若经过点和的直线l与斜率为的直线互相垂直，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式和直线的垂直与斜率的关系求解. 【详解】由题意可知，又因为， 所以，解得． 故答案为: ． 13.已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为 . 【答案】3 【分析】依题意，求出线段的中点和它的中垂线斜率，即得垂直平分线方程，即可求得. 【解析】直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线方程为， 令时，解得，即线段的垂直平分线在轴上的截距为3. 14．在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 . 【答案】 【解析】设点，由可得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又直线与轴重合，所以点到直线的最大距离为圆的半径， 所以面积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【分析】（1）联立两直线方程解得交点坐标，再由垂直关系可得斜率，利用点斜式方程可得结果； （2）分别讨论截距是否为0，代入点坐标计算可得结果. 【解析】（1）联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即.(6分) （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且，所以，（10分） 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或.（13分） 16.（15分） (1)分别将圆和圆的方程化为标准方程，并写出它们的圆心坐标和半径； (2)求圆与圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 【答案】(1)的圆心为，半径为，的圆心为，半径为 (2) 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径； （2）两圆相减得到公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式和垂径定理得到弦长. 【详解】（1）变形为，圆心为，半径为， 变形为，圆心为，半径为； （2）与相减得到公共弦所在直线方程， 即，整理得：， 圆心到直线的距离为， 故公共弦长为. 17.（15分） 已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【解析】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. （3分） 因为， 所以.(7分) （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即.（10分） 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为.（15分） 18.（17分） 在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 【分析】（1）求解两圆的半径和圆心，即可根据外公切线的性质，结合勾股定理求解， （2）①根据两点距离公式，即可代入化简求解，②根据相切求解经过切点的圆，即可两圆方程相减得相交弦方程，即可根据点到直线的距离公式，结合对勾函数的性质求解. 【解析】（1）圆心，半径为, 圆心，半径为， 故， 所以外公切线长为．（4分） （2）①设点，则满足，得， 所以 ， 而，得，所以．（10分） ②设点，以为直径的圆方程为， 即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为． 圆心到直线AB的距离为， 又因为点在圆上，即，， 所以，（14分） 设，且， 由对勾函数在单调递减，在单调递增， 得的最小值为，， , 最大值为， 所以的取值范围为．（17分） 19.（17分） 已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，． (1)当时，求出点的坐标； (2)经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【解析】（1）（1） 直线的方程为，点在直线上，设， 因为，由对称性可得：由对称性可知， 由题所以，所以， 解之得：故所求点的坐标为或．（6分） （2）设，则的中点，因为是圆的切线， 所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆， 故圆E方程为： 化简得：，此式是关于的恒等式， 故解得或, 所以经过三点的圆必过定点或．（12分） （3）由 可得：，即， 由可得过定点. 因为N为圆的弦的中点，所以，即， 故点N在以为直径的圆上， 点N的轨迹方程为.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $