空间向量与立体几何：线面角问题4种高频考点复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量与立体几何中的线面角问题，涵盖几何法、向量法、已知角求量、最值范围四种高频考点，按从基础方法到综合应用的逻辑架构，通过知识点解析、真题例题分析、分层变式训练等环节，帮助学生系统掌握解题方法，突破作垂线、求法向量等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于紧扣高考命题规律，采用“原理梳理-例题精讲-变式巩固”三阶教学模式，如向量法中强调建系规范与法向量求解步骤，培养学生的空间观念和运算能力。设置不同难度练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2027届高三数学一轮复习讲义 空间向量与立体几何：线面角问题4种高频考点复习讲义 考点目录 几何法求线面角 线面角的向量求法 已知线面角求其他量问题 线面角的最值与范围问题 考点一 几何法求线面角 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 作图流程（三步） ① 过直线上一点 ，向平面作垂线，垂足为 ； ② 连接斜足 与垂足 ， 为斜线 在平面内射影； ③ 就是线面角 。 1. 常用找垂线手段 · 面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个面内垂直交线的直线⊥另一平面； · 棱锥高、正方体/长方体棱直接垂直底面； · 利用线⊥两条相交直线证线面垂直。 1. 计算载体：直角三角形 ， 平面，。 二、解题原理 1. 关键难点：找到平面垂线，无法作垂线则几何法很难计算； 1. 构造 Rt△，确定对边（垂高）、斜边（斜线）； 1. 利用勾股定理、余弦定理算出边长，求出 ； 1. 检验角度范围：一定取锐角或直角，不要取补角； 1. 若无明显面面垂直条件，优先改用空间向量。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若，，求与平面所成角的正弦值. （注：用空间向量法求解不给分） 例2．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 例3．（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【变式训练】 变式1．（2026·浙江·模拟预测）在多面体中，已知，，且，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式2．（2026·广东东莞·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 变式3．（2026·四川雅安·模拟预测）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 考点二 线面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式：设直线方向向量 ，平面法向量 · ⚠️极易混淆：线面角不是方向向量与法向量夹角！ 向量夹角 与线面角 满足：。 1. 操作步骤 ① 建立空间直角坐标系； ② 写出直线上两点，求出方向向量 ； ③ 取平面内两个不共线向量，列方程组求解平面法向量 ； ④ 代入公式算出正弦值，再求角。 二、解题原理 1. 建系优先选择：墙角结构（正方体、长方体、直棱柱）； 1. 求法向量：设 ，与平面内两向量点积为 0，自由赋值得一组法向量； 1. 必须加绝对值，保证 ； 1. 算出三角函数值后，根据题意用反三角函数表示或写出特殊角； 1. 对比区分： · 线面角： · 二面角：直接看两个法向量夹角余弦。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为． (1)求侧棱的长； (2)若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值． 例2．（2026·河北秦皇岛·二模）如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 例3．（2026·河南周口·三模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式训练】 变式1．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，平面平面. (1)证明：四边形是矩形； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 变式2．（2026·陕西咸阳·三模）如图，四棱锥的底面为菱形，，，棱的中点分别为． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的顶点满足，且当四棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的余弦值． 变式3．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面,，，，点分别在棱上，，，平面与棱交于点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 考点三 已知线面角求其他量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 题型特征：题目直接给出线面角大小，反向求解：线段长度、点坐标、参数、平面方程、线段比值等。 1. 几何路径：利用 建立边长方程（ 垂高， 斜线长）； 2. 向量路径：把 作为已知条件，代入向量公式构造含参数方程。 二、解题原理 1. 几何法： 根据 得到垂线段与斜线的比例关系，设未知数，结合解三角形列方程求解边长； 1. 向量法（主流）： 将 视作方程，方程内含有待求参数，解方程； 1. 多解检验：求出参数后代回验证直线与平面位置，排除不合理解； 1. 思路选择：含动点、参数、不规则几何体，优先向量法。 【例题分析】 例1．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，．    (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若空间中存在一点Q，满足，且直线平面，求的长． 例2．（2026·广西崇左·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【变式训练】 变式1．（2026·河北张家口·三模）在边长为4的菱形中，，对角线与交于点O，将沿折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为直线上一点． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为120°，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 变式2．（25-26高二下·河南许昌·期中）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，、、分别是、、的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为 （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求平面与平面夹角的余弦值. 考点四 线面角的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础范围： · ：直线平行平面或在平面内； · ：直线垂直平面。 1. 常见模型 ① 定点 ，平面 固定，过 作动直线与平面相交： 所有斜线中，垂线对应的线面角最大；直线越“倾斜”，线面角越小。 ② 动直线在某个约束下运动（过定点、绕轴旋转），求 取值范围。 1. 向量视角：，转化为向量数量积的最值问题。 二、解题原理 1. 几何分析结论： 平面外一定点引出各条斜线，垂线段对应的线面角最大； 1. 向量通用方法： 设含参数的方向向量，将 表达为参数函数，借助函数值域求出 范围，再反推 范围； 1. 边界捕捉：找到临界位置（直线∥平面、直线⊥平面、极限旋转位置）； 1. 单调性： 时， 单调递增， 最大对应 最大。 【例题分析】 例1．（2026·广东茂名·二模）如图，和都垂直平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，点H在直线AB上． (1)求证：直线EF与直线GH为异面直线； (2)过P点的直线l与直线EF，直线HG相交，求直线l与平面EFG夹角正弦值的最大值． 【变式训练】 变式1．（2025·山东菏泽·二模）如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，． (1)求证：； (2)若，求与平面所成角正弦值的最大值． 变式2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，且，. (1)求证：； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 空间向量与立体几何：线面角问题4种高频考点复习讲义 考点目录 几何法求线面角 线面角的向量求法 已知线面角求其他量问题 线面角的最值与范围问题 考点一 几何法求线面角 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 作图流程（三步） ① 过直线上一点 ，向平面作垂线，垂足为 ； ② 连接斜足 与垂足 ， 为斜线 在平面内射影； ③ 就是线面角 。 1. 常用找垂线手段 · 面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个面内垂直交线的直线⊥另一平面； · 棱锥高、正方体/长方体棱直接垂直底面； · 利用线⊥两条相交直线证线面垂直。 1. 计算载体：直角三角形 ， 平面，。 二、解题原理 1. 关键难点：找到平面垂线，无法作垂线则几何法很难计算； 1. 构造 Rt△，确定对边（垂高）、斜边（斜线）； 1. 利用勾股定理、余弦定理算出边长，求出 ； 1. 检验角度范围：一定取锐角或直角，不要取补角； 1. 若无明显面面垂直条件，优先改用空间向量。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若，，求与平面所成角的正弦值. （注：用空间向量法求解不给分） 【答案】(1)设，连接，则为的中点， 因为是的中点，则， 且平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）设，连接，可证，结合线面平行的判定定理证明线面平行； （2）设，可证平面，可知点到平面的距离为，进而求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）设，与平面所成角为， 因为，则， 又因为平面，平面，则，， 可得， 且，平面，则平面， 因为是的中点，则点到平面的距离为，且， 所以与平面所成角的正弦值为. 例2．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证面，可得为与面所成的角，求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值； （2）由（1）知面，即可得到线线垂直. 【详解】（1）解：由直四棱柱可知平面， 因为平面，所以， 四边形为菱形，则，又，所以， 又因为，平面，所以平面， 则为与平面所成的角， 由，， 由余弦定理可得， 所以，则， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 即与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知平面，又平面，所以. 例3．（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 体积为 【分析】（1）作到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小. （2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积. 【详解】（1）过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形, 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，, 故和平面所成角为. （2）由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: 【变式训练】 变式1．（2026·浙江·模拟预测）在多面体中，已知，，且，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先作辅助线，证得，结合，再根据线面垂直的判断定理，以及面面垂直的判断定理，即可求证． （2）根据已知条件，通过线面位置关系，可得就是直线与平面所成的角，分别求出，的值，即可求解． 【详解】（1）如图，分别取，的中点、，连接、、，则且，    因为且， 所以且 则四边形为平行四边形，所以且， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （2）取的中点为，的中点为，连接，，，如图所示，    因为，所以， 在等腰梯形中，易得， 又因为，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作于点，由平面平面，平面， 则平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 由，，得，，是中点，， 在等腰梯形中，， 所以在等腰中，腰上的高， 又因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 变式2．（2026·广东东莞·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明如下： 底面为平行四边形，故， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面相交于，平面， 所以， 因为不在平面内，平面， 所以平面． (2)． 【分析】（1）根据得到平面，故，从而证明出平面； （2）作出辅助线，证明出，，从而平面，所以即是直线与平面所成角，求出各边长，求出，得到， 【详解】（1）略 （2）取中点，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，且，． 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 故平面， 所以即是直线与平面所成角． 因为，，所以， 所以中，，得， 所以直线与平面所成角的大小为． 变式3．（2026·四川雅安·模拟预测）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 因为为线段的中点，所以， 在等腰梯形中，作于，则由得， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为在平面内，所以， 因为在平面内，所以平面. (2). 【分析】（1）分析题意，利用线面垂直的判定定理求解即可. （2）利用线面垂直找到线面角，放到三角形中求解正弦值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 取的中点，连接，则， 因为平面，平面PCA，所以， 又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 在正中，，又因为， 在中，，所以， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 考点二 线面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式：设直线方向向量 ，平面法向量 · ⚠️极易混淆：线面角不是方向向量与法向量夹角！ 向量夹角 与线面角 满足：。 1. 操作步骤 ① 建立空间直角坐标系； ② 写出直线上两点，求出方向向量 ； ③ 取平面内两个不共线向量，列方程组求解平面法向量 ； ④ 代入公式算出正弦值，再求角。 二、解题原理 1. 建系优先选择：墙角结构（正方体、长方体、直棱柱）； 1. 求法向量：设 ，与平面内两向量点积为 0，自由赋值得一组法向量； 1. 必须加绝对值，保证 ； 1. 算出三角函数值后，根据题意用反三角函数表示或写出特殊角； 1. 对比区分： · 线面角： · 二面角：直接看两个法向量夹角余弦。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为． (1)求侧棱的长； (2)若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）在平面内过A作，垂足为D，证明平面，根据题意算出，即可求解侧棱的长； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）在平面内过A作，垂足为D， 因为侧面为矩形，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以，平面，平面 平面， 所以平面. 所以，解得， 因为，所以，所以； （2）如图，以A为坐标原点，以AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，. 因为，则， 故， 设平面的法向量为， 则,即，令，则， 故平面的一个法向量为， 设直线AE与平面所成角为， 则， 所以直线AE与平面所成角的正弦值为． 例2．（2026·河北秦皇岛·二模）如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)【证明】证法一：如图①所示，取棱 上一点，使得， 连接，因为，所以，且， 又因为四边形为菱形，且，所以且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 证法二:如图②所示，取棱上一点，使得，连接， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为四边形为菱形，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 证法三：如图③所示，取的中点，连接，作，垂足为， 在菱形中，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面 ，所以平面, 在中，，可得, 由余弦定理得，可得， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，又因为平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 所以， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）解法一：取棱 上一点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 解法二:取棱上一点，分别证得平面和平面，得到平面平面，即可证得平面； 解法三：取的中点，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再求得，结合，进而证得平面； （2）由（1）中的坐标系，求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：，且 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 例3．（2026·河南周口·三模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证. （2）先切换顶点，再通过线面垂直求出棱锥的高，最后体积公式可得结果. （3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值. 【详解】（1）由条件得，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，因为，所以平面， ，垂足为，平面，所以， ，平面，所以平面， ， ， 所以. （3）由（1）（2）可知，两两垂直， 以为原点，分别以、、为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ， 设平面的法向量，则：， 令，则，所以， 设直线MN与平面的所成角为，直线MN与平面的法向量所成的角为， 则 . 【变式训练】 变式1．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，平面平面. (1)证明：四边形是矩形； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可推出平面，进而得到，结合底面是平行四边形即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的正弦值公式计算. 【详解】（1）证明： 已知平面，平面，因此. 又平面平面，且平面平面， 如图，过作于，可得平面. 因为平面 ，所以. 又， 平面，因此平面. 又 平面，故. 已知底面是平行四边形，邻边垂直的平行四边形是矩形， 因此四边形是矩形. （2）由（1）知两两垂直，以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由，得各点坐标：. 因此，，. 设平面的法向量为 ，则：， 令，得，即. 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量公式可得： . 变式2．（2026·陕西咸阳·三模）如图，四棱锥的底面为菱形，，，棱的中点分别为． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的顶点满足，且当四棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理，先证，，推出平面，平面，再由面面平行判定定理得平面平面，最后由平面，得 平面； （2）先由菱形面积和四棱锥体积求高，以菱形对角线交点为原点建立空间直角坐标系，利用及确定点坐标；再求中点及向量，求平面的法向量；最后利用线面角公式，由方向向量与法向量夹角的余弦值，推导线面角的正弦值，再求其余弦值． 【详解】（1）因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为分别为的中点，所以， 因为为菱形，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2） 菱形的面积， 设到平面的距离为， 所以，解得， 由是菱形，得，设， 以为坐标原点，分别为轴，过作底面垂线为轴，建立空间直角坐标系， 由是菱形，，得为等边三角形，， ，， 所以，，，，， 设（竖坐标为高）， ，， 因为，所以，解得， ，解得，， 结合几何体实际位置，即， 因为为中点，为中点，所以，， ， ，， 设平面的法向量， 所以，令，得， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 变式3．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面,，，，点分别在棱上，，，平面与棱交于点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为，所以平面，因为平面，所以， 在直角中，，，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以， 因为且，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. (2)． 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到平面，证得，再由，证得，得到平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到，根据，求得，得到，再求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：过点作直线，以为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 则，，， 设，则， 由（1）知，所以，即，得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 考点三 已知线面角求其他量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 题型特征：题目直接给出线面角大小，反向求解：线段长度、点坐标、参数、平面方程、线段比值等。 1. 几何路径：利用 建立边长方程（ 垂高， 斜线长）； 2. 向量路径：把 作为已知条件，代入向量公式构造含参数方程。 二、解题原理 1. 几何法： 根据 得到垂线段与斜线的比例关系，设未知数，结合解三角形列方程求解边长； 1. 向量法（主流）： 将 视作方程，方程内含有待求参数，解方程； 1. 多解检验：求出参数后代回验证直线与平面位置，排除不合理解； 1. 思路选择：含动点、参数、不规则几何体，优先向量法。 【例题分析】 例1．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，．    (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若空间中存在一点Q，满足，且直线平面，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （2）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）因为，所以，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以，因为，所以，， 以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 因为，，，， 所以，，，，，，   ，， 设平面的一个法向量为，则即 令，得， 同理易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． （2）设，由题可知， 即，，， 即，所以． 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即， 解得，，故，． 例2．（2026·广西崇左·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据数量积为零可得，从而证得平面.方法二：取的中点，连接，，根据面面平行的判定定理证明平面// 平面，从而得到// 平面；方法三：取的中点，连接，，先证明，再根据线面平行的判定定理证得// 平面. （2）根据线面角的向量求法，列得关于的方程，求解可得的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 易证四边形为矩形，所以. 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. ，，，， . 设平面的法向量为， 则取，得. 若，则. 因为，所以. 因为平面，所以// 平面. 方法二： 如图，取的中点，连接，. 在中，分别为的中点，所以. 因为平面，平面，所以// 平面. ，，所以四边形是平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. 因为，平面，平面，所以平面// 平面. 因为平面，所以// 平面. 方法三： 如图，取的中点，连接，. 在中，，分别为，的中点，所以，. 因为，所以，所以四边形为平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. （2）记直线与平面所成的角为， ， 化简得，解得或，所以的值为或. 【变式训练】 变式1．（2026·河北张家口·三模）在边长为4的菱形中，，对角线与交于点O，将沿折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为直线上一点． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为120°，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法，得到关于的方程，求解可得. 【详解】（1）在菱形ABCD中，，O为BD中点， 由题可知，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 二面角的大小为120°，即 因为，， 所以，， 则，，，， 所以，， 设， 则， 所以. 设平面PCD的法向量为， 则， 取，得，， 则. 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则. 综上，或. 变式2．（25-26高二下·河南许昌·期中）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，、、分别是、、的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为 （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 因为四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面， 所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，所以，，， 所以， ，所以，， 即，，又，，平面， 所以平面； (2)（i）或（ii） 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用数量积得出线线垂直，再应用线面垂直判定定理证明即可； （2）（ⅰ）先求出平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算得出参数；（ⅱ）再求出平面的一个法向量进而应用二面角余弦公式计算求解. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由（1）知，，， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则，，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 化简得，解得或，所以或. （ⅱ）因为，所以由（ⅰ）知，所以，， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则，，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 考点四 线面角的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础范围： · ：直线平行平面或在平面内； · ：直线垂直平面。 1. 常见模型 ① 定点 ，平面 固定，过 作动直线与平面相交： 所有斜线中，垂线对应的线面角最大；直线越“倾斜”，线面角越小。 ② 动直线在某个约束下运动（过定点、绕轴旋转），求 取值范围。 1. 向量视角：，转化为向量数量积的最值问题。 二、解题原理 1. 几何分析结论： 平面外一定点引出各条斜线，垂线段对应的线面角最大； 1. 向量通用方法： 设含参数的方向向量，将 表达为参数函数，借助函数值域求出 范围，再反推 范围； 1. 边界捕捉：找到临界位置（直线∥平面、直线⊥平面、极限旋转位置）； 1. 单调性： 时， 单调递增， 最大对应 最大。 【例题分析】 例1．（2026·广东茂名·二模）如图，和都垂直平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，设，进而可得，从而可得正弦值的最大值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为分别是的中点，所以且. 又因为和都垂直平面，所以且. 由平行公理可得且，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，由线面平行判定定理， 所以平面. （2）因为和都垂直平面，所以，平面， 所以平面平面. 以点为坐标原点，以分别为轴，以平面为面，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设， 因为四边形为直角梯形，所以， 所以，得，即. 因为平面与平面重合，设平面的法向量为， ，由，得， 取，则，即. 所以线与平面所成角为， ， 当时，有最大值. 因此，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，点H在直线AB上． (1)求证：直线EF与直线GH为异面直线； (2)过P点的直线l与直线EF，直线HG相交，求直线l与平面EFG夹角正弦值的最大值． 【答案】(1)方法一：因为，，分别为，，的中点，点在直线上， 取中点，连接， 故、，则，故四点共面， 因为平面，，平面， 故直线与直线为异面直线； 方法二：假设直线，不异面，则与相交或平行， 若，又因为，则由，显然不成立，矛盾； 若与相交，不妨设两直线交点为，则平面，且平面， 所以在平面与平面的交线上，因为，显然不成立，矛盾， 综上，假设不成立，直线，为异面直线 (2) 【分析】（1）方法一：根据异面直线的概念，证明直线EF与直线GH不在一个平面内即可. 方法二：利用反证法，证明矛盾，进而得到直线EF与直线GH为异面直线. （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）因为点与直线同在平面中，所以直线平面，又平面， 设直线与直线的交点为，为平面与平面的公共点， 所以交点必在直线上，延长与交于点，联结，则直线即为直线， 因为为中点，所以，又因为，， 所以，所以， 由是正三角形，且为中点，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、、， 由，分别为，的中点，故、， 则，，，， 设，，则， 所以直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则有， 取，则，即， 设直线与平面的夹角为，则， 当且仅当时，等号成立，故最大值为． 【变式训练】 变式1．（2025·山东菏泽·二模）如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，． (1)求证：； (2)若，求与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】(1) 证明：取的中点G，连交AF于H. 在正方形中，由于F为的中点， 可得，则， 因为，所以， 得到，即 因为平面， 所以平面，又平面，故 由于平面平面，平面平面， ，故平面，又平面，则. 因为，平面， 所以平面，又因为平面， 则，又点G是的中点，故. (2)． 【分析】（1）利用正方形的性质证明，再借助已知线线垂直可证明线面垂直，再利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，即证中点； （2）利用空间向量法来研究线面角的正弦值，然后借助函数的单调性求出最大值. 【详解】（1）略 （2）由于圆O的半径为，则正方形的边长为2， 又，则. 以O为坐标原点，过点O作平行的直线分别为x轴，y轴， 所在的直线为z轴建立如图空间直角坐标系. 则， 易求上底面圆的半径为1，故. 故，，. 设平面的法向量为，由， 得 取，，故， 设与平面所成角为，则，， 令得，， 所以在上单调递增， 故. 所以与平面所成角正弦值的最大值为． 变式2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，且，. (1)求证：； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) 如图，取的中点F，延长交于G点，是边长为2的等边三角形，则. 在中，已知，且满足. 根据勾股定理的逆定理，. 则G为中点. 又为的中点，则.，则. 又平面，，则平面， 平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）运用等腰三角形三线合一，结合线线平行性质，线面垂直定理证明线面垂直，进而运用性质得到线线垂直即可； （2）运用向量法计算角，结合锥体体积公式计算即可； （3）运用向量法计算线面角的正弦值，结合基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知⊥平面， 又因为平面，所以平面平面. 以为坐标原点建立空间直角坐标系， 为的中点，且，可设点， 已知，. 设平面的法向量为，由，不妨令， 则平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为.   根据向量夹角公式， 又因为，则，解得. 因为为的中点，所以点到平面的距离为. 在中，满足， 所以的面积为. 根据三棱锥体积公式，三棱锥的体积. （3）因，则直线与平面所成角即为直线与平面所成角. 设该角为. 已知，则. 根据线面角的正弦值公式. . 因为，故， 根据均值不等式则 （当且仅当时，等号成立），所以的最大值为， 即直线与平面所成角正弦值的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $