第3讲 离散型随机变量及其分布列 专项训练-2027届高三数学一轮复习

离散型随机变量及其分布列 概率与统计 · 专题篇 一 分布列的建立：先定取值，再算概率 一、分布列的定义。 离散型随机变量 取 时，，且 、。 二、三步定分布列。 ① 定取值：把「」翻译成一句具体事件，写不出这句话就说明取值没想清；② 算概率：等可能型数组合数，独立型乘概率，互斥型相加；③ 验总和： —— 这是唯一的自检手段，不等于 一定是漏了一种情况。 三、取值的两种来源。 加和型（总分、总奖金、积分和）：先列各部分的取值，再把「和相同」的情况并成一项。 计数型（组数、次数、次数的最值）：按组合分类数，或先算两端再作差。 ★ 本节焦作-15（总分）属加和型，宁波-16（相邻组数）、黄石-17（停止时的取球数）属计数型。 四、期望。 —— 分布列写对之后，期望只是照着表算加权平均。 例1（解答·★★★★☆） 小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答。（1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；（2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望。 变式1-1（解答·★★★★☆） 一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有号的小球有个（，，，且），标有号的小球有个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取个球。（1）当时，求取出的两个小球标号之和为的概率；（2）当时，记为取出的两个小球标号之差的绝对值，求的分布列和数学期望。 变式1-2（解答·★★★★☆） 在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数。（1）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（2）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2）。求随机变量的分布列及其数学期望。 变式1-3（解答·★★★★☆） 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分。已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关。（1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；（2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望。 变式1-4（解答·★★★★☆） 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球。现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量。求的分布列和期望。 变式1-5（解答·★★★★☆） 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为。完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望。 变式1-6（解答·★★★★☆） 如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次。已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和。 积分 0 100 200 （1）求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；（2）求随机变量的分布列及数学期望。 变式1-7（解答·★★★★☆） 某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训。每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长。（1）求甲、乙两人同在组的概率；（2）求甲在三天内至少担任一次组长的概率；（3）记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望。 二 期望与方差的计算 一、两个定义式。 ；。 二、两条性质（本讲核心）。 ；。 ★ 方差对平移不敏感（加常数不变），对伸缩是平方 ——本节齐齐哈尔-17 的 就是这一条。 三、参数分布列。 分布列里带字母时，先用 定一个参数，再用 的式子列方程定另一个。 ★ 本节衡阳-17、青桐鸣-16 都是这条路：两个未知量正好配两个条件。 四、分布列的三种来源。 按取值分类数：保费、得分这类「有限个整值」；按状态转移乘概率：球数会变的取球、换球；把两个独立分布「相加」：两个质点的积分之和。 五、方差的两个用途。 比较稳定性：方差小的更稳；求最值：把 写成关于参数的二次函数再配方。 例2（解答·★★★★☆） 甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响。（1）若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；（2）若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望。 变式2-1（解答·★★★★☆） 在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量。已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立。事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多。（1）若，求，并根据全概率公式求；（2）是否存在值且，使得，请说明理由。 变式2-2（解答·★★★★☆） 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物。能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且。每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）。记识别出障碍物的摄像头数为。 0 1 2 （1）求，；（2）已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率。（3）工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由。 变式2-3（解答·★★★★☆） 已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年。在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到下表。 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 用频率估计概率，解答下列问题。（1）求随机抽取1单，该单的赔偿次数不少于3的概率。（2）下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如下表。 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保。估计甲2026年参保（第二个保险期）的保费为元，求的数学期望。 变式2-4（解答·★★★★☆） 一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次。记连续操作3次后箱子中白球的个数为，求的分布列和期望。 变式2-5（解答·★★★★☆） 已知盒中有3个红球和2个白球，盒中有3个白球，这8个球除颜色外完全相同。现设计如下试验流程：每次从盒中任取2个球，将取出的红球用盒中的白球替换；取出的白球不进行替换，然后把得到的2个球放回盒，记作一次试验结束。设两次试验结束后盒中红球的个数为，求的分布列及数学期望。 变式2-6（解答·★★★★☆） 某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色。抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖。求中奖次数的分布列和数学期望。 变式2-7（解答·★★★★☆） 某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审。若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项。设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审的概率为，各专家评审能否通过相互独立。（1）求该项目予以立项的概率；（2）记评审通过该项目的专家人数为，求的分布列与期望。 变式2-8（解答·★★★★☆） 某云计算平台为任务提供两台候选节点，其可用算力分别为和，其中，且取各值的概率与成正比。平台从两台候选节点中等可能地随机选择其中一台，并显示其算力。（1）求取各值的概率；（2）求的数学期望。 变式2-9（解答·★★★★☆） 两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游戏，规则如下：先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为；再从第二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为。记一次游戏后，得分总和为分。求的分布列和数学期望。 三 期望方差的性质与方案决策 一、四条性质。 ，；，故 。 ★ 加常数：期望平移、方差不便；乘常数：期望乘 、方差乘 。 二、0-1 变量与期望的线性性。 把「第 个是否发生」设成 ，则 且 —— 不必求出 的分布列也能算期望。 ★ 济南-14（ 门课被选中几门）、汕头-14（4 个球占了几个盒子）都走这条路。 三、方案决策的两步。 ① 分别写出两种方案下收益的随机变量并求其分布列；② 比 （要论「稳不稳」时再比 ，方差小的更稳）。 ★ 本节齐齐哈尔-17、清远-17、滨州-15、深圳一模-17、抚顺(2)-17 全按这两步写。 四、决策题的收尾写法。 先给数值比较，再给一句结论：「因为 ，所以选……」。 ★ 只写数值不写结论、或只写结论不给比较，都会丢分。 例3（解答·★★★★☆） 某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 0.5 1.0 0.8 0.2 0.2 0.8 1.2 0.2 0.5 0.3 （1）若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，；（2）现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求取得最小值时的值；（3）结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对「全部种植第一种种子」「全部种植第二种种子」「按（2）最优比例种植」三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议。 变式3-1（解答·★★★★☆） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。 变式3-2（解答·★★★★☆） 某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有两个问题，已知甲同学答对问题的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题的概率为0.5，回答正确得奖金元，回答错误得奖金0元。甲同学回答两个问题正确与否相互独立。（1）若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率；（2）若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答问题和先回答问题所获得的奖金总额的期望相同，求的值。 变式3-3（解答·★★★★☆） 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的。（1）当时，求甲最终获胜的概率；（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案。方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大。 变式3-4（解答·★★★★☆） 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计。具体规则如下：游戏Ⅰ：第1局抛掷两枚质地均匀的相同硬币，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局抛掷三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局抛掷四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金。游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6），第1局抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金。（1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；（2）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由。 变式3-5（解答·★★★★☆） 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球。顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金。当取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 变式3-6（单选·★★☆☆☆） 若离散型随机变量的分布列如下所示，则的数学期望 = （ ） 1 2 A. 1 B. C. D. 2 变式3-7（单选·★★★☆☆） 已知随机变量的分布列如下表所示，记的数学期望和方差分别为，，则当在上增大时，有（ ）。 A. 增大，增大 B. 减小，增大 C. 增大，减小 D. 减小，减小 变式3-8（多选·★★★☆☆） 设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（ ） A. 样本估计总体时，总体的均值一定为 B. 反应了取值的平均水平 C. D. 若服从分布，则 变式3-9（填空·★★★☆☆） 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______。 变式3-10（填空·★★★☆☆） 个球随机装进个盒子，则装有球的盒子个数的期望为_______。 变式3-11（填空·★★★☆☆） 已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________。 学科网（北京）股份有限公司 $ 离散型随机变量及其分布列 概率与统计 · 专题篇 一 分布列的建立：先定取值，再算概率 一、分布列的定义。 离散型随机变量 取 时，，且 、。 二、三步定分布列。 ① 定取值：把「」翻译成一句具体事件，写不出这句话就说明取值没想清；② 算概率：等可能型数组合数，独立型乘概率，互斥型相加；③ 验总和： —— 这是唯一的自检手段，不等于 一定是漏了一种情况。 三、取值的两种来源。 加和型（总分、总奖金、积分和）：先列各部分的取值，再把「和相同」的情况并成一项。 计数型（组数、次数、次数的最值）：按组合分类数，或先算两端再作差。 ★ 本节焦作-15（总分）属加和型，宁波-16（相邻组数）、黄石-17（停止时的取球数）属计数型。 四、期望。 —— 分布列写对之后，期望只是照着表算加权平均。 例1（解答·★★★★☆） 小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答。（1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；（2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望。 【切入点】第（1）问是「两种题型都有」，用对立事件「全是简答或全是论述」；第（2）问的总分只由「抽到几道论述题」决定 —— 按论述题的道数分类。 【关键】（1）。 （2）抽 道，论述题道数 可取 ，总分 ，故 取 。 ，，，，四者之和为 。 。 【易错】第一， 不是「抽到几道论述题」，而是三道题的总分，取值是 而不是 。第二，四个概率的分母都是 ，分子分别是 、、、，对应「论述 道」。第三，算完一定要验四者之和为 。 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 变式1-1（解答·★★★★☆） 一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有号的小球有个（，，，且），标有号的小球有个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取个球。（1）当时，求取出的两个小球标号之和为的概率；（2）当时，记为取出的两个小球标号之差的绝对值，求的分布列和数学期望。 【切入点】盒中「标号 的球有 个」，先把球数数清；第（2）问求标号之差的绝对值 —— 按「两个标号各是多少」分类。 【关键】（1） 时球数为 ，总数 。和为 的只有 、、 三种，个数为 ，故 。 （2） 时球数为 ，总数 ， 取 。 即同标号：，。：，。：，。：，。四者之和为 。 。 【易错】第一， 号球只有 个，取不出两个，所以 里没有 这一项 —— 这是本题最容易多算的地方。第二， 是「同标号」，要四类分别数再相加。第三， 只能由 与 配对。 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 变式1-2（解答·★★★★☆） 在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数。（1）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（2）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2）。求随机变量的分布列及其数学期望。 【切入点】第（2）问的 是「相邻的组数」，取值只有 ——正面数 很繁，先数两端再作差。 【关键】（1），总数 ，故 。 （2） 要求三个数连成一段，即 、、、、 共 种。 即三数互不相邻，逐个列举得 、、、、、、、、、 共 种。 故 ，，，三者之和为 。 。 【易错】第一， 是「相邻的组数」不是「相邻的对数」—— 里 与 、 与 都相邻，算 组。第二， 的十种必须穷尽，漏一种后面全错。第三， 用 作差最快。 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 变式1-3（解答·★★★★☆） 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分。已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关。（1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；（2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望。 【切入点】三道题独立、分值不同，总分是把「答对哪几道」的 种情况并成 个值。 【关键】（1）乙三题各 ，至少两题对：。 （2）甲答对 、、 的概率依次为 、、，总分 取 。 ，，。 （「只对 」与「对 、」两种），，，，七者之和为 。 。 【易错】第一， 有两种来源（只对 得 分，或对 、 得 分），漏一种就少 。第二， 只能是「 对、 对」， 只能是「 对、 对」，不要搞混。第三，七项之和必须为 。 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 变式1-4（解答·★★★★☆） 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球。现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量。求的分布列和期望。 【切入点】三种颜色都取到就停 —— 红球只有 个，最晚取到第 个时三色必然齐，故 只取 。 【关键】：前三个恰好一红一黑一白，。 ：前四个只能是黑、白两色（各 个），第五个必是红，。 ：。分布列为：取 的概率 ，取 的概率 ，取 的概率 ，三者之和为 。 。 【易错】第一， 不是「取完五个」，而是「前四个没有红」——第五个一取到红就停，所以只算前四个的排列。第二， 的最小值是 不是 ，因为三种颜色各一个就停。第三， 正面数很繁，用补法最快。 【答案】分布列见解析， 变式1-5（解答·★★★★☆） 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为。完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望。 【切入点】三次摸球，但第三次的可选集变成了 到 ——分母是 ，按「出现偶数的个数」分四类数。 【关键】前两次从 中摸（偶数只有 个：），第三次从 中摸（偶数有 个：）。 （三次都取奇数），（三次都取偶数）。 （「偶奇奇」「奇偶奇」「奇奇偶」三种），（三种位置）。四者之和为 。 三个加权项相加得 ，约分后 。 【易错】第一，第三次的集合多了 号与 号球，偶数个数由 变 ——三处概率不能都用同一个数。第二，、 各有三种位置，漏一种就少一项。第三， 与 各只有一种位置，最容易算对；中间的两种才是失分点。 【答案】分布列见解析， 变式1-6（解答·★★★★☆） 如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次。已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和。 积分 0 100 200 （1）求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；（2）求随机变量的分布列及数学期望。 【切入点】每个质点移动 次，落点只有三个：向左两次到 、一左一右回 、向右两次到 。先写单个质点的分布，再把两个独立分布「相加」。 【关键】（1）回到 即一左一右，。 单次左移概率 、右移 ，故落点的积分分布为： 处 ，概率 ； 处 ，概率 ； 处 ，概率 。 （2） 是两个质点积分之和，取 ：，，，，，五者之和为 。 四项加权值为 、、、，合计 ，故 。 【易错】第一， 不是「两个都到 」的积分，而是两个质点各自 相加；单个质点的积分只有 三个值。第二， 与 都有「两质点取不同值」的两类情形，要乘 。第三，向左概率 与向右 不等，所以 不为 。 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 变式1-7（解答·★★★★☆） 某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训。每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长。（1）求甲、乙两人同在组的概率；（2）求甲在三天内至少担任一次组长的概率；（3）记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望。 【切入点】第（3）问的 是「两天里至少当过一天组长的人数」——每组两天各选一人，共 种等可能组合，按「同人／不同人」分类。 【关键】（1） 人分两组共 种，甲乙同在 组有 种，故 。 （2）甲每天当组长的概率为 ，三天至少一次：。 （3）单组两天选人有 种，两天同人的概率为 ，不同人的概率为 。 即两组都两天同人：。 即两组都两天不同人：。 即一同一异：。三者之和为 。 。 【易错】第一， 是「至少当过一天组长」的人数，不是「当过组长的人次」—— 同一人两天都当只算 人。第二， 有「 组同人、 组不同人」与「 组同人、 组不同人」两种，要乘 。第三，每天两组各选一人，分母是 不是 。 【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析， 二 期望与方差的计算 一、两个定义式。 ；。 二、两条性质（本讲核心）。 ；。 ★ 方差对平移不敏感（加常数不变），对伸缩是平方 ——本节齐齐哈尔-17 的 就是这一条。 三、参数分布列。 分布列里带字母时，先用 定一个参数，再用 的式子列方程定另一个。 ★ 本节衡阳-17、青桐鸣-16 都是这条路：两个未知量正好配两个条件。 四、分布列的三种来源。 按取值分类数：保费、得分这类「有限个整值」；按状态转移乘概率：球数会变的取球、换球；把两个独立分布「相加」：两个质点的积分之和。 五、方差的两个用途。 比较稳定性：方差小的更稳；求最值：把 写成关于参数的二次函数再配方。 例2（解答·★★★★☆） 甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响。（1）若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；（2）若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望。 【切入点】五局三胜， 是「打了多少局」—— 只可能是 。按「谁赢、前几局怎么分」分类。 【关键】（1）甲恰胜两局：，三局全胜：，相加得 。 （2）：一方连胜三局，。 ：前三局打成 ，第四局由领先者拿下 ——甲 ，乙 ，合计 。 ：前四局 ，第五局定胜负 ——甲 ，乙 ，合计 。三者之和为 。 三项加权值为 、、，相加得 。 【易错】第一， 时第四局必须由领先者拿下，所以前三局只排 种，不是 。第二， 时前四局打成 ，第五局由胜者拿下，同样是 。第三，甲、乙双方的情形都要算进去，只算甲会漏掉一半。 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 变式2-1（解答·★★★★☆） 在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量。已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立。事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多。（1）若，求，并根据全概率公式求；（2）是否存在值且，使得，请说明理由。 【切入点】分布列里同时带 、 两个字母 ——先用「概率之和为 」定 ，第（2）问再用 列方程。 【关键】（1） 时四个概率为 、、、，相加得 ，括号内为 ，故 。 返工成功数比失败数多：、、、，故 ，合并同类项得 ，代入 得 。 （2），又 。两式消去 得 。 令 ，， 在 上先增后减，最大值 ，故方程在 上无解，不存在这样的 。 【易错】第一，四个概率里 这一项最容易漏，它是 的概率，必须参与「和为 」。第二， 的表达式要把 的 算进去。第三，判断「不存在」不能只算一个特殊值，要说明 的最大值都小于 。 【答案】（1），；（2）不存在，理由见解析 变式2-2（解答·★★★★☆） 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物。能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且。每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）。记识别出障碍物的摄像头数为。 0 1 2 （1）求，；（2）已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率。（3）工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由。 【切入点】分布列只给 、、 三项，又给 ——两个方程正好解两个字母。 【关键】（1），，解得 。 （2）按正常工作的台数 分三类：。 其中「 台正常且恰 台识别」为 ，故 。 （3）。要 ，即 ，化简得 ，判别式 ，左边恒正，故不可能。 【易错】第一， 是「识别出的台数」，上限随 变，不是固定 台。第二，第（3）问要把「至少一台」转成「一台都没有」，直接算 无从下手。第三， 说明二次式恒正、不等式无解，不是「有解但取不到」。 【答案】（1），；（2）；（3）不可能，理由见解析 变式2-3（解答·★★★★☆） 已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年。在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到下表。 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 用频率估计概率，解答下列问题。（1）求随机抽取1单，该单的赔偿次数不少于3的概率。（2）下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如下表。 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保。估计甲2026年参保（第二个保险期）的保费为元，求的数学期望。 【切入点】用频率估计概率，先写出「赔偿次数」的分布，再把「下一个保险期的保费」当作随机变量 。 【关键】（1）赔偿次数不少于 ：。 （2）① 首次保费 ，下一期保费为 、、、、，即 ，概率依次为 、、、、，五者之和为 。 前两项 ，后三项 ，相加得 。 【易错】第一，保费是 的倍数， 要先代进去，不能留字母。第二，五个概率与「赔偿 次」的频率要一一对应，顺序不能颠倒。第三， 说明多数人下一期保费会降，可以作为合理性检查。 【答案】（1）；（2）① 变式2-4（解答·★★★★☆） 一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次。记连续操作3次后箱子中白球的个数为，求的分布列和期望。 【切入点】每次取球后放入 个同色球，箱中球数 ——取到白球的概率每次都在变，必须逐次乘。 【关键】取到白球：白球数加 （取走 个、放入 个）；取到黑球：白球数不变。故 取 。 三次都取黑：，白球仍为 。 恰有 次白球：三种位置的概率相同，每种 ，合计 ，白球为 。 恰有 次白球：每种位置 ，合计 ，白球为 。 三次都取白：，白球为 。四者之和为 。 四项加权值为 、、、，合计 ，约分后 。 【易错】第一，每取到一个白球，白球数只加 （取走 个、放入 个）；取到黑球时白球数不变 —— 这两句搞反，整张分布列就全错。第二，分母逐次是 、、，不能写成 。第三，中间两项要乘位置数 与 。 【答案】分布列见解析， 变式2-5（解答·★★★★☆） 已知盒中有3个红球和2个白球，盒中有3个白球，这8个球除颜色外完全相同。现设计如下试验流程：每次从盒中任取2个球，将取出的红球用盒中的白球替换；取出的白球不进行替换，然后把得到的2个球放回盒，记作一次试验结束。设两次试验结束后盒中红球的个数为，求的分布列及数学期望。 【切入点】每次从 A 盒取 球，红球被换成白球 ——红球数只减不增， 是两次试验后 A 盒里的红球数。 【关键】一次试验从 球中取 球共 种：取 红有 种、 红 白有 种、 白有 种。取出的红球数就是红球的减少数。 第一次后 A 盒红球数变为 、、，概率分别为 、、。 ：两次共减 个红球，两条路径的概率为 与 ，即 与 ，合计 。 ：三条路径的概率为 、、，即 、、，合计 。 ：两条路径的概率为 与 ，即 与 ，合计 ；：。四者之和为 。 三个加权项相加得 ，约分后 。 【易错】第一，取出的白球「不替换」但要放回，所以总球数始终是 —— 这是本题最关键的一句。第二， 有两条路径：先取 白（红球仍 ）再取 红 白，或先取 红 白（红球变 ）再取 白。第三，四种情形的概率都要验和为 。 【答案】分布列见解析， 变式2-6（解答·★★★★☆） 某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色。抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖。求中奖次数的分布列和数学期望。 【切入点】两次抽奖不独立（第一次的球不放回）， 是中奖次数，只取 —— 按「两次各自同色还是异色」分类。 【关键】第一次从 球取 ：同色有 种，异色有 种，共 种。 取 红后剩 红 白，再取异色有 种；取异色后剩 红 白，再取同色有 种。 ，，，三者之和为 。 两项相加得 ，约分后 。 【易错】第一，第二次的分母是 ，不是 ——第一次已取走 球。第二，「取 红」与「取 白」剩下的颜色结构不同：前者剩 红 白，后者剩 白 红，但对称，异色数都是 。第三， 用补法最快，正面要列三种同色组合。 【答案】分布列见解析， 变式2-7（解答·★★★★☆） 某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审。若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项。设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审的概率为，各专家评审能否通过相互独立。（1）求该项目予以立项的概率；（2）记评审通过该项目的专家人数为，求的分布列与期望。 【切入点】评审的三种走向：两位初审都过、都不过、恰一位过（此时才请复审）。 是「通过该项目的专家人数」。 【关键】（1）两位初审都过：；恰一位过且复审过：。故立项概率为 。 （2） 只取 ：（两位初审都没过）；（恰一位初审过、复审没过）；（由（1））。三者之和为 。 。 【易错】第一， 没有 这个取值 —— 复审只在「恰一位初审通过」时才进行，不会出现三位专家都通过的情况。第二， 包含「两位初审都过」与「一位过、复审过」两类，不要只写一类。第三， 里要有 （哪一位初审通过）。 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 变式2-8（解答·★★★★☆） 某云计算平台为任务提供两台候选节点，其可用算力分别为和，其中，且取各值的概率与成正比。平台从两台候选节点中等可能地随机选择其中一台，并显示其算力。（1）求取各值的概率；（2）求的数学期望。 【切入点】「概率与 成正比」—— 设比例系数 ，四个概率写成 、、、，再用和为 定 。 【关键】（1），即 ，解得 。故 、、、。 （2） 确定后，两台节点的算力为 与 ，等可能选中，故 取 ：，，，，，五者之和为 。 五项相加得 ，约分后 。 【易错】第一， 的中间三个值都由「两个相邻的 值」共同贡献，每一项是两个概率之和。第二， 只可能来自 选中 ， 只可能来自 选中 ，两端各只有一项。第三， 不能简单取 与 的期望平均，因为「选中哪台」与 的取值不独立地耦合在 的分布里。 【答案】（1），，，；（2） 变式2-9（解答·★★★★☆） 两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游戏，规则如下：先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为；再从第二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为。记一次游戏后，得分总和为分。求的分布列和数学期望。 【切入点】两箱各抽一球，得分相加 —— 每个箱子的得分只有两种，组合起来 只取 。 【关键】第一箱：黑 分（概率 ）、白 分（概率 ）；第二箱：黑 分（概率 ）、白 分（概率 ）。 （），（），（），（），四者之和为 。 四项相加得 ，约分后 。 【易错】第一，两箱的「黑球得分」不同（ 分与 分），不能把两箱当成同一模型。