立体几何专题第2讲二面角与空间距离讲义-2027届高三数学一轮复习

二面角与空间距离 立体几何 · 专题篇 一 二面角的作法与定义法 一、二面角的定义与范围。 从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫二面角，那条直线叫棱。范围是 —— 与异面角、线面角都不同，这里能超过 。 ★ 三个角的范围要分清：异面角 、线面角 、二面角 。前两个用绝对值就不会超过 ，二面角不行。 二、定义法：三步作出平面角。 一、在棱上取一点 ；二、在两个半平面内分别作棱的垂线 、；三、 就是二面角的平面角。 ★ 关键是「两条垂线都与棱垂直」—— 只有这样才能保证 的大小与点 的位置无关。 三、垂面法：作棱的垂面。 作一个平面与棱垂直，它与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。 ★ 垂面法在「棱不在图上、或棱的位置不好取点」时最好用，本节有几道题（潍坊、枣庄）都是靠垂面法定出平面角的。 四、向量法（下一节详讲）与定义法的分工。 图形规则、能建系时用向量法（不必作出平面角）；图形不规则、或题目本身要求「求证某角是平面角」时用定义法。 ★ 本节侧重「怎么把角作出来」，因为在解答题里，「说明哪个角是平面角」往往占分。 五、二面角的锐钝。 由图形直接判断：从棱出发看两个半平面是「张开」还是「合拢」。 ★ 向量法算出的是「法向量夹角」，可能是二面角也可能是补角，必须回到图形确认 —— 这是本讲最容易失分的地方。 例1（解答·★★★★☆） 如图，直四棱柱中，。 （1）若，证明：平面；（2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值。 变式1-1（解答·★★★★☆） 如图，在直三棱柱中，，，，上的点E满足。 （1）求证：平面；（2）求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值。 变式1-2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，。 （1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值. 变式1-3（解答·★★★★☆） 如图，已知四棱台的上底面是边长为2的正方形，，底面，点，分别在棱，上。 （1）若，求证：点是棱的中点；（2）若三棱锥的体积是，求平面与平面夹角的余弦值。 变式1-4（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点. （1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 变式1-5（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，点分别是棱的中点. （1）证明：平面；（2）若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 变式1-6（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且平面平面。 （1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值. 变式1-7（解答·★★★★☆） 如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为。 （1）求证：；（2）若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值。 变式1-8（解答·★★★★☆） 如图，长方体中，，，，E，F分别为棱AB，的中点。 （1）过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长；（2）设T为线段上一点，当平面平面时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值。 变式1-9（解答·★★★★☆） 如图，、分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且，，分别是圆上在同侧的两点，且是线段上一点（不含端点）。 （1）求证：平面；（2）已知圆柱的高为6，表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 二 向量法求二面角 一、公式与符号。 设两个半平面的法向量为 、，则 。 ★ 先取绝对值，再定锐钝。法向量的夹角 与二面角 满足 ，符号由两个法向量的「朝向」决定。 二、锐钝判断的三种依据。 一看图形：两个半平面是张开（钝）还是合拢（锐）；二看问题：题问「夹角的余弦」通常指锐角，问「二面角」则可能为钝；三看特殊值： 时对应 或 ，由图形选一个。 ★ 三种依据里图形最可靠。本节十道题都要在图上先标出「哪个角」，再决定正负。 三、法向量朝向的固定约定。 取 指向二面角「内部」、 指向「外部」，则 。 ★ 这个约定在每道题里都要重新确认，因为「内部」「外部」取决于棱的位置 —— 没有一劳永逸的公式。 四、由二面角反求参数。 设动点的位置参数（如 、），把二面角的余弦写成参数的方程，解出后验范围。 ★ 这类题常有「两解」或「唯一解」，解完要回到 的条件取舍。 五、翻折题里的二面角。 翻折题的二面角是「折痕两侧的两个半平面」，折前是平的（），折后由题给条件确定。 ★ 翻折后要先定「哪条是折痕」，再以折痕为棱找两个半平面 —— 找错棱，整个角就错了。 六、本节十道题的四类结构。 第一类「菱形的对角线」：底面为菱形时对角线互相垂直，以交点建系最省（儋州、蚌埠两道）。 第二类「翻折与折痕」：合肥、青岛、聊城三道，关键是先定折痕、再定翻折后的位置。 第三类「由二面角反求参数」：淮北求 、蚌埠求 、锦州求 ，都要把角写成参数的方程。 第四类「新定义背景」：鹤壁的「球面三角形」，要读懂「内角就是二面角」再动手。 ★ 四类题的收尾动作都是「回图形定锐钝」——算完绝对值不算完，符号还要由图形确认。 例2（解答·★★★★☆） 如图，在直四棱柱中，底面四边形是菱形。 （1）求证：平面；（2）若，，，点在棱上，，且平面。①求点到平面的距离；②求二面角的正弦值。 变式2-1（解答·★★★★☆） 如图，在正三棱柱中，，是的中点，点分别是，的中点，与平面相交于点。 （1）求的值；（2）求二面角的正弦值。 变式2-2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点。 （1）求证：平面；（2）设平面。（i）求实数的值；（ii）求二面角的正弦值。 变式2-3（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点。 （1）当时，求证：平面；（2）已知平面平面，当二面角的大小为时，求。 变式2-4（解答·★★★★★） 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点. （1）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值.（2）在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为。（i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值；（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 变式2-5（解答·★★★★★） 如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至。 （1）证明：；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值；（3）当时，求四棱锥体积的最大值. 变式2-6（解答·★★★★☆） 如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且。 （1）求点到平面的距离；（2）点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值。 变式2-7（解答·★★★★☆） 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥。 （1）证明：平面平面；（2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值. 变式2-8（解答·★★★★☆） 在梯形中，，，、分别是、的中点，，，如图1所示。沿将梯形折起，得到一个多面体，如图2所示。 （1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，①求多面体的体积；②求直线与平面所成角的正弦值。 变式2-9（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. （1）求证：平面平面；（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 三 点面距与线面距 一、点面距的向量式。 设平面 的法向量为 、、 为平面外一点，则 。 ★ 分子是数量积的绝对值（不是一个向量），分母是法向量的模。这个式子是全讲用得最多的。 二、线面距与面面距都化到点面距。 线面平行时，线上任取一点算点面距即可；面面平行时，一个面上任取一点算到另一个面的距离。 ★ 转化的前提是「平行」—— 线面相交时没有「线面距」可言。 三、等体积法是第二种算法。 把三棱锥换一个底面看，体积不变，由 反解出高，即所求距离。 ★ 等体积法与向量式各有优势：能建系就用向量式（直接、不易错）；图形简单、底面积好算时用等体积法（不必建系）。 四、异面直线距离。 高中阶段以「公垂线段」为主：找（或作出）同时垂直于两条异面直线的线段；向量法用「两方向向量的叉积方向」作公垂方向。 ★ 异面直线距离的题不多，但一旦出现，「如何作出公垂线段」是难点 —— 常用「过其中一条作平行平面」转化。 五、距离的最值。 点在动时，到定平面的距离是「点到平面距离」的连续变化，最值在端点或特殊位置取到。 ★ 用向量式时，动点的坐标含参数，距离就变成参数的函数，求最值即求函数极值。 六、本节十道题的三种落点。 第一类「直接算点面距」：建系后写点与平面，代公式（巴中、梅州、白山三道）。 第二类「由距离反求参数」：题给距离，列方程解长度或位置（宁波、苏北四市两道）。 第三类「点到直线（非平面）的距离」：长治一道，用三角形面积或勾股，不能用点面距公式。 ★ 三类的共同准备动作是「先把平面找对」——平面错了，法向量就错，距离必然错。本节不少题的问法里藏着「哪个平面」，读题时先圈出来。 例3（解答·★★★★☆） 如图，三棱锥中，底面，，，，点满足，是的中点。 （1）请写出的一个值使得平面，并给予证明；（2）若二面角大小为，且，求点到平面的距离。 变式3-1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，。 （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离。 变式3-2（解答·★★★★☆） 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形. （1）求点到平面的距离；（2）求二面角的正弦值. 变式3-3（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，。 （1）证明：；（2）若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 变式3-4（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥中，底面，，平面，，。 （1）证明：；（2）若点到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值。 变式3-5（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，。 （1）证明：；（2）若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值. 变式3-6（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点。 （1）求证：；（2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值。 变式3-7（解答·★★★★☆） 如图，三棱柱的所有棱长均为2，三棱柱的体积为3，且。 （1）若平面与平面交于直线，求点到直线的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 变式3-8（解答·★★★★☆） 在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： （1）异面直线与所成角的余弦值；（2）点到平面的距离；（3）二面角的余弦值。 变式3-9（多选·★★★☆☆） 如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）。则下列选项中正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得 C. 该五面体的体积为 D. 若，则点的轨迹长度为 学科网（北京）股份有限公司 $ 二面角与空间距离 立体几何 · 专题篇 一 二面角的作法与定义法 一、二面角的定义与范围。 从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫二面角，那条直线叫棱。范围是 —— 与异面角、线面角都不同，这里能超过 。 ★ 三个角的范围要分清：异面角 、线面角 、二面角 。前两个用绝对值就不会超过 ，二面角不行。 二、定义法：三步作出平面角。 一、在棱上取一点 ；二、在两个半平面内分别作棱的垂线 、；三、 就是二面角的平面角。 ★ 关键是「两条垂线都与棱垂直」—— 只有这样才能保证 的大小与点 的位置无关。 三、垂面法：作棱的垂面。 作一个平面与棱垂直，它与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。 ★ 垂面法在「棱不在图上、或棱的位置不好取点」时最好用，本节有几道题（潍坊、枣庄）都是靠垂面法定出平面角的。 四、向量法（下一节详讲）与定义法的分工。 图形规则、能建系时用向量法（不必作出平面角）；图形不规则、或题目本身要求「求证某角是平面角」时用定义法。 ★ 本节侧重「怎么把角作出来」，因为在解答题里，「说明哪个角是平面角」往往占分。 五、二面角的锐钝。 由图形直接判断：从棱出发看两个半平面是「张开」还是「合拢」。 ★ 向量法算出的是「法向量夹角」，可能是二面角也可能是补角，必须回到图形确认 —— 这是本讲最容易失分的地方。 例1（解答·★★★★☆） 如图，直四棱柱中，。 （1）若，证明：平面；（2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值。 【切入点】直四棱柱中 、、 ——先由勾股逆定理判断 是直角三角形，这为建系提供垂直关系。 【关键】（1） 时 ，而 ，故 ；又 平面 得 ，故 平面 。 （2） 且 时，以 为原点、、、 为三轴建系；、、 满足 ，故 。 求平面 与平面 的法向量，两法向量夹角的余弦的绝对值为 ；由图形判断两面夹角为锐角，故取正值。 【易错】第一， 由 判定，这是建系的前提。第二， 平面 需要「」与「」两条。第三，算出的法向量夹角余弦要取绝对值，再由图形定锐钝。 【答案】 变式1-1（解答·★★★★☆） 如图，在直三棱柱中，，，，上的点E满足。 （1）求证：平面；（2）求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值。 【切入点】直三棱柱 、、，点 在 上且 ——先由 定出 的位置。 【关键】 与 底面得 平面 ，故 ；结合 得 平面 。 （2）以 为原点、、、 为三轴建系，由 解出 的长度，再求平面 与平面 的法向量。 两法向量夹角的余弦的绝对值为 ，由图形判断为锐角，取正值。 【易错】第一， 平面 需要「」与「」。第二， 平面 需要 垂直于面内两条相交直线（ 与 ）。第三， 的位置由 解出，不是取中点。 【答案】 变式1-2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，。 （1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值. 【切入点】、、 底面，且 、 ——三条线（、、）两两垂直，可直接建系。 【关键】（1）在底面中 ；由 与长度关系算出 与 相等，故 ；结合 底面得 ，于是 平面 、。 （2）以 为原点建系，求平面 与平面 的法向量，两法向量夹角余弦的绝对值为 ，由图形判断为锐角。 【易错】第一， 的判定要用角度关系，不是「看起来垂直」。第二， 说明 ，这是算 、 坐标的依据。第三，两面夹角要判断锐钝，本题两平面张成的角为锐角。 【答案】 变式1-3（解答·★★★★☆） 如图，已知四棱台的上底面是边长为2的正方形，，底面，点，分别在棱，上。 （1）若，求证：点是棱的中点；（2）若三棱锥的体积是，求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】四棱台的上底面是边长 的正方形、、 底面 ——以 为原点、、、 为三轴建系。 【关键】（1）设 在 上的位置参数，由 得数量积为零，解出参数恰为 ，故 是 的中点。 （2）由三棱锥 的体积条件定出 在 上的位置，再求两平面的法向量，得夹角余弦 。 【易错】第一，四棱台的侧棱 底面，故 、、 两两垂直。第二， 要写成 ，其中 、 的坐标都含参数。第三，第（2）问的体积条件给出 的位置，这一步不能省。 【答案】 变式1-4（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点. （1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【切入点】底面是菱形、、 是中点；平面 平面 且 ——取 中点，由等腰与面面垂直得该点垂直于底面。 【关键】（1）取 中点（或利用中位线），由 某条平面内的线证 平面 。 （2）由 与 定出各点坐标，求两平面的法向量，得夹角余弦 。 【易错】第一，菱形的对角线互相垂直，这是建系的关键。第二， 说明 在 的垂直平分面上，结合面面垂直可定 的射影位置。第三，第（1）问的平行要用「中位线」，不能直接说「显然」。 【答案】 变式1-5（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，点分别是棱的中点. （1）证明：平面；（2）若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【切入点】底面 是正方形、 ——三条线 、 与竖直方向两两垂直。 【关键】（1）由 、 是中点，用中位线或向量证 平面 。 （2）由 定出各点坐标，求平面 与平面 的法向量，得夹角余弦 。 【易错】第一，正方形的边与竖直方向垂直，故可建系。第二，、 分别在 、 上，坐标要用中点公式。第三，平面 的法向量要按 、、 三点算。 【答案】 变式1-6（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且平面平面。 （1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值. 【切入点】矩形底面、 底面，且「平面 平面 」——这个面面垂直是定出 长度的关键。 【关键】（1）由面面垂直的性质得 （在底面内），故 成立。 （2）由 解出 的长度，以 为原点建系，求平面 与平面 的法向量，得夹角余弦 。 【易错】第一，「平面 平面 」要用性质定理，不能直接当成「」——中间要过一步推理。第二， 是 中点，它的坐标含 的长度（未知）。第三， 对应 ，可用来回验。 【答案】 变式1-7（解答·★★★★☆） 如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为。 （1）求证：；（2）若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值。 【切入点】斜三棱柱、、侧面 是矩形， 在底面的射影为 ——射影位置由 与矩形的性质定出。 【关键】（1）由 与射影关系得 。 （2）由 定出 的位置与柱高，以 为原点建系，求平面 与平面 的法向量，得夹角余弦 。 【易错】第一，「 在底面的射影为 」说明 底面，这是建系的高。第二， 的证明要用 推出 是中线兼高。第三，斜三棱柱的侧棱不垂直于底面，各点坐标要按射影关系算。 【答案】 变式1-8（解答·★★★★☆） 如图，长方体中，，，，E，F分别为棱AB，的中点。 （1）过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长；（2）设T为线段上一点，当平面平面时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值。 【切入点】长方体、、 是中点，过 、、 的截面记为 ——先画出截面多边形，再算周长。 【关键】（1）截面与长方体各面的交线要逐段定出，由平行关系补全（截面与平行面的交线平行），得截面为五边形（或六边形），各边长分别用勾股算出，周长为 。 （2）以 为原点建系，求截面所在平面与某侧面的法向量，得夹角余弦 。 【易错】第一，截面作图要按「同一平面内两点连线、平行面上的交线平行」的规则补全。第二，周长要把每条边都算出来，不能漏掉短边。第三，第（2）问要用截面的法向量，不是用棱的方向。 【答案】； 变式1-9（解答·★★★★☆） 如图，、分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且，，分别是圆上在同侧的两点，且是线段上一点（不含端点）。 （1）求证：平面；（2）已知圆柱的高为6，表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【切入点】圆柱中 是两条直径，、 在底面圆上且三等分半圆弧 ——先由圆心角定出各点坐标。 【关键】（1）由圆柱的母线垂直于底面、直径互相平分等性质证得结论。 （2）由 定半径，以 为原点建系，求平面 与平面 的法向量，得夹角余弦 。 【易错】第一，三等分半圆弧说明三个圆心角都是 ，这是各点坐标的来源。第二，圆柱的母线垂直于底面，故 与 的坐标只差竖直方向。第三，两平面的公共棱是 ，求法向量时两个平面都要用这条棱上的点。 【答案】 二 向量法求二面角 一、公式与符号。 设两个半平面的法向量为 、，则 。 ★ 先取绝对值，再定锐钝。法向量的夹角 与二面角 满足 ，符号由两个法向量的「朝向」决定。 二、锐钝判断的三种依据。 一看图形：两个半平面是张开（钝）还是合拢（锐）；二看问题：题问「夹角的余弦」通常指锐角，问「二面角」则可能为钝；三看特殊值： 时对应 或 ，由图形选一个。 ★ 三种依据里图形最可靠。本节十道题都要在图上先标出「哪个角」，再决定正负。 三、法向量朝向的固定约定。 取 指向二面角「内部」、 指向「外部」，则 。 ★ 这个约定在每道题里都要重新确认，因为「内部」「外部」取决于棱的位置 —— 没有一劳永逸的公式。 四、由二面角反求参数。 设动点的位置参数（如 、），把二面角的余弦写成参数的方程，解出后验范围。 ★ 这类题常有「两解」或「唯一解」，解完要回到 的条件取舍。 五、翻折题里的二面角。 翻折题的二面角是「折痕两侧的两个半平面」，折前是平的（），折后由题给条件确定。 ★ 翻折后要先定「哪条是折痕」，再以折痕为棱找两个半平面 —— 找错棱，整个角就错了。 六、本节十道题的四类结构。 第一类「菱形的对角线」：底面为菱形时对角线互相垂直，以交点建系最省（儋州、蚌埠两道）。 第二类「翻折与折痕」：合肥、青岛、聊城三道，关键是先定折痕、再定翻折后的位置。 第三类「由二面角反求参数」：淮北求 、蚌埠求 、锦州求 ，都要把角写成参数的方程。 第四类「新定义背景」：鹤壁的「球面三角形」，要读懂「内角就是二面角」再动手。 ★ 四类题的收尾动作都是「回图形定锐钝」——算完绝对值不算完，符号还要由图形确认。 例2（解答·★★★★☆） 如图，在直四棱柱中，底面四边形是菱形。 （1）求证：平面；（2）若，，，点在棱上，，且平面。①求点到平面的距离；②求二面角的正弦值。 【切入点】直四棱柱、底面是菱形 ——菱形的对角线互相垂直，这是建系的关键。 【关键】（1）设 ，由菱形得 ，又 底面得 ，故 平面 。 （2）以 为原点、、、竖直方向为三轴建系；由 、 算出 、。 （i）由 的位置定出 的坐标，求平面 与底面（或某侧面）的法向量，得 。 （ii）再求另一组平面的法向量，得 。 【易错】第一，、 由 与边长 算出，别写反。第二， 平面 需要「」与「」。第三，两问的平面不同，法向量要分别算。 【答案】； 变式2-1（解答·★★★★☆） 如图，在正三棱柱中，，是的中点，点分别是，的中点，与平面相交于点。 （1）求的值；（2）求二面角的正弦值。 【切入点】正三棱柱 ，、 是中点， 与平面 交于 ——先用坐标定出 的位置，再求二面角。 【关键】（1）以底面中心为原点建系，写出 、、 的坐标，求平面 的方程，与直线 联立得 的坐标，算出 。 （2）求二面角 的两个半平面的法向量，取绝对值后得 ，由图形判断为锐角。 【易错】第一，正三棱柱的底面中心是重心，各顶点坐标要用「中心到顶点距离」算。第二， 是线段比，由 的坐标与 、 的位置关系得到。第三，二面角 的棱是 ，两个半平面过 和过 。 【答案】； 变式2-2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点。 （1）求证：平面；（2）设平面。（i）求实数的值；（ii）求二面角的正弦值。 【切入点】 平面、、 ——三条线两两垂直，可直接建系。 【关键】（1）由长度关系算 ，验证 ，得 ；结合 得 平面 。 （2）（i） 是 与平面 的交点，设 ，由 在平面 上解出 。 （ii）求二面角 （或题给角）的两个法向量，得 。 【易错】第一， 要用勾股逆定理算，不是看图。第二， 的定义要从题给算式读，不同的设法答案不同。第三， 对应 ，可用来回验。 【答案】； 变式2-3（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点。 （1）当时，求证：平面；（2）已知平面平面，当二面角的大小为时，求。 【切入点】底面菱形、， 是 中点， 在 上 ——先证 平面 ，再由二面角反求 的位置。 【关键】（1） 时，取 中点或利用中位线，证 平行于平面 内的一条线。 （2）平面 平面 、 说明 的射影在 中点 处；以 为原点建系，设 ，把二面角写成 的方程，解得 。 【易错】第一， 的射影在 处需要「」与「面面垂直」两条。第二，菱形的对角线互相垂直，建系要用到这一点。第三， 要在 内，解出的值要验。 【答案】 变式2-4（解答·★★★★★） 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点. （1）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值.（2）在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为。（i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值；（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 【切入点】这道题的背景是「球面三角形」——先读懂定义：三条大圆弧围成，内角是两条边所在半平面构成的二面角。 【关键】（1）由 与题给的三点位置算出球面三角形的相关量，得 。 （2）（i）以球心为原点建系，求两个半平面的法向量，得二面角的正弦值 。 （ii）再求另一组，得 。 【易错】第一，「球面三角形的内角就是二面角」—— 这是新定义题的核心，读不懂就无从下手。第二，大圆的圆心都是球心，建系的原点取球心最方便。第三，（i）（ii）问的是不同的角，半平面要按题给的两条边分别找。 【答案】；； 变式2-5（解答·★★★★★） 如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至。 （1）证明：；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值；（3）当时，求四棱锥体积的最大值. 【切入点】梯形面积为 、、 是 中点，把 沿 翻折 ——先由面积定出各边长，再定折痕 。 【关键】（1）由 与面积条件得 是等边三角形，故 是折痕、翻折后 的位置由题给角确定。 （2）建立坐标系，求平面 与底面（或某侧面）的法向量，得 。 （3）由第（2）问的坐标求某个体积或长度，得 。 【易错】第一， 说明 且 是它们的两倍，这是等边三角形的来源。第二，翻折后 变成 ，它到 的距离不变。第三，第（2）问的二面角棱是 。 【答案】； 变式2-6（解答·★★★★☆） 如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且。 （1）求点到平面的距离；（2）点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值。 【切入点】圆锥底面半径 、高 ， 在底面圆上且 ——以底面圆心为原点建系。 【关键】（1）求平面 的法向量，用点到平面距离公式得 。 （2） 在 上，把二面角写成 的高度参数，解出后得 。 【易错】第一， 给出 的坐标，要用 、。第二，点面距用 。第三， 在 上，它的坐标只有一个参数（高度）。 【答案】； 变式2-7（解答·★★★★☆） 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥。 （1）证明：平面平面；（2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值. 【切入点】菱形 、、 是 中点，把 沿 翻折 ——先由长度关系判断 的形状。 【关键】、、、，由余弦定理得 ，且 ，故 ，折痕 与 垂直。 翻折后 在过 且垂直于 的平面内；由题给条件定出它的位置，再建系。 求两平面的法向量，得 。 【易错】第一， 由勾股逆定理判出，这是翻折后建系的关键。第二，翻折后 变成 ，长度不变。第三，折痕是 ，不是 。 【答案】 变式2-8（解答·★★★★☆） 在梯形中，，，、分别是、的中点，，，如图1所示。沿将梯形折起，得到一个多面体，如图2所示。 （1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，①求多面体的体积；②求直线与平面所成角的正弦值。 【切入点】梯形 、，、 是中点，沿 折起 —— 是中位线，与 、 都平行。 【关键】（1）由 与翻折的性质证明题给的平行或垂直。 （2）①由 、 与翻折后的位置算出多面体体积 ；②求两平面的法向量，得 。 【易错】第一， 是梯形中位线，故 。第二，翻折后 、 变成 、，要先定它们的位置再建系。第三，体积用「分割成两个棱锥」算，不是套现成公式。 【答案】； 变式2-9（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. （1）求证：平面平面；（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 【切入点】 平面 、底面是梯形、 ——以 为原点、、、 为三轴建系。 【关键】（1）由长度关系算 与各边，证得 平面 （从而平面 平面 ）。 （2）设 的位置，由二面角的余弦值为 列方程，解得 。 【易错】第一，、、，梯形的长度关系要算清。第二， 说明 。第三，第（2）问的方程只有一个未知数，解出后要验范围。 【答案】 三 点面距与线面距 一、点面距的向量式。 设平面 的法向量为 、、 为平面外一点，则 。 ★ 分子是数量积的绝对值（不是一个向量），分母是法向量的模。这个式子是全讲用得最多的。 二、线面距与面面距都化到点面距。 线面平行时，线上任取一点算点面距即可；面面平行时，一个面上任取一点算到另一个面的距离。 ★ 转化的前提是「平行」—— 线面相交时没有「线面距」可言。 三、等体积法是第二种算法。 把三棱锥换一个底面看，体积不变，由 反解出高，即所求距离。 ★ 等体积法与向量式各有优势：能建系就用向量式（直接、不易错）；图形简单、底面积好算时用等体积法（不必建系）。 四、异面直线距离。 高中阶段以「公垂线段」为主：找（或作出）同时垂直于两条异面直线的线段；向量法用「两方向向量的叉积方向」作公垂方向。 ★ 异面直线距离的题不多，但一旦出现，「如何作出公垂线段」是难点 —— 常用「过其中一条作平行平面」转化。 五、距离的最值。 点在动时，到定平面的距离是「点到平面距离」的连续变化，最值在端点或特殊位置取到。 ★ 用向量式时，动点的坐标含参数，距离就变成参数的函数，求最值即求函数极值。 六、本节十道题的三种落点。 第一类「直接算点面距」：建系后写点与平面，代公式（巴中、梅州、白山三道）。 第二类「由距离反求参数」：题给距离，列方程解长度或位置（宁波、苏北四市两道）。 第三类「点到直线（非平面）的距离」：长治一道，用三角形面积或勾股，不能用点面距公式。 ★ 三类的共同准备动作是「先把平面找对」——平面错了，法向量就错，距离必然错。本节不少题的问法里藏着「哪个平面」，读题时先圈出来。 例3（解答·★★★★☆） 如图，三棱锥中，底面，，，，点满足，是的中点。 （1）请写出的一个值使得平面，并给予证明；（2）若二面角大小为，且，求点到平面的距离。 【切入点】 底面、、、 ——三条线（、、）两两垂直，可直接建系。 【关键】由 、 与 得 。 （1）由 且题给垂直条件，解出 ，并写出证明。 （2）设 的坐标（含 ），求平面 的法向量 ，由 得 。 【易错】第一， 由勾股算出，是建系的基础。第二， 是从 出发，故 的坐标写法要按 。第三，分子是数量积的绝对值，分母是法向量的模 —— 两处都别漏。 【答案】 变式3-1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，。 （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离。 【切入点】四棱台中 平面、、 ——三条线两两垂直，可直接建系。 【关键】（1）由长度关系算 与 ，证得 某平面（题给的结论）。 （2）求某平面的法向量，由点面距公式得 。 （3）再算另一组，得 。 【易错】第一，四棱台的上底面边长与下底面不同，各点坐标要分别写。第二，、 这组数据要一一对应。第三，（2）（3）两问的平面不同，法向量要分别算。 【答案】； 变式3-2（解答·★★★★☆） 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形. （1）求点到平面的距离；（2）求二面角的正弦值. 【切入点】斜三棱柱、侧面 底面、 是等腰直角三角形、 是边长为 的等边三角形 ——等边三角形的高给出了柱体的高。 【关键】（1）取 中点 ，由等边三角形得 ，结合面面垂直得 底面，故 就是高。 以 为原点建系，求平面 的法向量，由点面距公式得 。 （2）再求另一组距离，得 。 【易错】第一，等边三角形 的高是 ，不是 （边长 时高为 ）。第二， 底面需要「」与「面面垂直」。第三，斜三棱柱的侧棱不垂直于底面， 的坐标要由 平移得到。 【答案】； 变式3-3（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，。 （1）证明：；（2）若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 【切入点】 是边长 的等边三角形、 是 中点、、、 ——先由余弦定理在 中算 。 【关键】（1）由等边三角形得 ；再由勾股关系得 （题给的结论），故 平面 。 （2）以 为原点建系，由二面角条件定出点 在 上的位置，再求点 到平面 的距离，得 。 【易错】第一， 要用余弦定理在 中算，已知 、、。第二， 平面 需要 垂直于面内两条相交直线。第三，第（2）问先由二面角定 的位置，再算距离 —— 两步不能省一步。 【答案】 变式3-4（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥中，底面，，平面，，。 （1）证明：；（2）若点到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】 底面、、 平面 ——「 平面 」这个条件给出 。 【关键】由 平面 与「过 的平面与平面 相交」得 ，故 。 以 为原点建系，（2）中 到平面 的距离为已知，由点面距公式列方程解出 的长度。 再由 、 算出所需距离，得 。 【易错】第一，「线面平行」推「线线平行」需要过该线的平面与已知平面相交。第二， 到平面 的距离是已知条件，用来反求 。第三， 且 时 与 的关系要算清。 【答案】 变式3-5（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，。 （1）证明：；（2）若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值. 【切入点】 与 都是等边三角形、 —— 到 、 的距离相等， 也是，故 是 的垂直平分线方向。 【关键】（1）取 中点，由两个等边三角形得 两个面内的中线，故 平面 （某点），进而 。 （2）由 到平面 的距离为 建系，求平面 与平面 的法向量，得夹角余弦 。 【易错】第一，两个等边三角形共用 ，故 、、 到 的距离关系要理清。第二， 的证明要用「 平面」。第三，第（2）问的两平面以 为公共棱。 【答案】 变式3-6（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点。 （1）求证：；（2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】菱形底面、、 平面、 是 中点 ——菱形的对角线互相垂直。 【关键】（1）由菱形的性质得 ，结合 底面得 ，再由 是中点等条件证 。 （2）由题给距离条件定出 （或相关长度），求平面 的法向量，得距离 。 【易错】第一， 的菱形中，较短对角线等于边长。第二， 是 中点，坐标用中点公式。第三，第（2）问的距离是点到面还是线到面要考虑清楚。 【答案】 变式3-7（解答·★★★★☆） 如图，三棱柱的所有棱长均为2，三棱柱的体积为3，且。 （1）若平面与平面交于直线，求点到直线的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】三棱柱所有棱长都是 、体积为 、 ——先由体积反求柱体的高。 【关键】底面积 ，由 得 。 （1）平面 与平面 交于 ，由 得 ；再把「 到 的距离」转化为三角形内的高，得 。 （2）建系求平面 的法向量，得夹角余弦 。 【易错】第一， 由体积反求，底面积是 边长的平方。第二， 由「 平面 」推出。第三，点到直线的距离用三角形面积或勾股算，不是点面距公式。 【答案】； 变式3-8（解答·★★★★☆） 在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： （1）异面直线与所成角的余弦值；（2）点到平面的距离；（3）二面角的余弦值。 【切入点】矩形底面、侧面 是正三角形且垂直于底面 ——从 向 作垂线，由面面垂直得它垂直于底面。 【关键】设 为 中点，由正三角形得 ，结合面面垂直得 底面，（ 时）。 以 为原点建系：（1）求 与某线所成角，得 ；（2）求点面距，得 ；（3）再求一组，得 。 【易错】第一， 底面需要「」与「面面垂直」。第二，正三角形的边长为 时高为 ，这是 的高度。第三，三问分别求角、距离、距离，公式各不同。 【答案】；； 变式3-9（多选·★★★☆☆） 如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）。则下列选项中正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得 C. 该五面体的体积为 D. 若，则点的轨迹长度为 【切入点】五面体中底面 是正方形、、 平面 、 到底面的距离为 ——先由「 底面」与「距离为 」定出 的位置。 以底面中心为原点建系（ 在上方高度 处），逐项验证。 第一项：由 是 中点，验证某条线与某平面平行或垂直，正确。 第二项：算某个体积或距离，与选项不符，错误。 第三、四项：分别用点面距公式与所成角公式验证，均正确。故选 ACD。 【易错】第一，「 平面 」说明 到平面的距离就是它的高，即 。第二， 这组相等关系给出各点坐标的对称性。第三，多选题里每一项都要单独算，不能因为前两项对了就类推。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $