立体几何 专题 第1讲 异面直线角与线面角讲义-2027届高三数学一轮复习

异面直线角与线面角 立体几何 · 专题篇 一 异面直线角 一、异面直线所成角的定义。 把两条异面直线中的一条平移到与另一条相交，所得的两条相交直线的夹角就是异面直线所成的角。 ★ 平移后得到的是「锐角或直角」，故范围为 —— 取不到 ，因为异面直线不平行。 二、几何法：找（或作）平行线。 常见做法是「找中点连中位线」：把一条直线平移到某个特殊点。 ★ 本节第一道题就是取中点 、，把 与 都平移到一个公共顶点，再在三角形里用余弦定理。 三、向量法：余弦取绝对值。 。 ★ 分子必须加绝对值 —— 方向向量的夹角可能是钝角，但异面直线所成角一定不超过 。这一条与线面角（用 ）是全讲最易混的两处。 四、建系的三个要点。 原点选在「三条两两垂直的棱的交点」；、、 轴分别沿这三条棱；所有点的坐标要写在一张表里，逐个核对。 ★ 建系前必须先证明三线两两垂直（通常由线面垂直推出），不能因为「看起来垂直」就建系。 五、立方体与正四面体的常用结论。 正方体中面对角线与体对角线的夹角、正四面体中对棱互相垂直 —— 这些结论要熟。 ★ 正四面体的对棱垂直，故求「对棱所成角」时答案直接是 ；但若求的是「一条棱与另一条棱的中点连线」，就要实算。 六、本节十道题的两条路。 第一条「找中点连中位线」：把两条异面直线平移到同一个顶点，再在三角形里用余弦定理（巴中、衢州两道）。 第二条「建系算向量」：先证三线两两垂直，再写坐标表、算法向量、代公式（济南、揭阳、芜湖等六道）。 ★ 两条路怎么选：图形里有明显的中点或中位线，优先用第一条（不建系、算得快）；图形规则（正方体、直棱柱、正棱锥）且给了长度，用第二条（坐标一写就出结果）。 本节有一个共同的失分点：求「线面角」时错用了 。异面直线角用 、线面角用 —— 这条要在讲解里反复点。 例1（单选·★★★☆☆） 已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（多选·★★★★☆） 在四棱锥中，底面ABCD，，P为平面SAB内一动点，且直线CP，DP分别与平面SAB所成的角相等，则（ ） A. B. 平面SAB与平面SCD夹角的正切值为 C. 点P到平面SCD距离的最大值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 变式1-2（单选·★★★★☆） 已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 3 变式1-3（单选·★★★☆☆） 是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 变式1-4（单选·★★★☆☆） 正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 变式1-5（单选·★★★☆☆） 正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 变式1-6（解答·★★★★★） 在四棱锥中，四边形为矩形，为锐角三角形，，，，为棱的中点，平面与平面的交线为，直线与相交于点。 （1）求线段长度的最小值；（2）若异面直线与所成角为。（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；（ⅱ）求三棱锥的外接球的表面积。 变式1-7（解答·★★★★☆） 在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点。 （1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求三棱锥的体积 变式1-8（解答·★★★★☆） 如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且。 （1）求BE与平面所成角的正弦值；（2）求平面FBC与平面的夹角的余弦值；（3）边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 二 线面角 一、定义与范围。 斜线与它在平面内的射影所成的角，叫这条直线与这个平面所成的角。范围是 —— 直线在平面内时为 ，垂直于平面时为 。 ★ 与异面直线角（）的区别在于能取到 ：直线落在平面内时角为 。 二、几何法三步。 一、找斜足（直线与平面的交点）；二、在直线上取一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线就是射影；三、在直角三角形里算角。 ★ 第二步「作垂线」是难点 —— 常用「面面垂直的性质」把垂线作出来：若平面 平面 ，则从 向 作垂线即垂直于平面 。 三、向量法：正弦。 ，其中 是平面的法向量、 是直线的方向向量。 ★ 这里用 （不是 ）—— 因为 与 的夹角 满足 。这是与异面直线角最容易混的一处。 四、由角反求参数。 题给「所成角的正弦值为某数」，把向量式代入后得到关于参数的方程，解出参数再验范围。 ★ 这类题常有两个解（如 的两个值），要用范围（如 ）取舍。 五、折叠中的线面角。 折叠题先找不变：长度不变、部分角不变；折后的二面角由题给的角确定，再建系。 ★ 折叠题的关键是「折前哪条线折后在哪」——把折前的图形画在草稿上，标注每条边的去向。 六、本节九道题的三类落点。 第一类「直接求角」：题给规则几何体与长度，建系后代入 公式（深圳、张家口、济宁三道）。 第二类「由角反求参数」：题给所成角的正弦值，列方程解参数并验范围（德州-16 求 、淮南-16 求 、华大联盟-19 求 ）。 第三类「折叠与情境」：折叠前后找不变量（日照-15）、实际建筑按新定义先算量（德州-17）。 ★ 三类的共同准备动作都是「先证垂直关系、再建系」——垂直关系不证就建系，是本节最常见的失分点。 例2（单选·★★★★☆） 在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（解答·★★★★☆） 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点。 （1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值。 变式2-2（解答·★★★★☆） 建筑学中常用体形系数表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即，为建筑物暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积），为建筑物所包围的体积。某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于，的点，且。 （1）若，求圆台形建筑的高；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值。 变式2-3（解答·★★★★☆） 如图，已知三棱锥中，，，平面平面ABC，，，。 （1）求点到平面的距离；（2）若为AC的中点，求PQ与平面所成角的正弦值. 变式2-4（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，点分别是的中点，平面平面。 （1）判断直线与直线的位置关系，并给出证明；（2）若平面平面，，是直线上的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度。 变式2-5（解答·★★★★☆） 如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为。 （1）若，求三棱柱的体积；（2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值。 变式2-6（解答·★★★★☆） 如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中。 （1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 变式2-7（解答·★★★★☆） 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点. （1）求证：平面；（2）若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值. 变式2-8（解答·★★★★★） 已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，，。（1）求三棱锥外接球的表面积.（2）设为线段上的点.（i）若，求直线与平面所成角的正弦值.（ii）平面过点，，且平面，探究：是否存在点，使得平面与平面之间所成角的正切值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 三 综合应用 一、这一节的题都是「两问」结构。 第一问通常证平行或垂直，第二问求线面角。第一问不是铺垫，它给出的垂直关系正是第二问建系的依据。 ★ 所以第一问必须证得完整 —— 用坐标算出「垂直」不算证明，要用判定定理写链（线线垂直 → 线面垂直）。 二、证明垂直的两条常用链。 线面垂直：找面内两条相交直线，都与此线垂直；面面垂直：在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。 ★ 写链时要有「」与「」这两句，「、」缺一不可。 三、建系前的三件事。 确定原点（三条两两垂直的线的交点）；确定三轴（沿这三条线）；把关键点坐标列成一张表，逐个核对。 ★ 「两两垂直」要有依据：要么题给（如 底面、直棱柱），要么由第一问证出。 四、由角反求位置。 设动点的位置参数（如 、），把所成角写成参数的方程，解出后验范围。 ★ 这类题的答案常有「两个值」或「存在／不存在」两种结论，两种都要写全。 五、重心与中点坐标。 三角形重心的坐标是三个顶点坐标的平均值；中点坐标是两个端点的平均值。 ★ 本节有一道题用到重心（淄博-17），把 的坐标写成 、、 三点的平均即可。 六、本节八道题的三类结构。 第一类「先证线面垂直、再求角」：上饶-15、九江-16、吉安-16 都是这个结构，第一问证出的垂直关系直接成为第二问的建系依据。 第二类「先由勾股判直角、再建系」：淄博-17 用 判 ，宜春-17 用 定 的长。 第三类「由角的存在性反求位置」：东营-16 求 、崇左(2)-16 求 ，答案都有两个值。 ★ 三类题的共同要求是「第一问写完整」。本节八道里有六道的第二问依赖第一问的垂直关系，第一问省了，第二问的坐标系就没有依据。 例3（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥中，平面，，，。 （1）求证：；（2）若为的重心，（i）求与平面所成角的正弦值；（ii）若交平面于，求的值. 变式3-1（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. （1）若∥，∥，证明:∥；（2）若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 变式3-2（解答·★★★★☆） 如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为。 （1）证明：平面；（2）是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值。 变式3-3（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥P-ABC中，为边长为2的正三角形，，。 （1）证明：平面平面。（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值。 变式3-4（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，。 （1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 变式3-5（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，，，，，，。 （1）求证：平面平面ABCD；（2）若G为线段PC上一点（异于点P，C），平面ABG与平面PBC所成角的余弦值为，求直线BG与平面APB所成角的正弦值. 变式3-6（解答·★★★★☆） 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，。 （1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 变式3-7（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且。 （1）若，证明：平面。（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 异面直线角与线面角 立体几何 · 专题篇 一 异面直线角 一、异面直线所成角的定义。 把两条异面直线中的一条平移到与另一条相交，所得的两条相交直线的夹角就是异面直线所成的角。 ★ 平移后得到的是「锐角或直角」，故范围为 —— 取不到 ，因为异面直线不平行。 二、几何法：找（或作）平行线。 常见做法是「找中点连中位线」：把一条直线平移到某个特殊点。 ★ 本节第一道题就是取中点 、，把 与 都平移到一个公共顶点，再在三角形里用余弦定理。 三、向量法：余弦取绝对值。 。 ★ 分子必须加绝对值 —— 方向向量的夹角可能是钝角，但异面直线所成角一定不超过 。这一条与线面角（用 ）是全讲最易混的两处。 四、建系的三个要点。 原点选在「三条两两垂直的棱的交点」；、、 轴分别沿这三条棱；所有点的坐标要写在一张表里，逐个核对。 ★ 建系前必须先证明三线两两垂直（通常由线面垂直推出），不能因为「看起来垂直」就建系。 五、立方体与正四面体的常用结论。 正方体中面对角线与体对角线的夹角、正四面体中对棱互相垂直 —— 这些结论要熟。 ★ 正四面体的对棱垂直，故求「对棱所成角」时答案直接是 ；但若求的是「一条棱与另一条棱的中点连线」，就要实算。 六、本节十道题的两条路。 第一条「找中点连中位线」：把两条异面直线平移到同一个顶点，再在三角形里用余弦定理（巴中、衢州两道）。 第二条「建系算向量」：先证三线两两垂直，再写坐标表、算法向量、代公式（济南、揭阳、芜湖等六道）。 ★ 两条路怎么选：图形里有明显的中点或中位线，优先用第一条（不建系、算得快）；图形规则（正方体、直棱柱、正棱锥）且给了长度，用第二条（坐标一写就出结果）。 本节有一个共同的失分点：求「线面角」时错用了 。异面直线角用 、线面角用 —— 这条要在讲解里反复点。 例1（单选·★★★☆☆） 已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】正四面体中 、 分别是 、 的中点，求 与 所成角的余弦值 ——两条线都是「顶点到对棱中点」，天然适合建系。 【关键】设正四面体棱长为 ，以底面 的中心为原点、三条两两垂直的方向为轴建系，由 定出顶点 的坐标。 于是 、 的坐标确定，得 与 。 ，选 A。 【易错】第一，分子加绝对值，否则可能得到负值（选项里就有 作干扰）。第二，正四面体的高是 棱长，不是棱长本身。第三，、 分别在两条对棱上，向量要按「末减初」写。 【答案】 变式1-1（多选·★★★★☆） 在四棱锥中，底面ABCD，，P为平面SAB内一动点，且直线CP，DP分别与平面SAB所成的角相等，则（ ） A. B. 平面SAB与平面SCD夹角的正切值为 C. 点P到平面SCD距离的最大值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【切入点】 底面、 ——三条线两两垂直，直接以 为原点建系。 【关键】、，故 、、、、。 第一项：，而 在平面 内（即 面）， 的 、 分量可任意、 分量为 ，故 ，，正确。 第二项：平面 的一个法向量为 ，求出平面 的法向量后算夹角，其正切值为 ，正确。 第三项： 的轨迹是 面内的圆，用三角代换求点到平面 距离的最大值，与选项所给值不符，错误。 第四项：体积最大时定出 的坐标，再用球的截面性质求外接球半径，表面积 ，正确。故选 ABD。 【易错】第一，建系的前提是 、、 两两垂直，题给的 与 底面共同保证了这一点。第二，平面 就是 面，故 的 坐标为 。第三，第四项求外接球时，球心在过底面外心的垂线上。 【答案】 变式1-2（单选·★★★★☆） 已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 3 【切入点】球面上四点、、、 与平面 所成角都是 ——这说明 在平面 上的射影是 的外心，故 是正三棱锥。 【关键】球表面积 ，故 。 设 ，由线面角的定义得 的高与射影到顶点的距离相等（因为角为 ）。 再由外接球的性质列出关于 的方程，解得 ，选 D。 【易错】第一，三条侧棱与底面成等角，等价于「顶点在底面的射影是外心」。第二，角为 时高与射影距离相等，这一步是列方程的关键。第三， 由 得到，别忘了 。 【答案】 变式1-3（单选·★★★☆☆） 是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在正四棱柱表面，「 与六个面所成角都相等」——用线面角的坐标公式把条件翻成坐标关系。 【关键】以 为原点建系，设 ；由「与三个坐标面所成角相等」得 。 再由 在六个面上分类讨论，结合 、 定出 的坐标。 最后用线线角公式求 与某条棱的夹角余弦，得 ，选 A。 【易错】第一，「与六个面成等角」实际上只要与三个坐标面成等角，因为对面平行、夹角相同。第二， 的推导用的是线面角公式 。第三， 在表面上要分六个面讨论，但由对称性可只算一个。 【答案】 变式1-4（单选·★★★☆☆） 正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】正方体中 、 是两个面的中心 ——坐标全是 的倍数，直接建系最快。 【关键】以 为原点、棱长为 ，则 、。 得 ，再写出另一条直线的方向向量，算 ，选 C。 【易错】第一， 是上底面中心、 是侧面中心，两者坐标的差别要看清。第二， 的两个非零分量是 与 ，模为 。第三，分子加绝对值，答案必为正。 【答案】 变式1-5（单选·★★★☆☆） 正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【切入点】正四棱锥的五个顶点在同一球面上、底面边长 、球半径 ——先由球的性质求棱锥的高，再算异面直线角。 【关键】设底面中心 、球心 ，，由 解得 。 再求侧棱长 ；由 知 与 所成角就是 （或其补角）。 在 中用余弦定理，得 （或另一解 ，视顶点在球心同侧还是异侧），选 A。 【易错】第一，底面外接圆半径是 边长（正方形对角线的一半），即 。第二，球心可能在棱锥内部或外部，两种情形对应两个余弦值。第三， 是「异面直线角」转化为「三角形内角」的桥梁。 【答案】 变式1-6（解答·★★★★★） 在四棱锥中，四边形为矩形，为锐角三角形，，，，为棱的中点，平面与平面的交线为，直线与相交于点。 （1）求线段长度的最小值；（2）若异面直线与所成角为。（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；（ⅱ）求三棱锥的外接球的表面积。 【切入点】矩形底面、 为锐角三角形、、 ——先由「平面 与平面 的交线 」得 。 【关键】由 、 得 平面 ，故可以 为原点、 与 为轴建系（ 轴垂直于底面）。 设 ，则 ；由 得 与 的关系。 （1） 是 与 的交点，把 写成 的函数，求最小值得 。 （2）由异面直线 与某线的条件定出 ，再算 与底面所成角的正弦值 ；四点共球时求外接球表面积 。 【易错】第一， 由「两平面分别过平行线」推出，这是面面平行的性质。第二， 平面 需要 垂直于面内两条相交直线（ 与 ）。第三，设 后 的坐标含 、，求最值时要化成单变量。 【答案】；， 变式1-7（解答·★★★★☆） 在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点。 （1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求三棱锥的体积 【切入点】直四棱柱、底面是平行四边形且 ——、、 两两垂直，正是建系的三条棱。 【关键】以 为原点，、、 为三轴：、、、、。 由 、 分别是 、 的中点得 、。 （1）求平面 的法向量 ，由 得 。 （2）再求平面 的法向量 ，两法向量夹角的余弦为 。 （3） 用 高，得 。 【易错】第一，建系的前提是 （题给），再加上直四棱柱的侧棱垂直于底面，三条线才两两垂直。第二， 的坐标是 —— 由平行四边形 推出， 为负。第三，（1）问用 、（3）问用体积公式，三问的公式各不同，别混。 【答案】；； 变式1-8（解答·★★★★☆） 如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且。 （1）求BE与平面所成角的正弦值；（2）求平面FBC与平面的夹角的余弦值；（3）边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 【切入点】多面体中 、、、 在底面的垂足分别是 、、、 ——这说明侧棱都垂直于底面，以 为原点、、、 为三轴建系。 【关键】由题给长度得 、、、、、、、。 （1）求 、 的坐标与平面 的法向量，由线面角公式得 。 （2）求两平面法向量夹角的余弦，得 。 （3）设 ，把存在性条件化成关于 的方程，解得 ，故存在且 。 【易错】第一，各顶点的 坐标由「到 、、、 的距离」逐一确定，不能想当然。第二， 是 上的点，坐标要把 与 的坐标按比例取。第三，（3）问的「存在性」要解出 后验证 在允许范围内。 【答案】；；存在， 二 线面角 一、定义与范围。 斜线与它在平面内的射影所成的角，叫这条直线与这个平面所成的角。范围是 —— 直线在平面内时为 ，垂直于平面时为 。 ★ 与异面直线角（）的区别在于能取到 ：直线落在平面内时角为 。 二、几何法三步。 一、找斜足（直线与平面的交点）；二、在直线上取一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线就是射影；三、在直角三角形里算角。 ★ 第二步「作垂线」是难点 —— 常用「面面垂直的性质」把垂线作出来：若平面 平面 ，则从 向 作垂线即垂直于平面 。 三、向量法：正弦。 ，其中 是平面的法向量、 是直线的方向向量。 ★ 这里用 （不是 ）—— 因为 与 的夹角 满足 。这是与异面直线角最容易混的一处。 四、由角反求参数。 题给「所成角的正弦值为某数」，把向量式代入后得到关于参数的方程，解出参数再验范围。 ★ 这类题常有两个解（如 的两个值），要用范围（如 ）取舍。 五、折叠中的线面角。 折叠题先找不变：长度不变、部分角不变；折后的二面角由题给的角确定，再建系。 ★ 折叠题的关键是「折前哪条线折后在哪」——把折前的图形画在草稿上，标注每条边的去向。 六、本节九道题的三类落点。 第一类「直接求角」：题给规则几何体与长度，建系后代入 公式（深圳、张家口、济宁三道）。 第二类「由角反求参数」：题给所成角的正弦值，列方程解参数并验范围（德州-16 求 、淮南-16 求 、华大联盟-19 求 ）。 第三类「折叠与情境」：折叠前后找不变量（日照-15）、实际建筑按新定义先算量（德州-17）。 ★ 三类的共同准备动作都是「先证垂直关系、再建系」——垂直关系不证就建系，是本节最常见的失分点。 例2（单选·★★★★☆） 在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】正四棱柱中 、 是中点， 取最小值时定出 的位置，再求 与底面所成角的正切值。 【关键】由 与对称性， 的最小值在 、 关于中截面对称时取到，由此定出 的长度。 在底面上的射影是 ，故所成角为 ；。 设 ，由最小值条件得 的值，再算 与 ；由 求出正切值，与选项对照得 ，选 B。 【易错】第一， 在 上，「 最小」要用对称性，不是简单取中点。第二， 在底面的射影是 （不是 ），因为 是 中点、 在 正上方。第三，求的是正切值，用 而不是 。 【答案】 变式2-1（解答·★★★★☆） 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点。 （1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值。 【切入点】直三棱柱、、 ——第（1）问先证 平面 ，这一步为建系提供了垂直关系。 【关键】取 中点 ，由 是 中点得 是 的中位线， 且 ，故 是平行四边形、。 再由 平面 得 ，又 ，故 平面 ，于是 平面 。 （2）以 为原点、、、 为三轴建系，写出 、、、 的坐标，求平面 的法向量，由 得 。 【易错】第一， 说明 且 较短，建系时要算准 的长度（）。第二， 是第（1）问的核心，靠「平行四边形」证，不是靠坐标。第三，（2）用的是 公式，法向量与方向向量的夹角余弦要取绝对值再转正弦。 【答案】 变式2-2（解答·★★★★☆） 建筑学中常用体形系数表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即，为建筑物暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积），为建筑物所包围的体积。某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于，的点，且。 （1）若，求圆台形建筑的高；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值。 【切入点】圆台形建筑的「体形系数」是外表面积与体积之比 ——先按定义把 算出来，再求线面角。 【关键】、，由圆台性质得 平面 ，故 ；又 ，得 平面 ，进而 。 （1）由 与垂直关系算出圆台的高与母线，代入体形系数定义得 。 （2）以 为原点建系，求平面 的法向量，由 公式得 。 【易错】第一，「体形系数」是新定义，要严格按「外表面积（不含地面）÷ 体积」算。第二， 平面 来自圆台中「 在底面圆周上、 是底面圆心」。第三，第（2）问的平面是 ，不是 ，法向量要按正确的三点算。 【答案】； 变式2-3（解答·★★★★☆） 如图，已知三棱锥中，，，平面平面ABC，，，。 （1）求点到平面的距离；（2）若为AC的中点，求PQ与平面所成角的正弦值. 【切入点】平面 平面 ，且 ——从 向 作垂线，由面面垂直的性质得它垂直于平面 。 【关键】设 于 ，则 平面 ， 就是点 到平面 的距离。 （1）由 、、 得 、；用等面积 得 。 （2）以 为原点建系，求平面 的法向量与 ，由 公式得 。 【易错】第一， 垂直于平面 的依据是「面面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面」。第二，、 由 角的直角三角形得出。第三，第（2）问 是 中点，坐标要用 、 的中点公式。 【答案】； 变式2-4（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，点分别是的中点，平面平面。 （1）判断直线与直线的位置关系，并给出证明；（2）若平面平面，，是直线上的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度。 【切入点】、 是中点，平面 与平面 的交线为 ——先由「」推出 平面 ，再由线面平行的性质得 。 【关键】（1） 是 的中位线，故 ； 平面 、 平面 ，故 平面 ；由 平面 与面面相交的性质得 。 （2）由 与 是 中点得 ；结合平面 平面 得 平面 。 以 为原点建系，设 在 上的位置参数，由 列方程，解得 或 。 【易错】第一， 的证明链是「中位线 → 线面平行 → 面面相交性质」，三步都要写。第二， 平面 需要「」与「面面垂直」两条。第三，方程有两个解，两个都要保留（题问「求线段 的长度」，两解都合题意）。 【答案】； 或 变式2-5（解答·★★★★☆） 如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为。 （1）若，求三棱柱的体积；（2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值。 【切入点】正方形折成三棱柱 ——先找折前折后的对应：、 折后成了 、，、 保持不变。 【关键】二面角 的平面角就是 ，因为 、。 （1） 时 ，三棱柱为直三棱柱，。 （2） 时，以 为原点、、 与竖直方向建系，求平面 的法向量，由 公式得 。 【易错】第一，折叠后 与 的夹角就是二面角的平面角，这是「折痕 同时垂直于 与 」的结果。第二， 时是直三棱柱，体积用「底面积 × 侧棱」。第三， 时 的坐标含 、，建系后要算准。 【答案】； 变式2-6（解答·★★★★☆） 如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中。 （1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【切入点】三棱锥体积已知、 是正三角形 ——先由体积反求高，再由 定 与平面的关系。 【关键】由 与已知体积得 ；又 是 中点、，故 ，于是 平面 。 （1）由 平面 与题给垂直关系证得结论。 （2）以 为原点建系，设 ，把 与平面 所成角的正弦值写成 的式子，令其等于 ，解得 。 【易错】第一， 是「直角三角形斜边中线等于斜边一半」，因为 、 是 中点。第二， 的范围 要用来取舍。第三， 的坐标由 得到，注意是「从 出发」。 【答案】 变式2-7（解答·★★★★☆） 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点. （1）求证：平面；（2）若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【切入点】三棱柱中平面 平面 、 ——先证 平面 ，再建系求角。 【关键】（1）取 中点 ，由 是 中点得 且 ；又 且相等，故 是平行四边形、，于是 平面 。 （2）由 与面面垂直得 平面 ，以 为原点建系，求平面 的法向量，由 公式得 。 【易错】第一， 且 是「中位线」，要与 的「平行且相等」配对才能得平行四边形。第二， 时 的坐标含 ，符号为负。第三，（2）的平面是 ，法向量要用 、、 三点的坐标算。 【答案】 变式2-8（解答·★★★★★） 已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，，。（1）求三棱锥外接球的表面积.（2）设为线段上的点.（i）若，求直线与平面所成角的正弦值.（ii）平面过点，，且平面，探究：是否存在点，使得平面与平面之间所成角的正切值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【切入点】、、 ——先由余弦定理算 ，判断 的形状。 【关键】，故 ，而 ，所以 ；结合 得 平面 。 （1） 平面 说明三棱锥 可以补成以 为直角顶点的长方体一部分，由其三条棱求外接球半径，得表面积 。 （2）（i）以 为原点建系，求平面 的法向量，由 公式得 。 （ii）设 ，把「所成角的正切值为 」写成 的方程，解得 ，故存在。 【易错】第一， 由余弦定理算出，再由 判直角 —— 这一步是全部推理的起点。第二， 平面 需要 垂直于面内两条相交直线（ 与 ）。第三，（ii）的「存在性」要解出 并验证 。 【答案】；；存在， 三 综合应用 一、这一节的题都是「两问」结构。 第一问通常证平行或垂直，第二问求线面角。第一问不是铺垫，它给出的垂直关系正是第二问建系的依据。 ★ 所以第一问必须证得完整 —— 用坐标算出「垂直」不算证明，要用判定定理写链（线线垂直 → 线面垂直）。 二、证明垂直的两条常用链。 线面垂直：找面内两条相交直线，都与此线垂直；面面垂直：在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。 ★ 写链时要有「」与「」这两句，「、」缺一不可。 三、建系前的三件事。 确定原点（三条两两垂直的线的交点）；确定三轴（沿这三条线）；把关键点坐标列成一张表，逐个核对。 ★ 「两两垂直」要有依据：要么题给（如 底面、直棱柱），要么由第一问证出。 四、由角反求位置。 设动点的位置参数（如 、），把所成角写成参数的方程，解出后验范围。 ★ 这类题的答案常有「两个值」或「存在／不存在」两种结论，两种都要写全。 五、重心与中点坐标。 三角形重心的坐标是三个顶点坐标的平均值；中点坐标是两个端点的平均值。 ★ 本节有一道题用到重心（淄博-17），把 的坐标写成 、、 三点的平均即可。 六、本节八道题的三类结构。 第一类「先证线面垂直、再求角」：上饶-15、九江-16、吉安-16 都是这个结构，第一问证出的垂直关系直接成为第二问的建系依据。 第二类「先由勾股判直角、再建系」：淄博-17 用 判 ，宜春-17 用 定 的长。 第三类「由角的存在性反求位置」：东营-16 求 、崇左(2)-16 求 ，答案都有两个值。 ★ 三类题的共同要求是「第一问写完整」。本节八道里有六道的第二问依赖第一问的垂直关系，第一问省了，第二问的坐标系就没有依据。 例3（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥中，平面，，，。 （1）求证：；（2）若为的重心，（i）求与平面所成角的正弦值；（ii）若交平面于，求的值. 【切入点】 平面 、，且给了三条长度 ——先用勾股定理的逆定理判断 ，这是建系的前提。 【关键】、、，故 ，所以 。 结合 平面 得 ，于是 平面 ，进而 ，第（1）问得证。 （2）以 为原点、、、 为三轴建系； 是 的重心，坐标取 、、 三点的平均值。 （i）求平面 的法向量，由 得 。 （ii） 交平面 于 ，设 ，由 在平面上解出 ，得 。 【易错】第一， 要靠勾股逆定理判，不是看图。第二， 平面 需要「」与「」两条，而 来自 底面。第三，重心的坐标是三点平均，不是 （那是 中点）。 【答案】； 变式3-1（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. （1）若∥，∥，证明:∥；（2）若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【切入点】平面 平面 、、 ——由 得 。 【关键】由 与面面垂直得 平面 ，以 为原点、、、 为三轴建系（需注意 ）。 （1）由 、 得平面 平面 ，再由面面平行的性质得 。 （2）设 ，把 与平面 所成角写成 的方程，令其为 ，解得 或 。 【易错】第一， 时 的坐标含 ，符号为负。第二， 平面 的依据是「面面垂直 + 交线」。第三，两个解都要写，且都要验证 在 内。 【答案】存在， 或 变式3-2（解答·★★★★☆） 如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为。 （1）证明：平面；（2）是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值。 【切入点】圆柱中 、 是下底面直径， 在上底面 ——先由「侧面积等于两底面积之和」求半径与母线的关系。 【关键】设半径 、母线 ，由 得 ；再结合四边形 是正方形定出各点坐标。 （1）由 平面 的判定：找平面 内一条与 平行的线，写出线面平行的链。 （2）以底面圆心为原点建系，求平面 的法向量，由 公式得 。 【易错】第一，、 是直径，故它们交于圆心、互相平分。第二， 的推导来自侧面积公式 与底面积 。第三， 是 中点，坐标用中点公式。 【答案】 变式3-3（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥P-ABC中，为边长为2的正三角形，，。 （1）证明：平面平面。（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值。 【切入点】 是边长 的正三角形、 ——取 中点 ，由等腰与正三角形的性质得两条垂直。 【关键】（正三角形）、（等腰），故 平面 ，进而 。 又 ，故 平面 ，于是平面 平面 ，第（1）问得证。 （2）以 为原点建系，求平面 的法向量，由 公式得 。 【易错】第一， 平面 需要 垂直于面内两条相交直线（ 与 ）。第二， 平面 由「」与「」两条推出。第三，正三角形的边长 、高为 ，建系时 的坐标要用到它。 【答案】 变式3-4（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，。 （1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 【切入点】底面正方形、侧面 是正三角形、平面 平面 ——从 向 作垂线即得 在底面的射影。 【关键】设 为 中点，由正三角形得 ；又 ，结合面面垂直得 平面 ，进而 ，故 平面 。 （1）由上面的垂直链证得结论。 （2）以 为原点建系，由 、 定出 、 的坐标，求平面 的法向量，由 公式得 。 【易错】第一， 平面 需要「」与「面面垂直」。第二， 说明 是 中点，但 说明 是 的三等分点 —— 两个系数不同，别混。第三，正方形边长与正三角形边长的关系要统一。 【答案】 变式3-5（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，，，，，，。 （1）求证：平面平面ABCD；（2）若G为线段PC上一点（异于点P，C），平面ABG与平面PBC所成角的余弦值为，求直线BG与平面APB所成角的正弦值. 【切入点】 ——先在 中用勾股算 ，再在 与 中找全等。 【关键】、、，故 ；又 、、 公共，故 ，。 （1）由 与 等关系证得面面垂直。 （2）以 为原点建系， 在线段 上，设其位置参数，求平面 的法向量，由 公式得 。 【易错】第一， 由勾股算出，它是后面全等判定的基础。第二， 需要三边对应相等（、、 公共）。第三，第（2）问的平面是 ，法向量要用 、、 三点算。 【答案】 变式3-6（解答·★★★★☆） 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，。 （1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【切入点】平行六面体的底面是边长 的正方形、 ——由等腰三角形得 在底面的射影在 的垂直平分线上。 【关键】设 为底面中心，由 得 ；又正方形中 ，故 平面 ，进而平面 平面 。 （2）由 与上面的关系定出 的坐标，以 为原点建系，求平面 的法向量，由 公式得 。 【易错】第一， 平面 需要 垂直于面内两条相交直线（ 与 ）。第二， 的长度由 与 勾股算出。第三，平行六面体的侧棱不垂直于底面， 的坐标含侧棱与底面的夹角。 【答案】 变式3-7（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且。 （1）若，证明：平面。（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【切入点】 平面 、、 ——三条线两两垂直，直接以 为原点建系。 【关键】、、，故 、、、、。 （1）由线面垂直的判定写出证明。 （2）设 ，把 与平面 所成角的正弦值写成 的式子，令其为 ，解得 或 。 【易错】第一， 的坐标是 —— 且 ，故 在 的左侧。第二， 是从 出发，不是从 。第三，两个 都要保留，且都要在 内。 【答案】 或 学科网（北京）股份有限公司 $