安徽省六安第一中学2025-2026学年高三上学期第五次月考（1月）数学试题

六安一中2026届高三年级第五次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（     ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别为，已知，为边上一点，且，，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 6．如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 7．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，，，则 ①是递增数列；②；③；④． 其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知直线，圆，则（     ） A．动直线经过定点 B．圆心到直线的最大距离为 C．当直线与圆相交时， D．圆与圆有两条公切线 10．已知双曲线的上、下焦点分别为为双曲线上的两点，为坐标原点，则（      ） A．若，则 B．若在双曲线的上支，，则的最小值为 C．存在点，使得 D．该双曲线存在以为中点的弦 11．如图，正方体棱长为2，分别为、的中点，分别为线段、上的动点，为所在平面内的动点，则下列结论中正确的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面交于点，则 C．若为中点，与平面所 成的角相等，则面积的最大值为 D．若点到平面的距离等于的长，则点轨迹为椭圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．是虚数单位，则的值为 . 13．经过点，并且与圆相切的直线方程是 . 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后在新图形中对应点记为，若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若的周长为，求的边上的高. 16．（本小题满分15分） 在五面体中，平面，平面．   （1）求证：； （2）若，点D到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 记数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值. 18．（本小题满分17分） 已知，动点到点的距离比到直线的距离小，记动点的轨迹为，为上三个不同的点． （1）求的方程； （2）若，且为的垂心，求的面积； （3）若交于点，求的最小值． 19．（本小题满分17分） 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）已知和在上“2次缠绕”，设，求的值； （2）设，若和在实数集上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 六安一中2026届高三年级第五次月考 数学试卷参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B B A C D D C A BCD BD ACD 12． 13．或 14． 1．【详解】集合．由得，所以，故．故选：B. 2．【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：B 3．【详解】圆的圆心为，半径为，设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为，所以，解得，即所求圆的圆心坐标为，故圆关于直线对称的圆的方程为.故选：A. 4．【详解】对于B.的定义域为R，且，故为偶函数； 对于D.的定义域为R，且 ，故为偶函数；由图象，可知为奇函数，故排除B、D；对于A.当时，则，而，此时，由图象知道排除A；故选：C. 5．【详解】由，则，，即，整理得，，又， ，即，，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为8. 故选：D. 6.【详解】连接.设则，.因为，所以在中，由勾股定理得即.①在中，由勾股定理得即整理得.将代入①式得，整理得，所以离心率. 故选：D 7．【详解】∵，，∴， ∴，即，即①， ∵，∴②，联立①②解得，∴. 故选：C 8.【详解】对于①：易知，否则与矛盾，由，得， 所以，所以数列是递增数列，故①正确；对于②：由①的判断知，所以，由，得， 所以， 即，故②正确；对于③：由，得， 则， 所以，故③错误；对于④：由，得，即，所以 ，故④正确．故选：A. 9．【详解】对于A：将直线方程进行变换可得， 则有，解得. 所以直线经过定点，所以A错误； 对于B：圆的方程变换为，设，结合图形知，当时，圆心到直线的距离最大，最大距离为，此时，所以B正确； 对于C：当直线与圆相交时，圆心到直线的距离，化简得，解得，C正确；对于D：易知圆与圆相交，所以有两条公切线，D正确； 故选：BCD. 10．【详解】对于A：由双曲线的定义知，若，解得，但，故，所以A错误； 对于B：，结合图形知等号可以取到，所以B正确； 对于C：双曲线的渐近线方程为：，，所以双曲线上不存在点，使得 ，所以C错误；对于D：若为AB中点，设，则，因为在上，所以，两式相减，得，即，，所以 ，与双曲线方程联立，消去，得，所以D正确； 故选：BD. 11．【详解】对于A：，易知为定值，又，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B：如图，延长交的延长线于点，连接交于点，则点为平面与的交点．因为，，所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以，故，故B错误； 对于C：易知为与平面所成的角，为与平面所成的角，由为中点，知，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，可得点的轨迹方程为：，所以，故C正确； 对于D: 方法一：以为原点建立空间直角坐标系，, 设平面的一个法向量为，则，取.设，则，所以点到平面的距离 因为，所以点轨迹为椭圆. 方法二：作，垂足为，作，垂足为，连接，设，则，，所以点轨迹为椭圆. 故D正确；故选ACD. 12．【详解】． 13．【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为1．易知直线与圆相切， 设斜率存在的切线方程为，即，由，解得，切线方程为，即．故答案为：或． 14.【详解】：折叠后仍以轴为轴，轴原位置仍为轴，折叠后轴的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，  折叠前设，直线 由得， 折叠后 15．【详解】（1）因为， 所以， 结合正弦定理可得，即， ..................3分 可得，因为，所以. ...................6分 （2）因为的周长为，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 所以 ...................10分 又的面积，设边上的高为，所以 ，解得. ....................13分 16． 【详解】（1）证明：平面，平面，，...........2分 平面，平面，平面， .............4分 平面平面，平面， .............6分 （2）平面，，平面，平面，， 又平面，平面，， 又，平面，平面， ，， ，即， ，即，， .................9分 以D为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    ， 设平面的法向量为， ， ，令，则， .................12分 取平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， ，即平面与平面夹角的余弦值为．...............15分 17．【详解】（1）在数列中，，则， ...............1分 当时，，则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此，当时，， ...............5分 而不满足上式， 所以数列的通项公式为 ...............7分 （2）设，则， ...............8分 当时，， 于是 ， 则， 因此， ...............12分 由，得，又， 所以符合题设条件的m的最小整数值为7. ...............15分 18.【详解】（1）因为动点到点的距离比到直线的距离小， 则到点的距离与到直线的距离相等， 根据抛物线的定义，点的轨迹是抛物线，且其焦点为， 设该抛物线的标准方程为， 所以，可得，所以的方程为. ...............4分 （2）由，得点为坐标原点，此时轴， 设，则，由，得，解得， 从而的面积为. ................8分 （3）由题知直线斜率不为，设 ...............10分 方法一：因为，所以， 又得， 因为，所以 方法二：由题知斜率均存在，，同理， 因为，所以， 将代入上式得，则，过定点 ..............14分 设，由题知，所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为 ，所以，此时. ...............17分 19．【详解】（1）由和在上“2次缠绕”知存在，使得，当且仅当时等号成立 ....................1分 因为，当和时，， ...................3分 对任意，当且仅当和时，等号成立， 所以． ....................5分 （2）设，因为和在上＂3次缠绕＂， 所以存在互异的三个数，使得，当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． ....................6分 注意到，所以是的一个零点． ....................7分 ，令 ①当时，在上单调递增，是的唯一零点，不合题意． ②当时，，在上单调递减，是的唯一零点，不合题意． ....................9分 ③当时，，令，存在两根， 当时，单调递减；当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上递减，所以，即，所以存在． 又，，所以存在． 所以存在互异的三个数，使得恒成立，当且仅当时等号成立，即时，和在上＂3次缠绕＂， 综上，的取值范围是． ....................12分 （其它解法请酌情给分） （3）取，设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意，存在， 其中，使得，且和在上＂次缠绕＂． ....................17分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $