空间向量与立体几何：点到直线距离的向量求法、点到平面距离的向量求法 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量与立体几何核心考点，系统梳理点到直线、点到平面距离的向量求法，按“核心知识点（已知条件、几何原理）—解题步骤—易错点”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（勾股定理应用、投影公式推导）、真题训练（例题解析+变式巩固）等环节，帮助学生突破距离计算难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以培养数学思维和空间观念为特色，通过推导距离公式的几何原理渗透逻辑推理，设计分层例题（基础题到综合应用题）和高考真题情境训练提升运算能力，结合易错点警示（如投影与距离混淆、法向量计算失误）保障复习效果。为教师提供精准复习路径，助力学生在有限时间内高效掌握解题方法，提升空间几何问题的应考能力。

2027届高三数学一轮复习讲义 空间向量与立体几何：点到直线距离的向量求法、点到平面距离的向量求法复习讲义 考点目录 点到直线距离的向量求法 点到平面距离的向量求法 考点一 点到直线距离的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 已知条件 定点 ；空间定直线 ，直线上任意一点 ，直线 的方向向量 。 1. 几何原理 是斜线段， 在直线方向向量上投影长度： · 点到直线距离 是直角三角形的直角边，由勾股定理推导： 1. 适用范围：平面、空间直线全都能用。 二、解题原理（标准步骤） 1. 在直线上任取一点 ，构造向量 ； 1. 写出直线方向向量 ； 1. 勾股定理求解：算出向量模长、投影长度，带入根号公式计算； 三、易错点 1. 混淆投影公式，直接把投影长度当作距离； 1. 直线上取点随意，向量构造错误。 【例题分析】 例1．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为 故选：D 例2．（2025·河南安阳·一模）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 例3．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】依题意，， 所以点到的距离. 故答案为：. 例4．（2026·河南·模拟预测）如图，在正四棱柱中，． (1)求点到直线的距离； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，根据点到直线距离向量法计算求解； （2）根据面面角向量法计算求解. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 由，得， 所以， 所以点到直线的距离为； （2）， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为，所以， 即二面角的正弦值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基底向量，即可由空间向量的模长，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】在平行六面体中，不妨设，，． ,， ，， 所以，， ， 所以E到直线的距离为， 故选：A 变式3．（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 【答案】 【分析】根据空间点到线距离公式进行求解即可. 【详解】已知，，， 所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 变式4．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)求点到PD的距离. 【答案】(1) 如图，取中点，连接        因为为中点，，，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点，则， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面，故平面． (2) (3) 【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）略. （2）    根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可得，， 则， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线PB与平面所成角为， 则. 所以直线PB与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）可知，， 所以点到PD的距离为. 考点二 点到平面距离的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 已知条件 定点 ；平面 ，平面内任取一点 ，平面 的法向量 。 1. 公式推导 点到平面距离 = 向量 在平面法向量 方向上投影的绝对值 · ✅ 关键细节： · 必须加绝对值：距离恒为非负数； · 法向量 随便取一个即可，长短不影响结果； · 若点 在平面内：，距离 。 1. 拓展推论（体积法本质就是此公式） 三棱锥体积 ，可反过来求点面距离。 二、解题原理（固定四步流程） 1. 找平面内任意一个方便计算的定点 ，连接得到向量 ； 1. 求平面 的一个法向量 （平面内两相交向量叉乘求得）； 1. 计算数量积 以及法向量模长 ； 1. 带入公式，加绝对值算出距离。 三、典型适用场景 1. 求棱锥的高； 1. 线面平行时，直线上任意一点到平面距离处处相等； 1. 面面平行，两个平面间距离可取一平面内任意点求到另一平面距离。 四、易错点 1. 忘记加绝对值，算出负数距离； 1. 用方向向量代替平面法向量代入公式； 1. 法向量求解计算失误。 【例题分析】 例1．（2026·北京海淀·三模）如图，已知三棱柱中，为正三角形，点在棱上，平面． (1)求证：为的中点； (2)若平面平面，侧面为矩形，，，求直线与平面所成角的正弦值及点到平面的距离． 【答案】(1)连接，交于点F，连接, 因为三棱柱的侧面​是平行四边形，平行四边形对角线互相平分， 故F是的中点， 又平面．平面， 且平面平面，故得， 在中，F是​的中点，，因此是​的中位线， 故E为的中点，得证. (2)； 【分析】（1）作辅助线，根据线面平行的性质可得，再结合三角形的中位线性质，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，可得相关点坐标，求出平面的法向量，根据线面角以及空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）取中点为O，因为是正三角形，故， 又平面平面，交线为，因此平面， 以O为原点， 直线为x轴，方向为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 由E是的中点，得， ，, 设平面的法向量为， 则：，即，令，则可得， 设直线与平面所成角为θ，则； 设点到平面的距离为d，而， 则. 例2．（2026·江苏·模拟预测）在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，． (1)如图1，当面面时，证明：面； (2)如图2，当二面角为时，求点到面的距离． 【答案】(1)证明：取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，， 平面，平面平面． (2) 【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理得到平面，进而得到，再根据线面平行的判定定理证明； （2）利用点到面距离的向量求法进行求解. 【详解】（1）略 （2）过作平面于点，过作于点，连接则，为的中点，且，， ，，如图建系 ，，， ，， 设平面的一个法向量，到面的距离为 ， 例3．（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明：在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴，因为平面ABC，以AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， 因为平面ABC， 所以平面ABC的一个法向量为， 因为，平面，   所以平面； (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性质进行运算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为y轴⊥平面BDM， 所以平面BDM的一个法向量为， ，              设平面BCD的一个法向量为， ， 取，则，所以，    设平面BCD与平面BDM的夹角为， ， ，       所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为； （3）， 设点M到平面BCD的距离为d， . 【变式训练】 变式1．（2026·山西太原·二模）如图，在底面是菱形的直四棱柱中，，为线段上靠近的三等分点，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明如下： 如图1，连接交线段于点，连接. . 又. 又平面，平面平面. (2) 【分析】（1）如图1，连接交线段于点，连接，证明可证平面； （2）以为原点，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）如图2，连接四边形为菱形，2，则为等边三角形. 又为中点，. 又. 易知平面以为原点，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易知为上靠近的三等分点， . . 设平面的一个法向量为， 则 令，则，∴， ∴点到平面的距离. 变式2．（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，因为是等边三角形，是中点，所以． 又因为，，平面，，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）连接，结合等边三角形的性质，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而由线面垂直的性质定理得，然后利用面面垂直的判定定理证明即可． （2）法一：利用线面垂直的判定定理证明平面，在平面内，作于，由线面垂直的性质定理和判定定理得平面，然后在中求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后点面距的向量公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）法一：在菱形中，， 又因为，，所以，． 因为，平面，，所以平面． 在平面内，作于． 因为平面，平面，所以． 又因为，，平面，， 所以平面， 所以的长度为点到平面的距离． 在中，因为，，， 所以，同理． 因为平面，平面，所以． 在中，因为，所以边上的高． 即点到平面的距离为． 法二：因为平面，平面，所以． 由（1）得、、两两垂直， 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，． 设平面的法向量为， 所以所以 所以是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离． 变式3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，BC=CD=2，AB=4，M，N分别为PB，PC的中点.    (1)若平面AMN与直线PD交于点H，求的值； (2)若平面AMN和平面PCD所成角的余弦值为，求点C到平面AMN的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用共面向量基本定理及向量的坐标运算求得，即可得解. （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法根据平面夹角的余弦值列式求得，最后利用向量法求解点面距离即可. 【详解】（1）面内作， 因为平面，平面，平面，所以， 所以以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， 又分别为的中点， ，设， ， ，，共面，存在实数使得， 即， ，解得，所以；      （2）设平面的法向量为，， 解得，令得，， 又，设平面的法向量为， ，解得，令得，， 设平面和平面所成的角为， ，整理得，，， ，，故点C到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 空间向量与立体几何：点到直线距离的向量求法、点到平面距离的向量求法复习讲义 考点目录 点到直线距离的向量求法 点到平面距离的向量求法 考点一 点到直线距离的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 已知条件 定点 ；空间定直线 ，直线上任意一点 ，直线 的方向向量 。 1. 几何原理 是斜线段， 在直线方向向量上投影长度： · 点到直线距离 是直角三角形的直角边，由勾股定理推导： 1. 适用范围：平面、空间直线全都能用。 二、解题原理（标准步骤） 1. 在直线上任取一点 ，构造向量 ； 1. 写出直线方向向量 ； 1. 勾股定理求解：算出向量模长、投影长度，带入根号公式计算； 三、易错点 1. 混淆投影公式，直接把投影长度当作距离； 1. 直线上取点随意，向量构造错误。 【例题分析】 例1．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·河南安阳·一模）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为______. 例4．（2026·河南·模拟预测）如图，在正四棱柱中，． (1)求点到直线的距离； (2)求二面角的正弦值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 变式3．（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 变式4．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)求点到PD的距离. 考点二 点到平面距离的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 已知条件 定点 ；平面 ，平面内任取一点 ，平面 的法向量 。 1. 公式推导 点到平面距离 = 向量 在平面法向量 方向上投影的绝对值 · ✅ 关键细节： · 必须加绝对值：距离恒为非负数； · 法向量 随便取一个即可，长短不影响结果； · 若点 在平面内：，距离 。 1. 拓展推论（体积法本质就是此公式） 三棱锥体积 ，可反过来求点面距离。 二、解题原理（固定四步流程） 1. 找平面内任意一个方便计算的定点 ，连接得到向量 ； 1. 求平面 的一个法向量 （平面内两相交向量叉乘求得）； 1. 计算数量积 以及法向量模长 ； 1. 带入公式，加绝对值算出距离。 三、典型适用场景 1. 求棱锥的高； 1. 线面平行时，直线上任意一点到平面距离处处相等； 1. 面面平行，两个平面间距离可取一平面内任意点求到另一平面距离。 四、易错点 1. 忘记加绝对值，算出负数距离； 1. 用方向向量代替平面法向量代入公式； 1. 法向量求解计算失误。 【例题分析】 例1．（2026·北京海淀·三模）如图，已知三棱柱中，为正三角形，点在棱上，平面． (1)求证：为的中点； (2)若平面平面，侧面为矩形，，，求直线与平面所成角的正弦值及点到平面的距离． 例2．（2026·江苏·模拟预测）在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，． (1)如图1，当面面时，证明：面； (2)如图2，当二面角为时，求点到面的距离． 例3．（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值； (3)求点M到平面的距离． 【变式训练】 变式1．（2026·山西太原·二模）如图，在底面是菱形的直四棱柱中，，为线段上靠近的三等分点，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 变式2．（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 变式3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，BC=CD=2，AB=4，M，N分别为PB，PC的中点.    (1)若平面AMN与直线PD交于点H，求的值； (2)若平面AMN和平面PCD所成角的余弦值为，求点C到平面AMN的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $