第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第1章空间向量与立体几何检测卷-2026-2027学年数学人教A版选择性必修第 一册 一、选择题 1.4,4都是直线1的方向向量，则下列说法中正确的是（） A.dlld, B.d=d c.d与d同向 D.d与4反向 2.在空间直角坐标系中，点P(1,-2,3)关于x02平面对称的点的坐标是《) A.(2,3) B.（1,-2,3) c.(1-2,-3) D.（12,-3) 3.在平有六面体MBCD-ABCD中，∠BAD=90°，∠AMB=∠AAD=60,AB=AD=1, AA=2 () A.6 B.3 c.ò D.25 4.如图，在四面体01BC中，01=a,0丽=6,0C=c,CD=20B,P为线段01的中点， 则P等于() B 11 3 11 .2 1 1 C.2 ā+b+二c 3 3 D-20+三b+0 3 3 5.在正方体ABCD-ABCD1中，点E为BB1的中点，则平面AED与平面ABCD所成角的正弦值 为() 1 5 √5 √2 A.2 B.3 C.3 D.2 6.直线1的方向向是为m=1.0,-),且1过点4,1，则点P(-2,42)到1的距离为《) A.22 B.2V5 c.vii D.6 7.已知过原点的平面a的一个法向量是m=(-2,-1,2）),点P2,20)是平面《外的一点，则点P到 平面0的距离是() 32 A.1 B.2 C.2 D.2√2 8.给出下列四个命题，其中正确的有() ()若空间向量，6，C,满足a16,1E,则a, (2)空间任意两个单位向量必相等： (3)对于非零向量C,由a-c=万：8，则i=6, (4)在向量的数量积运算中(a-b)c=a(6d) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 二、多项选择题 9.已知空间向量=(2，-3,3)，万=(B,-山)，下列说法正确的是() A.若a16,则x=-3 30 B.若x=-2,则ā在b上的投影向量为14 C.若=4.则x=2 D.若a与5的夹角为纯角，则x∈(3，+∞) 10.在正三棱柱 ABC-ABG中，D为BC的中点，则(） A.ADLAC B.BCL AAD 平面 C.ADI/AB D.CG/平面1MD 11.如图，一个结晶体的形状为平行六面体 BCD-AB,CD,其中，以顶点A为端点的三条棱长 60 都等于1，且它们彼此的夹角都是 ,下列说法中正确的是( D A D A.(+AB+AD)=2(4C) B.A在底面MBCD上的投影是线段BD的中点 C.AA与平面MBCD所成角大于45 VG D.BD与AC所成角的余弦值为6 三、填空题 12.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且 都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为 AM=MB 13.在正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2,M为棱AB上一点，且 3 ,则异面直线SM 和AC所成角的余弦值为 14.如图，棱长为2正方 BCD-4BCD,O为底面4C的中心.点P在制面BC内运动n DO⊥OP ,则点P到底面ABCD的距离与它到点B的距离之和最小是 D C B D以-- B 四、解答题 15,如图，平行六面体1BCD-4BCD中，AC与BD相交于M,设丽=石、D=6、 AA=c D A B B (1)用a、6、c表示BM (2)若石、6、c三向量是两两成60°角的单位向量，求B,M, 16.如图所示，已知平行六面体 ABCD-ABCD 的底面ABCD是菱形，且 ∠CCB=∠CCD=∠BCD B C D B CC⊥BD (1)求证： CD (2)当CC的值为多少时，能使AC⊥平面CBD？?请给出证明. 17.已知空间中三点4(2,0，-2)，B1-1-2),C(3,0),设a=B,万=AC. 1)若=3，且/BC,求向量C, (2已知向量如+6与5互相垂直，求的值， (3)若点P1,-m）在平面ABC上，求m的值 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD, PE AB/ICD,CD=PD=2AD=2AB=2,点E是棱PC上的动点，且PC =20<元<) 1 入= (1)若3，证明：PA/平面BDE: 3 (2)若PB与平面BDE所成角的正弦值为3，求入的值. CDEF CD=1,DE=2 A,B DE,CF P,O 19.如图，在矩形 中， 分别是 的中点，点分别是对角线 AC,BE上的动点（不包括端点），且CP=B0=a0<a<2),将四边形ABCD沿AB翻折，使 平面ABCD⊥平面ABFE. D 、B (I)求证：BD⊥平面AEC: PO (2)求线段 的长（用表示）： PO POA (3)当线段的长最小时，求平面与平面 AEC 夹角的余弦值. 答案解析部分 1.【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】D 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】C 8.【答案】A 9.【答案】A,B 10.【答案】B,D 11.【答案】A,C,D 12.【答案】 217 3V26 13.【答案 126 P 14.【答案】5 15.【答案】(1)解：根据图形， aW-瓜8+a丽=-M+号+BG)=-M-号西+而=6-- 22 (2)解：ya,6,c三向量是两两成60°角的单位向量， 则问--间-，所5=对号68-ae-号 2 叫-传-0-可--59 6,【答案】4)证明：设CD=a,CB=万，CG=,则BD=CD-C8=a-万， 底面ABCD是菱形，有同-闪.且CD,C,CC两两所成角相等，设为0， 则C℃·BD=c(a-=ca-c.6=cos0-|lcs0=0 :CG1BD,即CC L BD (2证明：要使4CL平面CBD,只需4C1CD且4C1CB 欲使4C1CD,则可证明C·CD=0,即Ci+A)-(C而-CC)=0, 也就是(C⑦+CB+CC):(CD-CG)=0 即cD-CC+cd,CDcos∠BCD-|CCCcos.∠CCB=0, 由于∠CCB=∠BCD,显然当C可-CC时，上式成立 同理可得，当C可=CC时.4C1CB CD=1 因此，当CC时，能使AC⊥平面C,BD 17.【答案】解：(1)BC=(2,1-2),因为cBC,所以存在实数元，使得 c=ABC=(2,元，-2) 又同=3，所以4++4=3，解得2=士1， 所以0=(2,1-2）或=（2，-1,2). (2)由己知a=(1,-1,0).6=(1,0-2) 因为a+6与6互相垂直，所以(a+6列6=0，则后6+万=0，即-k+5=0,解得k=5: (3)因为点P1,-m在平面BC上，枚存在x,'使得P=xB+AC, -1=-x+y [x=1 又因为 ，所以 -1=-x 解得少=0 ，故 AP=(-1,-1,m+2） m+2=-2y m=-2 m=-2 18.【答案】(1)证明：连接AC交BD于点F,连接EF,如图所示： AB AF 1 AF 1 因为ABICD且CD=2AB,所以CDFC2AC3, 1 PE 1 AF PE 1 入= 因为3，所以PC3,所以ACPC3,所以PANEF, 又因为EFc平面BDE,PA￠平面BDE,所以PAII平面BDE; (2)解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： ZA P E C 则B1,0),C(0,20).P0,02).DB=(L1,0).PB=,1-2） =0<c0,质E=c=02-2=02a-2） 因为PC 所以DE=DF+PE=(0,02)+(0,22,-2)=(0,2,2-22） 设平面BDE的一个法向量i=(化，). DB=0 2y+(2-22)z=0 则n-DE=0，即x+y=0 ，令 y=1-1,可得方=1-元，2-1,2)： 21 2 2 2 由题意可得 sa,P丽）6N3一4以+2号，解得2-方或=2（会），故元的值为 19.【答案】(1)证明：在矩形CDEF中，CD=1DE=2 A,B DE,CF ，点分别是 的中点， 所以四边形1CD和EFB1是全等的正方形，所以B ,BD⊥AC,AE⊥AB 因为平面ABCDL平面ABFE,平面ABCDO平面ABFE=AB,AEC平面ABFE, 所以AE⊥平面ABCD, 因为BDC平面ABCD,所以AE⊥BD, 又因为BD⊥AC,En1C=A,E,4Cc平面AEC, 所以BD⊥平面AEC: (2)解：以B为原点， BA,BF,BC 所在直线分别为轴、'轴、“轴。建立如图所示的空间直角 坐标系， B 则B(0,00A0,0),El1,0),F(01,0.C(0,0,1,D1,01, 则C7=(L,0.-,CB=(0,0-,8E=(01,0） CP=BO=a 因为 0-元：0-经 所P网-+a-=后-a+10<月) 所以线段Pp的长为Na-V2a+1(0<a<2): )g.因为P网--ia1-a5， 所以当0=2时，线段PQ最短， t时Pe分别4C.E的中点，Q刘，而-（兮）. 则40-(0 设i=(伍少2)是平面P4的一个法向量， n0-=0 则0=-x+5y 2x+2y=0 ,则少=2=1 所以平面P21的一个法向量为=(，1)， 由(1)知， BD=(1,0为平面AEC的一个法向量， n.BD cos<n,BD> 26 则 BD 3×√23， 6 所以平面PQA与平面AEC夹角的余弦值为3·