第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何单元测试卷 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．空间四边形 OABC中，= A． B． C． D． 2．已知，，则线段AB中点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B．1 C．0 D．2 4．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（    ） A． B． C．2 D．16 6．在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，⊥平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．） D．与夹角的余弦值为 10．已知正方体， 分别为，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等 11．如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A．直线直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知空间向量，则 . 13．在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________. 14．如图所示，已知正方体的棱长为，为面对角线上的动点，为中点，则的最小值为_______________. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 16．（15分）已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 17．（15分）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于 (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章空间向量与立体几何单元测试卷 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．空间四边形 OABC中，= A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据向量的加法、减法法则，把进行化简即可得到答案. 【详解】解：根据向量的加法、减法法则，得 ． 故选A. 【点睛】本题考点是空间向量的加减法，解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简，属于基础题． 2．已知，，则线段AB中点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式直接计算即可. 【详解】由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即. 故选：A 3．已知，则（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积的运算法则，求解即可. 【详解】因为， 所以， ， 则. 故选：A. 4．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D 5．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（    ） A． B． C．2 D．16 【答案】A 【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，得. 故选：A 6．在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出需要的点的坐标，求出向量和平面的法向量为，利用公式即可求出答案． 【详解】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则，，则， 故点E到平面的距离为． 故选：C． 7．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，⊥平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与夹角的余弦值． 【详解】解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设， 则,1,，,1,，,0,，,0,，,， 则,，,0,， 设异面直线与夹角为， 则． 异面直线与夹角的余弦值为． 故选：C． 8．如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，推出点在上时，取得最小值，作出点的对称点，由几何关系得到最小值，求出答案. 【详解】因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又四边形是正方形，所以⊥， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 过点分别为⊥，⊥于点， 则⊥平面，⊥平面， 过点作⊥于点，连接， 则，， ，其中， 故要想取得最小值，则，即只需点在上， 其中关于直线的对称点为， 连接，此时取得最小值，最小值为， 其中. 故选：A 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．） D．与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】因为，且，故A不正确； 因为，，则，故B正确； 因为，，故C正确； 由于，，所以，所以D正确. 故选:BCD. 10．已知正方体， 分别为，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，求出平面平面与平面的法向量，根据空间位置关系的向量方法，可判断,利用空间距离的向量求法可判断D. 【详解】如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系： 设正方体棱长为2，则， 故 , 由于，故不垂直， 即直线与直线不垂直，A错误； 又 , 所以,, ， 设平面的法向量为 ，则 ， 取 ，则 ，即 ， 故 ，而平面，∴直线与平面平行，故B正确； , 设平面的法向量为 ，则 ， 取 ，则 ，即 ， 因为，故平面与平面垂直，C正确； ,则点C到平面的距离为 ， ,则点到平面的距离为, 即点C和点到平面的距离不相等，D错误， 故选： 11．如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A．直线直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】由正方体的结构特征，根据线面垂直的判定和性质证明线性垂直判断A；由已知证明平面，再由棱锥的体积求法判断B；由已知得异面直线与所成角为直线与直线的夹角，即可判断C；构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角正弦值判断D. 【详解】A：连接，由正方体的结构特征得， 平面，平面，则， 而都在平面内，则平面， 而平面，则直线直线，正确； B：由题设，易知四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 到平面的距离为定值，又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值，正确； C：，则异面直线与所成角为直线与直线的夹角． 易知为等边三角形，当为的中点时； 当与点或重合时，直线与直线的夹角为． 故异面直线与所成角的取值范围是，错误； D：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以，，又平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 平面，则，同理，都在平面内， 所以平面，则是平面的一个法向量， 直线与平面所成角的正弦值为， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，正确． 故选：ABD 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知空间向量，则 . 【答案】 【分析】由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算． 【详解】因为，所以. 故答案为：． 13．在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________. 【答案】 【分析】求出平面的法向量，根据点在平面内，即可求解. 【详解】点，，， 所以：，， 设平面的法向量为， 则：,令得： 在平面内,所以 即： 故答案为： 14．如图所示，已知正方体的棱长为，为面对角线上的动点，为中点，则的最小值为_______________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算线段长，根据点的位置作和的展开图，问题转化为求的长，利用余弦定理分析特征即可得到结果. 【详解】由题意得，为等腰直角三角形，. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，， ∴，. 如图，作和的展开图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长. 在中，由余弦定理得，， 由得，， ∵，∴， ∴，即的最小值为. 故答案为：. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性定理和向量的数量积定义进行求解即可. （2）根据空间向量的线性定理、向量的数量积定义和向量的模进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2） ， 所以线段的长为． 16．（15分）已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 【答案】(1)；；(2). 【分析】（1）由已知结合空间向量加法可得，再根据向量模长和数量积的关系可求得CD的长； （2）利用空间向量加法表示，再利用数量积公式求得向量夹角. 【详解】（1）， 利用空间向量加法可得； 由已知二面角为，A，B是棱l上的两点，， 所以，，， ， 所以线段CD的长为. （2），， ， 又异面直线夹角范围是，所以异面直线CD与BA所夹角的余弦值. 17．（15分）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的值为 【分析】（1）首先利用面面垂直的性质证明，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可证明平面.进而得到面面垂直. （2）首先假设存在点，根据已知条件和（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与垂直求解即可. 【详解】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 18．（17分）如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于 (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）设平面的一个法向量为，求出法向量，利用向量法求解解． （3）利用向量法求解即可． 【详解】（1）如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， ，， 因为在上，故可设，又， 所以，解得， 所以， ， ，即 ，平面． 所以平面． （2）设平面的一个法向量为， ， 则， ， 令，得， ， 所以所求的距离为； （3）由（2）知，， ， 与所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19．（17分）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $