立体几何的方法体系（二）空间角与距离 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦立体几何空间角与距离核心考点，涵盖异面直线所成角、线面角、二面角及点面距离，按知识点梳理-方法突破-例题解析-分层练习逻辑架构，通过考点系统梳理、方法步骤拆解、真题实例精讲等环节，帮助学生构建完整解题体系，突破空间想象与逻辑推理难点。 资料创新融合几何法与向量法，如正四面体补形建系、折叠问题不变量分析等策略，培养学生空间观念与数学思维。设置自查要点与分层练习，确保学生掌握建系规范、公式应用等关键技能，高效提升空间问题转化与运算能力，为教师提供精准复习节奏把控与难点突破指导。

立体几何的方法体系（二） 空间角与距离 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　异面直线所成的角 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。判断两条直线异面，常用的办法是反证：如果它们共面，就会平行或相交，与已知条件矛盾。空间两直线的位置关系只有平行、相交、异面三种。 过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角，叫做异面直线所成的角。因为平移不改变角的大小，所以定义里那个点的位置可以随便取，通常取在其中一条直线上的某个特殊点。 异面直线所成角的范围是 。两条直线互相垂直时夹角为 ，所以异面直线也可能垂直，垂直并不要求相交。这一点常被忽略，画图时看不出交点也要敢写垂直。 求这个角有两套办法。第一套是平移法：把其中一条直线平移到与另一条相交，把角放进一个三角形里，再用余弦定理或解直角三角形。平移的常用手段是中位线、平行四边形和补形。 中位线是造平行线最顺手的工具。取两条线段的中点并连接，得到的线段平行于第三边且长度是它的一半。在正四面体、棱柱里，把中点连起来，往往一步就能把异面直线的角搬到同一个三角形里。 平移法的完整流程是：找平行线作辅助线，指出所作角即为所求，说明它落在某个三角形内，求三角形三边，再用余弦定理算余弦。缺了「指出哪个角是所求角」这一步，解答题会扣过程分。 第二套是向量法：设两条直线的方向向量分别为 、，则夹角的余弦值为 。分子带绝对值，是因为异面直线所成的角限定在锐角或直角范围内，向量夹角为钝角时要改取正值。 向量法的前提是能建系。出现三条两两垂直的直线时最省事，例如底面是正方形又有一条侧棱垂直于底面，那三条棱正好当坐标轴。直三棱柱、长方体、正方体都天然自带这样的坐标系。 正方体的数据要背熟：棱长为 时，面对角线长 ，体对角线长 。长方体的体对角线长等于三条棱的平方和再开方，这条关系在求异面直线夹角时出场率很高。 正四面体的坐标系可以借正方体来搭。棱长为 的正四面体，可以看成棱长为 的正方体的四个交替顶点，把顶点写成正方体的坐标，再算异面直线夹角，比直接算高要清爽得多。 平移法与向量法怎么选：图形里本来就有明显的平行关系时用平移法，一两步就能出答案；图形复杂、要多次平移时改用向量法，把几何问题换成一串坐标运算，思路更稳。 常见失误有三个：向量点积算出负值忘了取绝对值；把向量夹角直接当成异面直线所成的角；建系时没先证明三条轴两两垂直，导致坐标本身就是错的。前两个看结果是否为锐角就能自查。 例如在棱长为 1 的正方体 中求 与 所成的角：以 为原点建系，得方向向量 与 ，点积为 ，模都为 ，所以余弦值为 ，夹角是 。 知识点二　直线与平面所成的角 直线与平面有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。前两种情形规定所成的角为 ；相交时又分斜交与垂直，垂直时规定的角是 。 当直线与平面斜交时，斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。射影的作法是：从斜线上一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线就是斜线在这个平面内的射影。 线面角的范围是 。它是这条直线与平面内所有直线所成角中的最小值，也是这条直线与平面的法向量夹角的余角。后面用向量坐标计算时，靠的就是这条互余关系。 用几何法求线面角，固定三步走：先找出斜线在平面内的射影，再指出哪个角是所求角，最后把这个角放进直角三角形里算。找射影是整道题的关键，找不到射影就写不下去。 找射影最常用的一条依据是面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面。从斜线上一点作这条垂线，垂足落下来就能定出射影。 等边三角形、正方形、菱形这些图形本身就带垂直：等腰三角形底边上的中线垂直于底边，菱形的对角线互相垂直，正方形、矩形邻边垂直。把这些垂直线段先找出来，再凑出与平面垂直的关系。 用向量求线面角，公式是 ，其中 是直线的方向向量， 是平面的法向量。这里必须是正弦，不是余弦。 为什么是正弦：设直线方向向量与平面法向量的夹角为 ，则这条直线与平面所成的角为，于是 。用错函数是这一节最典型的失分点。 线面角也可以先算距离再算角：把点到平面的距离求出来，再除以斜线段的长度，结果就是线面角的正弦值。当射影不好作、又容易建系时，这条路比直接找角更快，和等体积法配合使用效果很好。 题目有两种常见问法。一种是直接求线面角的某个三角函数值；另一种是给出线面角的三角函数值，反过来求某条线段的长或者某个比值。后者要设未知数，把条件写成关于它的方程。 第三种问法是求线面角的最值。这时把角的某个三角函数写成参数的函数，再对参数求导或者配方定出最值，注意最后要说明参数的实际取值范围。 常见失误有三个：把线面角误当成方向向量与法向量的夹角；点积算完忘了取绝对值；写坐标之前没有证明三条坐标轴两两垂直。前两个都会让答案差一个函数名或一个符号。 例如在棱长为 2 的正方体 中求 与平面 所成的角：以 为原点建系，，平面的法向量取 ，得正弦值 ，所求角就是这个正弦值对应的锐角。 知识点三　二面角与两平面的夹角 从同一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面。二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的大小与顶点在棱上的位置无关。 平面角的作法是：在棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。作平面角的三条路是定义法、三垂线法、垂面法。 二面角的范围是 ，可以为钝角。但新版教材淡化了「二面角」这个词，改写为「平面 与平面 的夹角」，此时问的是两个平面所成的角，范围是 ，余弦值一定不为负。 审题时要把这两种问法分开。「求二面角的大小」可能得到钝角；「求平面 与平面 夹角的余弦值」的答案必须非负。近两年各地模拟卷大量使用后一种说法，光看有没有「二面角」三个字会漏判题型。 用向量求两平面夹角，公式是 ，两个法向量都由「设 再解方程」得到。红线是不用叉乘，两个点积条件各给一个方程，取一组好算的解即可。 如果题目求的是二面角本身，就要判断法向量夹角与二面角是相等还是互补。常用的判断方式有两种：看图估一下这个二面角是不是钝角；或者看两个法向量的指向是否都朝向二面角内部。 最简单的办法是把平面角先画出来：在两个半平面内各取一个从棱上同一点出发、且垂直于棱的向量，这两个向量的夹角就等于二面角，直接按它算，不必再纠结法向量的方向。 建系之前要先找到三条两两垂直的直线。图形里没有现成的，就先用线面垂直、面面垂直的性质证出来。这一步在解答题里必须写清楚，坐标系的合法性就靠它。 折叠问题是二面角的常见载体。折叠前后，位于同一个半平面内的线段长度、角度都保持不变，只有跨越折痕的量会变。理清哪些量不变，就能把已知条件搬到折叠后的图形里。 两平面夹角的计算常常和线面角连在一起：先用线面角的条件定出几何体的形状或某个参数，再求两平面夹角的余弦值。这类题的落点在最后一步，前面的定形部分不能省。 还有一类题反过来给两平面的夹角，要求某条棱的长度或者某个比值。设未知数并把两平面夹角的余弦写成它的函数，再让它等于题给的数，解方程即可。 常见失误有两个：求「夹角」时忘了加绝对值，答案写成负数；取法向量时参数取值使 为零向量，需要换一个参数值重新取。 例如在正方体里求平面 与平面 的夹角：平面 的法向量取 ，平面 的法向量取 ，余弦值为 ，所求夹角就是余弦值为 的锐角。 知识点四　点到平面的距离 过平面外一点作平面的垂线，这个点到垂足之间的线段长度，叫做这个点到平面的距离。它也是这个点与平面内所有点的连线长度中的最小值。点在平面内时，距离为 0。 向量法公式：设平面的法向量为 ， 是平面内任意一点，则点 到平面的距离为 。公式里带上绝对值，因为点可能在法向量的正侧，也可能在负侧。 用公式的两个要点： 必须取自平面内，取现成的顶点最省事； 不必是单位向量，长度会在分母里被约掉，所以取一组整数解最好算。 不建系时用等体积法。三棱锥的任何一个面都可以当底面，同一个三棱锥用两种方式算体积、结果相等，由此把点到平面的距离解出来。图形中出现互相垂直的棱段时，这条路往往最快。 等体积法的完整写法是：先换一个方便的底面把一个体积算出来，再以所求距离为高、以另一个面为底算一次，两次结果相等，列出方程解出距离。关键是把底面的面积和高都算对，换底前先确认这三个量都已知。 一组互相平行的平面之间的距离，可以化归为点到平面的距离：在其中一个平面内任取一点，求它到另一个平面的距离即可。反过来，已知平行平面间的距离，也能拿来列方程。 直线与平面平行时，直线上每一点到这个平面的距离都相等，所以可以挑坐标最好写的点代入公式。这是把线面距离、面面距离都统一到点面距离的关键一步，三类距离只需记一个公式。 点到直线的距离也常与点到平面的距离混在一道题里出现，两者不要混用公式。点到直线的距离是在平面内作垂线，用 一类的算法，本节讨论的对象只限于点到平面的距离。 动点到平面的距离要分情形。若动点在一条与平面平行的直线上，距离是定值；若动点在一条与平面相交的直线上，距离随位置变化，最值在端点处取到，把两端点代入比较即可。 还有一种考法是给出若干个点到平面距离的取值个数，反过来求平面有多少个。做法是先设出平面的法向量，把各点的距离用坐标表示出来，再按照「只有两种取值」列条件筛选。 距离公式与体积公式可以互相印证：先用向量法求出一个点到平面的距离，再代回体积公式算三棱锥的体积，与直接求底面积乘高比较，数值一致就说明没有算错。 常见失误有三个：取点 时误取了平面外的点；法向量解方程时选到零向量；求距离时漏掉绝对值或者把分子分母写反。前两个会让结果完全跑偏，第三个只差一个符号。 例如在棱长为 1 的正方体 中求点 到平面 的距离：以 为原点建系，平面 的法向量取 ，取 为 ，得 。 二、方法突破 方法一　异面直线所成的角 这一节解决的是「两条不相交的直线之间夹角多大」。空间里没有现成的交点，所以第一步永远是平移 —— 把两条直线搬到同一个平面上相交，角才有处可放。平移靠的是平行关系，中位线、平行四边形、补形是三种最常用的手段。 ★ 平移法说清三句话就够：作什么辅助线、哪个角是所求角、这个角落在哪个三角形里。前两句容易写漏，但正是它们把「空间角」变成「平面角」，不写就没有依据。 ★ 中位线是最顺手的工具。取两条线段的中点连起来，就得到一条与第三边平行的线段，长度还是它的一半。正四面体、棱柱里把中点连一圈，两条异面直线通常就被搬进了同一个三角形。 ★ 建系之后改用向量：设两条直线的方向向量 、，余弦值为 。分子必须带绝对值，因为异面直线所成的角只在 内取值。 ★ 坐标好不好设，取决于有没有三条两两垂直的直线。正方体、长方体、直棱柱都自带坐标系；正四面体不好直接建系，可以补成正方体，把它看成正方体的四个交替顶点再算。 ★ 正方体棱长 的三个数据要记住：面对角线 、体对角线 、相邻面对角线夹角 。前两个在求夹角时反复出现，第三个省一次向量运算。 ★ 做完自查：平移得到的角确实是所求角吗？向量点积为负时取绝对值了吗？如果用的是坐标法，三条坐标轴两两垂直事先证过吗？ 例题 例 1-1 【单选】在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　正四面体先定高与重心 ◈ 顶点在底面重心正上方，高由「侧棱、底面外接圆半径、高」构成的直角三角形求得，这是正四面体一切坐标的起点。 第 2 步　中点坐标取两端平均 ◈ 、 都是中点，坐标直接由两端点相加除以 2 得到，比在图上找平行线快得多。 第 3 步　余弦到位再换正弦 ◈ 向量算出的是余弦，题目要正弦时用 转换，夹角为锐角所以根号取正。 答　A 例 1-2 【填空】在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【解析】 第 1 步　等腰三角形先把中点用起来 ◈ 说明顶点在底边的中垂线上，把中点取作原点，坐标里就没有多余的待定量。 第 2 步　直棱柱的侧棱垂直于底面 ◈ 「直」三棱柱给出侧棱垂直于底面，才能把侧棱方向直接取作 轴。 第 3 步　公式里要加绝对值 ◈ 异面直线所成的角限定在 ，向量点积算出负值时取绝对值。 答　 例 1-3 【单选】在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　三条互相垂直的棱就是坐标系 ◈ 底面加正方形底面，正好给出两两垂直的 、、，以交点为原点建系最省事。 第 2 步　中点的坐标直接写 ◈ 是 的中点，坐标为两端点对应坐标的平均，不必再算长度。 第 3 步　别忘分子取绝对值 ◈ 两向量点积为负只说明方向相反，所成角仍取锐角，最后一步要加绝对值。 答　D 例 1-4 【解答】如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． （1）求点的坐标；（2）求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】 第 1 步　共线条件给出比例式 ◈ 在棱 上，说明 与 共线，对应坐标成比例，由此得到方程组。 第 2 步　一元二次方程按位置取舍 ◈ 联立后得到 ，两个根里只有一个满足「 在棱上」（即 ），按几何位置舍去另一个。 第 3 步　坐标已知时直接代公式 ◈ 第（2）问两个方向向量的坐标都已齐备，代入 即可。 答　(1) ；(2) 练习 1-1. 【单选】已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 1-2. 【单选】在长方体 中， 分别是 的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 1-3. 【单选】在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 1-4. 【单选】正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 1-5. 【填空】在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 1-6. 【单选】已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 方法二　直线与平面所成的角 直线与平面所成的角，本质上是「斜线」与「它的影子」之间的夹角。所以解题的核心动作只有一个 —— 找到斜线在平面内的射影。找不到射影，后面的计算再漂亮也是空中楼阁。 ★ 找射影的关键是垂足。从斜线上一点向平面作垂线，垂足与斜足连起来就是射影。垂足往往藏在面面垂直里：两个平面垂直时，其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。 ★ 等边三角形、正方形、菱形自带垂直关系。等腰三角形底边的中线垂直于底边，菱形对角线互相垂直，把这些现成的垂线先标出来，再想办法把它升级成「垂直于整个平面」。 ★ 向量法的公式要用正弦：。因为线面角是直线方向向量与平面法向量夹角的余角，两者互余，所以这里是正弦不是余弦。 ★ 线面角也可以绕道距离：把点到平面的距离求出来，再除以斜线段的长度，得到的就是线面角的正弦值。射影不好作而建系方便时，这条路的计算量通常更小。 ★ 另一类题反着给条件：已知线面角的某个三角函数值，求线段长或比值。这时要设出未知量，把线面角的表达式写成它的函数，再让它等于题给的数，解方程即可。 ★ 求线面角的最大值或最小值时，先把角的某个三角函数化成参数的函数，再求导定单调性，最后别忘记交代参数的实际取值范围。 ★ 做完自查：用的是正弦还是余弦？点积取绝对值了吗？建系之前，三条坐标轴两两垂直有没有在卷面上交代清楚？ 例题 例 2-1 【解答】如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． （1）证明：平面．（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【解析】 第 1 步　轴截面给出底面半径与高 ◈ 正方形轴截面的一边是底面直径、一边是圆柱的高，这里两者都是 2，于是底面半径为 1。 第 2 步　连中点造平行四边形 ◈ 取 的中点 后， 与 都平行于 且长度都是 的一半，把 转化成平面 内的一条线段 。 第 3 步　圆心角换半角再平方 ◈ 设 后，把 写成 ，式子只剩半角的余弦，平方后就是关于 的二次方程。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 2-2 【解答】如图，已知底面是正三角形，平面，平面，． （1）若，是中点，证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】 第 1 步　两条垂线先给出平行 ◈ 、 都垂直于平面 ，所以 ，这是后面构造平行四边形的依据。 第 2 步　动点设成参数 ◈ （2）中 的长没有给定，设为 后所求正弦值就成了 的函数，最值问题化为函数最值。 第 3 步　带根号先平方再求导 ◈ 的表达式带根号，先平方去掉根号、再对 求导定单调性，最后开方时因为线面角是锐角而取正。 答　(1) 证明见解析；(2) 最大值为 例 2-3 【解答】在三棱锥中，为等边三角形，，，为的中点，为线段上一点，. （1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 第 1 步　角度条件先换成坐标 ◈ 给出 ，把 设成 再代入直线 ，一个方程就定出 。 第 2 步　证平行找中位线 ◈ 算出来 恰是 的中点，而 是 的中点，中位线定理直接给出 ，这一问不必建系。 第 3 步　等边三角形给两组等距 ◈ 等边说明 ，加上 ，三个条件把 的三个坐标全部定下来。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 2-4 【解答】如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且． （1）求证：；（2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上．①求平面截球的表面所得圆的周长；②求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】 第 1 步　先用一次垂直定底面 ◈ 写成向量点积后只剩 一个未知量，一步就定出 ，底面形状确定后才能建系。 第 2 步　外接球用等距列方程 ◈ 球心到 、、 距离相等，两条方程定出 、，再由与 等距定出 。 第 3 步　截球所得圆就是外接圆 ◈ 平面过球面上三点，交线圆必过这三点，所以它是 的外接圆，半径用 求。 答　(1) 证明见解析；(2) ① ；② 练习 2-1. 【解答】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，， E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面；（2）若直线EC与平面所成角的正弦值为，求． 2-2. 【解答】如图，在三棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值． 2-3. 【解答】如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 2-4. 【解答】如图，在四棱锥中，点为的中点，底面，平面平面． （1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 2-5. 【解答】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为等腰三角形，且，点为线段上一点． （1）若平面，求的值；（2）当为何值时，直线与平面所成角最大，并求最大角的值． 2-6. 【解答】如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，． （1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值． 方法三　二面角与两平面的夹角 这一节是空间角里分量最重的一块。先把称呼分清：「二面角」的大小可以取到钝角，范围是 ；而教材现在更常写「平面 与平面 的夹角」，范围是 ，答案一定非负。近两年各地模拟卷大量用后一种说法，审题先看落点是哪一种。 ★ 几何法的核心是作出平面角：在棱上取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是所求。定义法、三垂线法、垂面法是作平面角的三条路，选哪一条取决于图形里已有的垂直关系。 ★ 向量法的公式是 。两个法向量都要「设 再解方程」，不用叉乘；两个点积条件各给一个方程，取一组整数值最好算。 ★ 若题目求的是二面角本身，就要判法向量夹角与二面角是相等还是互补。最稳的做法是先在图上把平面角画出来，看它是锐角还是钝角，也可以比较两个法向量的指向，看它们是否都朝二面角内部。 ★ 建系之前必须先有三条两两垂直的直线。图形里没有现成的，就先用线面垂直或面面垂直的性质把它证出来，这一步在解答题里必须写在卷面上。 ★ 折叠题是二面角的常见载体。折叠前后，位于同一个半平面内的长度和角度都不变，只有跨越折痕的量会变。把这批「不变量」找齐，已知条件才能顺利搬进折叠后的图形。 ★ 两平面夹角经常和线面角串在一起考：先用线面角的条件把几何体的形状或某个参数定下来，再求两平面夹角的余弦值。前面定形的过程不能跳，它决定了后面坐标能不能写对。 ★ 做完自查：题目问的是二面角还是两平面的夹角？「夹角」要取绝对值。法向量有没有取成零向量？坐标系的三条轴垂直证过了吗？ 例题 例 3-1 【解答】如图，在四棱锥中，底面. （1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】 第 1 步　两组等长推出对角线垂直 ◈ 与 说明 、 都在 的垂直平分线上，这是证明 平面 的关键一步。 第 2 步　把垂直平分线取作坐标轴 ◈ 以 的垂直平分线为 轴，、 的坐标就只差一个符号，未知量从六个降到三个。 第 3 步　用等长条件反解坐标 ◈ 与 给出两个方程，先解出 再回代得到 、。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-2 【解答】如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，． （1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】 第 1 步　用线面垂直转出面面垂直 ◈ 矩形给出 ，题设又给 ，两条相交直线就够推出 平面 。 第 2 步　等边三角形定位顶点 ◈ 等边说明 在 的中垂面内，高度为 ，坐标一步写出。 第 3 步　两平面的夹角要取绝对值 ◈ 法向量夹角与二面角可能互补，求「夹角的余弦值」时统一取非负值。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-3 【解答】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. （1）若分别是棱的中点，证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】 第 1 步　面面平行转出线面平行 ◈ 取 的中点 后，、，两个相交方向都对上，平面 就平行于平面 。 第 2 步　两个等距条件定顶点 ◈ 与 联立，用两式相减消去平方项，比直接解方程组快。 第 3 步　共面时先看能不能省一步 ◈ 平面 的两个向量里都有 ，法向量第三个分量必为 0，取 即可。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-4 【解答】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点. （1）求证：平面；（2）若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】 第 1 步　中位线造平行四边形 ◈ 取 的中点 后， 与 都平行于 且长度都是 1， 就被转化为平面 内的线段 。 第 2 步　像距加面面垂直定位顶点 ◈ 给出 到 的距离 ，再由平面 底面确认这条距离就是高。 第 3 步　两个法向量一次算清 ◈ 平面 与平面 共用点 、，两组装方程的形式几乎一样，取同样的 值便于比较。 答　(1) 证明见解析；(2) 练习 3-1. 【解答】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，点为的中点． （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值． 3-2. 【解答】如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点是棱上的一点，且满足. （1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值. 3-3. 【解答】如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，. （1）证明：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值. 3-4. 【解答】如图，在四棱锥中，底面，，，，侧棱与底面所成的角为，且，. （1）求；（2）求平面与平面夹角的余弦值. 3-5. 【解答】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，、是底面半径，，为劣弧上的动点. （1）若为劣弧的中点，证明：平面；（2）若圆锥底面半径为，体积为，当四边形面积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 3-6. 【解答】底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面；（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 方法四　点到平面的距离 点到平面的距离，是这点与平面内所有点的连线长度中的最小值。它的载体比前三个方法灵活得多 —— 正方体、长方体、四棱锥、正四面体都可能出现，但落脚点始终是同一个公式。 ★ 向量法公式：，其中 要取在平面内， 是平面的法向量。法向量不必是单位向量，长度会在分母里约掉，所以取一组整数解最好算。 ★ 取点 有讲究。优先取平面内已经写出坐标的顶点，千万别取到平面外的点，否则算出来的是别的距离。这一点是本节最容易犯的错。 ★ 不建系时用等体积法：三棱锥任何一个面都能当底面，同一个三棱锥换两次底算体积，结果相等，由此把未知的高解出来。图形里出现互相垂直的棱段时，这条路最快。 ★ 线面距离、面面距离都可以化成点面距离。直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，挑坐标最好写的那个点代入即可；一组平行平面之间的距离，就在其中一个平面内任取一点去算。 ★ 动点到平面的距离要分情形。动点在一条与平面平行的直线上时距离是定值；动点在与平面相交的直线上时距离随位置变化，最值在端点处取到。 ★ 还有一类只见于模拟卷的考法：给出若干个点到平面距离的取值只有两种，反过来问这样的平面有多少个。做法是设出法向量，把各点的距离用坐标表示，再按「取值个数」列条件筛选，属于同一套公式的反向使用。 ★ 做完自查： 确实取自平面内吗？法向量解方程时没取到零向量吗？最后结果取了绝对值吗？ 例题 例 4-1 【单选】在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　三条互相垂直的棱就是坐标系 ◈ 正方体中过同一个顶点的三条棱两两垂直，以 为原点建系，用到的顶点坐标直接写出。 第 2 步　「在平面内取一点」是公式的前提 ◈ 公式要求从平面内一点出发，这里取现成的 ，用 即可，不必另找点。 第 3 步　平面垂直于底面时就近降维 ◈ 平面 含垂直于底面的 ，于是它垂直于底面，点到平面的距离化为点到交线 的距离，可以省掉一次向量运算。 答　C 例 4-2 【单选】已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　正方体里的正四面体 ◈ 到 、、 的距离都等于 ，与 的边长相同，距离就是正四面体的高。 第 2 步　法向量三步走 ◈ 设 ，两个点积条件各给一个方程，令 就得到 。 第 3 步　平面内取点再代公式 ◈ 平面内取现成的 ，用 计算，省去求垂足的功夫。 答　C 例 4-3 【填空】已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则 = _______． 【解析】 第 1 步　正四面体补进正方体 ◈ 棱长 4 的正四面体正好是棱长 的正方体的四个交替顶点，有了直角坐标，投影才好算。 第 2 步　投影成等差且和为零 ◈ 四个平面等距说明四个投影成等差数列，中心在原点说明它们的和为 0，两条合起来就知道四个投影是 、。 第 3 步　差值之比定方向 ◈ 把 与 的比定成 ，再配 就唯一确定了法向量。 答　 例 4-4 【解答】如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． （1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离． 【解析】 第 1 步　等边三角形先给一条垂线 ◈ 等边且 是中点，所以 ，这是后面一路垂直的起点。 第 2 步　面面垂直转成线面垂直 ◈ 平面 平面 且交线是 ，于是平面 内垂直于 的直线垂直于底面，反过来底面内垂直于 的直线垂直于平面 。 第 3 步　等边三角形补全底面 ◈ 加上 是 的中点给出 ，再配上菱形的 ，底面被锁定为两个等边三角形拼成。 答　(1) 证明见解析；(2) 练习 4-1. 【填空】棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 4-2. 【单选】已知平面经过正方体的顶点，且正方体的8个顶点到平面的距离取值只有两种，则符合条件的平面的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 4-3. 【填空】在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 4-4. 【单选】已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 4-5. 【填空】已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有__________个，的所有可能取值构成的集合是__________. 4-6. 【解答】如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点． （1）求证：；（2）若，求点到平面的距离． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何的方法体系（二） 空间角与距离 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　异面直线所成的角 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。判断两条直线异面，常用的办法是反证：如果它们共面，就会平行或相交，与已知条件矛盾。空间两直线的位置关系只有平行、相交、异面三种。 过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角，叫做异面直线所成的角。因为平移不改变角的大小，所以定义里那个点的位置可以随便取，通常取在其中一条直线上的某个特殊点。 异面直线所成角的范围是 。两条直线互相垂直时夹角为 ，所以异面直线也可能垂直，垂直并不要求相交。这一点常被忽略，画图时看不出交点也要敢写垂直。 求这个角有两套办法。第一套是平移法：把其中一条直线平移到与另一条相交，把角放进一个三角形里，再用余弦定理或解直角三角形。平移的常用手段是中位线、平行四边形和补形。 中位线是造平行线最顺手的工具。取两条线段的中点并连接，得到的线段平行于第三边且长度是它的一半。在正四面体、棱柱里，把中点连起来，往往一步就能把异面直线的角搬到同一个三角形里。 平移法的完整流程是：找平行线作辅助线，指出所作角即为所求，说明它落在某个三角形内，求三角形三边，再用余弦定理算余弦。缺了「指出哪个角是所求角」这一步，解答题会扣过程分。 第二套是向量法：设两条直线的方向向量分别为 、，则夹角的余弦值为 。分子带绝对值，是因为异面直线所成的角限定在锐角或直角范围内，向量夹角为钝角时要改取正值。 向量法的前提是能建系。出现三条两两垂直的直线时最省事，例如底面是正方形又有一条侧棱垂直于底面，那三条棱正好当坐标轴。直三棱柱、长方体、正方体都天然自带这样的坐标系。 正方体的数据要背熟：棱长为 时，面对角线长 ，体对角线长 。长方体的体对角线长等于三条棱的平方和再开方，这条关系在求异面直线夹角时出场率很高。 正四面体的坐标系可以借正方体来搭。棱长为 的正四面体，可以看成棱长为 的正方体的四个交替顶点，把顶点写成正方体的坐标，再算异面直线夹角，比直接算高要清爽得多。 平移法与向量法怎么选：图形里本来就有明显的平行关系时用平移法，一两步就能出答案；图形复杂、要多次平移时改用向量法，把几何问题换成一串坐标运算，思路更稳。 常见失误有三个：向量点积算出负值忘了取绝对值；把向量夹角直接当成异面直线所成的角；建系时没先证明三条轴两两垂直，导致坐标本身就是错的。前两个看结果是否为锐角就能自查。 例如在棱长为 1 的正方体 中求 与 所成的角：以 为原点建系，得方向向量 与 ，点积为 ，模都为 ，所以余弦值为 ，夹角是 。 知识点二　直线与平面所成的角 直线与平面有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。前两种情形规定所成的角为 ；相交时又分斜交与垂直，垂直时规定的角是 。 当直线与平面斜交时，斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。射影的作法是：从斜线上一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线就是斜线在这个平面内的射影。 线面角的范围是 。它是这条直线与平面内所有直线所成角中的最小值，也是这条直线与平面的法向量夹角的余角。后面用向量坐标计算时，靠的就是这条互余关系。 用几何法求线面角，固定三步走：先找出斜线在平面内的射影，再指出哪个角是所求角，最后把这个角放进直角三角形里算。找射影是整道题的关键，找不到射影就写不下去。 找射影最常用的一条依据是面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面。从斜线上一点作这条垂线，垂足落下来就能定出射影。 等边三角形、正方形、菱形这些图形本身就带垂直：等腰三角形底边上的中线垂直于底边，菱形的对角线互相垂直，正方形、矩形邻边垂直。把这些垂直线段先找出来，再凑出与平面垂直的关系。 用向量求线面角，公式是 ，其中 是直线的方向向量， 是平面的法向量。这里必须是正弦，不是余弦。 为什么是正弦：设直线方向向量与平面法向量的夹角为 ，则这条直线与平面所成的角为，于是 。用错函数是这一节最典型的失分点。 线面角也可以先算距离再算角：把点到平面的距离求出来，再除以斜线段的长度，结果就是线面角的正弦值。当射影不好作、又容易建系时，这条路比直接找角更快，和等体积法配合使用效果很好。 题目有两种常见问法。一种是直接求线面角的某个三角函数值；另一种是给出线面角的三角函数值，反过来求某条线段的长或者某个比值。后者要设未知数，把条件写成关于它的方程。 第三种问法是求线面角的最值。这时把角的某个三角函数写成参数的函数，再对参数求导或者配方定出最值，注意最后要说明参数的实际取值范围。 常见失误有三个：把线面角误当成方向向量与法向量的夹角；点积算完忘了取绝对值；写坐标之前没有证明三条坐标轴两两垂直。前两个都会让答案差一个函数名或一个符号。 例如在棱长为 2 的正方体 中求 与平面 所成的角：以 为原点建系，，平面的法向量取 ，得正弦值 ，所求角就是这个正弦值对应的锐角。 知识点三　二面角与两平面的夹角 从同一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面。二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的大小与顶点在棱上的位置无关。 平面角的作法是：在棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。作平面角的三条路是定义法、三垂线法、垂面法。 二面角的范围是 ，可以为钝角。但新版教材淡化了「二面角」这个词，改写为「平面 与平面 的夹角」，此时问的是两个平面所成的角，范围是 ，余弦值一定不为负。 审题时要把这两种问法分开。「求二面角的大小」可能得到钝角；「求平面 与平面 夹角的余弦值」的答案必须非负。近两年各地模拟卷大量使用后一种说法，光看有没有「二面角」三个字会漏判题型。 用向量求两平面夹角，公式是 ，两个法向量都由「设 再解方程」得到。红线是不用叉乘，两个点积条件各给一个方程，取一组好算的解即可。 如果题目求的是二面角本身，就要判断法向量夹角与二面角是相等还是互补。常用的判断方式有两种：看图估一下这个二面角是不是钝角；或者看两个法向量的指向是否都朝向二面角内部。 最简单的办法是把平面角先画出来：在两个半平面内各取一个从棱上同一点出发、且垂直于棱的向量，这两个向量的夹角就等于二面角，直接按它算，不必再纠结法向量的方向。 建系之前要先找到三条两两垂直的直线。图形里没有现成的，就先用线面垂直、面面垂直的性质证出来。这一步在解答题里必须写清楚，坐标系的合法性就靠它。 折叠问题是二面角的常见载体。折叠前后，位于同一个半平面内的线段长度、角度都保持不变，只有跨越折痕的量会变。理清哪些量不变，就能把已知条件搬到折叠后的图形里。 两平面夹角的计算常常和线面角连在一起：先用线面角的条件定出几何体的形状或某个参数，再求两平面夹角的余弦值。这类题的落点在最后一步，前面的定形部分不能省。 还有一类题反过来给两平面的夹角，要求某条棱的长度或者某个比值。设未知数并把两平面夹角的余弦写成它的函数，再让它等于题给的数，解方程即可。 常见失误有两个：求「夹角」时忘了加绝对值，答案写成负数；取法向量时参数取值使 为零向量，需要换一个参数值重新取。 例如在正方体里求平面 与平面 的夹角：平面 的法向量取 ，平面 的法向量取 ，余弦值为 ，所求夹角就是余弦值为 的锐角。 知识点四　点到平面的距离 过平面外一点作平面的垂线，这个点到垂足之间的线段长度，叫做这个点到平面的距离。它也是这个点与平面内所有点的连线长度中的最小值。点在平面内时，距离为 0。 向量法公式：设平面的法向量为 ， 是平面内任意一点，则点 到平面的距离为 。公式里带上绝对值，因为点可能在法向量的正侧，也可能在负侧。 用公式的两个要点： 必须取自平面内，取现成的顶点最省事； 不必是单位向量，长度会在分母里被约掉，所以取一组整数解最好算。 不建系时用等体积法。三棱锥的任何一个面都可以当底面，同一个三棱锥用两种方式算体积、结果相等，由此把点到平面的距离解出来。图形中出现互相垂直的棱段时，这条路往往最快。 等体积法的完整写法是：先换一个方便的底面把一个体积算出来，再以所求距离为高、以另一个面为底算一次，两次结果相等，列出方程解出距离。关键是把底面的面积和高都算对，换底前先确认这三个量都已知。 一组互相平行的平面之间的距离，可以化归为点到平面的距离：在其中一个平面内任取一点，求它到另一个平面的距离即可。反过来，已知平行平面间的距离，也能拿来列方程。 直线与平面平行时，直线上每一点到这个平面的距离都相等，所以可以挑坐标最好写的点代入公式。这是把线面距离、面面距离都统一到点面距离的关键一步，三类距离只需记一个公式。 点到直线的距离也常与点到平面的距离混在一道题里出现，两者不要混用公式。点到直线的距离是在平面内作垂线，用 一类的算法，本节讨论的对象只限于点到平面的距离。 动点到平面的距离要分情形。若动点在一条与平面平行的直线上，距离是定值；若动点在一条与平面相交的直线上，距离随位置变化，最值在端点处取到，把两端点代入比较即可。 还有一种考法是给出若干个点到平面距离的取值个数，反过来求平面有多少个。做法是先设出平面的法向量，把各点的距离用坐标表示出来，再按照「只有两种取值」列条件筛选。 距离公式与体积公式可以互相印证：先用向量法求出一个点到平面的距离，再代回体积公式算三棱锥的体积，与直接求底面积乘高比较，数值一致就说明没有算错。 常见失误有三个：取点 时误取了平面外的点；法向量解方程时选到零向量；求距离时漏掉绝对值或者把分子分母写反。前两个会让结果完全跑偏，第三个只差一个符号。 例如在棱长为 1 的正方体 中求点 到平面 的距离：以 为原点建系，平面 的法向量取 ，取 为 ，得 。 二、方法突破 方法一　异面直线所成的角 这一节解决的是「两条不相交的直线之间夹角多大」。空间里没有现成的交点，所以第一步永远是平移 —— 把两条直线搬到同一个平面上相交，角才有处可放。平移靠的是平行关系，中位线、平行四边形、补形是三种最常用的手段。 ★ 平移法说清三句话就够：作什么辅助线、哪个角是所求角、这个角落在哪个三角形里。前两句容易写漏，但正是它们把「空间角」变成「平面角」，不写就没有依据。 ★ 中位线是最顺手的工具。取两条线段的中点连起来，就得到一条与第三边平行的线段，长度还是它的一半。正四面体、棱柱里把中点连一圈，两条异面直线通常就被搬进了同一个三角形。 ★ 建系之后改用向量：设两条直线的方向向量 、，余弦值为 。分子必须带绝对值，因为异面直线所成的角只在 内取值。 ★ 坐标好不好设，取决于有没有三条两两垂直的直线。正方体、长方体、直棱柱都自带坐标系；正四面体不好直接建系，可以补成正方体，把它看成正方体的四个交替顶点再算。 ★ 正方体棱长 的三个数据要记住：面对角线 、体对角线 、相邻面对角线夹角 。前两个在求夹角时反复出现，第三个省一次向量运算。 ★ 做完自查：平移得到的角确实是所求角吗？向量点积为负时取绝对值了吗？如果用的是坐标法，三条坐标轴两两垂直事先证过吗？ 例题 例 1-1 【单选】在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 正四面体的棱长为 2，取底面 的重心 ，则 平面 。 以 为参照建系：、、， 底面外接圆半径为 ，棱锥的高 ， 所以 。 是 的中点， 是 的中点，故 ，。 于是 ， 。 ， ，， 所以两直线夹角的余弦值为 ， 正弦值等于 ，选 A。 第 1 步　正四面体先定高与重心 ◈ 顶点在底面重心正上方，高由「侧棱、底面外接圆半径、高」构成的直角三角形求得，这是正四面体一切坐标的起点。 第 2 步　中点坐标取两端平均 ◈ 、 都是中点，坐标直接由两端点相加除以 2 得到，比在图上找平行线快得多。 第 3 步　余弦到位再换正弦 ◈ 向量算出的是余弦，题目要正弦时用 转换，夹角为锐角所以根号取正。 答　A 例 1-2 【填空】在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【解析】 取 的中点为原点， 方向为 轴、底面内垂直于 的方向为 轴、侧棱方向为 轴。 由 得 、。 因为 ， 在 的中垂线上， ，即 。 直三棱柱的侧棱长为 ，所以 。 ，， ，，， 所以夹角的余弦值为 。 第 1 步　等腰三角形先把中点用起来 ◈ 说明顶点在底边的中垂线上，把中点取作原点，坐标里就没有多余的待定量。 第 2 步　直棱柱的侧棱垂直于底面 ◈ 「直」三棱柱给出侧棱垂直于底面，才能把侧棱方向直接取作 轴。 第 3 步　公式里要加绝对值 ◈ 异面直线所成的角限定在 ，向量点积算出负值时取绝对值。 答　 例 1-3 【单选】在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 因为 平面 ，且 是正方形，三条直线 、、 两两垂直。 以 为原点，、、 为三条坐标轴建系， 则 、、、、。 是 的中点，所以 。 ，， ，，， 所以夹角的余弦值为 ，选 D。 第 1 步　三条互相垂直的棱就是坐标系 ◈ 底面加正方形底面，正好给出两两垂直的 、、，以交点为原点建系最省事。 第 2 步　中点的坐标直接写 ◈ 是 的中点，坐标为两端点对应坐标的平均，不必再算长度。 第 3 步　别忘分子取绝对值 ◈ 两向量点积为负只说明方向相反，所成角仍取锐角，最后一步要加绝对值。 答　D 例 1-4 【解答】如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． （1）求点的坐标；（2）求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】 （1）设 。因为 在棱 上， 与 共线， 而 ，所以可设 ，且 ， 即 ，，。 又 ， ， 由 得 ，把 代入得 。 再把 、 代入，得 ， 化简得 ，解得 或 。 因为 在棱 上，，故取 ， 从而 ，，，即 。 （2），， ，，， 所以所成角的余弦值为 。 第 1 步　共线条件给出比例式 ◈ 在棱 上，说明 与 共线，对应坐标成比例，由此得到方程组。 第 2 步　一元二次方程按位置取舍 ◈ 联立后得到 ，两个根里只有一个满足「 在棱上」（即 ），按几何位置舍去另一个。 第 3 步　坐标已知时直接代公式 ◈ 第（2）问两个方向向量的坐标都已齐备，代入 即可。 答　(1) ；(2) 练习 1-1. 【单选】已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 正四面体的棱长记为 2，沿用「底面重心为参照」的坐标设法： 、、，。 是 的中点， 是 的中点， ，。 ，， 点积为 ，两向量长度分别为 与 ， 所以夹角的余弦值为 ，选 A。 1-2. 【单选】在长方体 中， 分别是 的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 以 为原点，、、 为坐标轴建系， 、、、、。 是 的中点， 是 的中点， 所以 ，。 ，， 点积为 ，，， 所以夹角的余弦值为 ，正弦值为 ， 正切值等于 ，选 A。 1-3. 【单选】在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 在 中，，， 因为 ，所以 。 以 为原点，、 为 、 轴，垂直于底面的方向为 轴建系， 则 、、。 由 可解得 。 为 的中点，。 ，， 点积为 ，，， 所以夹角的余弦值为 ，选 A。 1-4. 【单选】正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 设正方体棱长为 2，以 为原点，、、 为坐标轴建系， 则 、、、。 是上底面 的中心，； 是侧面 的中心，。 ，， 点积为 ，，， 所以夹角的余弦值为 ，选 C。 1-5. 【填空】在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 解析　答： 因为 ，，而 ， 所以 垂直于平面 内两条相交直线，即 平面 。 以 为原点、平面 为 平面、 方向为 轴建系。 棱柱中 ，且 ，所以 ， 又 在底面内，设 。 由 得 ，即 。 ，， 点积为 ，所以夹角的余弦值为 。 1-6. 【单选】已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 设三棱柱的棱长为 1。取 、， 由 得 。 设 ，由 及 得 ， 再由 得 ，解得 ， 代入 得 ， 所以 。 ，， 点积为 ，， 所以夹角的余弦值为 ，选 C。 方法二　直线与平面所成的角 直线与平面所成的角，本质上是「斜线」与「它的影子」之间的夹角。所以解题的核心动作只有一个 —— 找到斜线在平面内的射影。找不到射影，后面的计算再漂亮也是空中楼阁。 ★ 找射影的关键是垂足。从斜线上一点向平面作垂线，垂足与斜足连起来就是射影。垂足往往藏在面面垂直里：两个平面垂直时，其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。 ★ 等边三角形、正方形、菱形自带垂直关系。等腰三角形底边的中线垂直于底边，菱形对角线互相垂直，把这些现成的垂线先标出来，再想办法把它升级成「垂直于整个平面」。 ★ 向量法的公式要用正弦：。因为线面角是直线方向向量与平面法向量夹角的余角，两者互余，所以这里是正弦不是余弦。 ★ 线面角也可以绕道距离：把点到平面的距离求出来，再除以斜线段的长度，得到的就是线面角的正弦值。射影不好作而建系方便时，这条路的计算量通常更小。 ★ 另一类题反着给条件：已知线面角的某个三角函数值，求线段长或比值。这时要设出未知量，把线面角的表达式写成它的函数，再让它等于题给的数，解方程即可。 ★ 求线面角的最大值或最小值时，先把角的某个三角函数化成参数的函数，再求导定单调性，最后别忘记交代参数的实际取值范围。 ★ 做完自查：用的是正弦还是余弦？点积取绝对值了吗？建系之前，三条坐标轴两两垂直有没有在卷面上交代清楚？ 例题 例 2-1 【解答】如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． （1）证明：平面．（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【解析】 因为 是圆柱的轴截面且边长为 2，所以圆柱的底面半径为 1、高为 2。 设 是底面圆 的一条直径， 是另一个底面的直径，则 、 都是母线。 （1）取 的中点 ，连接 、。 在 中，、 分别是 、 的中点， 所以 且 。 又 且 ， 是 的中点，所以 且 。 于是 且 ，四边形 是平行四边形，。 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 （2）以 为原点， 的方向为 轴方向、底面内垂直于 的方向为 轴方向、圆柱的轴所在方向为 轴方向建系， 则 、、。 设 ，其中 ，则 。 ， 。 ，。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，。 设直线 与平面 所成的角为 ，则 。 由半角公式 、， 代入得 。 由题意 ，即 ， 两边平方得 。 记 ，则 ， 所以 ，即 ，解得 （ 舍去）。 于是 ，。 第 1 步　轴截面给出底面半径与高 ◈ 正方形轴截面的一边是底面直径、一边是圆柱的高，这里两者都是 2，于是底面半径为 1。 第 2 步　连中点造平行四边形 ◈ 取 的中点 后， 与 都平行于 且长度都是 的一半，把 转化成平面 内的一条线段 。 第 3 步　圆心角换半角再平方 ◈ 设 后，把 写成 ，式子只剩半角的余弦，平方后就是关于 的二次方程。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 2-2 【解答】如图，已知底面是正三角形，平面，平面，． （1）若，是中点，证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】 平面 ， 平面 ，所以 。 （1）取 的中点 ，连接 、。 在 中，、 分别是 、 的中点，所以 且 。 又 且 ，所以 且 ，四边形 是平行四边形， 。因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 （2）设 。因为 是正三角形且 平面 ， 以 为原点， 的方向为 轴方向、底面内垂直于 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向建系， 则 、、、、。 ，。 ，。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，，即 。 。 设直线 与平面 所成的角为 ，则 ， ，平方得 。 要使 最大，只需 最大。 。 当 时 ，当 时 ， 所以 时 取最大值 。 此时 ，因为 为锐角，所以 。 第 1 步　两条垂线先给出平行 ◈ 、 都垂直于平面 ，所以 ，这是后面构造平行四边形的依据。 第 2 步　动点设成参数 ◈ （2）中 的长没有给定，设为 后所求正弦值就成了 的函数，最值问题化为函数最值。 第 3 步　带根号先平方再求导 ◈ 的表达式带根号，先平方去掉根号、再对 求导定单调性，最后开方时因为线面角是锐角而取正。 答　(1) 证明见解析；(2) 最大值为 例 2-3 【解答】在三棱锥中，为等边三角形，，，为的中点，为线段上一点，. （1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 ，，所以 ，。 （1）由 且 为锐角，得 。 设 （）。直线 的方程是 ， 把 代入得 ， 所以 ，，即 是 的中点。 又 是 的中点，所以在 中 。 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 （2）因为 是等边三角形，，所以 。 以 为原点， 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、竖直方向为 轴方向建系， 则 、、。 设 ，由 知 在 的中垂面上， 而 ，即 。 由 得 ，展开得 ， 把 代入得 ，所以 ，（取 ）。 于是 ， 是 的中点，。 ，，。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，，即 。 ， ，， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 第 1 步　角度条件先换成坐标 ◈ 给出 ，把 设成 再代入直线 ，一个方程就定出 。 第 2 步　证平行找中位线 ◈ 算出来 恰是 的中点，而 是 的中点，中位线定理直接给出 ，这一问不必建系。 第 3 步　等边三角形给两组等距 ◈ 等边说明 ，加上 ，三个条件把 的三个坐标全部定下来。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 2-4 【解答】如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且． （1）求证：；（2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上．①求平面截球的表面所得圆的周长；②求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】 直三棱柱中 平面 ，所以 、。 （1）取 为原点， 的方向为 轴方向，设 。 由 得 、， 、。 是 的中点，所以 ， ，。 由 得 ，所以 ，， 即 。 （2）由（1）、、 两两垂直，以 为原点，、、 的方向为三条坐标轴建系， 则 、，、， 是 的中点，。 ① 设球心 。由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 由 得 ，解得 。 所以 ，球的半径 。 平面 截球 所得圆经过 、、 三点，就是 的外接圆。 在 中 ，， 底边 上的高为 ，所以面积 。 外接圆半径 ， 所以所得圆的周长为 。 ② ，，。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，即 。 ，， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 第 1 步　先用一次垂直定底面 ◈ 写成向量点积后只剩 一个未知量，一步就定出 ，底面形状确定后才能建系。 第 2 步　外接球用等距列方程 ◈ 球心到 、、 距离相等，两条方程定出 、，再由与 等距定出 。 第 3 步　截球所得圆就是外接圆 ◈ 平面过球面上三点，交线圆必过这三点，所以它是 的外接圆，半径用 求。 答　(1) 证明见解析；(2) ① ；② 练习 2-1. 【解答】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，， E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面；（2）若直线EC与平面所成角的正弦值为，求． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) 底面 是正方形且 底面，所以 、、 两两垂直。 以 为原点，、、 的方向为三条坐标轴建系， 则 、、、、。 是 的中点，所以 。 （1）设 ，其中 。 ，。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，，即 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 、，即 。 因为 ，所以两个平面的法向量互相垂直， 即平面 平面 。 （2），， 。 设直线 与平面 所成的角为 ，则 ， 。 由题意 ，即 ， 两边同时除以 12 得 ，整理得 ， 解得 或 。因为 ，所以 ，即 。 2-2. 【解答】如图，在三棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) 由 、 得 ，所以 。 （1）取 的中点 ，连接 。因为 ，所以 。 又 平面 ， 平面 ，所以 。 在 中 、 分别是 、 的中点，所以 ，。 因为 与 是平面 内两条相交直线，所以 平面 ， 而 平面 ，所以 。 （2）以 为原点， 的方向为 轴方向、底面内垂直于 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向建系， 则 、， 即 ，。 是 的中点，所以 ， ，。 平面 内的三点 、、 的纵坐标都是 0，所以平面 就是平面 ， 取它的法向量 。 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 2-3. 【解答】如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) （1）取 为原点，则 、 分别是 、 的中点，所以 ，， 于是 。 直三棱柱中 ，所以 ， 即 。 因为 ，所以 的方向是 的平分线方向， 也就是 中 边上的中线 的方向。 中 ，所以 ，于是 。 又 是 与 的线性组合，所以直线 平行于平面 ， 而直三棱柱中 平面 ，所以 。 因为 与 是平面 内两条相交直线，所以 平面 。 （2）， 边上的高 。以 为原点， 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向建系，则 、、。 由 得 、、， 是 的中点，。 ，。 ，。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，把 代入得 ， 取 ，得 ，。 ， 所以所求正弦值为 。 2-4. 【解答】如图，在四棱锥中，点为的中点，底面，平面平面． （1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) 平面 ，所以 、。 （1）以 为原点， 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向建系（底面在 平面内）， 设 、、（）。 平面 就是平面 ，取它的法向量 。 ，。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，把 代入得 。 取 ，得 。 因为平面 平面 ，所以 ，即 ，。 于是 ， ， 所以 。 （2）由（1） 且 ，所以 。 又 ，所以 ，而 。 在 中 ， 所以 ， 与 的夹角为 。 取 、、，则 、。 是 的中点，所以 ，，。 ，。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 、，即 ，。 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 2-5. 【解答】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为等腰三角形，且，点为线段上一点． （1）若平面，求的值；（2）当为何值时，直线与平面所成角最大，并求最大角的值． 解析　答：(1) ；(2) ，最大角为 四边形 是矩形，所以 。又 ， 与 是平面 内两条相交直线， 所以 平面 。 中 是钝角，所以相等的两边是 ， 。 因为 平面 ，以 为原点、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向建系， 则 、、。 由 、 得 。 设 （），则 。 （1），， 。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 。 取 ，得 ，， 即 。 因为 平面 ，所以 ，即 ， 化简得 ，，即 。 （2），。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，。 ， 。 设直线 与平面 所成的角为 ，则 。 要使 最大，只需 最大。 ， 当 时 ，当 时 ， 所以 时 最大，即 。 此时 ，， 所以最大角为 。 2-6. 【解答】如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，． （1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) 三棱柱的所有棱长都为 2，所以 是边长为 2 的正三角形，。 以 为原点， 的方向为 轴方向、底面内垂直于 的方向为 轴方向、竖直方向为 轴方向建系， 则 、、。 设 。由 得 ； 由 得 ， 而 ，所以 。 是 的中点，， 满足 。 由 得 ，而 ， 所以 。 两边乘以 2 得 ， 展开得 ，把 代入得 ， 即 。与 联立得 ，，， 于是 ，取 （取 结果相同）， 即 。 ，。 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，即 ，。 ，，。 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 方法三　二面角与两平面的夹角 这一节是空间角里分量最重的一块。先把称呼分清：「二面角」的大小可以取到钝角，范围是 ；而教材现在更常写「平面 与平面 的夹角」，范围是 ，答案一定非负。近两年各地模拟卷大量用后一种说法，审题先看落点是哪一种。 ★ 几何法的核心是作出平面角：在棱上取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是所求。定义法、三垂线法、垂面法是作平面角的三条路，选哪一条取决于图形里已有的垂直关系。 ★ 向量法的公式是 。两个法向量都要「设 再解方程」，不用叉乘；两个点积条件各给一个方程，取一组整数值最好算。 ★ 若题目求的是二面角本身，就要判法向量夹角与二面角是相等还是互补。最稳的做法是先在图上把平面角画出来，看它是锐角还是钝角，也可以比较两个法向量的指向，看它们是否都朝二面角内部。 ★ 建系之前必须先有三条两两垂直的直线。图形里没有现成的，就先用线面垂直或面面垂直的性质把它证出来，这一步在解答题里必须写在卷面上。 ★ 折叠题是二面角的常见载体。折叠前后，位于同一个半平面内的长度和角度都不变，只有跨越折痕的量会变。把这批「不变量」找齐，已知条件才能顺利搬进折叠后的图形。 ★ 两平面夹角经常和线面角串在一起考：先用线面角的条件把几何体的形状或某个参数定下来，再求两平面夹角的余弦值。前面定形的过程不能跳，它决定了后面坐标能不能写对。 ★ 做完自查：题目问的是二面角还是两平面的夹角？「夹角」要取绝对值。法向量有没有取成零向量？坐标系的三条轴垂直证过了吗？ 例题 例 3-1 【解答】如图，在四棱锥中，底面. （1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】 因为 ，，所以点 、 都在线段 的垂直平分线上， 而 的垂直平分线落在底面内，所以 。 （1）因为 底面 ， 底面 ，所以 。 与 是平面 内两条相交直线，所以 平面 。 （2）由 得 ，。 以 为原点， 的垂直平分线所在直线为 轴、 的方向为 轴方向建系， 因为 ，所以 、 关于 轴对称，设 、， 其中 。又 在 轴上，设 。 由 得 ； 由 得 。 把 代入得 ，减去 得 ， 所以 ，。于是 、、 、、。 平面 内的三点在 上，取它的法向量 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，把 代入得 ， 取 ，得 ，。 因为 ，所以夹角的余弦值为 。 第 1 步　两组等长推出对角线垂直 ◈ 与 说明 、 都在 的垂直平分线上，这是证明 平面 的关键一步。 第 2 步　把垂直平分线取作坐标轴 ◈ 以 的垂直平分线为 轴，、 的坐标就只差一个符号，未知量从六个降到三个。 第 3 步　用等长条件反解坐标 ◈ 与 给出两个方程，先解出 再回代得到 、。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-2 【解答】如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，． （1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】 四边形 是矩形，所以 。 （1）因为 ，， 与 是平面 内两条相交直线， 所以 平面 。又 平面 ，所以平面 平面 。 （2）因为 是等边三角形且 ，所以 。 由（1） 平面 ，以 为原点、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、平面 内垂直于 的方向为 轴方向建系， 则 、、、。 等边三角形 中， 在 的中垂线上，， 所以 。 平面 内的三点在 上，取它的法向量 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，即 ， 取 ，得 ，。 因为 ，所以夹角的余弦值为 。 第 1 步　用线面垂直转出面面垂直 ◈ 矩形给出 ，题设又给 ，两条相交直线就够推出 平面 。 第 2 步　等边三角形定位顶点 ◈ 等边说明 在 的中垂面内，高度为 ，坐标一步写出。 第 3 步　两平面的夹角要取绝对值 ◈ 法向量夹角与二面角可能互补，求「夹角的余弦值」时统一取非负值。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-3 【解答】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. （1）若分别是棱的中点，证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】 且 ，所以 ，。 由 、 得 。 以 为原点、 的方向为 轴方向、底面内垂直于 的方向为 轴方向建系， 则 、。设 （），， 由 得 ， 所以 ，即 、。 （1）取 的中点 。在 中 、 分别是 、 的中点， 所以 ；在 中 、 分别是 、 的中点，所以 。 又 ，所以 。 与 是平面 内的相交直线， 与 是平面 内的相交直线，所以平面 平面 。 因为 平面 ，所以 平面 。 （2）因为 是等边三角形且 ，所以 。 设 ，由 得 ； 由 得 ，所以 。 由 得 ，减去 得 ， 把 代入得 ，于是 ，取 ， 即 。 平面 的向量 、， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 所以 ，取 、，即 。 平面 的向量 、， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，即 ，。 因为 ，， 所以夹角的余弦值为 。 第 1 步　面面平行转出线面平行 ◈ 取 的中点 后，、，两个相交方向都对上，平面 就平行于平面 。 第 2 步　两个等距条件定顶点 ◈ 与 联立，用两式相减消去平方项，比直接解方程组快。 第 3 步　共面时先看能不能省一步 ◈ 平面 的两个向量里都有 ，法向量第三个分量必为 0，取 即可。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 3-4 【解答】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点. （1）求证：平面；（2）若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】 底面 是边长为 2 的正方形，所以 ，。 （1）取 的中点 。在 中 、 分别是 、 的中点， 所以 且 。 又 是 的中点，所以 ，且 ， 于是 且 ，四边形 是平行四边形，。 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 （2）因为 ，所以 在 的中垂面内， 在底面上的投影是 的中点。 以 的中点为原点、 的方向为 轴方向、底面内垂直于 的方向为 轴方向、 竖直方向为 轴方向建系，则 、、 、。 由 、 得 到直线 的距离为 ， 又平面 平面 ，所以该距离就是 到底面的距离，。 是 的中点，； 是 的中点，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ， 取 ，得 ，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，把 代入得 ， 取 ，得 ，。 因为 ，所以夹角的余弦值为 。 第 1 步　中位线造平行四边形 ◈ 取 的中点 后， 与 都平行于 且长度都是 1， 就被转化为平面 内的线段 。 第 2 步　像距加面面垂直定位顶点 ◈ 给出 到 的距离 ，再由平面 底面确认这条距离就是高。 第 3 步　两个法向量一次算清 ◈ 平面 与平面 共用点 、，两组装方程的形式几乎一样，取同样的 值便于比较。 答　(1) 证明见解析；(2) 练习 3-1. 【解答】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，点为的中点． （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) 连接 、 交于点 。底面 是菱形，所以 ，且 是 、 的中点。 因为 且 ，所以 是等边三角形，， ，即 ，。 以 为原点， 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、竖直方向为 轴方向建系， 则 、、、。 （1）由 知 到 、 距离相等，所以 在 的垂直平分面上，可设 。 由 得 ， 由 得 ，两式相减得 ， 所以 ，代回得 ，取 ， 即 。 是 的中点，。 ， ，， ，， 所以 ，，即 平面 。 （2）平面 的法向量可取 的方向 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，即 ， 由 得 ，取 ， 得 ，。 因为 ，， 所以夹角的余弦值为 。 3-2. 【解答】如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点是棱上的一点，且满足. （1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值. 解析　答：(1) 证明见解析；(2) （1）、 都在底面内，把底面取作平面 ，以 为原点、 的方向为 轴方向。 设 ，，则 、。 是等边三角形，，， 所以可设 。 由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ， 也就是 。 ① 因为 ，所以 ， 即 。 又 ，由 得 ， 即 。 ② ②减①得 ，所以 的横坐标与 的横坐标相同，。 又 ，而 与 是平面 内两条相交直线，所以 平面 。 因为 平面 ，所以平面 平面 。 （2）由①与 得 ，所以 ， 结合 、 得 ， 所以 ，。由 、 得 。 满足 。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，即 ， 取 ，得 ，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ， 两式相减得 ，代回得 ，取 ， 得 ，。 因为 ，所以夹角的余弦值为 。 3-3. 【解答】如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，. （1）证明：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值. 解析　答：(1) 证明见解析；(2) （1）取底面 所在平面为平面 ，以 为原点、 的方向为 轴方向。 设 ，则 、、（）。 由 设 ，则 。 是 的中点，所以 ， ，。 由 得 ， 所以 ，即 在过 且垂直于底面的平面内，平面 平面 。 （2）由 得 ，即 ， 所以 ，，取 ，则 、。 平面 就是平面 。， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，余弦值为 ，正切值为 ，由题意 。 于是 、、，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，取 ，得 ， 即 ，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 把 与 相减得 ， 代回得 ，取 ，得 ， 即 ，。 因为 ，所以夹角的余弦值为 。 3-4. 【解答】如图，在四棱锥中，底面，，，，侧棱与底面所成的角为，且，. （1）求；（2）求平面与平面夹角的余弦值. 解析　答：(1) ；(2) （1）因为 底面 ，所以 在底面上的射影是 ， 直线 与底面所成的角就是 ，即 ， 而 ，所以 ，设它们的长为 。 又 ，， 与 是平面 内两条相交直线， 所以 平面 ，。结合 得 。 取 为原点、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向， 则 、、、。 因为 底面，所以 ， 。 由 得 ，即 ， 解得 （ 舍去），所以 。 （2）此时 、、、。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，把 代入得 ， 取 ，得 ，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 同样由 得 ， 由 得 ，代入得 ， 取 ，得 ，。 因为 ， 所以夹角的余弦值为 。 3-5. 【解答】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，、是底面半径，，为劣弧上的动点. （1）若为劣弧的中点，证明：平面；（2）若圆锥底面半径为，体积为，当四边形面积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 解析　答：(1) 证明见解析；(2) （1）因为 是劣弧 的中点，所以 。 又 ，，所以 是等边三角形，； 同理 。四边形 的四条边都是 1，是菱形，所以 。 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 （2）设圆锥的高为 。由底面半径为 1、体积为 得 ，所以 ，即 。 设 （），则 。 所以 时四边形 的面积最大， 是劣弧 的中点。 以 为原点， 的方向为 轴方向、底面内垂直于 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向建系，则 、、 、。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，代入得 ， 取 ，得 ，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 把 与 相减得 ， 代回得 ，取 ，得 ， 即 ，。 因为 ，所以夹角的余弦值为 。 3-6. 【解答】底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面；（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) （1）平面 与平面 相交于直线 ，平面 与平面 相交于直线 。 在平面 内过 作 的垂线 ，因为平面 平面 ，所以 平面 ； 同理，在平面 内过 作 的垂线 ，则 平面 。 过点 且垂直于平面 的直线唯一，所以 与 重合。 这条直线既在平面 内又在平面 内，因此它就是这两个平面的交线。 因为 在 上，所以 平面 ；又 在 上，所以 平面 。 于是这两个平面的交线是 ，即 平面 。 （2）由（1） 平面 ，又底面是菱形，所以 。 以 为原点， 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向建系。由 得 、， 则 、、、，设 。 ，， ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，。 ，由题意 ，两边平方得 ， 所以 ，即 ，，此时 ，。 平面 就是平面 ，取它的法向量 ， 因为 ，所以夹角的余弦值为 。 方法四　点到平面的距离 点到平面的距离，是这点与平面内所有点的连线长度中的最小值。它的载体比前三个方法灵活得多 —— 正方体、长方体、四棱锥、正四面体都可能出现，但落脚点始终是同一个公式。 ★ 向量法公式：，其中 要取在平面内， 是平面的法向量。法向量不必是单位向量，长度会在分母里约掉，所以取一组整数解最好算。 ★ 取点 有讲究。优先取平面内已经写出坐标的顶点，千万别取到平面外的点，否则算出来的是别的距离。这一点是本节最容易犯的错。 ★ 不建系时用等体积法：三棱锥任何一个面都能当底面，同一个三棱锥换两次底算体积，结果相等，由此把未知的高解出来。图形里出现互相垂直的棱段时，这条路最快。 ★ 线面距离、面面距离都可以化成点面距离。直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，挑坐标最好写的那个点代入即可；一组平行平面之间的距离，就在其中一个平面内任取一点去算。 ★ 动点到平面的距离要分情形。动点在一条与平面平行的直线上时距离是定值；动点在与平面相交的直线上时距离随位置变化，最值在端点处取到。 ★ 还有一类只见于模拟卷的考法：给出若干个点到平面距离的取值只有两种，反过来问这样的平面有多少个。做法是设出法向量，把各点的距离用坐标表示，再按「取值个数」列条件筛选，属于同一套公式的反向使用。 ★ 做完自查： 确实取自平面内吗？法向量解方程时没取到零向量吗？最后结果取了绝对值吗？ 例题 例 4-1 【单选】在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【解析】 正方体中 、、 两两垂直，以 为原点、这三条棱的方向为坐标轴建系， 棱长为 4，则 、、、 、。 是 的中点，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，即 ， 取 ，得 ，。 因为 在平面 内，，所以点 到该平面的距离为 ，选 C。 也可以这样看：平面 含有 ，而 底面，所以该平面垂直于底面， 点 到它的距离等于点 到交线 的距离，即 。 第 1 步　三条互相垂直的棱就是坐标系 ◈ 正方体中过同一个顶点的三条棱两两垂直，以 为原点建系，用到的顶点坐标直接写出。 第 2 步　「在平面内取一点」是公式的前提 ◈ 公式要求从平面内一点出发，这里取现成的 ，用 即可，不必另找点。 第 3 步　平面垂直于底面时就近降维 ◈ 平面 含垂直于底面的 ，于是它垂直于底面，点到平面的距离化为点到交线 的距离，可以省掉一次向量运算。 答　C 例 4-2 【单选】已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【解析】 以 为原点、、、 的方向为坐标轴建系，棱长为 3，则 、、、。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，。 因为 在平面 内，， 所以点 到平面 的距离为 ，选 C。 换个角度看更快： 的三条边都是 ，而 ，所以三棱锥 是棱长 的正四面体， 所求距离就是它的高 。 第 1 步　正方体里的正四面体 ◈ 到 、、 的距离都等于 ，与 的边长相同，距离就是正四面体的高。 第 2 步　法向量三步走 ◈ 设 ，两个点积条件各给一个方程，令 就得到 。 第 3 步　平面内取点再代公式 ◈ 平面内取现成的 ，用 计算，省去求垂足的功夫。 答　C 例 4-3 【填空】已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则 = _______． 【解析】 棱长为 4 的正四面体可以看成棱长为 的正方体的四个交替顶点， 取正方体三条棱的方向为坐标轴，则正四面体的四个顶点可取为 、、 、。 设四个平行平面的法向量为 ，并且 。 四个顶点在这组平面法向上的投影依次是 、、 、，它们成等差数列， 而正四面体的中心在原点，四个投影之和为 0，所以这四个数形如 、、、，相邻两个平面之间的距离 。 不妨设 、 分别落在两端的平面上，则 ， 即 。 因为 ，所以 ，即 。 此时四个投影依次为 、、、， 要使它们成公差不为 0 的等差数列，只能是 。 取 ，得 ，再由 得 ，。 此时 ， 所以 ，。 第 1 步　正四面体补进正方体 ◈ 棱长 4 的正四面体正好是棱长 的正方体的四个交替顶点，有了直角坐标，投影才好算。 第 2 步　投影成等差且和为零 ◈ 四个平面等距说明四个投影成等差数列，中心在原点说明它们的和为 0，两条合起来就知道四个投影是 、。 第 3 步　差值之比定方向 ◈ 把 与 的比定成 ，再配 就唯一确定了法向量。 答　 例 4-4 【解答】如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． （1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离． 【解析】 （1）因为 是等边三角形， 是 的中点，所以 。 平面 与平面 的交线是 ，且平面 平面 ， 所以 平面 。 由题设 ，又 ， 与 是平面 内两条相交直线， 所以 平面 ，从而 。 因为 平面 且 ，而 是两个平面的交线，所以 平面 。 （2）由（1），而 是 的中点，所以 。 底面是菱形，，于是 是等边三角形。 由 得 ， 等边三角形 的高 。 以 为原点， 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向建系，则 、、 、、。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，代入 得 ， 取 ，得 ，。 因为 在平面 内，， 所以点 到平面 的距离为 。 第 1 步　等边三角形先给一条垂线 ◈ 等边且 是中点，所以 ，这是后面一路垂直的起点。 第 2 步　面面垂直转成线面垂直 ◈ 平面 平面 且交线是 ，于是平面 内垂直于 的直线垂直于底面，反过来底面内垂直于 的直线垂直于平面 。 第 3 步　等边三角形补全底面 ◈ 加上 是 的中点给出 ，再配上菱形的 ，底面被锁定为两个等边三角形拼成。 答　(1) 证明见解析；(2) 练习 4-1. 【填空】棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 解析　答： 棱长均为 的四面体是正四面体。设它的棱长为 ， 把它看成棱长为 的正方体的四个交替顶点， 以正方体的中心为原点、三条棱的方向为坐标轴，四个顶点可取为 、、 、。 设四个平行平面的法向量为 且 。 四个顶点在法向上的投影成等差数列，而正四面体的中心在原点保证四个投影之和为 0， 所以它们形如 、、、，相邻两个平面之间的距离 。 不妨设 、 分别落在两端的平面上，则 ， 而 ，所以 。 此时四个投影依次为 、、 、， 要成公差不为 0 的等差数列，只能是 。 取 ，得 ，再由 得 ，。 此时 ，所以 ， 。把 代入得 。 4-2. 【单选】已知平面经过正方体的顶点，且正方体的8个顶点到平面的距离取值只有两种，则符合条件的平面的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 解析　答：C 设正方体棱长为 1，以 为原点、三条棱的方向为坐标轴建系，则 、、、、 、、、。 设平面 的法向量为 。因为 ，点 到 的距离为 0， 所以八个距离的两种取值就是 0 与某个正数 ，即 、、、、、、 到 的距离都等于 。 记 ，则 、、、、、 、 都等于 0 或 。 若 、、 中恰有一个非零，取 ， 七个绝对值依次为 ，只取 0 和 1，符合要求； 同理 、 也符合，这一类共 3 个。 若恰有两个非零，设 、， 则 只能为 0（否则等于 ），即 。 取 ，七个绝对值依次为 ，只取 0 和 1，符合要求； 同理 、 也符合，这一类共 3 个。 若三个分量都非零，则 要求 、 要求 ， 此时 ，不符合要求，无解。 所以符合条件的平面 共有 个，选 C。 4-3. 【填空】在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 解析　答： 以 为原点、、、 的方向为坐标轴建系，棱长为 1，则 、、、。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，。 因为 在平面 内，， 所以点 到平面 的距离为 。 4-4. 【单选】已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 以 为原点、、、 的方向为坐标轴建系， 由 、 得 、、 、、、。 是 的中点，。 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，由 得 ， 取 ，得 ，。 点 在线段 上，所以可设 ，其中 。 因为 在平面 内，， 点 到平面 的距离为 。 它在 时取最大值 ，选 A。 4-5. 【填空】已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有__________个，的所有可能取值构成的集合是__________. 解析　答：7； 「1 阶等距平面」要求四个顶点到 的距离只取一个值 。 四个顶点不可能都在 的同一侧且距离相等，所以只能两侧都有顶点，分两种情形。 情形一：三个顶点在一侧、一个顶点在另一侧。此时那三个顶点所在的平面与 平行， 这个平面与对面顶点之间的距离是 ，也就是正四面体的高。 棱长为 时，高为 ，所以 。 正四面体有 4 个面，每个面对应一个这样的平面，共 4 个。 情形二：两个顶点在一侧、另两个在另一侧。此时同侧两个顶点连成的棱与 平行， 这两条棱是互为对棱的异面直线，它们之间的距离等于 。 正四面体中互为对棱的两条棱之间的距离为 （ 为棱长）， 把 代入得 ，。 把 4 个顶点分成两对的方式有 3 种，每种对应一个平面，共 3 个。 所以符合条件的 共有 个， 的所有可能取值是 与 。 4-6. 【解答】如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点． （1）求证：；（2）若，求点到平面的距离． 解析　答：(1) 证明见解析；(2) （1）取 的中点 ，连接 、。 在 中 、 分别是 、 的中点，所以 。 因为 ，所以 ，从而 。 又 是正三角形， 是 的中点，所以 。 与 是平面 内两条相交直线，所以 平面 ， 而 平面 ，所以 。 （2） 的边长为 2，，， 以 为原点、 的方向为 轴方向、 的方向为 轴方向、竖直方向为 轴方向建系， 则 、， 是 的中点，。 设 。由 得 与 ， 两式相减得 ，代回得 。 由 得 ， 所以 ，，取 ，即 。 平面 过原点 ，，， 设它的法向量为 ， 由 得 ， 由 得 ，即 ， 取 ，得 ，。 ，， 所以点 到平面 的距离为 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $