第9章 第8节 离散型随机变量的分布列及均值与方差（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦离散型随机变量分布列、均值与方差，通过基础应用与综合提升题组，系统覆盖概念理解、性质应用及实际建模，体现数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8题（如第1-3、7题）|分布列性质判断、均值方差直接计算|从分布列定义出发，通过概率和为1性质过渡到均值方差公式推导| |综合提升|6题（如第4、10、14题）|实际情境建模、跨知识结合（如条件概率、两点分布）|以实际问题为载体，强化分布列构建与数字特征应用，体现数学语言表达现实世界|

课时冲关73　离散型随机变量的分布列及均值与方差 学生用书　P400 [基础训练组] 1．若随机变量X的分布列为(　　) X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2) 解析：C　[由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8， 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．] 2．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则P等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[由已知，分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P a 2a 3a 4a 5a 由分布列的性质可得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.∴P＝P＋P＋P＝＋＋＝..] 3．(多选)设离散型随机变量X的分布列为 x 0 1 2 3 4 p q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量y满足y＝2x＋1，则下列结果正确的有(　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 解析：ACD　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1， 所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2， D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．] 4．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X＝1)＝p, 发球二次的概率P(X＝2)＝p(1－p)，发球三次的概率P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p的实际意义，可得0<p<，即p∈.] 5．(多选)2023年成都第31届世界大学生运动会成功举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全世界人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是(　　) A．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P(B|A)＝ B．设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P(C)＝ C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E(X)＝ D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则D(Y)＝ 解析：ACD　[对于A，从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长的基本事件有C＝120件，其中事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”包含的基本事件有C－C＝116件，故P(A)＝＝，事件AB表示“抽取的3人中全是男志愿者”，其包含的基本事件有C＝20件，故P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝×＝，故A正确；对于B，事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”包含的基本事件有C－C－C＝96件，所以P(C)＝＝，故B错误；对于C，可得X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，故C正确；对于D，可得Y的可能取值为0,1,2,3，则P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则E(Y2)＝0×＋1×＋4×＋9×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，则D(Y)＝E(Y2)－(E(Y))2＝－2＝，故D正确．] 6．(2024·浙江省杭州第二中学模拟)已知甲盒子中有1个黑球，1个白球和2个红球，乙盒子中有1个黑球，1个白球和3个红球，现在从甲乙两个盒子中各取1个球，分别记取出的红球的个数为ξ1，ξ2则有(　　 ) A．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) B．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) C．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) D．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) 解析：C　[由题可知，两个盒子取出红球的服从两点分布，且P(ξ1＝1)＝＝，P(ξ2＝1)＝＝，则E(ξ1)＝，E(ξ2)＝，即E(ξ1)＜E(ξ2)，且D(ξ1)＝×＝＝，D(ξ2)＝×＝，即D(ξ1)＞D(ξ2)．] 7．(2024·宁波市模拟)已知随机变量X的分布列如表： X a 2 3 4 P b 若E(X)＝2，则a＝________；D(X)＝________. 解析：由随机变量X的分布列及E(X)＝2，得 ，解得 ∴D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝. 答案：0　 8．(2024·重庆万州统考模拟)某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得3分；如果只有一个人投中，则小组得1分；如果两人都没投中，则小组得0分．甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为________． 解析：根据题意，设该小组在本次活动中得分之和为X，则X可取的值为0,1,2,3,4,6， 在一轮活动中，该小组得3分的概率P1＝×＝， 该小组得1分的概率 P2＝×＋×＝， 该小组得0分的概率 P3＝×＝， 则有P(X＝3)＝C××＝， P(X＝4)＝C××＝， P(X＝6)＝×＝， 则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝＋＋＝， 即该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为. 答案： 9．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192例 8例 则该公司一年后估计可获收益的期望是______元． 解：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)． 答案：4 760 10．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为.每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球． (1)求第三回合甲发球的概率； (2)设前三个回合中，甲的总得分为X，求X的分布列及数学期望． 解：(1)若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲， 故第三回合甲发球的概率为×＋×＝. (2)设甲在第i回合得分记为事件Ai，乙在第i回合得分记为事件Bi，i∈{1,2,3}， 则P(A1A2A3)＝3＝，此时甲得3分， P(A1A2B3)＝2×＝，此时甲得2分， P(A1B2A3)＝××＝，此时甲得2分， P(A1B2B3)＝××＝，此时甲得1分， P(B1A2A3)＝××＝，此时甲得2分， P(B1A2B3)＝××＝，此时甲得1分， P(B1B2A3)＝××＝，此时甲得1分， P(B1B2B3)＝××＝，此时甲得0分， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. [能力提升组] 11．(多选)(2024·北京海淀区调研)开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种．已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为pn，则以下论述正确的是(　　) A．小明同学第二天一定选择面食套餐 B．p3＝0.68 C．pn＝0.2pn－1＋0.8(1－pn－1)(n≥2，n∈N) D．前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为n＋－n 解析：BCD　[在A中，第1天小明选择了米饭套餐，则小明第二天有80%的可能选择面食套餐， 故A错误；在B中，∵第1天小明选择了米饭套餐，∴p3＝0.8×0.8＋0.2×0.2＝0.68，故B正确；在C中，∵小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为pn， ∴pn＝0.2pn－1＋0.8(1－pn－1)(n≥2，n∈N)，故C正确；在D中，当n＝1时，前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15＝×1＋－×1. 当n＝2时，前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15＋15×0.2＋10×0.8＝×2＋－×2. 当n＝3时，前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15＋15×0.2＋10×0.8＋15×0.68＋10×0.32＝×3＋－×3. 由此猜想前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为n＋－n，故D正确．] 12．(多选)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，pi＝1，定义X的信息熵H(X)＝－pilog2pi.(　　) A．若n＝1，则H(X)＝0 B．若n＝2，则H(X)随着p1的增大而增大 C．若pi＝(i＝1,2…，n)，则H(X)随着n的增大而增大 D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y) 解析：AC　[对于A选项，若n＝1，则p1＝1，H(X)＝－1×log21＝0，正确； 对于B选项，若n＝2，则H(X)＝－[plog2p＋(1－p)log2(1－p)]， 设f(p)＝－[plog2p＋(1－p)log2(1－p)]，则 f′(p)＝－[log2p＋p·－log2(1－p)＋(1－p)]＝－log2＝log2， 当p<时，f′(p)>0；当p>时，f′(p)<0，错误； 对于C选项，若pi＝(i＝1,2，…，n)， 则H(X)＝－pilog2pi＝－n·log2 ＝log2n， 所以H(X)随着n增大而增大，正确； 对于D选项，若n＝2m，随机变量Y的所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)． H(X)＝－pi·log2pi＝pi·log2 ＝p1·log2＋p2·log2＋…＋p2m－1· log2＋p2m·log2. H(Y)＝(p1＋p2m)·log2＋(p2＋p2m－1)·log2＋…＋(pm＋pm＋1)·log2 ＝p1·log2＋p2·log2＋…＋p2m－1·log2＋p2m·log2由于pi>0(i＝1,2，…，2m)，所以>，所以log2>log2， 所以pi·log2>pi·log2， 所以H(X)>H(Y)，所以D选项错误．] 13．(2024·信阳市模拟)如图所示，A，B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________. 解析：法一　(直接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10， ∵P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝， P(X＝9)＝＝， P(X＝10)＝＝， ∴X的概率分布列为 X 7 8 9 10 P ∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝＋＋＝. 法二　(间接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，故P(X≥8)与P(X＝7)是对立事件， 所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝. 答案： 14．(2022·北京卷，18)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25； 乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；' 丙：9.85,9.65,9.20,9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)． 解：(1)由题意得： 设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A. 比赛成绩达到9.50 m以上获得优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80,9.70,9.55,9.54四个． 所以，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为P(A)＝0.4. (2)X所有可能取值为0,1,2,3. 甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为P(A)＝0.4. 乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为事件B， 则P(B)＝0.5. 丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为事件C， 则P(C)＝0.5. P(X＝0)＝0.6×0.5×0.5＝0.15， P(X＝1)＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.4， P(X＝2)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35， P(X＝3)＝0.4×0.5×0.5＝0.1， EX＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. (3)甲的平均数：(9.80＋9.70＋9.55＋9.54＋9.48＋9.42＋9.40＋9.35＋9.30＋9.25)×0.1＝9.479， 乙的平均数：(9.78＋9.56＋9.51＋9.36＋9.32＋9.23)÷6≈9.457， 丙的平均数：(9.85＋9.65＋9.20＋9.16)×0.25＝9.465， 甲的方差：s2＝[(9.8－9.479)2＋……＋(9.25－9.479)2]÷10＝0.017 2， 乙的方差：s2＝[(9.78－9.457)2＋……＋(9.23－9.457)2]÷6＝0.032 9， 丙的方差：s2＝[(9.85－9.465)2＋……＋(9.16－9.465)2]÷4＝0.086.所以甲获得冠军的概率的估计值最大． 9 学科网（北京）股份有限公司 $