第二， 是「第一箱黑 分 + 第二箱黑 分」，与 （第一箱白 + 第二箱白 ）分值不同，别混。第三，四个概率的分母都是 ，验和为 最快。 【答案】分布列见解析， 三 期望方差的性质与方案决策 一、四条性质。 ，；，故 。 ★ 加常数：期望平移、方差不便；乘常数：期望乘 、方差乘 。 二、0-1 变量与期望的线性性。 把「第 个是否发生」设成 ，则 且 —— 不必求出 的分布列也能算期望。 ★ 济南-14（ 门课被选中几门）、汕头-14（4 个球占了几个盒子）都走这条路。 三、方案决策的两步。 ① 分别写出两种方案下收益的随机变量并求其分布列；② 比 （要论「稳不稳」时再比 ，方差小的更稳）。 ★ 本节齐齐哈尔-17、清远-17、滨州-15、深圳一模-17、抚顺(2)-17 全按这两步写。 四、决策题的收尾写法。 先给数值比较，再给一句结论：「因为 ，所以选……」。 ★ 只写数值不写结论、或只写结论不给比较，都会丢分。 例3（解答·★★★★☆） 某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 0.5 1.0 0.8 0.2 0.2 0.8 1.2 0.2 0.5 0.3 （1）若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，；（2）现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求取得最小值时的值；（3）结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对「全部种植第一种种子」「全部种植第二种种子」「按（2）最优比例种植」三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议。 【切入点】总产量是「亩数乘单产」，所以求总产量的方差要用 —— 系数 平方成 。 【关键】（1），，由 得 。 ，，由同一性质得 。 （2），对称轴为 ，即 ，此时 取最小值 。 （3）全种第一种： 吨、；全种第二种： 吨、；按 种： 吨、。故最优比例最稳、产量居中；全种第二种产量最高但风险最大。求稳选 ，求高产且能担风险选全种第二种。 【易错】第一，，写成 是最常见的错。第二， 里两项的系数是方差 、，不是标准差。第三，第（3）问必须把三种方案的 、 都列出来再评价，只写结论没有依据。 【答案】（1），；（2）；（3）见解析 变式3-1（解答·★★★★☆） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。 【切入点】答错就结束 —— 先答 与先答 的得分序列不同，两问正好对应两个随机变量，比它们的期望。 【关键】（1）先答 ： 取 ，，，，三者之和为 。 （2）先答 ：记得分为 ，取 ，，，。 ，。因为 ，所以应先回答 类问题。 【易错】第一，答错即结束，所以「得 分」意味着第一题对、第二题错，概率是 而不是 。第二，满分的概率是两题都对（），两种情况都是 分但来源不同 —— 先答 时是 ，先答 时是 。第三，结论必须带数值比较。 【答案】（1）分布列见解析；（2）先回答类问题，理由见解析 变式3-2（解答·★★★★☆） 某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有两个问题，已知甲同学答对问题的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题的概率为0.5，回答正确得奖金元，回答错误得奖金0元。甲同学回答两个问题正确与否相互独立。（1）若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率；（2）若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答问题和先回答问题所获得的奖金总额的期望相同，求的值。 【切入点】两问都围绕「奖金」—— 第（2）问是「两种答题顺序的期望相等」，把 当未知数列方程。 【关键】（1）仅答对一题：。 （2）先答 ： 取 ，概率 ，。 先答 ： 取 ，概率 ，。 令 ，得 ，故 。 【易错】第一，只有在答对前一题时才能答下一题，所以 而不是 。第二，先答 时「只得 元」是「 对、 错」，概率 。第三，两式的常数项不同（ 与 ），只比 的系数会算错。 【答案】（1）；（2） 变式3-3（解答·★★★★☆） 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的。（1）当时，求甲最终获胜的概率；（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案。方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大。 【切入点】三局两胜下「甲最终获胜」的概率是关于 的三次式，两种积分方案只是给同一个概率配上不同的分数。 【关键】（1） 胜：； 胜：。故 ，代入 得 。 （2）方案一： 取 、，。 方案二： 取 、，。 作差 ，而 ，在 内只有 一个零点。故 时 选方案二， 时两方案相同， 时选方案一。 【易错】第一，三局两胜不是「打满三局」， 只打两局，概率是 。第二，方案一的失败得分是 不是 ，所以 里有一项 。第三，作差后要解三次方程定分界点，不能只代一个 值就下结论。 【答案】（1）；（2） 时选方案二， 时两方案相同， 时选方案一 变式3-4（解答·★★★★☆） 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计。具体规则如下：游戏Ⅰ：第1局抛掷两枚质地均匀的相同硬币，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局抛掷三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局抛掷四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金。游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6），第1局抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金。（1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；（2）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由。 【切入点】两个游戏的规则不同但结构相同：每局获胜给一笔奖金，所以只要算出每局获胜的概率，期望就是把「奖金 × 概率」相加。 【关键】（1）游戏Ⅰ第2局抛三枚硬币，向上的图案相同即全正或全反，概率为 。 （2）游戏Ⅰ三局获胜概率依次为 、、（抛 枚，同面只有 种），故 。 游戏Ⅱ的骰子三组对面分别标 ，抛 颗同数概率为 、；第3局抛 颗出现「」的排列有 种，概率 。 故 。因为 ，所以应选择游戏Ⅱ。 【易错】第一，游戏Ⅰ「图案相同」含全正与全反两种，分子是 不是 。第二，游戏Ⅱ第3局不是「四颗同数」，而是「 三个数字凑成 」，排列数是 不是 。第三，期望比较的是总额，不是单局奖金大的那个游戏。 【答案】（1）；（2）游戏Ⅱ 变式3-5（解答·★★★★☆） 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球。顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金。当取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 【切入点】箱子有两种（红球 或 ），取球个数 有两种，奖金 同时依赖 与 —— 分别算 、 的期望再比。 【关键】 时，奖金只可能是 、、：（ 的箱子，取到红球），（ 的箱子），，三者之和为 。。 时奖金只可能是 、、：，，。 。因为 ，故 时期望更大。 【易错】第一，奖金的公式里分母是 ， 得 、 得 ，别弄反。第二， 要求「取出的两个都是红球」， 的箱子里只有 种取法（），不是 。第三，比较两个分数要通分，别凭印象判大小。 【答案】 变式3-6（单选·★★☆☆☆） 若离散型随机变量的分布列如下所示，则的数学期望 = （ ） 1 2 A. 1 B. C. D. 2 【切入点】分布列只给 与 ，先用「概率之和为 」定 。 【关键】，得 ；，选 C。 【易错】第二项是「取值 乘概率 」，写成 会得 ；先定 再算期望，顺序不能颠倒。 【答案】 变式3-7（单选·★★★☆☆） 已知随机变量的分布列如下表所示，记的数学期望和方差分别为，，则当在上增大时，有（ ）。 A. 增大，增大 B. 减小，增大 C. 增大，减小 D. 减小，减小 【切入点】分布列含 ，先用 定 ，再把 、 写成 的函数看单调性。 【关键】，故 。， 增大时 减小，故 减小。 ，记 ，则 。 时该式随 增大而增大，故 增大、 减小时 也减小，选 D。 【易错】第一， 里 要乘 ，得 ，写成 就错了。第二， 上 递减，所以 也递减。第三， 是关于 的开口向下的二次函数，在 上仍单调递增，不要一看开口向下就说「有最大值」。 【答案】 变式3-8（多选·★★★☆☆） 设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（ ） A. 样本估计总体时，总体的均值一定为 B. 反应了取值的平均水平 C. D. 若服从分布，则 【切入点】四个选项分别考「样本与总体的区别」「期望的含义」「方差的非负性」「0-1 分布的期望」—— 逐个判断。 【关键】A 错：用样本估计总体时，样本均值是随机变量（随抽样而变），总体均值是固定的数，不能说「一定为 」。 B 对：期望就是取值按概率加权的平均，反映 取值的平均水平。 C 对：由 直接得 。 D 对： 分布中 。故选 BCD。 【易错】A 是最容易误判的一项 —— 「样本均值」与「总体均值」是两个东西，前者随机、后者确定。另外 C 的等号在 为常数时成立，所以取「」而不是严格小于。 【答案】BCD 变式3-9（填空·★★★☆☆） 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______。 【切入点】直接求「被选中的课程门数」的分布列很繁 ——把每门课是否被选中设成 变量，用期望的线性性。 【关键】设 表示第 门课被甲或乙选中，则 。 表示甲、乙都没选它，概率为 ，故 。 ，展开化简得 。 【易错】第一， 要「甲不选且乙不选」，是两个概率相乘，不是相加。第二， 这个化简要用到「 门里选 门且不含指定那一门」= 从其余 门选 门。第三，线性性不需要 之间独立，这一点不要怀疑。 【答案】 变式3-10（填空·★★★☆☆） 个球随机装进个盒子，则装有球的盒子个数的期望为_______。 【切入点】4 个球进 3 个盒子，问「有球的盒子个数」——按「占 个、 个还是 个盒子」分类。 【关键】每个球有 种放法，总数为 。 ：四个球全在一个盒子里， 种，。 ：三个盒子都非空，必是「」分配 ——选 球一组 ，三组进三盒 ，共 种，。 ：。故 。 【易错】第一，总数是 （球不同、盒不同），不是 之类。第二， 对应「」，选两个球成组用 ，三组进三盒用 ，两步都要乘。第三， 用补法最快。 【答案】 变式3-11（填空·★★★☆☆） 已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________。 【切入点】 是「取到最后一个黄球时共取了多少个」——换个说法：两个黄球在取球顺序里，靠后的那个排第几位。 【关键】把 个球排成一列，两个黄球的位置等可能地取 种组合。 表示两个黄球中较靠后的一个排第 位，则另一个要从前 个位置里选，有 种，故 ，。 各项加权值为 、、、、、、，合计 ，故 。 【易错】第一， 不是「黄球被取出的次数」，而是「取到最后一个黄球时的总取球数」，最小是 （前两个都是黄球）。第二， 不可能出现，因为至少要取两个才可能取完黄球。第三，分母统一是 ，因为只关心两个黄球在顺序中的位置。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $