第1讲三角恒等变换的结构识别与角的变换讲义-2027届高三数学一轮复习

三角恒等变换的结构识别与角的变换 高三数学专题复习 · 三角第一讲 0 题型概说 本讲研究的问题：三角函数式的给值求值、化简与结构识别——已知某个角的三角函数值（或含 的齐次条件），求另一个角的三角函数值，或把复杂的三角式化简。处理的核心不是”记公式”，而是结构识别：看清式子里藏的是哪个公式、目标角与已知角是什么组合关系，然后沿”切化弦、异名化同名、异角化同角、降幂”的次序变形。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 已知 的值，求 型 角的配凑：目标角写成已知角的组合 单元一 条件含 ，或式子是 、 的齐次分式 齐次式与切化弦 单元二 条件与目标分散（和差角结构、对称结构、等差角） 结构识别与多步化简 单元三 解答题中的化简、新定义、综合压轴 先化标准形，再做综合 单元四 单元一 角的配凑与给值求值 1.1 识别特征 已知角 的某个三角函数值，目标是另一个角的函数值；两个角之间存在加减组合关系（相差一个常数，或互为两倍、和差组合）。典型形态：已知 求 ；已知 求 ；条件含 与 ，目标含 。 1.2 结论与推导 结论 1.1（配凑角总表）　设已知角为 （它是 与常数的组合），常用配凑： ；　；　；　，。 推导：等式两端加减同一个量恒成立；把”目标角”用”已知角”线性表出后，公式才有用武之地。 结论 1.2（求值的执行次序）　先把目标角改写为已知角的组合，再选公式展开，最后代入已知值。诱导公式的常数补偿放在组合的外层：如 。 推导：公式把”和差角”化为”单角的函数值的积或幂”，所以必须让公式括号里的角恰好是已知角；常数用诱导公式在最后一步消化。 结论 1.3（开方先定号）　配凑产生的新角 的范围由已知角的范围平移得到；用平方关系求另一名函数值时，先由新角范围定正负，再开方。 推导：不等式各端同加常数，范围平移不变号；三角函数在各自象限的符号固定。 1.3 方法决策表 目标角与已知角的关系 处理 目标角为已知角加减常数的二倍 先诱导补偿，再做二倍角（结论 1.2） 目标角为已知角加减常数 诱导公式直接转化 条件含两个角的和（如  ），目标含单角 拆 ，（结论 1.1） 开平方 先按结论 1.3 定号 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知 为锐角，且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.1，，故 。 的因角范围：，其上正弦恒正，由结论 1.3 得 。故 。 【答案】B 例 2（填空题） 已知 ，则 = ________． ●解析 由结论 1.2 的诱导补偿：。记 ， 给出 ，与 联立得 。故所求为 。 【答案】 例 3（填空题） 已知 ，，则 的最小值为________． ●解析 按结论 1.1 拆角：，。代入条件并展开： ， 整理得 。由 知 ；若 则左端为 、右端为零，矛盾。故两边同除以 得 。 再由正切和角公式：，解出 。设 ，则 （  时取等，对应 可取到）。 【答案】 变式训练 变 1（填空题） 已知 ，则 = ________． ●解析 按结论 1.1，，由正切差角公式 。由结论 2.2，。 【答案】 变 2（填空题） 已知 是第四象限角，且 ，则 = ________． ●解析 为第四象限角时 ，结合正弦为正，由结论 1.3 得 。由诱导公式：，。故 。 【答案】 变 3（单项选择题） 已知 ，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 1.1：，故 ，即 。由二倍角公式 ，得 ；又 ，余弦为正，故 。 【答案】A 变 4（填空题） 已知 ，且 ，则 = ________． ●解析 二倍角降幂：，即 ，解得 或 ；由 取 ，由结论 1.3 得 。代入和角公式：。 【答案】 单元二 齐次式与切化弦 2.1 识别特征 条件含 的值，或条件是关于 、 的齐次分式（分子分母每一项的总次数相同）；目标是 、、 或含 的结构。 2.2 结论与推导 结论 2.1（齐次分式的弦化切）　分子、分母关于 、 同次齐次时，各项同除以 的最高次幂，化为 的式子；单独的常数项视为 参与降次。前提 ——若 代入条件无意义或矛盾，则自动排除。 推导：齐次性保证除法后分子分母同乘的因子抵消；“” 的代换 把常数升为二次齐次。 结论 2.2（万能代换）　 时， ，　。 推导：、，同除以 即得。 结论 2.3（半角结构）　；分子分母同乘共轭或平方后可回到整角。 推导：；分子分母同乘 ，分子化为 ，分母平方恰为 。 2.3 方法决策表 条件形态 处理 已知 ，目标为 的函数 万能代换（结论 2.2） 齐次分式条件 弦化切换元（结论 2.1） 目标含 半角结构整角化（结论 2.3） 条件为 型 平方关系联立解出 、，或齐次化 例题精讲 例 4（单项选择题） 已知 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 2.1 弦化切：分子分母同除以 ，得 ，解得 。二倍角：；再配凑：。 【答案】C 例 5（填空题） 若 ，则 = ________． ●解析 结构识别：；。约去非零公因子 （  ），原式化为 ，按结论 2.1 弦化切得 。 【答案】 例 6（单项选择题） 已知 ，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 降幂：，分子为 ，分母为 。再各用二倍角回代：，，故原式等于 。 【答案】D 变式训练 变 5（单项选择题） 已知 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 2.1，分子分母同除以 ：，得 。由结论 2.2，。 【答案】A 变 6（单项选择题） 已知 ，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先解条件：，代入平方关系得 ；由 得 ，。按结论 2.3：。 【答案】D 变 7（单项选择题） 已知 是第三象限角，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 2.2，；正切和角公式给出 。求和得 （两项的值只依赖 ，象限条件保证 与第三象限相容）。 【答案】D 变 8（填空题） 已知 ，则 = ________． ●解析 先化已知：。目标式分母乘 化为整式：，故原式为 。约去 前先证其非零：若 ，则 ，， 与已知 矛盾。故原式为 （  有定义同时保证  ）。 【答案】 单元三 结构识别与多步化简 3.1 识别特征 条件与目标分散在多个角上：给出 与 求其余组合；给出三项式需逆用和差角公式合并；条件关于两个角对称或成等差。此类题没有”一眼的公式”，靠结构识别拆解。 3.2 结论与推导 结论 3.1（和差结构的联立）　 与 、 三量知二求一；知二后可组合出 、、 等对称目标。 推导：展开式是两个”交叉积”的线性组合，联立即解；目标式按同一组交叉积组装。 结论 3.2（公式逆用合并）　形如 的结构逆用正弦和角公式合并为 ；识别要点是两项共含同一角 ，另一因子恰为其余弦与正弦。 推导：正弦和角公式 的右端结构匹配。 结论 3.3（对称化归）　条件关于 、 对称（或可整理为对称形式）时，设 、；三个角成等差（  ）是同型条件。代换后和差化简常出现公因子 ，约去前须由”终边不重合”确认非零。 推导：和差角展开后对称项自然成对出现； 保证 。 3.3 方法决策表 结构形态 处理 给出和差角值与一个交叉积 联立求另一交叉积，按目标组装（结论 3.1） 三项式共含一个组合角 逆用和差角合并（结论 3.2） 条件对称 / 等差角 半和半差代换（结论 3.3） 多步化简 切化弦、异名化同名、异角化同角、降幂依次进行 例题精讲 例 7（多项选择题） 已知 ，，则（  ） A．　　B． C．　　D． ●解析 由结论 3.1：，得 ，A 错误。，B 正确。，即 ，C 正确。，D 错误。 【答案】BC 例 8（单项选择题） 已知 ，， 成等差数列，，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 3.3，等差条件即 。两条件平方相加： ， 右端为 。 故 ，解得 。 【答案】B 例 9（单项选择题） 已知 ，且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 3.2 逆用公式：，原条件即 。，由结论 1.3 得 。降幂约分：。 【答案】B 变式训练 变 9（单项选择题） 已知 、 终边不重合，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 3.3 对称化归：移项得 ，设 ，，和差角展开得 ，。故 ；终边不重合给出 ，，约去得 。由二倍角正切：。 【答案】D 变 10（填空题） 已知 ，则 = ________． ●解析 诱导公式：，条件即 。按结论 1.1 拆角展开：，整理得 。目标式有意义保证 ，两边同除得 。 【答案】 变 11（填空题） 已知 ，则 = ________． ●解析 右端按结论 3.2 合并：；左端展开为 。故 ；若 则 与平方关系矛盾，故 。配凑角：，，，代入得 。 【答案】 变 12（多项选择题） 已知函数 ，则存在实数 ，使得（  ） A． 的最小正周期为 　　B． 是偶函数 C． 是奇函数　　D． 的最大值为 ●解析 化简：。取 ：，周期为 且为奇函数，A、C 正确。若为偶函数，则 需对一切 成立，矛盾，B 错误。若最大值为 ，则 ，两边平方得 ，无解，D 错误。 【答案】AC 单元四 综合解答与深化 4.1 识别特征 解答题的化简目标（化为标准形）、含新定义的问题（几何变换、方程的三角根）、以及恒等变换作为综合压轴的第一步。 4.2 结论与推导 结论 4.1（化简的标准形目标）　综合题中先把 化为 的标准形：二倍角降幂、辅助角合并；后续的周期、单调、值域、零点全部在标准形上读取。 推导：标准形的性质有现成结论；化简是”把一般式翻译成标准形”的过程。 结论 4.2（新定义的翻译）　新定义给出的是等式或操作规则：几何变换中，旋转角 等价于终边加 ，关于坐标轴对称等价于诱导公式；“ 是方程的根”等价于”把 用 的式子表示后代入”。按定义逐条翻译，落回给值求值。 推导：定义即等式；翻译的方向是把陌生操作化为角的加减，再回到熟悉公式。 结论 4.3（同角条件的整角化）　条件 （  ）直接给出 （  时右端为零而左端为 ，矛盾，故  ），其后所有目标（含诱导、齐次、二倍角）都用 表达，不必解出 、。 推导： 确定后，关于 、 的齐次式全部可求（结论 2.1、2.2）。 4.3 方法决策表 场景 处理 综合解答题 第一步化标准形（结论 4.1），再按后续设问读取性质 几何变换 / 新定义 按结论 4.2 翻译为角的加减 整角化为 （结论 4.3） 压轴多问 每问只依赖标准形，逐问独立读取 例题精讲 例 10（解答题） 已知 。（1）求 的值；（2）求 的值。 ●解析 由结论 4.3： 时条件右端为零而左端 ，矛盾，故 。 （1）诱导化简：，，。分子为 ，故原式为 。 （2）分子分母同除 （结论 2.1）：，化简即得所求。 【答案】（1）；（2） 例 11（解答题） 已知 ，，，。（1）求 的值；（2）求 的值。 ●解析 （1） 且 ：； 且正弦为正，故 ，（结论 1.3 定号）。按结论 1.1 配凑 ： 。 （2）。；又 ，故 。 【答案】（1）；（2） 例 12（单项选择题） 设 和 表示坐标平面内的几何变换， 表示将几何对象绕原点 逆时针旋转 ， 表示将几何对象关于 轴对称， 表示连续 次 变换。已知角 的终边经过点 ，若对角 的终边先进行 变换，再进行 变换，得到角 的终边，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 4.2 翻译：关于 轴对称把终边上的点 映为 ，得 ；旋转 即终边加角 ，故 。正切和角公式：。 【答案】D 变式训练 变 13（解答题） 在平面直角坐标系中，已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，且角 的终边经过点 。（1）求 与 ；（2）若 为第四象限角，且 ，求 。 ●解析 （1），，。诱导：；二倍角：。 （2） 为第四象限角，由结论 1.3，。差角公式：。 【答案】（1），；（2） 变 14（单项选择题） 设 是关于 的方程 的一个实根，其中 为常数，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 4.2，记 ，用二倍角把 表为 的式子：，。代入 并整理：，即 。与已知方程比较得 。 【答案】D 变 15（单项选择题） 已知锐角 满足 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 为锐角，，。两次二倍角：，。差角公式：。求和：。 【答案】C 变 16（解答题） 已知函数 。若函数 在区间 上的所有零点从小到大依次为 ，设数列 的前 项和为 。（1）求 在区间 上的值域；（2）求 的最小值；（3）记 ，证明：。 ●解析 （1）按结论 4.1 化标准形：；。故 。 时 ，正弦取值 ，值域为 。 （2）零点满足 ，即 （  ）。 给出 ，故 ， 是首项 、公差 的等差数列，。 当且仅当 ，即 ；其后各项为正。故 的最小值为 。 （3），同理 。故 。 裂项求和：。 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换的结构识别与角的变换 高三数学专题复习 · 三角第一讲 0 题型概说 本讲研究的问题：三角函数式的给值求值、化简与结构识别——已知某个角的三角函数值（或含 的齐次条件），求另一个角的三角函数值，或把复杂的三角式化简。处理的核心不是”记公式”，而是结构识别：看清式子里藏的是哪个公式、目标角与已知角是什么组合关系，然后沿”切化弦、异名化同名、异角化同角、降幂”的次序变形。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 已知 的值，求 型 角的配凑：目标角写成已知角的组合 单元一 条件含 ，或式子是 、 的齐次分式 齐次式与切化弦 单元二 条件与目标分散（和差角结构、对称结构、等差角） 结构识别与多步化简 单元三 解答题中的化简、新定义、综合压轴 先化标准形，再做综合 单元四 单元一 角的配凑与给值求值 1.1 识别特征 已知角 的某个三角函数值，目标是另一个角的函数值；两个角之间存在加减组合关系（相差一个常数，或互为两倍、和差组合）。典型形态：已知 求 ；已知 求 ；条件含 与 ，目标含 。 1.2 结论与推导 结论 1.1（配凑角总表）　设已知角为 （它是 与常数的组合），常用配凑： ；　；　；　，。 推导：等式两端加减同一个量恒成立；把”目标角”用”已知角”线性表出后，公式才有用武之地。 结论 1.2（求值的执行次序）　先把目标角改写为已知角的组合，再选公式展开，最后代入已知值。诱导公式的常数补偿放在组合的外层：如 。 推导：公式把”和差角”化为”单角的函数值的积或幂”，所以必须让公式括号里的角恰好是已知角；常数用诱导公式在最后一步消化。 结论 1.3（开方先定号）　配凑产生的新角 的范围由已知角的范围平移得到；用平方关系求另一名函数值时，先由新角范围定正负，再开方。 推导：不等式各端同加常数，范围平移不变号；三角函数在各自象限的符号固定。 1.3 方法决策表 目标角与已知角的关系 处理 目标角为已知角加减常数的二倍 先诱导补偿，再做二倍角（结论 1.2） 目标角为已知角加减常数 诱导公式直接转化 条件含两个角的和（如  ），目标含单角 拆 ，（结论 1.1） 开平方 先按结论 1.3 定号 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知 为锐角，且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.1，，故 。 的因角范围：，其上正弦恒正，由结论 1.3 得 。故 。 例 2（填空题） 已知 ，则 = ________． ●解析 由结论 1.2 的诱导补偿：。记 ， 给出 ，与 联立得 。故所求为 。 例 3（填空题） 已知 ，，则 的最小值为________． ●解析 按结论 1.1 拆角：，。代入条件并展开： ， 整理得 。由 知 ；若 则左端为 、右端为零，矛盾。故两边同除以 得 。 再由正切和角公式：，解出 。设 ，则 （  时取等，对应 可取到）。 变式训练 变 1（填空题） 已知 ，则 = ________． 变 2（填空题） 已知 是第四象限角，且 ，则 = ________． 变 3（单项选择题） 已知 ，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 4（填空题） 已知 ，且 ，则 = ________． 单元二 齐次式与切化弦 2.1 识别特征 条件含 的值，或条件是关于 、 的齐次分式（分子分母每一项的总次数相同）；目标是 、、 或含 的结构。 2.2 结论与推导 结论 2.1（齐次分式的弦化切）　分子、分母关于 、 同次齐次时，各项同除以 的最高次幂，化为 的式子；单独的常数项视为 参与降次。前提 ——若 代入条件无意义或矛盾，则自动排除。 推导：齐次性保证除法后分子分母同乘的因子抵消；“” 的代换 把常数升为二次齐次。 结论 2.2（万能代换）　 时， ，　。 推导：、，同除以 即得。 结论 2.3（半角结构）　；分子分母同乘共轭或平方后可回到整角。 推导：；分子分母同乘 ，分子化为 ，分母平方恰为 。 2.3 方法决策表 条件形态 处理 已知 ，目标为 的函数 万能代换（结论 2.2） 齐次分式条件 弦化切换元（结论 2.1） 目标含 半角结构整角化（结论 2.3） 条件为 型 平方关系联立解出 、，或齐次化 例题精讲 例 4（单项选择题） 已知 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 2.1 弦化切：分子分母同除以 ，得 ，解得 。二倍角：；再配凑：。 例 5（填空题） 若 ，则 = ________． ●解析 结构识别：；。约去非零公因子 （  ），原式化为 ，按结论 2.1 弦化切得 。 例 6（单项选择题） 已知 ，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 降幂：，分子为 ，分母为 。再各用二倍角回代：，，故原式等于 。 变式训练 变 5（单项选择题） 已知 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 6（单项选择题） 已知 ，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 7（单项选择题） 已知 是第三象限角，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 8（填空题） 已知 ，则 = ________． 单元三 结构识别与多步化简 3.1 识别特征 条件与目标分散在多个角上：给出 与 求其余组合；给出三项式需逆用和差角公式合并；条件关于两个角对称或成等差。此类题没有”一眼的公式”，靠结构识别拆解。 3.2 结论与推导 结论 3.1（和差结构的联立）　 与 、 三量知二求一；知二后可组合出 、、 等对称目标。 推导：展开式是两个”交叉积”的线性组合，联立即解；目标式按同一组交叉积组装。 结论 3.2（公式逆用合并）　形如 的结构逆用正弦和角公式合并为 ；识别要点是两项共含同一角 ，另一因子恰为其余弦与正弦。 推导：正弦和角公式 的右端结构匹配。 结论 3.3（对称化归）　条件关于 、 对称（或可整理为对称形式）时，设 、；三个角成等差（  ）是同型条件。代换后和差化简常出现公因子 ，约去前须由”终边不重合”确认非零。 推导：和差角展开后对称项自然成对出现； 保证 。 3.3 方法决策表 结构形态 处理 给出和差角值与一个交叉积 联立求另一交叉积，按目标组装（结论 3.1） 三项式共含一个组合角 逆用和差角合并（结论 3.2） 条件对称 / 等差角 半和半差代换（结论 3.3） 多步化简 切化弦、异名化同名、异角化同角、降幂依次进行 例题精讲 例 7（多项选择题） 已知 ，，则（  ） A．　　B． C．　　D． ●解析 由结论 3.1：，得 ，A 错误。，B 正确。，即 ，C 正确。，D 错误。 例 8（单项选择题） 已知 ，， 成等差数列，，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 3.3，等差条件即 。两条件平方相加： ， 右端为 。 故 ，解得 。 例 9（单项选择题） 已知 ，且 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 3.2 逆用公式：，原条件即 。，由结论 1.3 得 。降幂约分：。 变式训练 变 9（单项选择题） 已知 、 终边不重合，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 10（填空题） 已知 ，则 = ________． 变 11（填空题） 已知 ，则 = ________． 变 12（多项选择题） 已知函数 ，则存在实数 ，使得（  ） A． 的最小正周期为 　　B． 是偶函数 C． 是奇函数　　D． 的最大值为 单元四 综合解答与深化 4.1 识别特征 解答题的化简目标（化为标准形）、含新定义的问题（几何变换、方程的三角根）、以及恒等变换作为综合压轴的第一步。 4.2 结论与推导 结论 4.1（化简的标准形目标）　综合题中先把 化为 的标准形：二倍角降幂、辅助角合并；后续的周期、单调、值域、零点全部在标准形上读取。 推导：标准形的性质有现成结论；化简是”把一般式翻译成标准形”的过程。 结论 4.2（新定义的翻译）　新定义给出的是等式或操作规则：几何变换中，旋转角 等价于终边加 ，关于坐标轴对称等价于诱导公式；“ 是方程的根”等价于”把 用 的式子表示后代入”。按定义逐条翻译，落回给值求值。 推导：定义即等式；翻译的方向是把陌生操作化为角的加减，再回到熟悉公式。 结论 4.3（同角条件的整角化）　条件 （  ）直接给出 （  时右端为零而左端为 ，矛盾，故  ），其后所有目标（含诱导、齐次、二倍角）都用 表达，不必解出 、。 推导： 确定后，关于 、 的齐次式全部可求（结论 2.1、2.2）。 4.3 方法决策表 场景 处理 综合解答题 第一步化标准形（结论 4.1），再按后续设问读取性质 几何变换 / 新定义 按结论 4.2 翻译为角的加减 整角化为 （结论 4.3） 压轴多问 每问只依赖标准形，逐问独立读取 例题精讲 例 10（解答题） 已知 。（1）求 的值；（2）求 的值。 ●解析 由结论 4.3： 时条件右端为零而左端 ，矛盾，故 。 （1）诱导化简：，，。分子为 ，故原式为 。 （2）分子分母同除 （结论 2.1）：，化简即得所求。 例 11（解答题） 已知 ，，，。（1）求 的值；（2）求 的值。 ●解析 （1） 且 ：； 且正弦为正，故 ，（结论 1.3 定号）。按结论 1.1 配凑 ： 。 （2）。；又 ，故 。 例 12（单项选择题） 设 和 表示坐标平面内的几何变换， 表示将几何对象绕原点 逆时针旋转 ， 表示将几何对象关于 轴对称， 表示连续 次 变换。已知角 的终边经过点 ，若对角 的终边先进行 变换，再进行 变换，得到角 的终边，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 4.2 翻译：关于 轴对称把终边上的点 映为 ，得 ；旋转 即终边加角 ，故 。正切和角公式：。 变式训练 变 13（解答题） 在平面直角坐标系中，已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，且角 的终边经过点 。（1）求 与 ；（2）若 为第四象限角，且 ，求 。 变 14（单项选择题） 设 是关于 的方程 的一个实根，其中 为常数，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 15（单项选择题） 已知锐角 满足 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 16（解答题） 已知函数 。若函数 在区间 上的所有零点从小到大依次为 ，设数列 的前 项和为 。（1）求 在区间 上的值域；（2）求 的最小值；（3）记 ，证明：。 学科网（北京）股份有限公司 $